CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Một số khái niệm 1. Mô hình và mô hình hóa 1. Mô hình Theo Từ điển Tiếng Việt, mô hình là hình thức diễn đạt theo mẫu nào đó.
bằng ngôn ngữ, hình ảnh, sơ đồ, sa bàn, ký hiệu tượng trưng cho các sự vật, con người, hiện tượng tự nhiên … Theo [25], mô hình là một hệ thống dùng để mô tả (giải thích hoặc thiết kế) một hệ thống khác nhằm giải quyết một số mục đích được chỉ định rõ ràng. Một hệ thống là một tập hợp các đối tượng liên quan, có thể là thực hoặc ảo, vật chất hoặc tinh thần, đơn giản hoặc phức tạp. Cấu trúc của một hệ thống là một tập hợp các mối quan hệ giữa các đối tượng của nó. Bản thân hệ thống được gọi là tham chiếu của mô hình.
Theo [13], mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Còn theo Blum, Ferry (2009) thì mô hình là một “vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “hệ thống vật” mà ta quan tâm. Vậy, có thể hiểu đơn giản, mô hình dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó nhằm hướng tới ý đồ nhất định của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó.
Mô hình hóa Ý tưởng sử dụng mô hình và mô hình hóa trong dạy học được đề xuất bởi Aristides C. Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm rằng “Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”. Ngoài quan niệm nêu trên, có rất nhiều các công trình nghiên cứu định nghĩa về mô hình hóa theo nhiều cách hiểu khác nhau, tuỳ thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giải lựa chọn. Có thể kể ra, một số quan điểm như sau: 8 • Mô hình hóa là một chu trình giữa thực tiễn và toán học và nó được lặp đi lặp lại nhiều lần.
• Cấu trúc một chu kỳ mô hình hóa có thể được phân tách thành bốn giai đoạn chính: xây dựng mô hình, phân tích, xác nhận và triển khai. Tuy nhiên, họ nhấn mạnh rằng các giai đoạn có thể khác nhau trong mỗi chu kỳ, tùy thuộc vào mục tiêu của người thực hiện MHH. • MHH là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng toán học. Vì MHH không phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến.
Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mô hình hóa như một quá trình trong đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mô hình để sáng tạo và phát triển mô hình mới trong bối cảnh mới. Theo [14], mô hình hoá là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết các vấn đề toán học. Từ những quan điểm nêu trên, theo tác giả, MHH là quá trình gồm các bước có thể được lặp đi lặp lại: đơn giản hóa vấn đề/tình huống, xây dựng/sử dụng mô hình, làm việc với mô hình và xác minh kết quả. MHH sử dụng trong nghiên cứu này được coi như là một phương tiện để giải quyết vấn đề.
Mô hình hóa toán học Theo [10], mô hình toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả đối tượng nghiên cứu. Nó có thể là hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, công thức, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay những mô hình ảo trên máy tính điện tử. Để định nghĩa về mô hình hóa toán học (MHHTH), cũng có rất nhiều quan điểm khác nhau, một trong số đó có thể kể ra như sau: • Một là, MHHTH là sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học. • Hai là, MHHTH được coi như là là một phương pháp dạy học và nghiên cứu.
Mục tiêu hướng tới đó là tìm hiểu nội dung toán học từ các chủ đề và học để làm nghiên cứu. • Ba là, MHHTH được coi như một cách thức dạy toán. Mục tiêu là học sinh học toán. Quan niệm này phổ biến trong các tài liệu đã nghiên cứu.
9 • Bốn là, MHHTH được coi như là phương thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Khi đó, toán học như một công cụ để giải quyết các vấn đề và là cơ sở để đưa ra các quyết định về các vấn đề thực tiễn đó. Tuy nhiên, quan điểm này lại chưa được nghiên cứu nhiều trong các tài liệu đã công bố. Lesh đưa ra nhận xét rằng MHH là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng toán học.
Vì MHH không phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến. Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mô hình hóa như một quá trình trong đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mô hình để sáng tạo và phát triển mô hình mới trong bối cảnh mới. Với quan niệm này, cho thấy năng lực của mỗi cá nhân có thể được hình thành và phát triển trong quá trình dạy, học và tham gia các hoạt động. Từ các quan điểm nêu trên, theo tác giả MHHTH là một quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học và ngược lại, luôn có sự điều chỉnh và có tính lặp lại các bước thực hiện trong quá trình.
Một số quy trình dạy học mô hình hóa toán học Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học Toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ Toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phương trình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu. Có nhiều nhà nghiên cứu đã xây dựng sơ đồ quy trình mô hình hóa. Sau đây là một số ví dụ: 1. Sơ đồ của Pollak (1979) [15] Sơ đồ về quy trình mô hình hóa của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều khi thực hiện mô hình hóa.
Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thực tế, người học sẽ thực hiện chuyển sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán rồi giải bài toán trong mô hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống thực tế ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp mối quan hệ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần (Sơ đồ 1. Quy trình mô hình hóa của Pollak (1979) 10 1. Sơ đồ của Stillman, Galbraith (2006) [15] Theo Stillman, Galbraith mô phỏng để giải quyết một nhiệm vụ MHH, học sinh lần lượt thực hiện sáu bước (Sơ đồ 1.
Cụ thể như sau: Sơ đồ 1. Quá trình MHH theo Stillman, Galbraith mô phỏng • Bước 1: Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giải thuyết để đơn giản hóa vấn đề, tạo ra một mô hình thực tế của tình huống; • Bước 2: Mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học. Tức là xây dựng mô hình toán biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế; • Bước 3: Trong môi trường toán học, cần sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề; • Bước 4: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế; • Bước 5: Xem xét tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả thực tế hay quyết định thực hiện quá trình lần 2; • Bước 6: Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng nếu cần. Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991) [27] Theo Swetz & Hartzler, quy trình mô hình hóa toán học theo Swetz & Hartzler được mô tả gồm bốn giai đoạn (Sơ đồ 1.
Quy trình mô hình hóa theo Swetz & Hartzler (1991) Theo quy trình này thì mô hình hóa được xây dựng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả khi làm việc với mô hình toán học lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề thực tiễn. Tóm lại, khi thực hiện MHHTH, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tiễn được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu, … mà quá trình MHH được thực hiện theo giai đoạn/bước khác nhau. Nhưng tất cả các sơ đồ về quá trình thực hiện MHHTH đều xuất phát từ vấn đề thực tiễn (hoặc tình huống thực), chuyển đổi sang thành các vấn đề toán học, giải quyết chúng trong môi trường toán học và kết thúc là lời giải/ quyết định tối ưu trong thực tiễn đó hoặc lặp lại quá trình ở một ngữ cảnh mới nhằm đối chiếu dự đoán trước đó. Ý nghĩa của quá trình mô hình hóa toán học Với quan điểm đưa ra MHTH là đại diện cho một tình huống, một hiện tượng thực tiễn hoặc một vấn đề nào đó cần nghiên cứu và quá trình MHHTH là quá trình đưa ra một MHTH cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó,thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết chưa tối ưu, thì ý nghĩa của quá trình MHHTH xét trên hai khía cạnh: MHHTH như thế nào được coi là có ý nghĩa (hiệu quả) và MHHTH có ý nghĩa (có hiệu quả) như thế nào trong quá trình dạy học.
Một mô hình được cho là có ý nghĩa sẽ phản ánh tính đúng đắn của mô hình đó trong việc giải quyết vấn đề. Theo Stillman và các cộng sự, quá trình MHHTH hướng tới 2 mục tiêu: giải quyết một vấn đề đã đặt ra; phát triển các kỹ năng MHH mà các cá nhân có thể chủ động áp dụng cho việc giải quyết các vấn đề thực tiễn. Theo Palm cho rằng một tình huống có tính xác thực phải dựa trên các đặc điểm về 12 sự việc/sự kiện, câu hỏi đặt ra, mục đích tình huống, bộ thông tin, dữ liệu, ngôn ngữ sử dụng, công cụ sử dụng để giải quyết vấn đề. MHHTH là sự kết nối giữa toán học và thực tiễn.