lời mở đầu của ông: chỉ tính đẻn một đại lượng là chưa đủ trong hinh học). ~ Không định nghĩa phép toán trên các đối tượng hình học trong khi ong muốn sáng lập ra một hệ thống mới sao cho các đối tượng hình học không chỉ được biểu điển bằng ki hiệu mà còn phải chịu sự tac động của các phép toán đại số.2 Tính toán tâm ti cự của Mobius > August Ferdinant Mobius (1790 - 1866), nhà toán học người Đức không trực tiếp xây dựng nên lý thuyết vectơ nhưng những tính toán của ông chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử hình thành lý thuyết vectơ. Mô hình ong xây dựng giống hệ thống vectơ ngày nay trên nhiều phương diện. >» Tinh toán tâm tỉ cự 4 SỰ ĐỊNH HƯỚNG CÁC HÌNH TRONG KHÔNG GIAN © 1827: Quan hệ giữa các đoạn thắng cộng tuyển (cùng phương) i) Sự thay đổi về chiéu> Sự thay đổi vẻ dau: BA = -AB.Từ đó ông mở rộng quy tắc đâu cho phần mặt phẳng liên quan đến 1 tam giác: SVTH: Phạm Thị Tuyết 9 Luận văn tot nghiệp GVHD; TS.
Lé Thai Bảo Thiên Trung ABC= BUCA = CAB = - ACB = - BAC = - CBA. ii) Phép cộng các đoạn thẳng công tuyến. «13⁄3: Phép cộng, trừ các đoạn thẳng dény phing (không cộng tuyến) + PHÉP NHÂN HINH HỌC HAI DOAN THANG ( ! 362) © T.-h hình học: bằng tích vectơ ngày nay ve phương diện số nhưng không đồng nhất (nó là một hình bình hành định hướng chứ không phải là một đoạn thing định hướng ). ¢ Tích chiếu của hai đoạn thẳng định hướng (tương ứng với tích vô hướng ngày nay) > Phat minh cua Mobius là một giai đoạn quan trọng đối với sự phát sinh tính toản vectơ.
» Đóng góp của Mobius © Tính toán của Mobius đã chứa các phép toán trên các thực thể hình học; thực thể hình học ở đây vừa được xem xét trên phương diện số vừa được định hướng trong không gian © Tích định hướng lần đầu tiên được đề cập đến điểm quan trọng trong tính toán vectơ sau nảy, > Hạn chế: đôi chỗ mập mờ, thiếu căn cứ, thiểu chính xác do thiếu thói quen kết hợp cả độ dai và phương trong một đại lượng duy nhất.3 Tính toán tương đẳng của Bellavitis > Giusto Bellavitis (1803 - 1880), nhà toán học người Ý. > Tính toán các tương đẳng — Hai đoạn thing tương đẳng: song song, cùng hướng, có độ dai bằng nhau Ky hiệu là: ~ dé bicu diễn các đoạn thẳng tương đẳng cho phép viết các đẳng thức SVTH: Phạm Thị Tuy. : 10 Luận văn tốt nghiệp GVHD: 7%. Lẻ Thái Bảo Thiên Trung và phương trình theo cach tương đương với kiểu viết vecto ngày nay (định nghĩa vectơ theo lớp tương đương theo những đoạn thắng định hướng).
— Phép toán © Phép cộng hai hay nhiều đoạn thing (sử dụng quan hệ tương đăng) ¿ + các đoạn thẳng sao cho điểm đầu của mỗi đoạn trùng với điểm cuối của đoạn trước đó, tông là đoạn thằng tương đẳng với đoạn nối điểm đâu của đoạn đầu tiên với điểm cuối cia đoạn cudi cùng (quy tắc cộng tam giác). Tổng không thay đôi khi thay một đoạn thẳng bằng một đoạn tương đẳng với nó. © Tích của một đoạn voi một số > trong một phương trình tuyến tính đối với các đoạn có thé thực hiện những tính toán như với một phương trình đại số. © Độ nghiêng của indt đường xác định bởi góc do đường đó tạo nên với phương năm ngang tính từ trái sang phải (chỉ giới hạn trong mặt phẳng) > tích của hai đoạn (đồng phẳng) là một đoạn có độ nghiêng bằng tổng các độ nghiêng, chiều đài bằng tích các chiều dài.
> Mô hình của Bellavitis chứa nhiều yếu tô của lý thuyết vectơ hiện đại, các phép toán “+, .” trùng với các phép toán tương ứng trên các vectơ ngày nay. > Đóng góp của Pellavitis: Xây dựng một cấu trúc đại số trên các đối tượng hình học mà không cần bất cứ một trung gian đại số nào => đối tượng mà Bellavitis sử dụng mang bản chất hình học thuần túy đồng thời ông còn quan tâm xử lý các đối tượng hình học như các đối tượng đại số mang đến cho lý thuyết của ông một nét mới mang tầm cỡ lớn. > Hạn chế: Mở rộng ra không gian không thành công do không định nghĩa được tích của hai đại diện (trong không gian phương và hướng của một đoạn thẳng không phải được xác định bởi độ nghiêng của nó như trong mặt phẳng). Như vậy, lịch sử đã chỉ ra rằng, việc khái quát phép nhân trong mặt phẳng lên không gian ba ‹ hiểu là một van dé gai góc.
SVTH: Phạm Thị Tuyc: HI Luận van tot nghiệp GVHD; TS. Lê Thai Hảo Thiên Trung 2.2 Biéu điển hình học các số phức 2.1 M6 hình của Wessel Năm 1797, Caspar Wessel (1745 - 1818), mọt người chuyên vẽ bản dé người Nauy, đã bảo cáo nghiên cứu cua mình (với tựa dé On the Analytic Representation of Direction, An Attempt applied chiefly to solving plane and spherical polygons) trước Viện hàn lân: khoa học Dan Mach. Trong nghiên cứu nay, lần đầu tiên ông đưa ra biểu diễn của số phức. Mục dich của ông không chỉ dé chứng minh sự tồn tại của số phức mà còn để tìm cách biểu điển các phương khác nhau theo kiểu giải tích.
Vì ông nhận thấy rằng với trình độ của môn đại số hiện đại người ta chỉ có thể xem xét cùng một lúc những đường cùng phương với nhau. Với tham vọng là muốn xem xét nhiều phương cùng một lúc trong khi phương trong mặt phẳng thì có vô số. Ông tim cách mở rộng tính toán từ một phương cho trước ra một hay nhiều phương bat kỳ trong mặt phẳng. Ông đã định nghĩa phép cộng hai đường.
Và sau đó mở rộng ra phép cộng cho nhiều đường. Phép cộng này có tính chất kết hợp và giống hệt phép cộng hai vectơ như ngày nay. Phép cộng hai đường tuân theo nguyên tắc hình bình hành đã có từ cổ xưa và kết quả của nó là cả một họ các đường thẳng cùng phương. Có thể xem đây là quan niệm ngầm ẩn về tinh đại diện của vecto, Tiếp theo đó ông dinh nghĩa phép nhân giữa hai đường.
Với cách định nghĩa nay, trong trường hợp đặc biệt, hai đường thẳng vuông góc nhau tại O, ông quy ước hai đoạn thing đơn vị trên một đ::ờng thẳng về hai phía điểm O lần lược là +1 và -1, một đoạn thẳng đơn vị trên đường thing còn lại là ổ và -d thì 66 =-1. Từ đó ông nhận ra 5 = J-1. Và thé là vô tinh ông đã đưa ra lời giải thích hình học của J—1. Không dừng lại ở đó, ông còn nhận ra rằng mọi bán kính đường tròn đơn vị được biểu diễn ở dạng cosv+dsinv và mọi đoạn thẳng của mặt phẳng đều được biểu dién bằng r(cosv+dsinv) hay ø + ôb và có thể cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa hữu tỷ những biểu thức nay.
Va sau đó ông cố gắng mở rộng các kết quả này ra không gian, nhưng gặp thất bại ở phép nhân hai đường. SVTH: Phạm Thị Tuyết 12 Luận văn tốt nghiệp GVHD: 7%. Lé Thái Bảo Thiên Trung Tóm lại mục tiêu tính toán trên các đường thing đã bị thắt bại, song ông đã tìm được cách biểu điển hinh học các số phức. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng có hệ trục toa độ Descartes i3 : ip hợp các số phức.2 Mô hình của Argand Khác vớ: Wessel, Argand xuất phát từ đại số.
Mục tiéu của ông là đi tìm sự hop thức của các sỏ phức. Ông thấy rằng các số thực được biểu diễn trên một đường thing nhận điểm O làm gốc. Như vậy ông có liên tưởn, rằng có thể biểu diễn các số phức bằng các đường thẳng. Ông bắt đầu từ đẳng thức đại số x.x= -l(đẳng thức này xuất hiện trong khi giải phương trình bậc 3), ông cho rằng x không thé là số âm (hai số âm nhân với nhau ra kết quả là một số dương) và cũng không thẻ là số dương (vì hai số đương nhân với nhau thì kết quả cũng là một số đương) và càng không thé là sé 0(vì 0.0= 0), do đó x là số không thẻ biểu diễn được trên cùng đường thẳng với các số thực.
Như vậy phải có một đường thăng thứ hai trong mặt phẳng để chứa điểm biểu diễn số x này. Trong khi mặt phẳng thì có vô sé đường thẳng nhưng có một đường thắng rất đặc biệt là đường thằng vuông góc với đường thẳng biểu diễn các số thực tại 0. Và ông đã chọn đường thẳng này để biểu diễn số x này, lấy +x ( x =Ý~!) làm đơn vị cho hai hướng của đường thẳng này. Và rõ rang hai đường thẳng mà ông đã đề cập rõ ràng là hệ trục mà Descartes đã khởi xướng trước đó.
Cũng từ đó mà ông đã chứng minh được rằng mọi đường thẳng song song với trục thực thì được viết là ta và những đường thing vuông góc với trục thực sẽ được viết là +h, và mọi đường thẳng đều được viết dưới dạng là a+bV-1. Và cũng từ cơ sở này, ông đã dựng hình học được các kết quả tính toán của các số phức thông qua các đường thẳng và khái quát lên sự tương ứng giữa phép toán trên các đại lượng số phức với việc dựng hình học các đường. Ông cho rằng, hai đường thẳng vuông góc nhau đã chọn để biểu diễn số phức là tùy ý trong mặt phẳng. Mọi đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng được phân tích duy nhất thành tổ hợp tuyến tỉnh của hai đường thắng không cùng phương đã cho trước.
Như vậy ở đây đã xuất hiện một cách ngằm dn về khái niệm vectơ (một vectơ bất kỳ luôn được SVTH: Phạm Thị Tuyết 13 Luận vẫn tắt nghiệp GVHD: TS. Lé Thai Bao Thiên Trung phân tích ra duy nhất một tổ hợp tuyến tinh của ho. vecto cho trước không cộng tuyến). Cũng bằng cach nay.
ông khái quất ra ng ›ài không gian nhưng gặp thất bại giống như Wessel là bị vấp phải phép nhân hai đường thăng. Tóm lại, Argan di từ việc giải thích ý nghĩa cua số phức bằng hình học dé đi đến việc làm toán trên cic đường thẳng (cộng và nhân hai đường thẳng) nhưng cuối cùng cũng như Wessel và bao người khác trước đó -+ vấp phải phép nhân hai đường.3 Mô hình số phức của Hamilton Hamilton cho ring biểu diễn hình học của s6 phức chỉ là một minh họa trực quan, nhưng nó không thể là một chứng minh rõ ràng cho sự tồn tại của số phức. Vì vậy ông tìm cách hợp thức hóa số phức theo cách của minh. Hamilton xem sé phức như một cặp sắp thứ tự của hai số thực.
Ông xây dựng một cấu trúc đại số trên các cặp sỏ thực nảy.