Chương 1: Tổng quan Chương 2: Cơ sở lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm và lý thuyết lớp composite Chương 3: Các quan hệ cơ bản của vật liệu composite dạng tấm Chương 4: Phương pháp phần tử hữu hạn và phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt Chương 5: Bài toán áp dụng Chương 6: Kết luận và đề xuất 7 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM VÀ LÝ THUYẾT LỚP COMPOSITE ---- 2.1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc của cơ học vật liệu khởi đầu vào thế kỷ XVII, lý thuyết đàn hồi được trình bày chi tiết trong sách “Theory of Elasticity” của S.[22] Trong giới hạn phạm vi của luận văn, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến dạng đàn hồi trong trường hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng và lý thuyết tấm làm cơ sở để giải quyết các vấn đề được đưa ra ở chương 1. * Lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng Một cách tổng quát, ứng suất và biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành phần, hình 2. Đối với ứng suất: x , y , z , xy , yz , xz tương ứng với ứng suất pháp theo phương x, y, z và ứng suất tiếp theo phương z, x, y.
Đối với biến dạng: x , y , z , xy , yz , xz tương ứng với biến dạng pháp căng theo phương x, y, z và trượt căng theo phương z, x, y.1: Các thành phần ứng suất và biến dạng Dưới những điều kiện cho trước, trạng thái ứng suất và biến dạng có thể được đơn giản hóa. Vì vậy, phân tích vật thể 3D có thể được đưa về thành phân tích 2D. 8 Với các vật thể mỏng, kích thước theo phương z rất nhỏ so với hai phương còn lại, chịu tác dụng của các lực trong mặt phẳng Oxy, hình 2.2: Mô hình bài toán ứng suất phẳng Người ta có thể chấp nhận giả thiết rằng: z xz yz 0 (2.1) và biến dạng theo phương z là tự do nên ( z 0 ). Khi đó, người ta nói kết cấu làm việc trong trạng thái ứng suất phẳng.
Quan hệ ứng suất - biến dạng – nhiệt độ Đối với vật liệu đẳng hướng và đàn hồi, chúng ta có: x 1 / E / E 0 x x 0 y / E 1/ E 0 .2) 0 1 / G xy xy 0 xy 0 Viết dưới dạng ma trận: []1 0 (2.3) Trong đó, 0 là vector biến dạng ban đầu; [] là ma trận hệ số đàn hồi (hay ma trận ứng xử); E là mô đun đàn hồi; là hệ số Poisson; G là mô đun trượt.4) 2(1 ) Chúng ta cũng có thể biểu diễn các thành phần ứng suất theo các số hạng biến dạng bằng cách giải phương trình (2.6) 9 Trong đó: 0 [] 0 là ứng suất ban đầu. Biến dạng ban đầu 0 là do nhiệt độ, được xác định: x 0 T y 0 T (2.7) 0 xy0 Trong đó, là hệ số giãn nhiệt, T độ thay đổi nhiệt độ. Quan hệ biến dạng – chuyển vị Với giả thuyết biến dạng bé, chúng ta có: u v v u ; y ; xy (2.8) x y x y x Viết dưới dạng ma trận: x / x 0 u y 0 / y (2.10) Như vậy, biến dạng là đạo hàm bậc một của chuyển vị. Phương trình cân bằng Trong lý thuyết đàn hồi, các thành phần ứng suất trong kết cấu phải thỏa mãn hệ phương trình x xy x y q x 0 (2.11) xy y q 0 x y y Trong đó q x , q y là các lực khối (như lực trọng trường) trên một đơn vị khối lượng.
Điều kiện biên Hình 2.3: Biên S của vật thể 10 Biên S của vật thể có thể được chia thành hai thành phần, hình 2. Thành phần biên chính Su và thành phần biên tự nhiên St. Khi đó, trên Su ta có u u0 , v v0 và trên St ta có t x t x 0 , t y t y 0 , với t x , t y là các lực trên biên theo phương x, y tương ứng. Trong đó u0 , v0 , t x 0 , t y 0 là các thành phần biết trước.2 LÝ THUYẾT TẤM Tấm là một kết cấu được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách nhau một khoảng h gọi là bề dày của tấm.[14,25] Mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm, cách đều hai mặt phẳng tấm gọi là mặt trung hòa (mặt trung gian hay mặt trung bình) ℎ 1 Nếu < Dạng màng 𝑙 100 1 ℎ 1 Nếu ≤ ≤ Dạng tấm mỏng 100 𝑙 5 ℎ 1 Nếu > Dạng tấm dày 𝑙 5 Với 𝑙 là chiều dài cạnh nhỏ nhất của tấm.
Xét một tấm mỏng chịu uốn dưới tác dụng của các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng với mặt giữa của tấm, trục z vuông góc với mặt phẳng tấm.4a) Mômen uốn, lực cắt và sự phân bố ứng suất được mô tả trên hình 2.4: a) Các thành phần lực và momen trên tấm; b) Sự phân bố ứng suất 11 Hình 2.5: Sơ đồ phần tử tấm chịu uốn 2.1 Quan hệ lực - ứng suất Với giả thuyết tấm mỏng chịu uốn, các thành phần ứng suất x , y , xy quan hệ với các thành phần momen uốn M x , M y , M xy như sau: h/2 h/2 h/2 Mx x zdz ; h / 2 M y y zdz ; h / 2 M xy xy zdz h / 2 (2.12) Tương tự, các thành phần lực cắt Q x , Q y được xác định: h/2 h/2 Qx xzdz ; h / 2 Qy dz h / 2 yz (2.2 Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff Các giả thiết của Kirchhoff: các đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng không đổi. Nghĩa là chúng không bị biến dạng trượt ngang.14) Các thành phần chuyển vị (u,v) theo phương (x,y) tương ứng tại một điểm bất kỳ trên tấm được biểu diễn theo độ võng w và các góc xoay x , y của mặt trung gian tấm như sau: 12 w u z y z x w v z x z.15) Với: x , y lần lượt là góc xoay của mặt phẳng trung hòa quanh trục x và y w = w(u,v) là hàm độ võng (hàm chuyển vị) theo phương z của mặt phẳng trung bình của tấm.6: Quan hệ giữa các góc xoay của mặt phẳng trung hòa và đạo hàm độ võng Biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc tấm: u 2w z ; x x 2 x u 2w y z 2 ; y y u u 2w xy 2 z y x xy (2.16) Với giả thiết của Kirchhoff, trong trường hợp tấm đàn hồi đẳng hướng, bài toán chuyển về bài toán ứng suất phẳng: x 1 0 x E y 2 1 0 y 1 0 0 (1 ) / 2 xy xy (2.17) Hay x 1 0 k x E k y z 2 1 0 y 1 xy 0 0 (1 ) / 2 k xy (2.20) Trong đó: E là mô đun đàn hồi là hệ số Poisson {k}: véctơ độ cong của tấm chịu uốn w = w(u,v) là hàm độ võng Đối với bài toán tấm chịu uốn, người ta xem các thành phần nội lực 𝑇 𝑇 {𝑀} = {𝑀𝑥 , 𝑀𝑦 , 𝑀𝑥𝑦 } thay thế cho {𝜎} = {𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜏𝑥𝑦 } , ta có: 𝑀𝑥 1 𝑣 0 𝑘𝑥 ℎ3 𝐸 { 𝑀𝑦 } = − [𝑣 1 0 ] { 𝑘𝑦 } 12 (1−𝑣 2 ) 𝑀𝑥𝑦 0 0 (1 − 𝑣)/2 𝑘𝑥𝑦 (2.22) Phương trình (2.21) hoàn toàn tương tự với phương trình (2.17) nếu bỏ qua biến dạng ban đầu do nhiệt độ. Đối với tấm chịu uốn đàn hồi đẳng hướng, ma trận hệ số đàn hồi do uốn của tấm là: 1 𝑣 0 𝐸ℎ 3 [𝐸𝑓 ] = [𝑣 1 0 ] (2.25) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 Trong đó: 𝐸ℎ 3 𝐷= là độ cứng chống uốn của tấm. 12(1−𝑣 2 ) Chúng ta thấy rằng, nghiệm của bài toán tấm đàn hồi đẳng hướng phụ thuộc vào hàm độ võng w.
Với w được xác định từ phương trình vi phân mặt võng: ∂4 w ∂4 w ∂4 w 𝑞(𝑥,𝑦) ( 4 +2 + )= (2.27) ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 q(x,y) là ngoại lực tác dụng Như vậy, để giải phương trình đạo hàm riêng bậc 4 ta cần phải có các điều kiện biên của tấm. Điều kiện biên của tấm được chia làm ba dạng: w Ngàm: w 0, 0 (2.30) Trong đó, n là vector pháp tuyến của biên, hình 2.7: Đường biên và vector pháp tuyến của biên 15 2.3 Lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin: Nếu chiều dày tấm không mỏng, khi đó lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin được áp dụng. Lý thuyết này tính toán sự thay đổi góc của tiết diện ngang: xz 0, yz 0 (2.31) Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt phẳng trung gian nữa. Khi đó, góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm 2 phần: phần thứ nhất, do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt phẳng trung gian; phần thứ hai, do biến dạng trượt trung bình gây ra, hình 2.