Vật Chất Tối Và Khối Lượng Neutrino Trong Mô Hình 3-4-1-1

Tài liệu nghiên cứu Vật chất tối và khối lượng neutrino trong mô hình 3 4 1 1, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về .

• Người hướng dẫn: GS.
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
• Đề tài: Vật Chất Tối Và Khối Lượng Neutrino Trong Mô Hình 3-4-1-1
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Giới thiệu về mô hình chuẩn
• 1.2. Tổng quan về SM
• 1.3. Đối xứng chuẩn
• 1.4. Sắp xếp các hạt
• 1.5. Thế vô hướng và Cơ chế Higgs
• 1.6. Khối lượng của các fermion trong SM
• 1.7. Khối lượng của các boson chuẩn - Tương tác của các boson chuẩn
• 1.8. Dòng trung hoà
• 1.9. Kết luận chương 1
• 2. CHƯƠNG 2: CÁC THÀNH PHẦN DM TRONG LÝ THUYẾT KHÔNG GIAO HOÁN B − L
• 2.1. Lý thuyết không giao hoán (B − L)
• 2.2. Mô hình DM đa thành phần tối thiểu tổng quát
• 2.3. Nghiên cứu DM trong mô hình 3 − 4 − 1 − 1 với p = q = 0
• 2.4. Hạt vô hướng và hạt boson chuẩn
• 2.5. Hiện tượng luận DM nhiều thành phần
• 2.6. Kịch bản hai thành phần DM là hạt fermion
• 2.7. Kịch bản hai thành phần DM là hạt vô hướng
• 2.8. Kịch bản DM với 1 fermion và 1 vô hướng
• 2.9. Kết luận chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: ẢNH HƯỞNG CỦA SỐ HẠNG TRỘN ĐỘNG NĂNG TỚI MỘT SỐ HIỆU ỨNG VẬT LÝ TRONG MÔ HÌNH 3−4−1−1
• 3.1. Ảnh hưởng của tham số trộn động năng tới phổ khối lượng của các trường chuẩn
• 3.2. Cơ sở hình thành số hạng trộn động năng
• 3.3. Khối lượng các boson
• 3.4. Tham số ρ trong mô hình 3 − 4 − 1 − 1
• 3.5. Ảnh hưởng của tham số trộn động năng tới tương tác của các boson Z1 với các fermion
• 3.6. Dao động của các meson trong mô hình 3 − 4 − 1 − 1
• 3.7. Vật lý tại máy gia tốc
• 3.8. Kết luận chương 3
• KẾT LUẬN CHUNG
• NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Vật Chất Tối và Khối Lượng Neutrino

Nghiên cứu về vật chất tối (DM) và khối lượng neutrino là hai trong số những vấn đề nổi bật nhất trong vật lý hạt cơ bản và vũ trụ học hiện đại. Mô hình chuẩn (SM) và mô hình chuẩn của vũ trụ (SMC) dù thành công, vẫn không thể giải thích được các hiện tượng như dao động neutrino và sự tồn tại của vật chất tối. Các nhà khoa học đã và đang nỗ lực mở rộng SM để giải quyết những vấn đề này, một trong số đó là mô hình 3-4-1-1. Luận án này tập trung vào việc khám phá các thành phần DM và cơ chế tạo khối lượng neutrino trong khuôn khổ mô hình 3-4-1-1, một hướng đi đầy hứa hẹn để giải quyết những bí ẩn của vũ trụ. Nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc làm sáng tỏ bản chất của vật chất tối và vai trò của neutrino trong cấu trúc vũ trụ.

1.1. Giới Thiệu Mô Hình Chuẩn và Những Hạn Chế Hiện Tại

Mô hình chuẩn (SM) là lý thuyết thành công nhất trong việc mô tả các tương tác mạnh và điện yếu. Tuy nhiên, SM không thể giải thích được khối lượng neutrino và sự tồn tại của vật chất tối. Thực nghiệm về dao động neutrino cho thấy neutrino có khối lượng, điều mà SM không dự đoán được. Tương tự, các quan sát vũ trụ học cho thấy sự tồn tại của vật chất tối, một loại vật chất không tương tác điện từ và chiếm phần lớn khối lượng của vũ trụ. Những hạn chế này thúc đẩy các nhà vật lý tìm kiếm các mô hình mở rộng SM, như mô hình 3-4-1-1, để giải thích những hiện tượng chưa được giải thích.

1.2. Vai Trò Của Vật Chất Tối Trong Cấu Trúc Vũ Trụ

Vật chất tối (DM) đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và duy trì cấu trúc của vũ trụ. DM chiếm khoảng 26.8% tổng năng lượng của vũ trụ, nhiều hơn đáng kể so với vật chất thông thường (khoảng 5%). DM không tương tác điện từ, do đó không thể quan sát trực tiếp bằng các phương pháp thông thường. Tuy nhiên, sự tồn tại của DM có thể được suy luận từ các hiệu ứng hấp dẫn của nó lên vật chất thông thường và ánh sáng. DM được cho là đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành các thiên hà và cụm thiên hà, cũng như ảnh hưởng đến sự phân bố của vật chất trong vũ trụ.

II. Thách Thức Giải Thích Khối Lượng Neutrino và Vật Chất Tối

Việc giải thích khối lượng neutrino và bản chất của vật chất tối (DM) là những thách thức lớn đối với vật lý hiện đại. Trong mô hình chuẩn (SM), neutrino được coi là không có khối lượng, điều này mâu thuẫn với các kết quả thực nghiệm về dao động neutrino. Tương tự, SM không cung cấp ứng cử viên phù hợp cho DM. Các mô hình mở rộng SM, như mô hình 3-4-1-1, cố gắng giải quyết những thách thức này bằng cách đưa ra các hạt mới và các cơ chế tương tác mới. Tuy nhiên, việc xây dựng các mô hình này đòi hỏi phải đối mặt với nhiều khó khăn, bao gồm việc đảm bảo tính nhất quán lý thuyết và phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm hiện có.

2.1. Cơ Chế Seesaw và Các Mô Hình Tạo Khối Lượng Neutrino

Cơ chế seesaw là một trong những cơ chế phổ biến nhất để giải thích khối lượng nhỏ của neutrino. Cơ chế này dựa trên việc đưa vào các neutrino phân cực phải, có khối lượng lớn. Sự trộn lẫn giữa các neutrino phân cực trái và phải dẫn đến việc tạo ra các neutrino nhẹ, có khối lượng phù hợp với các kết quả thực nghiệm. Có nhiều biến thể của cơ chế seesaw, bao gồm seesaw loại I, loại II và loại III. Mỗi loại có những đặc điểm riêng và dự đoán khác nhau về các tính chất của neutrino.

2.2. Các Ứng Cử Viên Vật Chất Tối và Tính Bền Vững Của Chúng

Có nhiều ứng cử viên cho vật chất tối (DM), bao gồm các hạt WIMP (Weakly Interacting Massive Particles), axion và neutrino vô trùng. Các hạt WIMP là những hạt có khối lượng lớn và tương tác yếu với vật chất thông thường. Axion là những hạt giả vô hướng, được dự đoán trong một số mô hình mở rộng SM. Neutrino vô trùng là những neutrino không tương tác với các hạt khác thông qua các tương tác yếu. Một yêu cầu quan trọng đối với các ứng cử viên DM là chúng phải đủ bền để tồn tại trong vũ trụ ngày nay. Điều này đòi hỏi phải có một cơ chế bảo vệ chúng khỏi sự phân rã.

III. Nghiên Cứu DM Trong Mô Hình 3 4 1 1 Với p q 0

Luận án này tập trung vào việc nghiên cứu vật chất tối (DM) trong mô hình 3-4-1-1 với các tham số p = q = 0. Mô hình này là một mở rộng của mô hình chuẩn (SM), bổ sung thêm các nhóm đối xứng mới và các hạt mới. Việc lựa chọn p = q = 0 đơn giản hóa mô hình và cho phép tập trung vào các khía cạnh quan trọng nhất của DM. Nghiên cứu này khám phá các ứng cử viên DM tiềm năng trong mô hình này, cũng như các tương tác của chúng với vật chất thông thường. Mục tiêu là tìm ra một ứng cử viên DM phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm hiện có và có thể giải thích được các quan sát vũ trụ học.

3.1. Hạt Vô Hướng và Hạt Boson Chuẩn Trong Mô Hình 3 4 1 1

Mô hình 3-4-1-1 chứa nhiều hạt vô hướng và hạt boson chuẩn mới, ngoài các hạt đã biết trong mô hình chuẩn (SM). Các hạt này có thể đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra khối lượng cho các hạt khác và trong các tương tác của DM. Nghiên cứu này xem xét các tính chất của các hạt vô hướng và boson chuẩn trong mô hình 3-4-1-1, cũng như vai trò của chúng trong việc tạo ra các ứng cử viên DM tiềm năng.

3.2. Hiện Tượng Luận DM Nhiều Thành Phần Trong Mô Hình 3 4 1 1

Một khả năng thú vị là DM có thể bao gồm nhiều thành phần khác nhau, mỗi thành phần đóng góp một phần vào tổng mật độ DM của vũ trụ. Nghiên cứu này khám phá các kịch bản DM nhiều thành phần trong mô hình 3-4-1-1, trong đó DM bao gồm các hạt fermion và hạt vô hướng. Các kịch bản này có thể dẫn đến các hiện tượng vật lý mới và có thể được kiểm tra bằng các thí nghiệm tìm kiếm DM trực tiếp và gián tiếp.

3.3. Kịch Bản DM Với 1 Fermion và 1 Vô Hướng

Một kịch bản cụ thể được nghiên cứu là DM bao gồm một hạt fermion và một hạt vô hướng. Nghiên cứu này xem xét các tương tác giữa hai hạt này, cũng như các tương tác của chúng với vật chất thông thường. Mục tiêu là tìm ra các giá trị tham số của mô hình sao cho DM có mật độ phù hợp với các quan sát vũ trụ học và không mâu thuẫn với các giới hạn thực nghiệm hiện có.

IV. Ảnh Hưởng Số Hạng Trộn Động Năng Tới Hiệu Ứng Vật Lý

Số hạng trộn động năng có thể ảnh hưởng đáng kể đến các hiệu ứng vật lý trong mô hình 3-4-1-1. Nghiên cứu này xem xét ảnh hưởng của tham số trộn động năng tới phổ khối lượng của các trường chuẩn, tương tác của các boson Z1 với các fermion, và dao động của các meson. Mục tiêu là hiểu rõ hơn về vai trò của số hạng trộn động năng trong mô hình 3-4-1-1 và các hệ quả của nó đối với các thí nghiệm vật lý.

4.1. Ảnh Hưởng Tham Số Trộn Động Năng Tới Phổ Khối Lượng

Tham số trộn động năng có thể làm thay đổi phổ khối lượng của các trường chuẩn trong mô hình 3-4-1-1. Điều này có thể ảnh hưởng đến các tương tác của các hạt này với các hạt khác, cũng như đến các quá trình phân rã của chúng. Nghiên cứu này tính toán ảnh hưởng của tham số trộn động năng tới phổ khối lượng của các trường chuẩn và xem xét các hệ quả của nó đối với các thí nghiệm vật lý.

4.2. Tương Tác Boson Z1 Với Fermion và Dao Động Meson

Tham số trộn động năng có thể ảnh hưởng đến tương tác của các boson Z1 với các fermion, cũng như đến dao động của các meson. Điều này có thể dẫn đến các hiệu ứng mới có thể được quan sát trong các thí nghiệm vật lý. Nghiên cứu này xem xét ảnh hưởng của tham số trộn động năng tới các tương tác này và xem xét các hệ quả của nó đối với các thí nghiệm vật lý.

V. Ứng Dụng Thực Tiễn và Kết Quả Nghiên Cứu Vật Chất Tối

Nghiên cứu về vật chất tối (DM) và khối lượng neutrino trong mô hình 3-4-1-1 có nhiều ứng dụng thực tiễn, bao gồm việc giải thích các quan sát vũ trụ học, dự đoán các hiệu ứng mới có thể được quan sát trong các thí nghiệm vật lý, và phát triển các công nghệ mới. Kết quả nghiên cứu này có thể giúp chúng ta hiểu rõ hơn về bản chất của vũ trụ và các quy luật vật lý chi phối nó.

5.1. Kiểm Tra Mô Hình 3 4 1 1 Tại Máy Gia Tốc Năng Lượng Cao

Mô hình 3-4-1-1 có thể được kiểm tra tại các máy gia tốc năng lượng cao, như LHC. Các thí nghiệm tại LHC có thể tìm kiếm các hạt mới được dự đoán bởi mô hình này, cũng như đo lường các tương tác của chúng với các hạt đã biết. Kết quả của các thí nghiệm này có thể giúp xác nhận hoặc bác bỏ mô hình 3-4-1-1.

5.2. Tìm Kiếm DM Trực Tiếp và Gián Tiếp Từ Mô Hình 3 4 1 1

Các thí nghiệm tìm kiếm DM trực tiếp và gián tiếp có thể cung cấp thông tin quan trọng về bản chất của DM. Các thí nghiệm tìm kiếm DM trực tiếp cố gắng phát hiện các tương tác của DM với vật chất thông thường. Các thí nghiệm tìm kiếm DM gián tiếp tìm kiếm các sản phẩm phân rã của DM, như photon và neutrino.

VI. Kết Luận và Tương Lai Nghiên Cứu Vật Chất Tối Neutrino

Nghiên cứu về vật chất tối (DM) và khối lượng neutrino trong mô hình 3-4-1-1 là một lĩnh vực đầy hứa hẹn, có thể giúp chúng ta giải quyết những bí ẩn lớn nhất của vũ trụ. Luận án này đã khám phá các ứng cử viên DM tiềm năng trong mô hình này, cũng như các tương tác của chúng với vật chất thông thường. Kết quả nghiên cứu này có thể cung cấp thông tin quan trọng cho các thí nghiệm tìm kiếm DM trong tương lai.

6.1. Những Đóng Góp Mới Của Luận Án Về Mô Hình 3 4 1 1

Luận án này đã đóng góp những kiến thức mới về mô hình 3-4-1-1, bao gồm việc xác định các ứng cử viên DM tiềm năng, nghiên cứu các tương tác của chúng với vật chất thông thường, và xem xét ảnh hưởng của số hạng trộn động năng tới các hiệu ứng vật lý.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về DM và Neutrino Trong Vật Lý

Nghiên cứu về DM và neutrino là một lĩnh vực đang phát triển nhanh chóng, với nhiều câu hỏi chưa được trả lời. Các hướng nghiên cứu tương lai bao gồm việc tìm kiếm các ứng cử viên DM mới, phát triển các thí nghiệm tìm kiếm DM nhạy hơn, và nghiên cứu các tính chất của neutrino.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1: Giới thiệu tổng quan về SM, ưu nhược điểm của SM. • Trong chương 2: Giới thiệu về lý thuyết không giao hoán (B − L), DM nhiều thành phần trong lý thuyết không giao hoán (B − L). • Trong chương 3: Nghiên cứu mô hình 3 − 4 − 1 − 1 tối thiểu về hiệu ứng trộn động năng. GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH CHUẨN 1.

Tổng quan về SM 1. Đối xứng chuẩn SM mô tả tương tác mạnh, tương tác điện từ và tương tác yếu dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y gọi tắt là nhóm (3 − 2 − 1) [48–52]. Trong đó, SU (3)C không bị phá vỡ, là nhóm đối xứng màu mô tả tương tác mạnh, tác động lên các hạt quark mang tích màu thông qua tám hạt boson chuẩn không khối lượng tương ứng với tám vi tử của nhóm SU (3)C , gọi là các gluon (Ga , với a = 1. Còn SU (2)L × U (1)Y thống nhất tương tác điện yếu, tác động lên các fermion (bao gồm quark và lepton - thành phần chính cấu tạo nên Vũ trụ), thông qua bốn boson chuẩn tương ứng với các vi tử của nhóm SU (2)L × U (1)Y là các hạt truyền tương tác điện từ là photon (không khối lượng) và ba hạt boson chuẩn có khối lượng W ± , Z truyền tương tác yếu.

Sắp xếp các hạt Trong SM, các fermion phân cực trái biến đổi lưỡng tuyến dưới nhóm SU (2)L , các fermion phân cực phải biến đổi đơn tuyến dưới nhóm SU (2)L , toán tử điện tích Q = T3 + Y /2, với T3 là vi tử chéo của nhóm SU (2)L , Y là siêu tích yếu: với đơn tuyến siêu tích yếu bằng 2 lần điện tích: Y = 2Q, đối với lưỡng tuyến siêu tích yếu bằng điện tích: Y = Q. Như vậy, các fermion gồm các lepton và các quark được sắp xếp dưới biến đổi chuẩn như sau: 10   νaL ψaL =   ∼ (1, 2, −1), eaL eaR ∼ (1, 1, −2) .1)   uaL    ∼ 3, 2, 1 QaL =  , daL 3     4 2 uaR ∼ 3, 1, , daR ∼ 3, 1, − , (1.2) 3 3 trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ. Trong SM, số hạng khối lượng của fermion không bất biến dưới nhóm đối xứng chuẩn vì sự biến đổi khác nhau giữa các fermion phân cực trái và phân cực phải. Các boson chuẩn do chúng biến đổi như là một biểu diễn phó dưới phép biến đổi chuẩn nên số hạng khối lượng của chúng cũng không bất biến chuẩn.

Do vậy, người ta đưa vào lưỡng tuyến Higgs phá vỡ đối xứng tự phát để sinh khối lượng cho các fermion và các lepton trong mô hình. Lưỡng tuyến Higgs được ký hiệu là φ và biến đổi dưới nhóm đối xứng chuẩn như sau:   + ϕ φ=  ∼ (1, 2, 1). Lagrangian Với cấu trúc hạt trong SM được trình bày ở trên, Lagrangian tái chuẩn hóa tổng quát nhất có dạng như sau: L = Lkin + LY uk + Vφ + Lgf + LF P G , (1.4) trong đó, Lkin không chỉ chứa số hạng động năng của các trường mà còn chứa các số hạng tương tác giữa các trường và các hạt boson chuẩn. Số hạng động năng của trường Higgs, sau khi phá vỡ đối xứng còn đưa ra phổ khối lượng của trường chuẩn.

LY uk mô tả tương tác của các quark và các lepton mang điện với trường vô hướng Higgs. Sau khi phá vỡ đối xứng, số hạng này chứa 11 số hạng khối lượng của các hạt fermion. Vφ là thế vô hướng của trường Higgs. 1 Lagrangian cố định chuẩn Lgf cho số hạng cố định chuẩn dạng 2ξ (∂ µ Aµ )2 và các số hạng trộn lẫn giữa các trường chuẩn với các Goldstone.

Trong LF P G có các số hạng "dạng khối lượng", số hạng trường ma. Thế vô hướng và Cơ chế Higgs Thế Higgs bất biến dưới phép biến đổi chuẩn và tái chuẩn hoá được của trường vô hướng (1.3) có dạng như sau: λ † 2 V (φ) = −µ2 φ† φ + (φ φ) .5) 4 Khai triển trường Higgs xung quanh r các trị trung bình chân không µ2 (VEVs) ta có điều kiện cực tiểu của thế: v = − , và điều kiện bền của cực λ tiểu đòi hỏi: µ2 < 0, λ > 0. Sau khi thay điều kiện cực tiểu vào thế Higgs, ta thu được hạt Higgs vật lý là h và hai hạt không khối lượng được đồng nhất là hạt Goldstone boson, GZ , GW ± , bị ăn bởi hạt boson chuẩn W ± và Z. Lưỡng tuyến φ khai triển theo trạng thái vật lý có dạng như sau:   + GW φ= .6) v+h+iG √ Z 2 Chúng tôi nhấn mạnh, thành phần thực h có khối lượng, gọi là Higgs boson, với khối lượng của h là: m2h = 2λv 2 .7) Thực nghiệm [1] đã xác định khối lượng của hạt h: mh = 125.

Khối lượng của các fermion trong SM Trong SM thì neutrino không có khối lượng là do mô hình chỉ đưa vào neutrino phân cực trái mà không có phân cực phải. Các lepton mang điện có khối lượng thông qua tương tác Yukawa. Khi xây dựng tương tác Yukawa 12 cần dựa trên hai điều kiện cơ bản là bất biến dưới phép biến đổi chuẩn và tái chuẩn hoá được. Với sự sắp xếp của các hạt như trên, tương tác Yukawa được viết: LY uk = Yije ψ̄L i φejR + Yijd Q̄iL φdjR + Yiju Q̄iL (iσ2 φ∗ )ujR + H.9) trong đó Yije,d,u là các phần tử của ma trận (3 × 3) gọi là hằng số tương tác Yukawa.

Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, thu được các ma trận khối lượng trộn giữa các lepton mang điện, các quark loại u và các quark loại d như sau: v v v M e = − √ Y e, M u = − √ Y u, M d = − √ Y d.10) 2 2 2 Vì các hằng số Y e,u,d có dạng bất kỳ nên có thể dùng hai phép biến đổi unitary để đưa chúng về dạng chéo: † Y e → Ŷe = UeL Y e UeR , † Y u → Ŷu = VuL Y u VuR , † Y d → Ŷd = VdL Y d VdR , (1.11) Khi chuyển cơ sở để thu được Y e,u,d về dạng chéo và thực như sau: Ŷ e = diag(ye , yµ , yτ ), Ŷ u = diag(yu , yc , yt ), Ŷ d = diag(yd , ys , yb ).12) Các trạng thái vật lý trong cơ sở có các hằng số tương tác Yukawa có dạng chéo được ký hiệu như sau:       ν ν ν  eL  ,  µL  ,  τ L  ; eR , µR , τR .13) eL µL τL       udL usL ubL  , , ; dR , sR , bR .14) dL sL bL 13       udL cL tL  , , ; uR , cR , tR .15) dL dcL dtL † Chú ý rằng, ma trận V = VuL VdL là đại lượng vật lý và có vai trò quan trọng trong tương tác của dòng mang điện. Đặc biệt, tương tác Yukawa là nguồn gây ra vi phạm đối xứng CP. Sau khi chéo hoá các ma trận khối lượng, thu được khối lượng vật lý của các lepton mang điện và các quark như sau: ye v yµ v yτ v me = √ , mµ = √ , mτ = √ , (1.16) 2 2 2 yu v yc v yt v mu = √ , mc = √ , mt = √ , (1.17) 2 2 2 yd v ys v yb v md = √ , ms = √ , mb = √ , (1.19) Như vậy, tất cả các hạt fermion mang điện nhận được khối lượng Dirac sau khi phá vỡ đối xứng tự phát. Tuy nhiên, Các neutrino không khối lượng.

Như vậy, trong SM neutrino có khối lượng bằng không. Khối lượng của các boson chuẩn - Tương tác của các boson chuẩn Số hạng động năng của trường Higgs sinh khối lượng cho các hạt boson chuẩn sau khi đối xứng bị phá vỡ tự phát. Các số hạng động năng khác sẽ tạo ra tương tác của boson chuẩn với các hạt vật lý và số hạng tự tương tác của các hạt boson chuẩn. Trong SM, các boson chuẩn biến đổi dưới nhóm chuẩn như sau: Gµa ∼ (8, 1, 0), Waµ ∼ (1, 3, 0), B µ ∼ (1, 1, 0) a = 1, 2, 3.20) Số hạng động năng của tất cả các trường trong SM có dạng như sau: 1 1 + −µν 1 Lkin = − Gµνa Gµνa − Wµν W − Bµν B µν 4 2 4 14 −iQ̄aL γ µ Dµ QaL − iψ̄aL γ µ Dµ ψaL − iēaR γ µ Dµ eaR −iūaR γ µ Dµ uaR − id¯aR γ µ Dµ daR − (Dµ φ)+ (Dµ φ).21) Gµν , Waµν , B µν lần lượt là tensor cường độ trường của nhóm SU (3)c , SU (2)L , U (1)Y , cụ thể: Gµν a = ∂ µ Gνa − ∂ ν Gµa − gs fabc Gµb Gνc , Waµν = ∂ µ Waν − ∂ ν Waµ − gabc Wbµ Wcν , B µν = ∂µBν − ∂ν Bµ, (1.22) ở đây, fabc , abc là hằng số cấu trúc của các nhóm SU (3), SU (2).

Đạo hàm hiệp biến của các trường vô hướng và fermion được viết: Dµ ψ = (∂µ + igTa Wµa − ig 0 Bµ )ψ, Dµ eaR = (∂µ − 2ig 0 Bµ )eaR ,   a a 01 Dµ QaL = ∂µ + igs La Gµ + igTa Wµ + ig Bµ QaL , 3 4 Dµ uaR = (∂µ + igs La Gaµ + ig 0 Bµ )uaR , 3 2 Dµ daR = (∂µ + igs La Gaµ − ig 0 Bµ )udR , (1. Đối với biểu diễn đơn tuyến thì La = 0, với biểu diễn tam tuyến thì La = 21 λa , (λa là các ma trận Gell-Mann). Ta là các vi tử của nhóm SU (2)L. Đối với biểu diễn đơn tuyến thì Ta = 0, với biểu diễn lưỡng tuyến thì Ta = 12 σa (σa là các ma trận Pauli).

Y là siêu tích yếu của các trường. gs , g, g 0 lần lượt là các hằng số tương tác của các nhóm chuẩn SU (3)C , SU (2)L và U (1)Y và Gaµ , Wµa , Bµ là các trường chuẩn tương ứng. Phổ khối lượng của các hạt boson chuẩn được xác định từ số hạng đạo hàm hiệp biến của lưỡng tuyến vô hướng Higgs sau khi thay trường Higgs bằng trị trung bình chân không. Cụ thể: Lgauge−mass = (Dµ < φ >)+ (Dµ < φ >), (1.25) 15 Thay biểu thức (1.25) vào biểu thức (1.