Chương 1: TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU 1.1 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Kết cấu tấm là một trong những kết cấu phổ biến hiện nay. Do có đặc trưng mỏng, nhẹ, khả năng chịu uốn, vượt nhịp lớn, nên tấm đã được ứng dụng rất nhiều vào các lĩnh vực xây dựng (sàn, tường, tôn, vách, …). Một số ứng dụng của tấm như tấm được sử dụng trong hầu hết ván khuôn thi công các cấu kiện công trình; sử dụng làm kết cấu mái, bao che cho các công trình; ngoài ra còn rất nhiều các ứng dụng khác của tấm phục vụ cho thi công xây dựng công trình. Thậm chí tấm còn được sử dụng làm khung chịu lực cho các công trình khác.
Lý thuyết tấm đồng nhất đẳng hướng được chia thành lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff và lý thuyết tấm dày Mindlin. Lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff giả thuyết bỏ qua biến dạng cắt ngoài mặt phẳng, phù hợp với ứng xử thực tế của các loại tấm có tỉ số chiều dài / chiều dày tấm lớn. Lý thuyết tấm dày Mindlin kể đến biến dạng cắt ngoài mặt phẳng và phù hợp với ứng xử của các loại tấm có tỉ số chiều dài / chiều dày tấm nhỏ [1]. Để phân tích, tính toán ứng xử tấm chịu uốn, các phương pháp giải tích và phương pháp số khác nhau đã được đề xuất.
Trong đó, phương pháp tính toán số được sử dụng nhiều nhất và ưu thế nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH). Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Hrennikoff, McHenry và Richard Courant là những người khởi đầu sự phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn vào những năm 1940 [2]. Sự phát triển chính thức của phương pháp phần tử hữu hạn được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 khi việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley trong những năm 1960.
Trong ngành xây dựng, phương pháp phần 12 tử hữu hạn được sử dụng nhiều trong phân tích tấm vì những ưu điểm nổi trội như kết quả tính toán có độ chính xác cao, mạnh mẽ khi phân tích các tấm phức tạp, kết hợp tốt các lý thuyết tấm. Xấp xỉ PTHH cho trường chuyển vị của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff đòi hỏi hàm liên tục dạng C1, nghĩa là đạo hàm cấp 1 của xấp xỉ chuyển vị vẫn liên tục. Trong khi đó, trường chuyển vị của tấm dày theo lý thuyết Mindlin chỉ cần dùng hàm xấp xỉ dạng C0. Việc xây dựng hàm xấp xỉ PTHH dạng C0, đặc biệt là đối với các phần tử đẳng tham số, dễ hơn rất nhiều so với xây dựng hàm xấp xỉ dạng C1.
Tuy nhiên, nếu công thức PTHH của tấm dùng hàm xấp xỉ dạng C0 thuần túy thì sẽ không tính toán đúng ứng xử khi chiều dày tấm mỏng do xấp xỉ dạng C0 không loại bỏ được biến dạng cắt ngoài mặt phẳng khi chiều dày tấm mỏng. Thậm chí, xấp xỉ PTHH dạng C0 còn làm cho biến dạng cắt ngoài mặt phẳng tăng khi chiều dày tấm giảm. Điều đó dẫn kết kết quả chuyển vị giảm khi chiều dày tấm giảm, ngược hoàn toàn với ứng xử thực tế của tấm. Hiện tượng này gọi là hiện tượng khóa cắt.
Vì vậy, nhiều nghiên cứu khác nhau đã đề xuất các phương pháp khử khóa cắt cho công thức PTHH tấm sử dụng xấp xỉ dạng C0 nhằm loại bỏ hiện tượng khóa cắt khi sử dụng các phần tử này phân tích tấm mỏng. Các phương pháp khử khóa cắt phổ biến như phương pháp tích phân giảm (RI) [3] hay tích phân lựa chọn (SI) [4], phương pháp giả sử biến dạng tự nhiên (ANS) [5], phương pháp giả sử biến dạng nâng cao (EAS) [6], phương pháp cải tiến biến dạng cắt tấm Mindlin (MIN3) [7], phương pháp rời rạc chênh lệch cắt (DSG3) [8], hoặc phương pháp nội suy các thành phần ten-xơ hỗn hợp (MITC3, MITC3+, MITC4, MITC4+, MITC7, MITC9, …) [9]–[13]. Alexander Hrennikoff và Richard Courant là những người khởi đầu sự phát triển của phương pháp PTHH, được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley trong những năm 1960 trong ngành xây dựng. Gần đây, Liu đã đề nghị một phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên biên (ES-FEM) cho phân tích tĩnh, tự do và dao động của các tấm 2D.
Kết quả số có 13 độ chính xác cao đã chứng minh rằng ES-FEM có cho ra kết quả tốt: (1) mô hình ES-FEM thường được tìm thấy độ hội tụ cao và thậm chí nhiều chính xác hơn FEM sử dụng phần tử 4 cạnh (FEM-Q4) với cùng số lượng nút; không có kiểu năng lượng ảo nào và do vậy phương pháp này làm việc tốt và ổn định theo thời gian hơn cho phân tích động và khi làm theo phương pháp này thì đơn giản hơn, và hiệu quả tính toán tốt hơn FEM khi sử dụng cùng số nút. Những năm gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn [14] đã được phát triển và áp dụng thành công trong việc phân tích nhiều bài toán kết cấu khác nhau. Kết quả tính toán số cho thấy trong rất nhiều bài toán, PP PTHH trơn có độ chính xác và tốc độ hội tụ tốt hơn PP PTHH truyền thống. Theo phương pháp PTHH trơn, trường biến dạng được trung bình trên các miền làm trơn được định nghĩa trên miền con của phần tử (CS), hoặc trên miền giữa 2 phần tử chung cạnh (ES) hoặc trên miền giữa các phần tử chung nút (NS).
Các kết quả số cho thấy phương pháp ES-FEM thường cho kết quả tốt hơn phương pháp CS-FEM hoặc NS-FEM. Tuy nhiên, phương pháp ES-FEM hoặc NS-FEM cần xác định miền làm trơn chung cạnh hoặc chung nút giữa các phần tử nên cần thêm thời gian tính toán để xác định các miền làm trơn này. Ngoài ra, đối với các kết cấu như tấm gấp hay vỏ, việc áp dụng phương pháp ES- FEM hay NS-FEM sẽ khó hơn so với phương pháp CS-FEM ở các phần tử không đồng phẳng trong lưới kết cấu. Đối với phần tử tam giác 3 nút dùng phân tích tấm đồng nhất đẳng hướng, phương pháp PTHH trơn đã kết hợp với các kỹ thuật khử khóa cắt khác nhau như MIN3, DGS3, MITC3 và MITC3+ trong các nghiên cứu sau Nguyen-Thoi và cộng sự [15] phát triển phương pháp làm trơn trên miền phần tử (CS) với kỹ thuật khử khóa cắt MIN3 tạo thành phần tử CS-MIN3 dùng phân tích tĩnh và tần số của tấm.
Nguyen-Xuan và cộng sự [16] nghiên cứu phần tử ES-DGS3 kết hợp giữa làm trơn trên cạnh (ES) và khử khóa cắt DSG3 để phân tích tĩnh và dao động tấm Reissner-Mindlin. 14 Nguyen-Xuan và cộng sự [17] xây dựng phần tử NS-DSG3 dùng phương pháp làm trơn trên nút (NS) và khử khóa cắt DSG3 để phân tích tĩnh và dao động tấm Reissner-Mindlin. Nguyen-Thoi và cộng sự [18] phân tích tĩnh và dao động của tấm đồng nhất bằng phần tử CS-DSG3 sử dụng phương pháp làm trơn trên miền phần tử (CS) và kỹ thuật DSG3. Nguyễn Duy Quang [19] trong luận văn thạc sĩ đã nghiên cứu phương pháp làm trơn trên cạnh (ES) kết hợp với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 tạo thành phần tử ES-MITC3 phân tích tĩnh và dao động của tấm [20].
Võ Ngọc Tuyển [23] đã nghiên cứu sự kết hợp của phương pháp làm trơn trên miền phần tử (CS) và kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 thì thấy tương tương với việc không làm trơn do tất cả trường biến dạng đều là hằng số trên miền phần tử. Do đó, tác giả đã sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ với kỹ thuật làm trơn trên miền con của phần tử để xây dựng phần tử CS-MITC3+ phân tích tĩnh kết cấu tấm [24]. Trong các nghiên cứu trên thì nếu cùng sử dụng một loại kỹ thuật khử khóa cắt thì kỹ thuật làm trơn trên cạnh thường có ưu điểm hơn. Thông qua khảo sát ví dụ số, do tính không phụ thuộc vào thứ tự đánh số nút của phần tử, kỹ thuật khử khóa cắt MITC3 khi kết hợp với kỹ thuật làm trơn cho kết quả tốt phần tử làm trơn sử dụng kỹ thuật DGS3 hoặc MIN3.
Ngoài ra, kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ mới được phát triển gần đây, sử dụng thêm nút nổi nên có khả năng tính toán tốt hơn phần tử sử dụng kỹ thuật khử khóa cắt MITC3. 15 2 3 4 1 Hình 1-1: Phần tử tam giác 3 nút với 1 nút nổi (bubble) ở trọng tâm MITC3+ Từ những nhận xét trên và tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước, luận văn này tập trung nghiên cứu sự kết hợp giữa phương pháp làm trơn trên cạnh (ES) và kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+ để xây dựng công thức PTHH tấm ES-MITC3+ dùng phân tích tấm đồng nhất đẳng hướng.2 Tính cấp thiết của đề tài Việc phát triển các phần tử tấm có khả năng phân tích các kết cấu tấm có hình dáng và tải trọng bất kỳ với độ chính xác cao và tốc độ hội tụ nhanh nhưng chi phí tính toán thấp đang được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước. Vì vậy, việc đề xuất công thức PTHH tấm tam giác 3 nút và nghiên cứu khả năng ứng dụng của nó trong phân tích tấm là cần thiết.3 Mục đích của đề tài Mục đích của đề tài là xây dựng công thức PTHH cho phần tử tấm tam giác 3 nút sử dụng kỹ thuật làm trơn trên cạnh (ES) và kỹ thuật khử khóa cắt MITC3+, gọi là phần tử ES-MITC3+, để phân tích kết cấu tấm đồng nhất đẳng hướng với hy vọng có kết quả tính toán chính xác hơn và tốc độ hội tụ nhanh hơn các phần tử cùng loại.4 Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài Nhiệm vụ của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết, lập trình tính toán và khảo sát tính chính xác, độ hội tụ của công thức phần tử hữu hạn trơn ES-MITC3+ trong phân tích tuyến tính tấm đồng nhất đẳng hướng.5 Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết nhiệm vụ của đề tài, phương pháp nghiên cứu theo các bước sau được thực hiện: • Nghiên cứu lý thuyết. • Lập trình tính toán.
• So sánh kết quả tính toán với các nghiên cứu khác. • Nhận xét kết quả và kết luận. 17 Chương 2: LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 2.1 Giả thuyết Lý thuyết tấm biến dạng cắt, hay còn được gọi là lý thuyết tấm dày chịu uốn, hoặc còn gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin do Levy-Reissner-Hencky-Mindlin thực hiện, dựa trên giả thiết của 2 tác giả Reissner-Mindlin, giống giả thiết lý thuyết dầm Timoshenko chịu cắt.