Chương 1 TỔNG QUAN Chương này trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực phân tích dao động kết cấu dầm, tấm FGM và dầm, tấm sandwich FGM. Các kết quả và phương pháp nghiên cứu liên quan tới dao động của dầm, tấm sandwich FGM với cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài kết cấu được chú trọng thảo luận chi tiết. Các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong nước liên quan tới dao động của dầm, tấm FGM được trình bày ở cuối chương. Trên cơ sở phân tích các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước, cuối chương đưa ra định hướng nghiên cứu cho luận án.
Vật liệu có cơ tính biến thiên Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản thuộc Đại học Tohoku (thành phố Sendai) khởi tạo lần đầu tiên vào năm 1984 với mục đích ban đầu làm vật liệu cách nhiệt dùng trong công nghiệp hàng không vũ trụ [1]. FGM là loại vật liệu composite thế hệ mới, được tạo từ hai hay nhiều thành phần, thông thường là gốm và kim loại, trong đó tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc nhiều hướng không gian. Với sự thay đổi liên tục, trơn của tính chất cơ-lý theo tọa độ không gian, FGM khắc phục được các nhược điểm cố hữu của vật liệu composite truyền thống như sự tập trung ứng suất, tách lớp. Với ưu điểm này, FGM ngày càng được sử dụng rộng rãi để chế tạo các phần tử kết cấu dùng trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau, đặc biệt trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, có sự ăn mòn của a-xit [2, 3].
Như minh họa trên Hình 1.1, FGM ngày nay được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các ngành công nghiệp, từ hàng không, vũ trụ, dân dụng, năng lượng nguyên tử, quốc phòng và thậm chí cả trong y học. Tùy thuộc vào quy luật thay đổi tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần, FGM có thể được phân ra làm các dạng khác nhau. Dạng phổ biến và được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất là FGM với quy luật hàm số lũy thừa (Power-law Functionally Graded Material, P-FGM ). Chẳng hạn dầm FGM hai pha (pha gốm và pha kim loại) với tỷ phần thể tích của pha gốm (Vc ) và pha kim loại (Vm ) thay đổi theo chiều cao theo hàm số lũy thừa như sau n z 1 Vc = + , Vm = 1 −Vc (1.1) h 2 trong đó h là chiều dày dầm; z là tọa độ theo chiều dày, tính từ mặt giữa; n - chỉ số mũ, 6 7 Hình 1.1: Một số ứng dụng điển hình của FGM không âm, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần.
Kết cấu FGM với tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần thay đổi theo chiều dày như (1.1) thường được sử dụng cho kết cấu làm việc trong môi trường nhiệt độ cao, trong đó mặt giàu gốm (ceramic rich surface), z = h/2, có khả năng kháng nhiệt tốt, được thiết kế tiếp xúc với môi trường có nhiệt độ cao. Các tính chất hiệu dụng (effective properties) của FGM được đánh giá trên cơ sở mô hình đồng nhất hóa vật liệu lựa chọn. Mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka là hai mô hình phổ biến nhất thường được sử dụng để đánh giá cho FGM hai pha. Mô hình Voigt là mô hình đơn giản nhất, trong đó tính chất hiệu dụng (P f ) (chẳng hạn mô-đun đàn hồi, mật độ khối.
) của FGM được tính bởi P f (z) = PcVc (z) + PmVm (z) (1.2) Thế phương trình (1.1) vào phương trình (1.2) ta được z 1 n P f (z) = (Pc − Pm ) + + Pm (1.3) h 2 Mô-đun đàn hồi hiệu dụng (E f ) và hệ số Poisson (ν f ) tính theo mô hình Mori- Tanaka [4] cho bởi 9K f G f 3K f − 2G f Ef = , νf = (1.4) 3K f + G f 6K f + 2G f trong đó K f và G f tương ứng là các mô-đun khối và mô-đun trượt hiệu dụng. Các mô- đun này được tính từ các hệ số đàn hồi và tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần 8 như sau K f − Km Vc = Kc − Km 1 +Vm (Kc − Km )/(Km + 4Gm /3) (1.5) G f − Gm Vc = Gc − Gm 1 +Vm (Gc − Gm )/[Gm + Gm (9Km + 8Gm )/(6Km + 12Gm )] Trong phương trình (1.5), Kc , Km , Gc , Gm tương ứng là các mô-đun khối và mô-đun trượt của pha gốm và pha kim loại. Cần lưu ý rằng mô hình Mori-Tanaka chỉ cho phép ta xác định các mô-đun đàn hồi hiệu dụng còn mật độ khối (ρ ) vẫn tính theo công thức (1.3) của mô hình Voigt. Ngoài mô hình Voigt và Mori-Tanaka còn có một số mô hình khác như mô hình Kerner, Hashin–Shtrikman, Tamura-Tomota-Ozawa.
cũng được sử dụng để đánh giá các tính chất hiệu dụng của kết cấu FGM. Ảnh hưởng của các mô hình đồng nhất hóa vật liệu tới ứng xử cơ học của dầm, tấm FGM được nghiên cứu bởi Loja và đồng nghiệp [5], Srividhya và đồng nghiệp [6]. Các nghiên cứu này chỉ ra rằng tần số dao động riêng và độ võng của kết cấu dầm, tấm FGM ảnh hưởng rõ rệt bởi mô hình đồng nhất hóa. Bên cạnh FGM với quy luật lũy thừa (1.1), kết cấu FGM với quy luật hàm số mũ (Exponential Functionally Graded Material, E-FGM) và quy luật Sigmoid (Sigmoid Functionally Graded Material, S-FGM) cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu.
Tính chất hiệu dụng (P f ) của kết cấu E-FGM cho bởi [7, 8] Pc − 12 ln P (1− 2zh ) P f (z) = Pc e m (1.6) Mặt dưới của kết cấu (z = −h/2) theo quy luật hàm số mũ (1.6) cũng hoàn toàn là kim loại, trong khi mặt trên (z = h/2) hoàn toàn là gốm. Tính chất hiệu dụng của kết cấu S-FGM sử dụng hai hàm số lũy thừa như sau [9] 1 2z h 1− 1− với 0 ≤ z ≤ 2 h 2 P f (z) = (1.7) 1 2z h 1− với − ≤ z ≤ 0 2 h 2 Phần lớn các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu FGM tập trung vào sự phân bố của vật liệu thành phần tuân theo hàm lũy thừa nên luận án này chỉ quan tâm tới kết cấu P-FGM. Kết cấu E-FGM và S-FGM sẽ không được quan tâm nghiên cứu trong luận án này. Dao động tự do của dầm FGM Trên cơ sở sự phân bố của vật liệu thành phần, dầm FGM có thể phân làm các loại khác nhau: dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang (Transverse FGM beams), dầm FGM 9 có cơ tính biến đổi dọc (Axially FGM beams) và dầm có cơ tính biến dổi theo cả chiều cao và chiều dài (dầm 2D-FGM).2 minh họa ba loại dầm FGM được quan tâm nghiên cứu trong các bài toán dao động tự do.
Dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang Dầm FGM với cơ tính biến đổi ngang (transverse FGM beams) tức là các tính chất cơ học của dầm biến đổi theo chiều cao dầm theo một quy luật nào đó, như minh họa trên Hình 1.2 (a), được quan tâm nghiên cứu nhiều hơn cả. Tần số dao động của dầm này được một số tác giả tính toán bằng phương pháp giải tích. Aydogdu và Taskin [7] nghiên cứu dao động tự do của dầm P-FGM và dầm E-FGM với tính chất cơ-lý thay đổi theo chiều cao dầm. Phương trình chuyển động cho dầm được xây dựng trên cơ sở lý thuyết dầm cổ điển và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao.
Các tác giả sử dụng nghiệm dạng Navier để thu nhận tần số và mốt dao động của dầm FGM với biên tựa giản đơn. Sina và cộng sự [10] đề nghị lý thuyết biến dạng trượt mới, khác với lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất truyền thống, để xây dựng phương trình chuyển động và lời giải giải tích cho bài toán dao động tự do của dầm P-FGM. Trong [11], Li sử dụng phương pháp giải tích trong phân tích dao động tự do và sự lan truyền sóng trong dầm FGM với tính chất vật liệu thay đổi tùy ý theo chiều cao dầm. Phương pháp không gian trạng thái (state space method) được Ying và cộng sự [12] dùng để thu nhận nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng cho bài toán dao động tự do và bài toán uốn của dầm P-FGM nằm trên nền đàn hồi hai tham số.
Mô hình dầm thứ bậc (hierarchical beam model) được Giunta và đồng nghiệp [13] sử dụng để mô tả trường chuyển vị cho bài toán dao động tự do của dầm P-FGM. Tần số dao động riêng của dầm cũng được các tác giả tính toán trên cơ sở phương pháp giải tích. Phương pháp ma trận độ cứng động học được Su và Banerjee [14] sử dụng để nghiên cứu dao động tự do của dầm Timoshenko P-FGM. Phương pháp này cho phép xác định tần số dao động riêng của dầm chỉ bằng một phần tử.
Một số lý thuyết biến dạng trượt cải tiến dùng cho phân tích dầm FGM đã được đề xuất trong những năm gần đây. Để tránh việc sử dụng hệ số điều chỉnh trượt, Thai và Vo [15] đề nghị lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, trong đó ứng suất trượt triệt tiêu tại các bề mặt dầm. Kết quả số trong phân tích uốn và dao động tự do của dầm P-FGM cho thấy lý thuyết đề xuất cho kết quả rất sát với kết quả sử dụng các lý thuyết biến dạng trượt có trước. Larbi và cộng sự [16] đề xuất lý thuyết biến dạng trượt cho phân tích uốn và dao động tự do của dầm FGM, trong đó chuyển vị dọc trục được giả định phân bố với quy luật hypebôlic theo chiều cao dầm.
Vị trí trục trung hòa của dầm được xét tới trong lý thuyết đề xuất, vì thế giúp loại bỏ các số hạng tương hỗ trong các phương trình vi phân cân bằng và chuyển động của dầm. Lý thuyết biến dạng trượt với trường chuyển vị dạng 10 Hình 1.2: Dầm FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao (a); Cơ tính biến đổi theo chiều dài (b); Cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và dài (c). đa thức được Pradhan và Chakraverty [17] đề xuất cho nghiên cứu dao động tự do của dầm P-FGM. Ứng suất trượt trong lý thuyết đề xuất thỏa mãn điều kiện tự do ứng suất trên các mặt của dầm.
Ảnh hưởng của một số lý thuyết biến dạng trượt khác nhau tới tần số dao động riêng của dầm P-FGM được Pradhan và Chakraverty nghiên cứu trong [18].