Phân Tích Ổn Định Và Sau Ổn Định Kết Cấu Khung Giàn Phẳng Sử Dụng Phương Pháp Arclength

Luận văn thạc sĩ phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu khung giàn phẳng bằng phương pháp arclength trong công nghệ chế tạo máy.

• Tác giả: Lương Quốc Việt
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thanh Trường
• Trường học: Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia TP. HCM
• Chuyên ngành: Công Nghệ Chế Tạo Máy
• Đề tài: Phân Tích Ổn Định Và Sau Ổn Định Kết Cấu Khung Giàn Phẳng Sử Dụng Phương Pháp Arc-Length
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: TP. Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Phân tích kết cấu và ổn định kết cấu

Phân tích kết cấu và ổn định kết cấu là hai khía cạnh quan trọng trong kỹ thuật xây dựng và cơ khí. Khi thiết kế các công trình như cầu, trụ điện, hoặc các kết cấu dài mảnh, việc đảm bảo độ ổn định là yếu tố then chốt. Khung giàn phẳng là một trong những kết cấu phổ biến được sử dụng trong các công trình này. Tuy nhiên, dưới tác động của tải trọng, kết cấu có thể bị mất ổn định, dẫn đến biến dạng lớn hoặc phá hủy. Phương pháp Arclength được giới thiệu như một giải pháp hiệu quả để phân tích phi tuyến kết cấu, đặc biệt trong các trường hợp mất ổn định. Phương pháp này cho phép vượt qua điểm giới hạn và xác định toàn bộ đường cân bằng của kết cấu.

1.1. Giới thiệu về phân tích ổn định và sau ổn định

Phân tích ổn định và sau ổn định là quá trình nghiên cứu sự biến dạng và phá hủy của kết cấu dưới tác động của tải trọng. Trong các kết cấu như cầu hoặc trụ điện, việc phân tích này giúp xác định lực tới hạn mà kết cấu có thể chịu được trước khi mất ổn định. Phương pháp Newton-Raphson là một trong những phương pháp truyền thống được sử dụng, nhưng nó có hạn chế trong việc vượt qua điểm giới hạn. Phương pháp Arclength được phát triển để khắc phục nhược điểm này, cho phép phân tích toàn bộ đường cân bằng của kết cấu.

1.2. Ứng dụng của phương pháp Arclength

Phương pháp Arclength được ứng dụng rộng rãi trong tính toán kết cấu và thiết kế kết cấu. Phương pháp này sử dụng các giải thuật lặp để xác định mối quan hệ giữa tải trọng và chuyển vị, đặc biệt trong các trường hợp phi tuyến hình học. Trong luận văn thạc sĩ, phương pháp này được áp dụng để phân tích khung giàn phẳng sử dụng phần mềm Matlab và Abaqus. Kết quả cho thấy phương pháp Arclength hiệu quả hơn so với phương pháp Newton-Raphson trong việc xác định điểm giới hạn và đường cân bằng của kết cấu.

II. Khung giàn phẳng và mô hình hóa kết cấu

Khung giàn phẳng là một loại kết cấu phổ biến trong xây dựng và cơ khí, được sử dụng trong các công trình như cầu, cần cẩu, và trụ điện. Việc mô hình hóa kết cấu là bước quan trọng để phân tích và thiết kế các kết cấu này. Trong luận văn thạc sĩ, khung giàn phẳng được mô hình hóa dưới dạng phần tử thanh và phần tử dầm. Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để phân tích phi tuyến kết cấu, kết hợp với phương pháp Arclength để xác định đường cân bằng của kết cấu.

2.1. Mô hình phần tử hữu hạn

Mô hình phần tử hữu hạn là công cụ quan trọng trong phân tích kết cấu. Trong luận văn thạc sĩ, khung giàn phẳng được mô hình hóa dưới dạng phần tử thanh và phần tử dầm. Phương pháp này cho phép phân tích chi tiết sự phân bố nội lực và biến dạng trong kết cấu. Kết quả phân tích được so sánh giữa phần mềm Matlab và Abaqus, cho thấy sự tương đồng và độ chính xác cao của phương pháp.

2.2. Phân tích phi tuyến kết cấu

Phân tích phi tuyến kết cấu là quá trình nghiên cứu sự biến dạng và mất ổn định của kết cấu dưới tác động của tải trọng. Trong luận văn thạc sĩ, phương pháp Arclength được sử dụng để phân tích phi tuyến kết cấu khung giàn phẳng. Kết quả cho thấy phương pháp này hiệu quả trong việc xác định điểm giới hạn và đường cân bằng của kết cấu, đặc biệt trong các trường hợp mất ổn định.

III. Phương pháp Arclength và ứng dụng thực tế

Phương pháp Arclength là một trong những phương pháp tiên tiến được sử dụng trong phân tích kết cấu và thiết kế kết cấu. Phương pháp này cho phép vượt qua điểm giới hạn và xác định toàn bộ đường cân bằng của kết cấu, đặc biệt trong các trường hợp phi tuyến hình học. Trong luận văn thạc sĩ, phương pháp Arclength được áp dụng để phân tích khung giàn phẳng sử dụng phần mềm Matlab và Abaqus. Kết quả cho thấy phương pháp này hiệu quả hơn so với phương pháp Newton-Raphson trong việc xác định điểm giới hạn và đường cân bằng của kết cấu.

3.1. So sánh phương pháp Arclength và Newton Raphson

Phương pháp Arclength và phương pháp Newton-Raphson là hai phương pháp phổ biến trong phân tích kết cấu. Tuy nhiên, phương pháp Newton-Raphson có hạn chế trong việc vượt qua điểm giới hạn, trong khi phương pháp Arclength cho phép xác định toàn bộ đường cân bằng của kết cấu. Trong luận văn thạc sĩ, kết quả phân tích cho thấy phương pháp Arclength hiệu quả hơn trong việc xác định điểm giới hạn và đường cân bằng của kết cấu.

3.2. Ứng dụng thực tế của phương pháp Arclength

Phương pháp Arclength được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật xây dựng và thiết kế kết cấu. Phương pháp này cho phép phân tích chi tiết sự biến dạng và mất ổn định của kết cấu dưới tác động của tải trọng. Trong luận văn thạc sĩ, phương pháp Arclength được áp dụng để phân tích khung giàn phẳng sử dụng phần mềm Matlab và Abaqus. Kết quả cho thấy phương pháp này hiệu quả trong việc xác định điểm giới hạn và đường cân bằng của kết cấu, đặc biệt trong các trường hợp mất ổn định.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH PHI TUYẾN 1. Giới thiệu về phân tích ổn định và sau ổn định kết cấu. Khi phân tích tính toán kết cấu, chi tiết máy phải phân tích tính toán theo độ bền, độ ổn định, độ dao động,… Thông thƣờng giới hạn bền đƣợc quan tâm đặc biệt. Tuy nhiên có một sô trƣờng hợp, trong xây đựng một số cầu hoặc trụ điện đƣợc lắp ghép từ các phần tử thanh, khi cầu chịu tác động của gió thì cầu sẽ đung đƣa khi đó các thanh sẽ chuyện vị lớn.

Hoặc trong quá trình dập tấm trong cơ khí thì phôi là vật liệu vỏ mỏng khi tác động của chày thì phôi sẽ bị biến dạng và mất ổn định trong kết cấu, phôi sẽ bị mất ổn định, vậy lực tác dụng bao nhiêu là vừa đủ? Hoặc trong các kết cấu dài mảnh nhƣ xy lanh trong xe ép rác có ty dài ứng suất tới hạn thƣờng nhỏ hơn ứng suất bền do đó ta phải tính toán đến độ ổn định. Khi tính toán thực tế ngƣời chế tạo thƣờng sử dụng kinh nghiệm là chủ yếu. Thông thƣờng phân tích ổn định và sau ổn định ta phải quan tâm đến phân tích phi tuyến kết cấu đặc biệt phi tuyến hình học. Hình 1: Một số trụ điện sử dụng kết cấu khung giàn và một số thùng chứa kết cấu vỏ mỏng bị mất ổn định Theo [2] trong tính toán phân tích kết cấu máy, thông thƣờng bao gồm : - Phi tuyến vật liệu, trong đó tính chất vật liệu đƣợc thông qua điều kiện ứng suất hoặc biến dạng.

Ví dụ phi tuyến đàn hồi, dẻo và phá hủy. [Trang 15] P Pchay Pben ΔL Hình 2: Giản đồ lực – biến dạng của thép - Phi tuyến điều kiện biên, trong đó các bộ phận điều chỉnh có thể mở rộng ra hoặc gần nhau, vùng tiếp xúc giữa các bộ phận thay đổi dẫn đến lực thay đổi vì vậy có sự dịch chuyển giữa các bộ phận với nhau kèm theo ma sát. - Phi tuyến hình học, trong đó biến dạng đủ lớn mà phƣơng trình cân bằng đƣợc viết coi trọng biến dạng kết cấu hình học. Ngoài ra, tải có thể thay đổi hƣớng khi độ lớn tăng lên, nhƣ khi áp suất bơm vào kết cấu dạng màng.

Hình 3: Phi tuyến hình học Phƣơng trình kết cấu tuyến tính: [Trang 16] [ ]{ } { } (1.1) Trong đó : Ma trận hệ số [K]: (ma trận độ cứng) Vec tor Tải {R} Vec tor chuyển vị hoặc biến dạng {D} Chúng ta không thể giải ngay ra {D} bởi vì thông tin cần về kết cấu [K] và {R} thì không biết tăng lên nhƣ thế nào. Một giải thuật lặp đi lặp lại đƣợc yêu cầu để {D} phù hợp với [K] và {R} sao cho [K]{D} thì cân bằng với {R}.Khi phƣơng trình [K]{D}={R}thì không đƣợc chồng lắp lên nhau. Tức là chúng ta không thể tỉ lệ kết quả tải tại vị trí hoặc chồng kết quả tải khác. Mỗi một tải khác nhau đƣợc phân tích độc lập.

Ví dụ lò xo xoắn: P Cứng hơn Thẳng (kN=0) k0 u (kN>0) Mềm hơn k (kN<0) P u Hình 4: Lò xo xoắn chịu lực dọc trục P Hình 5: Giản đồ lực và chuyển vị của lò xo Khi ta tác dụng một lực P dọc tâm lò xo xoắn thì lò xo sẽ dịch chuyển một đoạn u. Trong đó k có phải là k0 ban đầu hay không? Nếu ta xem nhƣ độ cứng không đổi thì k=k0, tuy nhiên theo [2 ] k = k0+ku, trong đó ku là một hàm theo chuyển vị kN = kN(u). chúng ta có thể tính toán cho một vài giá trị u, nhƣng mà nó không thể giải quyết tƣờng minh cho u khi P đƣợc mô tả. Thay thế u bằng việc lấy một dãy tuyến tính bƣớc, với mỗi đáp tứng của việc thay đổi tải.2 Giản đồ Tải – Chuyển vị Theo [6] Thông thƣờng để mô tả mối quan hệ giữa tải và chuyển vị ngƣời ta sử dụng giản đồ tải – chuyển vị.

Về nguyên tắc, quan hệ đƣợc biểu diễn bằng một đƣờng cong liên tục trong hệ trục tọa độ, với trục hoành biểu diễn đáp ứng chuyển vị còn trục tung biểu diễn giá trị tải (mức tải). Đƣờng cong đƣợc vẽ xuất phát từ gốc tọa độ gọi là đƣờng cân bằng chính. Trên đƣờng cong có một số điểm đặc biệt và một số nhánh khác. Tải Đường cân bằng P (λ) Chuyển vị Hình 6: Đƣờng đặc tính Tải, chuyển vị Các điểm đặc biệt: Điểm giới hạn: Tại điểm đó, tiếp tuyến với đƣờng cong là đƣờng thẳng nằm ngang (song song với trục hoành).

Điểm nhánh rẽ: Tại điểm đó, nhiều nhánh đƣờng cân bằng giao nhau. Điểm quay đầu: Tại điểm đó, tiếp tuyến với đƣờng cong là đƣờng thẳng đứng (song song với trục tung). Điểm phá hủy: Tại điểm đó, kết cấu bị phá hủy. Tồn tại nhiều kỹ thuật với nhiều phƣơng pháp khác nhau.

Tổng quát, phƣơng trình đƣờng cân bằng giải quyết bằng phƣơng pháp truy bắt đƣờng cân bằng từng điểm từng điểm, thông qua giải thuật lặp đi lặp lại. Tiếp theo là các phƣơng pháp phổ biến.3 Phương pháp Newton – Raphson Mục đích của việc phân tích phƣơng trình phi tuyến là giải phƣơng trình: [ ]{ } { } (1.1) Giống nhƣ phƣơng trình phi tuyến f(u,x) = 0 với u= u (x), với u là thông số độc lập. Chúng ta có thể giải theo nhiều phƣơng pháp lặp khác nhau. Theo [6] tài liệu giới thiệu phƣơng pháp lặp chia đôi để giải bài toán.

Theo [2],[6] phƣơng pháp lặp Newton – Raphson đƣợc giới thiệu tuy nhiên vẫn có nhiều hạn chế trong đó nhƣợc điểm lớn nhất là không thể vẽ đƣợc đầy đủ đƣờng đặc tính. Tuy nhiên trong nhiều trƣờng hợp phƣơng pháp Newton – Raphson vẫn đƣợc sử dụng. [Trang 19] Tải Tải P (λ)1 A2 A1 P (λ)0 A0 Đƣờng cân bằng u3 u2 u0 u1 Chuyển vị Chuyển vị Hình 8: Phƣơng pháp Newton- Raphson Có nhiều dạng của phƣơng pháp Newton – Raphson nhƣ dạng kiểm soát tải, kiểm soát chuyển vị, dạng cải tiến,… Tuy nhiên dạng kiểm soát tải sử dụng phƣơng pháp Newton – Raphson vẫn đơn giản nhất. Phƣơng pháp điều khiển tải hay tải sẽ tăng ngoại lực theo mức tải λ.

Tại mỗi mức tải ta sẽ tính toán chuyển vị cho phù hợp. Ban đầu khai triển Taylor của nội lực qi ta có: qi (d ) qi (d  d )  qi (d )  d d (1.2) Khi điểm nằm trên đƣờng căng bằng thì nội lực cân bằng ngoại lực: qi (d  d )  qi (d )  qe (d  d )  qe (d )  qe (1.3) Từ đó ta có: qi (d ) qe  d  Kt d d (1.4) Trong đó Kt là ma trận độ cứng tiếp tuyến [Trang 20] Phƣơng pháp mô tả mối quan hệ giữa nội lực và ngoại lực bởi phƣơng trình đƣờng cân bằng: r (d i )  qi (d i )  qe  0 (1.5) Phƣơng trình cân bằng tại điểm tiếp theo r r i 1 (di )  r i  di   0 d (1.6) Từ đó tính toán lại δd và cập nhập lại d r  Kt d (1.8) Lặp lại đến khi ri+1 < ξ (sai số cho trƣớc) 1.4 Phương pháp Arc – length Để khắc phục nhƣợc điểm của phƣơng pháp Newton – Raphson theo [1],[3],[5] phƣơng pháp Arc – length đƣợc giới thiệu với cách thức gần giống phƣơng pháp Newton – Raphson tuy nhiên mức tải không là đƣờng thẳng mà thay bằng đƣờng giới hạn tải, chuyển vị bởi đƣờng tròn với bán kính Δl (đƣờng tròn giới hạn). Theo Xiao-zu, phƣơng trình phân tích phi tuyến đƣợc viết: r (d i )  qi (d i )  qe  0 (1.1) Trong đó: qe là vector ngoại lực tác dụng, λ là hệ số mức thay đổi tải, r là vector cân bằng. Phƣơng pháp Arc – length thực chất là tìm sự giao nhau giữa đƣờng cân bằng đƣờng tròn s có bán kính ∆l.

Trong đó bán kính đƣờng tròn s đƣợc xác định: [Trang 21] √ (1.2) Và điểm giao nhau giữa đƣờng tròn và r đƣợc xác định: (1.4) Trong đó KT là ma trận độ cứng kết cấu.1 Phƣơng pháp tuyến tính Arc – length (Linearized Arc-length method) Có rất nhiều kỹ thuật, phƣơng pháp khác nhau để giải quyết các phƣơng trình trên. Các phƣơng pháp đƣợc thay đổi theo các thời kì khác nhau. Phƣơng pháp đầu tiên đƣợc đề cập đến là phƣơng pháp Arc – length tuyến tính (Linearized arc-length method) đƣợc đƣa ra bởi Riks và Wempner dựa vào phƣơng pháp điều khiển chuyển vị của Baltoz and Dhatt (1979), phƣơng pháp đƣợc trình bày hình 11.1) với thay đổi chuyển vị trong đó 2 vector giao tuyến chuyển vị δd và δdT đƣợc xác định: (1.7) Sau đó ta thay đổi mức tải và chuyển vị: và (1.8) [Trang 23] Giải thuật Điểm bắt đầu i=0 với chuyển vị d0, mức tải λ0, Bƣớc 1: Xác định bƣớc chuyển vị δd theo (1.9) Bƣớc 2: Tính toán bƣớc chuyển vị và bƣớc tải (1.11) √( ) Bƣớc 3: Tính toán vector chuyển vị và vector mức tải theo (1.12) Bƣớc 4: Tính toán điểm giao tuyến: (1.13) Lặp lại các bƣớc 1 - 4 với tăng tải và đến khi nào a tiến dần về 0. Phƣơng pháp Cầu Arc – length (Spherical arc-length method) Một phƣơng pháp khác để giải quyết phƣơng trình (1.4) là phƣơng pháp cầu Arc – length đƣợc Crisfield đƣa ra.

Phƣơng trình (1.3) không chỉ đƣợc thỏa mãn thông qua quá trình lặp mà còn hội tụ nhƣ trong phƣơng pháp tuyến tính Arc – length. Để đạt đƣợc điều đó, phƣơng pháp đƣợc thêm vào vùng: (1.14) Trong đó δλ là đại lƣơng chƣa biết cần phải xác định. Khi đó phƣơng trình đƣợc mở rộng: (1.15) [Trang 24] Để đơn giản phƣơng trình ta đặt một số hệ số: (1.17) { ( )( ) Sau khi tính toán δλ từ (1.16) ta có thể giải phƣơng trình (1.14) sau đó thay đổi mức tải ở (1. Bất lợi lớn nhất của phƣơng pháp so với phƣơng pháp tuyến tính Arc-length là tăng lƣợng tính toán để giải quyết phƣơng trình cầu sau đó chọn sai số cho phƣơng trình cân bằng (1.

- 1 giao điểm hay 1 nghiệm (δλ1in) hay c1 rất nhỏ hoặc bằng 0. - Không có giao điểm hay phƣơng trình vô nghiệm. Để xác định sai số Crisfield đƣa ra: Trƣờng hợp 2 giao điểm: Nếu có 2 giao điểm thì phải tính toán cả 2 trƣờng hợp (phù hợp với δλ1) và (phù hợp với δλ2). Sai số phù hợp sẽ là hƣớng tăng tải gần nhất với chuyển vị cũ [Trang 26] ∆di.

Để so sánh ta cần tìm gốc nhỏ nhất giữa và ∆di hay giá trị lớn nhất của cosin góc xen giữa sử dụng: (1.18) Để đơn giản ta đặt các hệ số tỉ lệ c4 và c5: (1.21) Hay, nếu chọn δλ1 khi (1.