Phase-Field Approach for Crack Propagation in Brittle and Quasi-Brittle Structures

Luận án tiến sĩ về mô hình Phase-Field bậc cao, nghiên cứu sự lan truyền vết nứt trong kết cấu giòn và bán giòn. Giải pháp tiên tiến cho kỹ thuật xây dựng.

• Tác giả: Duy Khuong Nguyen
• Người hướng dẫn: Prof. Magd Abdel Wahab, PhD
• Trường học: Ghent University
• Chuyên ngành: Civil Engineering
• Đề tài: Phase-Field Approach For Crack Propagation In Brittle And Quasi-Brittle Structures
• Loại tài liệu: Doctoral Dissertation
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Ghent

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
• 1.1. Khái niệm cơ bản
• 1.2. Phương pháp nghiên cứu
• 2. CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH PHASE-FIELD
• 2.1. Phase-field approximation
• 2.2. A weak form of governing equations
• 2.3. A strong form of governing equations
• 2.4. Variational principles of phase-field formulations
• 2.5. Isogeometric analysis for the phase-field model
• 2.6. Scheme algorithms for a phase-field fracture
• 2.7. Phase-field formulations
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG VÀ MÔ HÌNH TOÁN
• 3.1. A mathematical model of porous functionally graded materials
• 3.2. A local refinement mesh approach
• 3.3. Pre-existing crack implementation
• 3.4. Crack propagation in brittle material
• 3.5. Porous functionally graded materials
• 3.6. Crack propagation in quasi-brittle material
• 3.6.1. Asymmetric three-point bending concrete beam
• 3.6.2. L-shaped panel test
• 3.6.3. Mixed-mode failure of three-point bending concrete beam
• 4. CHƯƠNG 4: THẢO LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
• 4.1. Discussions and suggestions
• 4.2. Suggestions for further research
• PHỤ LỤC
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Mô Hình Phase Field và Lan Truyền Vết Nứt Vật Liệu

Mô hình Phase-Field nổi lên như một phương pháp hiệu quả trong việc mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong các vật liệu. Đặc biệt, nó được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu về vật liệu giòn và vật liệu bán giòn. Ưu điểm chính của mô hình Phase-Field là khả năng mô phỏng các dạng phá hủy phức tạp, bao gồm sự hình thành nhiều vết nứt, sự hợp nhất, phân nhánh và phát triển của chúng mà không cần sử dụng bất kỳ tiêu chí nào. Nó cũng dễ dàng tích hợp với phân tích phần tử hữu hạn (FEM) dưới dạng một bài toán đa trường. Phương pháp này sử dụng một biến vô hướng phụ trợ, được gọi là biến Phase-Field, để mô hình hóa một vùng không liên tục trong một miền liên tục, thay thế cho việc mô tả vết nứt sắc nét. Nhờ vậy, bài toán được giải quyết dễ dàng hơn bằng phương pháp số.

Theo nghiên cứu của Nguyễn Khương Duy (2021), mục tiêu chính của luận án tiến sĩ là phát triển một phương pháp tính toán hiệu quả dựa trên sự kết hợp giữa lý thuyết Phase-Field và phương pháp đẳng hình dựa trên NURBS (NURBS-based Isogeometric Approach - IGA) để mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong miền cấu thành từ vật liệu giòn và bán giòn. Luận án này đóng góp vào việc phát triển các phương pháp số tiên tiến để dự đoán sự lan truyền vết nứt trong kết cấu bê tông, phục vụ cho các dự án bảo vệ bờ biển Việt Nam.

1.1. Giới Thiệu Phương Pháp Số cho Bài Toán Lan Truyền Vết Nứt

Các phương pháp số đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán lan truyền vết nứt phức tạp. Trong số đó, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ để phân tích ứng suất và biến dạng trong vật liệu. Tuy nhiên, việc mô hình hóa vết nứt sắc nét bằng FEM có thể gặp nhiều khó khăn. Mô hình Phase-Field khắc phục được hạn chế này bằng cách biểu diễn vết nứt như một vùng tổn thương lan tỏa, cho phép sử dụng FEM một cách hiệu quả hơn. Sự kết hợp giữa Phase-Field và FEM mang lại khả năng mô phỏng chính xác và hiệu quả quá trình lan truyền vết nứt trong vật liệu giòn và bán giòn.

1.2. Ứng Dụng Thực Tiễn của Mô Hình Phase Field tại Việt Nam

Luận án của Nguyễn Khương Duy (2021) được thực hiện trong khuôn khổ dự án "Giải pháp sáng tạo bảo vệ bờ sông, bờ biển Việt Nam khỏi lũ lụt và xói lở". Dự án này nhằm mục đích nghiên cứu và ứng dụng các phương pháp số tiên tiến để dự đoán khả năng chịu tải của các công trình bảo vệ bờ biển, đặc biệt là trong điều kiện chịu tải trọng sóng biển và sụt lún ven biển. Mô hình Phase-Field đóng vai trò quan trọng trong việc mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong các kết cấu bê tông, góp phần vào việc thiết kế và xây dựng các công trình bảo vệ bờ biển bền vững.

II. Thách Thức Độ Chính Xác và Tính Toán trong Mô Hình Phase Field

Mặc dù có nhiều ưu điểm, mô hình Phase-Field cũng đối mặt với một số thách thức. Một trong những thách thức lớn nhất là yêu cầu về độ phân giải lưới rất cao trong vùng dự đoán vết nứt để nắm bắt chính xác các dạng vết nứt phức tạp. Việc này dẫn đến chi phí tính toán lớn, đặc biệt đối với các bài toán ba chiều hoặc có hình học phức tạp. Ngoài ra, việc lựa chọn các tham số vật liệu phù hợp cho mô hình Phase-Field cũng là một vấn đề quan trọng. Các tham số này ảnh hưởng lớn đến kết quả mô phỏng, do đó cần được xác định một cách cẩn thận thông qua các thí nghiệm và phân tích. Nghiên cứu của Nguyễn Khương Duy (2021) tập trung vào việc giải quyết các thách thức này bằng cách sử dụng phương pháp đẳng hình (IGA) và kỹ thuật làm mịn lưới cục bộ.

2.1. Yêu Cầu Lưới Tinh Chỉnh và Ảnh Hưởng Đến Chi Phí Tính Toán

Để mô phỏng chính xác sự lan truyền vết nứt bằng mô hình Phase-Field, cần sử dụng lưới phần tử rất mịn trong vùng gần vết nứt. Điều này là do biến Phase-Field thay đổi nhanh chóng trong vùng này, và cần nhiều điểm tính toán để nắm bắt sự thay đổi đó. Tuy nhiên, việc sử dụng lưới mịn trên toàn bộ miền tính toán có thể dẫn đến số lượng phần tử rất lớn, gây ra chi phí tính toán cao. Do đó, cần có các kỹ thuật làm mịn lưới thích ứng để chỉ làm mịn lưới trong vùng cần thiết.

2.2. Xác Định Tham Số Vật Liệu cho Mô Hình Phase Field

Các tham số vật liệu trong mô hình Phase-Field, chẳng hạn như năng lượng bề mặt và chiều dài đặc trưng, ảnh hưởng lớn đến kết quả mô phỏng. Việc xác định chính xác các tham số này là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của mô hình. Các tham số này có thể được xác định thông qua các thí nghiệm cơ học, chẳng hạn như thí nghiệm kéo hoặc uốn. Ngoài ra, có thể sử dụng các phương pháp phân tích ngược để xác định các tham số vật liệu từ dữ liệu thí nghiệm.

III. Phương Pháp Isogeometric Analysis IGA và VUKIMS Tối Ưu

Isogeometric Analysis (IGA) sử dụng các hàm cơ sở Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), thường được dùng trong các phần mềm CAD, trực tiếp trong quá trình phân tích phần tử hữu hạn. IGA cho phép biểu diễn chính xác hình học và độ trơn cao hơn so với các phần tử đa thức truyền thống. Điều này đặc biệt hữu ích trong mô hình Phase-Field, vì nó cho phép sử dụng các công thức Phase-Field bậc cao, dẫn đến độ chính xác và tốc độ hội tụ tốt hơn. Tuy nhiên, IGA tiêu chuẩn vẫn yêu cầu làm mịn lưới toàn cục, dẫn đến chi phí tính toán cao. Để giải quyết vấn đề này, Nguyễn Khương Duy (2021) đề xuất sử dụng kỹ thuật Virtual Uncommon-Knot-Inserted Master-Slave (VUKIMS) để làm mịn lưới cục bộ trong vùng vết nứt.

3.1. Ưu Điểm của IGA so với Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn FEM

IGA có nhiều ưu điểm so với FEM truyền thống, bao gồm khả năng biểu diễn hình học chính xác, độ trơn cao hơn và khả năng sử dụng các hàm cơ sở bậc cao. Những ưu điểm này làm cho IGA trở thành một lựa chọn hấp dẫn cho mô hình Phase-Field, đặc biệt là khi mô phỏng các bài toán phức tạp với hình học phức tạp hoặc yêu cầu độ chính xác cao.

3.2. Kỹ Thuật VUKIMS Làm Mịn Lưới Cục Bộ Hiệu Quả

Kỹ thuật VUKIMS cho phép làm mịn lưới cục bộ trong vùng vết nứt mà không cần làm mịn lưới trên toàn bộ miền tính toán. Điều này giúp giảm đáng kể chi phí tính toán mà vẫn duy trì được độ chính xác cao. VUKIMS hoạt động bằng cách chèn thêm các nút vào lưới cục bộ và sử dụng các ràng buộc chủ-tớ để đảm bảo tính liên tục của nghiệm số. Kỹ thuật này đặc biệt hiệu quả trong các bài toán có nhiều vết nứt hoặc vết nứt lan truyền gần các lỗ hoặc góc.

IV. Ứng Dụng Mô Phỏng Vật Liệu Chức Năng Biến Đổi FGM với Độ Rỗng

Các vật liệu chức năng biến đổi (FGM) được cấu tạo từ hai hoặc nhiều vật liệu khác nhau, với thành phần thay đổi liên tục theo không gian. FGM thường được sử dụng trong các ứng dụng chịu nhiệt độ cao hoặc tải trọng lớn, vì chúng có thể giảm ứng suất dư và cải thiện khả năng chống phá hủy. Nghiên cứu của Nguyễn Khương Duy (2021) mở rộng mô hình Phase-Field để mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong các FGM có độ rỗng. Độ rỗng có thể ảnh hưởng đáng kể đến tính chất cơ học của FGM, và việc mô phỏng chính xác ảnh hưởng này là rất quan trọng để dự đoán khả năng chịu tải của chúng.

4.1. Ảnh Hưởng của Độ Rỗng Đến Tính Chất Cơ Học của FGM

Độ rỗng làm giảm độ cứng và độ bền của FGM. Tuy nhiên, nó cũng có thể làm tăng khả năng hấp thụ năng lượng và giảm trọng lượng của vật liệu. Ảnh hưởng của độ rỗng phụ thuộc vào kích thước, hình dạng và phân bố của các lỗ rỗng. Việc mô phỏng chính xác ảnh hưởng của độ rỗng là rất quan trọng để thiết kế các FGM có tính chất cơ học tối ưu.

4.2. Mô Hình Phase Field Cho FGM với Quy Luật Biến Đổi Hàm Số

Mô hình này sử dụng luật hỗn hợp để tạo ra một sự biến đổi liên tục và mượt mà trong một miền. Các FGM thường được sử dụng trong các cấu trúc chịu nhiệt độ cao, chẳng hạn như lò phản ứng nhiệt hạch và cấu trúc hàng không vũ trụ vì FGM có thể giảm phân lớp, khử liên kết và các thành phần ứng suất dư. Đổi mới công nghệ dựa trên in 3D cho thấy tiềm năng đầy hứa hẹn để sản xuất FGM hiệu quả hơn trong tương lai.

V. Kết Luận Tiềm Năng và Hướng Phát Triển Mô Hình Phase Field

Nghiên cứu của Nguyễn Khương Duy (2021) đã chứng minh tính hiệu quả của việc kết hợp mô hình Phase-Field, IGA và kỹ thuật VUKIMS để mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong vật liệu giòn và bán giòn. Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp này có thể cung cấp các dự đoán chính xác về đường đi của vết nứt, tải trọng phá hủy và các tính chất cơ học khác của vật liệu. Trong tương lai, mô hình Phase-Field có thể được mở rộng để mô phỏng các hiện tượng phức tạp hơn, chẳng hạn như phá hủy do mỏi, ăn mòn và tác động.

5.1. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Phá Hủy Do Mỏi và Ăn Mòn

Phá hủy do mỏi và ăn mòn là hai cơ chế phá hủy quan trọng trong nhiều ứng dụng kỹ thuật. Việc phát triển mô hình Phase-Field để mô phỏng các cơ chế này là một hướng nghiên cứu đầy hứa hẹn. Điều này đòi hỏi việc tích hợp các mô hình vật lý bổ sung, chẳng hạn như mô hình tích lũy tổn thương do mỏi hoặc mô hình khuếch tán ăn mòn.

5.2. Ứng Dụng Mô Hình Phase Field Trong Các Ngành Kỹ Thuật Khác

Mô hình này có thể được sử dụng trong nhiều ngành kỹ thuật khác nhau, chẳng hạn như kỹ thuật hàng không vũ trụ, kỹ thuật xây dựng và kỹ thuật y sinh. Trong kỹ thuật hàng không vũ trụ, mô hình Phase-Field có thể được sử dụng để dự đoán tuổi thọ của các cấu trúc máy bay. Trong kỹ thuật xây dựng, nó có thể được sử dụng để mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong bê tông. Trong kỹ thuật y sinh, nó có thể được sử dụng để mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong xương.

Trích đoạn nội dung tài liệu

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¿U8FJNBS (FSNBOZ 4VQFSWJTPST 1SPG.BHE"CEFM8BIBC 1I% (IFOU6OJWFSTJUZ 1SPG)VOH/HVZFO9VBO 1I% )P$IJ.JOI$JUZ6OJWFSTJUZPG5FDIOPMPHZ 7JFUOBN ´3HUIHFWLRQLVLPSRVVLEOHMXVWVWULYHWRGR\RXUEHVt.µ Angela Watson Acknowledgments Support and assistance were invaluable throughout my dissertation writing. I would first like to acknowledge the Flemish Government funding the project under the financial support of the VLIR-UOS TEAM Project (VN2017TEA454A103). This project could not have reached its goal without this funding. In addition, I am very grateful to the H2020 MSCA- RISE-project BESTOFRAC (734370), which has afforded me the opportunity to visit research institutions in order to further my scientific knowledge.

I would like to give my special regards to Professor Magd Abdel Wahab. It is greatly appreciated that his excellent conceptualization and advice helped lead to exceptional results in this project. In appreciation of Professor Nguyen Xuan Hung's valuable guidance and for the unconditional and enthusiastic support throughout my doctoral journey, I would like to express my deepest gratitude. I would like to express my gratitude to my brothers, Dr.

Le Thanh Cuong, Dr. Vu Huu Truong, and Dr. Tran Minh Trang, who accompanied me in completing this dissertation. To my colleagues at Laboratory Soete, I would like to say a heartfelt "thank you" for their friendship, assistance, and support.

During our group discussion, I received constructive suggestions, professional opinions, and opinions from others that helped improve my research quality. Finally, I would like to express my enormous gratitude to my wife and my family for everything that has been done for me. journey would not have been possible without their encouragement and unconditional supports. Khuong Duy Nguyen Ghent, 12 December 2021 Contents Acknowledgments.

v List of Figures. ix List of Tables. xvii Nomenclature & Abbreviations. xxvii List of Publications .2 Phase-field model .3 Heterogenous brittle failure .4 Quasi-brittle failure .1 NURBS basis functions .3 B-spline geometry refinement .4 Multi-patch problem .5 A NURBS-based finite element approach .3 Phase-field models .1 Phase-field approximation .2 A weak form of governing equations .3 A strong form of governing equations .4 Variational principles of phase-field formulations .4 Isogeometric analysis for the phase-field model .2 Scheme algorithms for a phase-field fracture.3 Phase-field formulations .5 A mathematical model of porous functionally graded materials 70 3.6 A local refinement mesh approach.7 Pre-existing crack implementation .2 Crack propagation in brittle material .2 Porous functionally graded materials.3 Crack propagation in quasi-brittle material .1 Asymmetric three-point bending concrete beam .2 L-shaped panel test.3 Mixed-mode failure of three-point bending concrete beam 149 4.

157 DISCUSSIONS AND SUGGESTIONS .3 Suggestions for Further Research. 161 List of Figures Figure 1. The breakwater construction at Ca Mau province of Vietnam. B-spline basis functions.

Quadratic B-spline curve with knot vectors Ξ = 0,0,0,1, 2,3, 4, 4,5,5,5. A comparison between NURBS and B-spline curves. A quadratic B-spline surface with two-knot spans. Variation of control points, basis functions, elements using knot insertion.

Variation of control points, basis functions using order elevation. Variation of control points, basis functions using k-refinement. Dimensions of an L-panel domain example. Coarse mesh of the L-panel: (a) single patch and (b) multi-patch descriptions.

Refinement mesh of the L-panel: (a) single patch and (b) multi- patch descriptions. Numerical integration in IGA. Two ways describe an internal crack: (a) sharp crack and (b) smeared crack. The phase-field approach of the one-dimensional fracture surface.

A flowchart for the monolithic scheme. A flowchart of the staggered scheme. Different predictions of crack propagation for the single-edge notched shear test with different formulations [9]. A material gradation of functionally graded material along the y-axis: (a) without and (b) with porosities.

Volume fraction distribution of material gradation. Material distributions of FGM without porosities along y-axis: (a) Láme's parameter, (b) shear modulus, and (c) critical energy release rate. Material distributions of FGM with and without porosities along y-axis: (a) Láme's parameter, (b) shear modulus, and (c) critical energy release rate. Graded elements for FGM.

Refinement mesh of the L-panel: (a) single patch and multi- patch descriptions with (b) global refinement and (c) local refinement. A conceptual illustration of nonconforming patches. Boundary conditions and geometry of a single edge notched specimen under (a) mode-I and (b) mode-II loading. Multi-patch of single edge notched problem under mode-I loading: (a) patch definition and (b) the cubic NURBS control points for the coarsest mesh.

A refinement mesh of single edge notched problem under mode- I loading with the effective size of h = l0 / 2. Reaction force versus displacement for different mesh. Crack propagation for single edge notched under mode-I loading with length-scale l0 = 0.0075 mm for (a) near fully separated plate, (b) fully separated plate in the case of second-order theory and (c) near fully separated plate, (d) fully separated plate in the case of fourth-order theory. Reaction force versus displacement of single edge notched problem under mode-I loading in two cases of phase-field theories.

The mesh of single edge notched under mode-II loading: (a) the coarsest mesh and patch numbering and (b) the refinement mesh. Reaction force versus displacement for a single edge notched problem under mode-II loading in two cases of phase-field theories. A crack propagation for single edge notched problem under pure shear loading with length-scale l0 = 0.0075 mm for (a) the second-order and (b) the fourth-order phase-field theories. Symmetric three point bending specimen: (a) boundary conditions and geometry, (b) coarsest mesh and patch numbering, and (c) refined mesh.

Reaction force versus displacement curves of symmetric three- point bending in two cases of phase-field theories. A crack propagation for symmetric three-point bending with the fourth-order formulation of the phase-field model at displacement u = 0. The asymmetric double notched tensile problem: (a) boundary conditions and geometry [68], (b) coarsest mesh and patch definition and (c) refined mesh. Reaction force versus displacement curves of the asymmetric double notched tensile problem in two cases of phase-field theories.

Double-crack propagation for an asymmetric double notched tensile specimen corresponds to the fourth-order phase-field theory at the (a) initial and (b) ending step. The notched plate with holes: (a) boundary conditions and geometry, and the experimentally crack patterns: (b) fractured sample and (c) the observed crack path from Ref. The mesh of notched plate with holes example: (a) the coarsest mesh and patch numbering and (b) the refined mesh. A notched plate example with holes: (a) the initial crack, (b) the propagated crack to the hole, (c) new appearance crack and (d) separated plate.

Reaction force versus displacement curves of the notched plate with hole example in two cases of phase-field theories. The mesh of asymmetric notched three-point bending problem: (a) boundary conditions and geometry, (b) the coarsest mesh and patch definition, and (c) refined mesh. Reaction force versus displacement results of the asymmetrically three-point bending test in two cases of phase-field theories. The asymmetrically three-point bending test: (a) crack path corresponds to the fourth-order formulation of the phase-field model, (b)experimentally observed crack pattern [122].

Boundary conditions and geometry of a single tension edge notched plate. The multi-patch mesh of single edge notched problem under mode-I loading: (a) the coarsest mesh, (b) the global, and (c) local refinement mesh with the effective size element h = l0 with length-scale l0 = 0. Reaction force versus displacement. Crack paths with cubic B-spline elements with the effective size h = l0 / 2 , different length-scale parameters l0 , Y1 rule of the mixture, and the power-law exponent parameter n = 1.

Reaction force versus displacement for various power-law indexes. Reaction force versus displacement for various power-law indexes with porous parameters. The experimentally fractured patterns of the three-point bending beam from Ref. A three-point bending example: (a) boundary conditions and geometry (dimension in (mm)) and (b) the refined mesh.

Elastic modulus and fracture toughness along with the height of the FGM three-point bending beam. The present numerical crack patterns of the three-point bending plate: (a) FGM, (b) non-FGM. The three-point bending plate's crack paths: (a) FGM and (b) non-FGM without porosity. The effect of porosity parameters on the crack patterns of the FGM three-point bending plate.

The crack patterns of an asymmetrically three-point bending beam with holes: (a) an experimental result from Bittencourt [122] and (b) a numerical result from Molnár [68]. An asymmetrically three-point bending beam with holes test. The numerical crack patterns of an asymmetrically three-point bending beam with holes: (a) homogeneous and (b) graded beam without porosity. Material properties of an asymmetrically three-point bending porous FG beam with holes.

The effects of porous parameters on the crack patterns of an asymmetrically three-point bending FG beam with holes. Asymmetric three-point bending concrete beam. Reaction force versus displacement curves of the concrete beam. L-shaped panel test: (a) geometry (unit of length: mm), boundary conditions, and (b) local refinement mesh.

Reaction force versus displacement curves of the L-shaped panel test. L-shaped panel test: (a) geometry (unit of length: mm), boundary conditions, and (b) local refinement mesh. The geometry and boundary conditions of mixed-mode concrete beam test (unit of length: mm). Reaction force versus CMOD curves of the mixed-mode concrete beam.

The predicted crack patterns of the mixed-mode concrete beam compared with an experimental result from Ref. 154 List of Tables Table 3-1. Set of control points of a quadratic B-spline curve. The coordination and weights of a NURBS curve.

Set of control points of a quadratic B-spline surface. Set of control points of a linear B-spline surface. Computational time and number of DOFs in the different cases of order B-spline elements. Computational time and DOF number in four cases of linear B- spline elements.

Computational time and DOF number in the different cases of higher-order B-spline elements with local refinement mesh. Material properties of NiCr and ZrO2. DOF number and computational time of the multiple meshes of B-spline elements. Damage profile of the multiple meshes of B-spline elements.

144 Nomenclature & Abbreviations FEM : Finite element method. IGA : Isogeometric analysis NURBS : Non-Uniform Rational B-splines FGMs : Functionally graded materials DOFs : Degree of freedoms CZM : Cohesive zone model 3D : Three-dimensional VUKIMS : Virtual Uncommon-Knot-Inserted Master-Slave C : Critical energy release density µ : Shear modulus λ : Lamé’s first parameter  : Phase field variable u : Displacement variables ε : Strain tensor σ : Stress tensor g ( ) : Stress degradation function c : Scaling number  ( ) : Geometric crack function l0 : Length-scale number + : History-field variable Summary The primary purpose of this PhD dissertation is to develop an efficient computational method based on a combination of a phase-field theory and a NURBS-based isogeometric approach (IGA) for crack propagation in a domain composed of brittle and quasi-brittle materials. The work presented in this dissertation is a part of a research project, namely "An innovative solution to protect Vietnamese coastal riverbanks from floods and erosion", to protect the coastline of Vietnam. The Flemish Government funds the project under the financial support of the VLIR-UOS TEAM Project (VN2017TEA454A103).

The crucial task of the project is to investigate the applications and developments of advanced numerical methods to predict the bearing capacity of these structures subjected to ocean wave loading and coastal subsidence. This dissertation contributes to developing advanced numerical methods to predict crack propagation in a concrete structure. Based on the behaviors of the materials, ceramic and glass are classified as brittle materials, while a concrete-like material is considered a quasi-brittle material. In addition, the phase-field theory recently became the most popular approach in modelling crack propagation in solid mechanics.

Its main idea is to use a scalar auxiliary variable, namely a phase-field variable, to model a discontinuous zone in a continuous domain.