Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ cơ học của tác giả Nguyễn Thị Nga, với đề tài "Phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt", được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội (chuyên ngành Cơ học vật rắn, mã số: 62440107, năm 2018), dưới sự hướng dẫn của PGS. Vũ Đỗ Long và cố GS. Đào Văn Dũng.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Kết cấu tấm và vỏ làm từ vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) được ứng dụng phổ biến trong các lĩnh vực kỹ thuật như hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, ống dẫn nhiên liệu và bể chứa. Nhằm tăng cường khả năng chịu tải mà không làm tăng đáng kể trọng lượng, kết cấu thường được gia cố bằng hệ gân gia cường hoặc kết hợp trong kết cấu sandwich.

Tổng quan từ văn bản luận án chỉ ra các khoảng trống khoa học sau:

  • Phần lớn các công bố trước đây áp dụng lý thuyết tấm và vỏ cổ điển (CPT/CST), vốn chỉ phù hợp với kết cấu thành mỏng. Đối với kết cấu có bề dày trung bình và dày, ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang trở nên đáng kể, đòi hỏi phải áp dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) hoặc lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT).
  • Các nghiên cứu về kết cấu FGM có gân đa số giả thiết gân là vật liệu thuần nhất; các nghiên cứu sử dụng gân FGM (có cơ tính biến thiên đồng điệu với tấm/vỏ) dựa trên các lý thuyết biến dạng trượt bậc cao còn rất hạn chế.
  • Các mô hình kết cấu sandwich FGM có gân gia cường chịu tác động đồng thời của trường nhiệt độ và tải cơ học trên nền đàn hồi chưa được khảo sát đầy đủ bằng phương pháp giải tích.
  • Bài toán ổn định của các kết cấu có dạng hình học phức tạp như vỏ nón cụt sandwich FGM có gân đòi hỏi thiết lập hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng với hệ số biến thiên trong hệ tọa độ cong.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định 5 mục tiêu cụ thể:

  1. Sử dụng các quy luật phân bố của vật liệu FGM đã có để nghiên cứu bài toán ổn định tĩnh của các kết cấu FGM thường gặp.
  2. Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường.
  3. Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến của vỏ trụ sandwich FGM có gân gia cường.
  4. Nghiên cứu ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường.
  5. Lập trình và khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số đầu vào đến sự ổn định của kết cấu.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Tấm chữ nhật FGM có gân gia cường; vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường; vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường. Các kết cấu đặt trên nền đàn hồi Pasternak (hai tham số), xét tính chất vật liệu độc lập với nhiệt độ (T-ID) hoặc phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D). Gân gia cường là gân FGM. Điều kiện tải gồm: tải cơ (nén dọc trục, nén hai trục, áp lực ngoài), tải nhiệt (nhiệt độ tăng đều) và tải cơ - nhiệt kết hợp.
  • Phạm vi nghiên cứu: Phân tích ổn định tĩnh (xác định tải tới hạn và đường cong tải - độ võng sau tới hạn) theo cách tiếp cận giải tích.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Tác giả đã hệ thống hóa các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước theo ba nhóm kết cấu chính:

Nghiên cứu về tấm FGM

  • Nghiên cứu quốc tế: Eslami và cộng sự phân tích ổn định tuyến tính của tấm FGM theo CPT chịu tải nén (2002) [60] và tải nhiệt (2002) [61], sau đó mở rộng sang TSDT [62, 89] có xét đến độ không hoàn hảo hình học ban đầu [87, 88, 90], tấm FGM áp điện chịu nhiệt [72] và tấm sandwich FGM trên nền đàn hồi theo FSDT [64]. Na và Kim [74, 75, 76] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn khảo sát ổn định nhiệt và cơ nhiệt của tấm FGM và sandwich FGM với cơ tính phụ thuộc nhiệt độ. Liew và cộng sự áp dụng phương pháp không lưới phần tử kp-Ritz [145, 146] và phương pháp giải tích [69, 135, 136] phân tích ứng xử sau tới hạn của tấm FGM và tấm FGM áp điện theo FSDT và TSDT; nghiên cứu [83] dùng phương pháp không lưới phần tử tự do Galerkin cho tấm FGM có gân. Shen và cộng sự [100, 101, 108, 137, 138] sử dụng phương pháp khai triển tham số bé kết hợp phương pháp lặp để khảo sát ứng xử sau tới hạn của tấm FGM, tấm FGM áp điện và tấm sandwich FGM trên nền đàn hồi Pasternak [104, 134]. Zenkour và cộng sự [139, 140, 141, 142, 143] nghiên cứu tấm sandwich FGM theo FSDT và lý thuyết biến dạng trượt hàm sin. Về gân FGM, Najafizadeh và cộng sự (2009) [78] đề xuất mô hình gân có cơ tính biến thiên.
  • Nghiên cứu trong nước: Đào Huy Bích (2011) [14] đề xuất cách tiếp cận giải tích cho tấm và vỏ FGM có gân thuần nhất theo CPT. Đào Huy Bích cùng cộng sự [13], Nguyễn Đình Đức và Phạm Hồng Công [26], Đào Văn Dũng và Hoàng Thị Thiêm [48], Nguyễn Đình Đức cùng cộng sự [20, 21, 28] nghiên cứu ổn định tấm FGM có gân thuần nhất dựa trên CPT, FSDT và TSDT có sử dụng kỹ thuật san đều gân của Lekhnitskii [68] hoặc phân tích trực tiếp [28]. Nguyễn Đình Đức cùng cộng sự nghiên cứu ổn định cơ nhiệt của tấm FGM theo CPT [38, 132] và TSDT trên nền đàn hồi [25, 39]. Hoàng Văn Tùng phân tích tấm FGM theo CPT [3] và tấm sandwich FGM theo FSDT với cơ tính phụ thuộc nhiệt độ [131]. Nguyễn Thị Phương (2014) [6] khảo sát tấm FGM có gân thuần nhất trên nền đàn hồi chịu tải cơ theo CPT.

Nghiên cứu về vỏ trụ FGM

  • Nghiên cứu quốc tế: Sử dụng phương trình vỏ Donnell [23] và Donnell cải tiến [50, 51], Shahsiah và Eslami [93, 94] nghiên cứu ổn định nhiệt của vỏ trụ FGM; Mirzavand và Eslami [71] xét mô hình không hoàn hảo Wan-Donnell; Lanhe và cộng sự [67] xét bài toán cơ nhiệt; Eslami và cộng sự [9] xét vỏ trụ FGM trên nền đàn hồi theo TSDT. Sofiyev và cộng sự khảo sát vỏ trụ FGM chịu nén [111], vỏ trụ sandwich lõi FGM trên nền Pasternak [117], chịu xoắn [79, 121]. Huang và Han phân tích ổn định tuyến tính và phi tuyến của vỏ trụ FGM chịu nén dọc trục, áp lực ngoài, tải xoắn và tổ hợp tải theo Donnell và phương pháp Ritz/Galerkin [53, 54, 55, 56, 58, 57], cũng như ứng xử đàn dẻo [144]. Shen và cộng sự áp dụng kỹ thuật nhiễu cho vỏ và panel trụ FGM theo CST và TSDT có xét áp điện, nhiệt độ và nền đàn hồi [95, 96, 97, 98, 99, 102, 105, 106, 107, 109]. Najafizadeh và cộng sự (2009) [78] nghiên cứu vỏ trụ FGM có gân FGM dọc và vòng theo CST.
  • Nghiên cứu trong nước: Đào Văn Dũng và Lê Khả Hòa [41, 42, 43, 44, 52] khảo sát ổn định phi tuyến của vỏ trụ FGM có gân FGM chịu áp lực ngoài, tải xoắn và nhiệt độ trên nền Pasternak theo CST. Đào Văn Dũng và Hoàng Thị Thiêm (2017) [49] nghiên cứu vỏ trụ FGM dày có gân FGM theo TSDT. Đào Huy Bích và cộng sự nghiên cứu giải tích cho vỏ trụ FGM không gân [15], có gân thuần nhất [12, 81], và vỏ trụ sandwich [82]. Nguyễn Đình Đức, Hoàng Văn Tùng và cộng sự nghiên cứu panel và vỏ trụ FGM theo CST và TSDT [30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 63, 127, 130].

Nghiên cứu về vỏ nón FGM

Bhangale và cộng sự [10], Eslami và cộng sự [77, 129], Akbari và cộng sự [7], Kiani và cộng sự [59, 70] khảo sát ổn định vỏ nón FGM và vỏ nón gia cường ống nano carbon theo FSDT/CST. Sofiyev và cộng sự công bố hệ thống kết quả giải tích cho vỏ nón FGM và vỏ nón sandwich FGM chịu áp lực ngoài, tải nén và tải nhiệt theo CST, SDT và FSDT [22, 80, 92, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126]. Tại Việt Nam, Đào Huy Bích và cộng sự [16], Đào Văn Dũng và cộng sự [40, 45, 46, 47], Nguyễn Đình Đức và cộng sự [24, 27, 29] đã khảo sát ổn định tuyến tính và phi tuyến của vỏ và panel nón FGM có gân thuần nhất hoặc gân gia cường nano carbon trên nền đàn hồi.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án tập trung giải quyết bài toán ổn định giải tích cho:

  1. Tấm FGM có gân gia cường FGM trên nền đàn hồi Pasternak theo cả hai lý thuyết FSDT và TSDT chịu tải cơ, nhiệt và cơ - nhiệt kết hợp.
  2. Vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường FGM trên nền Pasternak theo TSDT chịu nén dọc trục và nhiệt độ.
  3. Vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường FGM trên nền đàn hồi chịu nén dọc trục và áp lực ngoài dựa trên hệ phương trình thiết lập theo chuyển vị.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Quy luật vật liệu và mô hình cơ học

Vật liệu FGM cấu tạo từ hai thành phần gốm (ceramic - $c$) và kim loại (metal - $m$), cơ tính biến đổi liên tục theo phương chiều dày $z$. Luận án áp dụng hai quy luật phân bố thể tích:

  • Quy luật lũy thừa (P-FGM): $$V_c(z) = \left(\frac{2z+h}{2h}\right)^k, \quad V_m(z) = 1 - V_c(z), \quad -\frac{h}{2} \le z \le \frac{h}{2}$$ với $k \ge 0$ là chỉ số tỷ phần thể tích.
  • Quy luật Sigmoid (S-FGM): $$V_c(z) = \frac{1}{2}\left(\frac{2z+h}{h}\right)^k \text{ với } -\frac{h}{2} \le z \le 0; \quad V_c(z) = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{-2z+h}{h}\right)^k \text{ với } 0 \le z \le \frac{h}{2}$$

Đặc trưng cơ tính hiệu dụng $P_{\text{eff}}$ (mô đun đàn hồi $E$, hệ số dãn nở nhiệt $\alpha$, hệ số truyền nhiệt $\kappa$):

  • Độc lập với nhiệt độ (T-ID): $P_{\text{eff}}(z) = P_c V_c(z) + P_m V_m(z)$.
  • Phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D): $P_{\text{eff}}(z, T) = P_c(T)V_c(z) + P_m(T)V_m(z)$, trong đó tính chất của từng vật liệu thành phần phụ thuộc nhiệt độ theo hàm phi tuyến: $$P_r(T) = P_0 (P_{-1}T^{-1} + 1 + P_1 T + P_2 T^2 + P_3 T^3)$$ với $P_0, P_{-1}, P_1, P_2, P_3$ là các hệ số thực nghiệm cho từng vật liệu (như $\text{ZrO}_2$, $\text{Ti-6Al-4V}$, $\text{Al}_2\text{O}_3$, $\text{SUS304}$).

Mô hình gân và nền đàn hồi

  • Gân FGM: Mô đun đàn hồi $E_{sx}(z), E_{sy}(z)$ và hệ số dãn nở nhiệt $\alpha_{sx}(z), \alpha_{sy}(z)$ của gân biến đổi theo chiều dày gân tương thích liên tục với mặt tiếp xúc của tấm/vỏ ($z = -h/2$). Tác dụng của hệ gân trực giao đặt mau được san đều theo phương pháp Lekhnitskii [68].
  • Mô hình nền Pasternak: Lực tương tác giữa kết cấu và nền đàn hồi được xác định qua biểu thức: $$q_f = K_1 w - K_2 (w_{,xx} + w_{,yy})$$ trong đó $K_1$ $(\text{N/m}^3)$ là hệ số nền Winkler, $K_2$ $(\text{N/m})$ là hệ số lớp cắt Pasternak.

Phương pháp phân tích

  • Lý thuyết biến dạng trượt FSDT và TSDT: Kết hợp quan hệ biến dạng - chuyển vị phi tuyến Von Karman để mô tả biến dạng lớn.
  • Thiết lập phương trình chủ đạo:
    • Đối với tấm và vỏ trụ: Sử dụng hàm ứng suất $f(x, y)$ ($N_x = f_{,yy}, N_y = f_{,xx}, N_{xy} = -f_{,xy}$) và phương trình tương thích biến dạng kết hợp phương trình cân bằng để khử các thành phần lực trong mặt phẳng, đưa về hệ phương trình vi phân phi tuyến theo độ võng $w$, góc xoay $\phi_x, \phi_y$ và hàm ứng suất $f$.
    • Đối với vỏ nón cụt: Thiết lập hệ phương trình ổn định theo các thành phần chuyển vị $u, v, w$ trong hệ tọa độ cong dựa trên tiêu chuẩn ổn định tĩnh Euler - Poincare (mất ổn định rẽ nhánh).
  • Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp Galerkin với hàm dạng sóng lượng giác thỏa mãn điều kiện biên tựa đơn, thiết lập các hệ thức giải tích tường minh xác định tải tới hạn ($F_{\text{cr}}, P_{\text{cr}}, q_{\text{cr}}, \Delta T_{\text{cr}}$) và phương trình quan hệ tải - độ võng phi tuyến trong giai đoạn sau tới hạn.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Chương 1 trình bày định nghĩa, lịch sử phát triển của vật liệu FGM từ năm 1984 tại Viện Sendai (Nhật Bản), các mô hình phân bố thể tích P-FGM, S-FGM và quy tắc hỗn hợp tính toán cơ tính hiệu dụng độc lập hoặc phụ thuộc nhiệt độ. Tác giả trình bày các khái niệm cơ bản về cân bằng ổn định, mất ổn định, trạng thái tới hạn và tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh của Euler - Poincare.

Chương này tổng thuật chi tiết tình hình nghiên cứu ổn định tấm, vỏ trụ tròn và vỏ nón cụt FGM trong và ngoài nước, phân tích ưu nhược điểm của ba cách tiếp cận (giải tích, bán giải tích, phương pháp số), từ đó khẳng định tính cần thiết của việc xây dựng lời giải giải tích cho kết cấu FGM có gân FGM theo các lý thuyết biến dạng trượt bậc cao.

Đối tượng kết cấu Lý thuyết áp dụng trong luận án Dạng hình học & gân Điều kiện tải khảo sát
Tấm chữ nhật (Chương 2) FSDT và TSDT ES-FGM (gân FGM trực giao), nền Pasternak Nén cơ hai trục, nén dọc trục, nhiệt độ tăng đều, cơ - nhiệt kết hợp
Vỏ trụ tròn sandwich (Chương 3) TSDT Sandwich ES-FGM (4 mô hình A1, A2, B1, B2), nền Pasternak Nén dọc trục, nhiệt độ tăng đều
Vỏ nón cụt sandwich (Chương 4) CST Sandwich ES-FGM (gân dọc và gân vòng FGM), nền đàn hồi Nén dọc trục $P$, áp lực ngoài $q$

Chương 2. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA TẤM FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI NÉN VÀ NHIỆT

Chương 2 giải quyết hai bài toán lớn về ứng xử ổn định phi tuyến của tấm chữ nhật FGM có gân gia cường lệch tâm (ES-FGM), có xét độ không hoàn hảo hình học ban đầu $w^*(x,y) = \xi h \sin\alpha x \sin\beta y$ ($\xi \in [0, 0.1]$) đặt trên nền Pasternak:

1. Bài toán 1: Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT)

  • Trường chuyển vị và biến dạng: Trường biến dạng chứa chuyển vị mặt giữa $u, v, w$ và hai góc xoay $\phi_x, \phi_y$: $$\epsilon_x = \epsilon_x^0 + z \phi_{x,x}, \quad \epsilon_y = \epsilon_y^0 + z \phi_{y,y}, \quad \gamma_{xy} = \gamma_{xy}^0 + z(\phi_{x,y} + \phi_{y,x}), \quad \gamma_{xz} = w_{,x} + \phi_x, \quad \gamma_{yz} = w_{,y} + \phi_y$$ với các thành phần biến dạng phi tuyến Von Karman: $\epsilon_x^0 = u_{,x} + \frac{1}{2}w_{,x}^2$, $\epsilon_y^0 = v_{,y} + \frac{1}{2}w_{,y}^2$, $\gamma_{xy}^0 = u_{,y} + v_{,x} + w_{,x}w_{,y}$.

  • Phương trình chủ đạo: Tác giả tích phân ứng suất qua chiều dày tấm và gân, áp dụng kỹ thuật Lekhnitskii thu được biểu thức nội lực $N_i$, mô men $M_i$ và lực cắt $Q_i$ ($i = x, y$). Đưa vào hàm ứng suất $f(x,y)$, hệ 5 phương trình cân bằng phi tuyến và phương trình tương thích biến dạng được thu gọn thành hệ 4 phương trình đạo hàm riêng phi tuyến chứa 4 hàm chưa biết ($w, \phi_x, \phi_y, f$).

  • Điều kiện biên và nghiệm Galerkin: Luận án khảo sát ba loại điều kiện biên tựa đơn:

    • Trường hợp 1: Bốn cạnh tựa tự do dịch chuyển trong mặt phẳng ($N_x = N_{x0}, N_y = N_{y0}$).
    • Trường hợp 2: Bốn cạnh tựa cố định trong mặt phẳng ($u=0$ tại $x=0, a$; $v=0$ tại $y=0, b$, thỏa mãn theo nghĩa trung bình tích phân).
    • Trường hợp 3: Hai cạnh $x=0, a$ tự do dịch chuyển, hai cạnh $y=0, b$ cố định.

    Hàm chuyển vị và hàm ứng suất được chọn: $$w = W \sin\alpha x \sin\beta y, \quad \phi_x = \phi_{10}\cos\alpha x \sin\beta y + \phi_{11}\sin 2\alpha x, \quad \phi_y = \phi_{20}\sin\alpha x \cos\beta y + \phi_{21}\sin 2\beta y$$ $$f = f_1 \cos 2\alpha x + f_2 \cos 2\beta y + f_3 \sin\alpha x \sin\beta y + \frac{1}{2}N_{x0}y^2 + \frac{1}{2}N_{y0}x^2$$ với $\alpha = m\pi/a, \beta = n\pi/b$.

  • Hệ thức giải tích:

    • Tải nén tới hạn của tấm hoàn hảo ($\xi = 0$): $$F_{x\text{cr}} = \min_{m,n} \frac{1}{h(\alpha^2 + \eta\beta^2)}\Big[\left(\alpha^4 B_{21}^* - \alpha^2\beta^2(B_{11}^* + B_{22}^* - 2B_{66}^) + \beta^4 B_{12}^\right)L_3 + (\alpha^3 D_{11}^* - \alpha\beta^2(D_{21}^* + 2D_{66}^))L_4 + (\beta^3 D_{22}^ - \alpha^2\beta(D_{12}^* + 2D_{66}^*))L_5 + K_1 + (\alpha^2+\beta^2)K_2\Big]$$
    • Độ tăng nhiệt tới hạn $\Delta T_{\text{cr}}$ và phương trình tải - độ võng sau tới hạn: Luận án thiết lập phương trình hiển phi tuyến liên hệ giữa tải nén $F_x$, độ tăng nhiệt $\Delta T$ và biên độ độ võng không thứ nguyên $\bar{W} = W/h$.

2. Bài toán 2: Dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT)

Mô hình biến dạng trượt bậc ba loại bỏ sự cần thiết của hệ số hiệu chỉnh trượt $k_s$, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại hai bề mặt $z = \pm h/2$. Tác giả thiết lập hệ phương trình chủ đạo phi tuyến tương ứng khi cơ tính vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ (T-D), giải bài toán bằng phương pháp Galerkin và thu được đường cong đáp ứng phi tuyến cơ - nhiệt.

3. Kết quả số và so sánh kiểm chứng

  • Kết quả tính toán cho tấm FGM không gân, không nền chịu nhiệt độ tăng đều được đối chiếu với kết quả của Hoàng Văn Tùng và Nguyễn Đình Đức (2011) [132], cho thấy sự trùng khớp và khẳng định độ tin cậy của mô hình giải tích.
  • Tác giả so sánh tải tới hạn của tấm FGM gia cường gân FGM với tấm gia cường gân thuần nhất (Bảng 2.1), chứng minh tấm gia cường gân FGM có khả năng chịu tải tới hạn cao hơn tấm có gân thuần nhất ở cùng giá trị chỉ số thể tích $k$.
  • Khi nhiệt độ môi trường tăng ($\Delta T = 0^\circ\text{C}, 200^\circ\text{C}, 300^\circ\text{C}$), đường cong tải - độ võng hạ thấp dần, phản ánh hiện tượng suy giảm độ cứng của kết cấu dưới tác động nhiệt.

Chương 3. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI NÉN DỌC TRỤC VÀ NHIỆT

Chương 3 mở rộng bài toán sang vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường FGM đặt trên nền đàn hồi Pasternak chịu nén dọc trục và chịu nhiệt độ tăng đều, dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT).

Mô hình và phương pháp giải

  • Cấu trúc 4 mô hình vỏ trụ sandwich FGM:
    • Mô hình A1 & A2: Vỏ sandwich gồm lớp lõi FGM và hai lớp bề mặt thuần nhất (gốm hoặc kim loại).
    • Mô hình B1 & B2: Vỏ sandwich gồm lớp lõi thuần nhất và hai lớp bề mặt là FGM.
    • Hệ gân gia cường gồm gân dọc (stringer) và gân vòng (ring) làm bằng FGM gắn lệch tâm.
  • Phương trình cơ bản: Dựa trên TSDT và các hệ thức động học phi tuyến, tác giả thiết lập các phương trình cân bằng và phương trình tương thích cho vỏ trụ tròn bán kính $R$, chiều dài $L$, chiều dày $h$.
  • Nghiệm giải tích: Sử dụng phương pháp Galerkin xác định biểu thức hiển của lực nén dọc trục tới hạn $P_{\text{cr}}$, độ tăng nhiệt tới hạn $\Delta T_{\text{cr}}$ và quan hệ phi tuyến tải - độ võng sau tới hạn.

Kết quả tính toán và thảo luận

  • Kiểm chứng: So sánh tải tới hạn nén dọc trục của vỏ trụ đẳng hướng có gân và vỏ trụ FGM không gân không nền với các kết quả đã công bố trong tài liệu [12], cho độ chính xác tin cậy.
  • Phân tích tham số:
    • Ảnh hưởng của gân và nền: Sự xuất hiện của gân gia cường FGM và nền đàn hồi Pasternak ($K_1, K_2$) làm tăng đáng kể tải nén tới hạn $P_{\text{cr}}$ và nhiệt độ tới hạn $\Delta T_{\text{cr}}$.
    • Chỉ số thể tích $k$ và tỷ số hình học $R/h$: Khi chỉ số $k$ tăng (tăng hàm lượng kim loại), độ cứng kết cấu giảm dẫn đến tải tới hạn giảm; khi tỷ số bán kính trên chiều dày $R/h$ tăng (vỏ mỏng hơn), tải tới hạn giảm mạnh.
    • Độ không hoàn hảo hình học: Độ không hoàn hảo ban đầu $\xi$ làm mềm đáp ứng tải - độ võng ngay từ giai đoạn đầu chịu tải.

Chương 4. ỔN ĐỊNH TĨNH TUYẾN TÍNH CỦA VỎ NÓN CỤT SANDWICH FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ

Chương 4 khảo sát bài toán ổn định tĩnh tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường (gân dọc và gân vòng FGM) đặt trên nền đàn hồi chịu đồng thời lực nén dọc trục $P$ và áp lực ngoài phân bố đều $q$, dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển (CST).

Mô hình toán học và phương pháp giải

  • Hệ tọa độ cong: Vỏ nón cụt có góc nửa đỉnh $\alpha$, chiều dài đường sinh $L$, bán kính đáy nhỏ $R_1$, bán kính đáy lớn $R_2$, chiều dày tổng thể $h = h_{\text{co}} + 2h_{\text{FG}}$ (trong đó $h_{\text{co}}$ là chiều dày lớp lõi, $h_{\text{FG}}$ là chiều dày mỗi lớp phủ FGM).
  • Phương trình chủ đạo theo chuyển vị: Không dùng hàm ứng suất như ở tấm và vỏ trụ, tác giả thiết lập hệ phương trình vi phân cân bằng trực tiếp theo ba thành phần chuyển vị $u, v, w$. Các hệ số của phương trình là các hàm số biến thiên phụ thuộc vào tọa độ dọc theo đường sinh của nón cụt.
  • Lời giải giải tích: Áp dụng phương pháp Galerkin, chuyển vị được biểu diễn dưới dạng chuỗi thỏa mãn điều kiện biên tựa đơn tại hai đáy nón. Luận án xây dựng biểu thức giải tích tường minh xác định lực nén dọc trục tới hạn $P_{\text{cr}}$ và áp lực ngoài tới hạn $q_{\text{cr}}$.

Kết quả khảo sát số

  • Kiểm chứng: Kết quả tính toán tải tới hạn của vỏ nón đẳng hướng không gân được so sánh và kiểm chứng với các kết quả kinh điển của Brush và Almroth (1975) [18] cho trường hợp áp lực ngoài ($P=0$), và của Seide (1962) [91], Sofiyev (2009) [114] cho trường hợp nén dọc trục ($q=0$).
  • Quy luật ảnh hưởng của các tham số:
    • Chiều dày lớp lõi $h_{\text{co}}$: Tăng tỷ số chiều dày lõi trên lớp phủ $h_{\text{co}}/h_{\text{FG}}$ làm tăng mô men quán tính uốn của tiết diện, dẫn đến tăng mạnh cả $q_{\text{cr}}$ và $P_{\text{cr}}$.
    • Góc nửa đỉnh $\alpha$: Khi góc $\alpha$ tăng từ $10^\circ$ đến $60^\circ$, độ cứng chống nén dọc trục giảm làm $P_{\text{cr}}$ suy giảm, trong khi ứng xử dưới áp lực ngoài $q_{\text{cr}}$ thay đổi phụ thuộc vào dạng sóng mất ổn định $(m, n)$.
    • Chỉ số tỷ phần thể tích $k$: Tăng $k$ làm giảm tỷ lệ thành phần gốm, dẫn đến suy giảm tải tới hạn cơ học.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp mới về mặt khoa học và lý luận

  1. Phát triển mô hình giải tích cho kết cấu FGM có gân FGM: Luận án là một trong những công trình tiên phong thiết lập phương pháp giải tích nghiên cứu bài toán ổn định tĩnh phi tuyến cho tấm FGM và vỏ trụ tròn sandwich FGM được gia cường bởi hệ gân FGM (thay vì gân kim loại hoặc gốm thuần nhất) dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) và bậc ba (TSDT).
  2. Xây dựng biểu thức hiển cho tải tới hạn và đường cong sau tới hạn: Bằng việc kết hợp kỹ thuật san đều tác dụng gân Lekhnitskii, hàm ứng suất và phương pháp Galerkin, tác giả đã thu được các công thức giải tích tường minh xác định tải nén tới hạn ($F_{\text{cr}}, P_{\text{cr}}$), áp lực ngoài tới hạn ($q_{\text{cr}}$), độ tăng nhiệt tới hạn ($\Delta T_{\text{cr}}$) và phương trình quan hệ tải - độ võng phi tuyến sau trạng thái tới hạn.
  3. Giải bài toán vỏ nón cụt sandwich FGM có gân trong hệ tọa độ cong: Luận án đã thiết lập thành công hệ phương trình ổn định tuyến tính hóa theo chuyển vị cho vỏ nón cụt sandwich FGM có gân FGM trên nền đàn hồi, khắc phục độ phức tạp của phương trình đạo hàm riêng có hệ số biến thiên theo tọa độ đường sinh.

Đóng góp về mặt thực tiễn và ứng dụng kỹ thuật

  • Cung cấp bộ công thức giải tích giải nhanh, cho phép đánh giá trực tiếp khả năng chịu tải và dự báo vùng làm việc an toàn của kết cấu tấm, vỏ trụ và vỏ nón sandwich FGM trong môi trường nhiệt độ cao và tải nén cơ học phức tạp.
  • Đưa ra các phân tích định lượng về sự suy giảm độ cứng khi nhiệt độ môi trường tăng, tác dụng nâng cao khả năng chịu lực của hệ gân FGM so với gân thuần nhất, và vai trò của các tham số nền Pasternak ($K_1, K_2$), tỷ số chiều dày lõi sandwich ($h_{\text{co}}/h_{\text{FG}}$), góc nửa đỉnh vỏ nón $\alpha$.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên nội dung và phạm vi nghiên cứu được trình bày trong văn bản:

  • Hạn chế:
    • Luận án chỉ tập trung vào phương pháp giải tích cho các điều kiện biên tựa đơn chuẩn tắc; chưa khảo sát các điều kiện biên phức tạp khác (ngàm, tự do, biên hỗn hợp không đối xứng).
    • Đối với vỏ nón cụt sandwich FGM (Chương 4), luận án mới dừng lại ở bài toán ổn định tĩnh tuyến tính theo lý thuyết vỏ cổ điển (CST) và chỉ xét tải cơ học, chưa mở rộng sang bài toán phi tuyến sau tới hạn và bài toán tải nhiệt hoặc cơ - nhiệt kết hợp theo các lý thuyết trượt bậc cao.
    • Phân tích nhiệt độ trong tấm và vỏ trụ chủ yếu giả thiết nhiệt độ tăng đều, chưa xét chi tiết bài toán truyền nhiệt phi tuyến dừng và không dừng qua chiều dày kết cấu có gân.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng phân tích ổn định phi tuyến và sau tới hạn cho vỏ nón cụt sandwich FGM chịu tải cơ nhiệt đồng thời dựa trên FSDT/TSDT.
    • Nghiên cứu bài toán ổn định động và dao động phi tuyến của kết cấu tấm/vỏ FGM có gân FGM chịu tải trọng thay đổi theo thời gian.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo trong các lĩnh vực:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Cơ học vật rắn, Cơ kỹ thuật, Xây dựng công trình ngầm và Hàng không vũ trụ: Tham khảo quy trình toán học thiết lập phương trình chủ đạo phi tuyến theo FSDT và TSDT, kỹ thuật san đều tác dụng gân Lekhnitskii, kỹ thuật đưa vào hàm ứng suất và phương pháp Galerkin giải tích.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu kết cấu composite/FGM: Sử dụng các hệ thức nghiệm tường minh và các bảng số liệu so sánh làm chuẩn đối sánh (benchmark) để kiểm tra độ chính xác của các phần mềm mô phỏng số (phần tử hữu hạn, không lưới, sai phân hữu hạn).
  • Kỹ sư thiết kế kết cấu chịu nhiệt và chịu áp lực: Tham khảo dữ liệu định lượng về ảnh hưởng của kích thước gân, bố trí lớp sandwich và đặc trưng vật liệu FGM phụ thuộc nhiệt độ để tối ưu hóa kết cấu vỏ tên lửa, bồn bể áp lực và vách lò phản ứng.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án sử dụng những lý thuyết tấm và vỏ nào để phân tích ổn định kết cấu?

Tác giả sử dụng ba lý thuyết cơ học kết cấu chính:

  • Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT): Áp dụng cho tấm FGM có gân gia cường chịu tải cơ và nhiệt (Bài toán 1, Chương 2).
  • Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (TSDT): Áp dụng cho tấm FGM có gân gia cường (Bài toán 2, Chương 2) và vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường (Chương 3).
  • Lý thuyết vỏ cổ điển (CST): Áp dụng cho bài toán ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường chịu tải cơ (Chương 4).

2. Điểm khác biệt giữa mô hình gân FGM của luận án so với các nghiên cứu gân trước đây là gì?

Phần lớn các nghiên cứu trước đây xem gân gia cường là vật liệu thuần nhất (hoàn toàn kim loại hoặc hoàn toàn gốm). Luận án xây dựng mô hình gân là vật liệu cơ tính biến thiên FGM, trong đó cơ tính của gân ($E_{sx}, E_{sy}, \alpha_{sx}, \alpha_{sy}$) biến đổi liên tục theo chiều dày gân và bảo đảm tính liên tục về mặt cơ học tại mặt tiếp xúc với tấm/vỏ ($z = -h/2$). Kết quả số cho thấy tấm gia cường gân FGM có tải tới hạn cao hơn tấm gia cường gân thuần nhất ở cùng giá trị chỉ số thể tích $k$.

3. Nền đàn hồi được mô hình hóa như thế nào trong luận án?

Nền đàn hồi được mô tả theo mô hình hai tham số Pasternak với giả thiết tiếp xúc không ma sát và không tách rời giữa kết cấu và nền. Lực tương tác nền được xác định qua công thức $q_f = K_1 w - K_2 (w_{,xx} + w_{,yy})$, trong đó $K_1$ $(\text{N/m}^3)$ là mô đun nền Winkler biểu thị độ cứng đàn hồi chống lún, và $K_2$ $(\text{N/m})$ là độ cứng lớp trượt Pasternak biểu thị tương tác cắt giữa các phần tử nền.

4. Bốn mô hình kết cấu vỏ trụ tròn sandwich FGM trong Chương 3 được cấu tạo như thế nào?

Bốn mô hình được phân chia theo vị trí các lớp:

  • Kiểu A1 và A2: Vỏ sandwich có lớp lõi ở giữa làm bằng vật liệu FGM, hai lớp phủ bề mặt bên trong và bên ngoài là vật liệu thuần nhất (kim loại hoặc gốm).
  • Kiểu B1 và B2: Vỏ sandwich có lớp lõi ở giữa là vật liệu thuần nhất, hai lớp bề mặt bên trong và bên ngoài là các lớp vật liệu FGM.

5. Phương pháp toán học nào được dùng để xác định tải tới hạn và đường cong tải - độ võng?

Tác giả sử dụng phương pháp giải tích Galerkin. Chuyển vị võng $w$ và các góc xoay $\phi_x, \phi_y$ được biểu diễn dưới dạng chuỗi hàm lượng giác trực giao thỏa mãn điều kiện biên tựa đơn. Sau khi thế các biểu thức chuyển vị và hàm ứng suất vào phương trình vi phân phi tuyến và áp dụng phép chiếu trực giao Galerkin, tác giả thu được phương trình đại số phi tuyến tường minh cho phép rút ra tải tới hạn rẽ nhánh và thiết lập đường cong quan hệ tải - độ võng sau tới hạn.

Kết luận

Luận án của tác giả Nguyễn Thị Nga đã xây dựng một hệ thống giải pháp giải tích hoàn chỉnh để phân tích ổn định tĩnh tuyến tính, phi tuyến và sau tới hạn cho ba dạng kết cấu cơ bản gồm tấm phẳng, vỏ trụ tròn sandwich và vỏ nón cụt sandwich làm từ vật liệu FGM có gân gia cường FGM trên nền đàn hồi Pasternak. Bằng việc kết hợp các lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (FSDT, TSDT), kỹ thuật san đều gân Lekhnitskii và phương pháp Galerkin, công trình đã cung cấp các công thức hiển xác định tải tới hạn cơ học và nhiệt độ tới hạn, đồng thời làm sáng tỏ quy luật ứng xử phi tuyến cơ - nhiệt của kết cấu. Các kết quả của luận án đóng góp cơ sở khoa học và dữ liệu tính toán tin cậy cho bài toán phân tích, thiết kế các kết cấu composite biến tính chịu lực và chịu nhiệt trong kỹ thuật hiện đại.