Luận văn thạc sĩ một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Luận văn thạc sĩ phân tích các mô hình ngẫu nhiên ứng dụng trong tài chính giúp hiểu rõ biến động thị trường và quản lý rủi ro hiệu quả

• Tác giả: Trần Phương Dung
• Người hướng dẫn: Tiến Sĩ Trần Trọng Nguyên
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Tài chính
• Đề tài: Một Số Mô Hình Ngẫu Nhiên Trong Tài Chính
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Quá trình ngẫu nhiên
• 1.2. Tích phân ngẫu nhiên
• 1.3. Các khái niệm cơ bản trong tài chính
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH
• 2.1. Mô hình định giá trái phiếu
• 2.2. Mô hình định giá cổ phiếu
• 2.3. Mô hình định giá quyền chọn
• 2.4. Hàm lỗ - lãi và một số tính chất
• 2.5. Sự tồn tại của P*
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Mô hình ngẫu nhiên trong tài chính đã trở thành một công cụ quan trọng trong việc phân tích và định giá tài sản tài chính. Các mô hình này giúp các nhà đầu tư và nhà phân tích hiểu rõ hơn về sự biến động của thị trường và các yếu tố ảnh hưởng đến giá trị tài sản. Luận văn thạc sĩ này sẽ trình bày một số mô hình ngẫu nhiên phổ biến, bao gồm mô hình Markov, mô hình GARCH và các mô hình định giá quyền chọn.

1.1. Khái niệm về mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Mô hình ngẫu nhiên là một công cụ toán học dùng để mô tả các hiện tượng ngẫu nhiên trong tài chính. Chúng giúp phân tích các biến động giá cả và rủi ro tài chính. Các mô hình này thường được áp dụng trong việc định giá tài sản, quản lý danh mục đầu tư và phân tích rủi ro.

1.2. Tầm quan trọng của mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Mô hình ngẫu nhiên cung cấp các công cụ cần thiết để dự đoán và phân tích các biến động của thị trường tài chính. Chúng giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định thông minh hơn và giảm thiểu rủi ro. Việc áp dụng các mô hình này đã trở thành một phần không thể thiếu trong các chiến lược đầu tư hiện đại.

II. Vấn đề và thách thức trong việc áp dụng mô hình ngẫu nhiên

Mặc dù mô hình ngẫu nhiên mang lại nhiều lợi ích, nhưng việc áp dụng chúng trong thực tế cũng gặp phải nhiều thách thức. Các vấn đề như độ chính xác của dữ liệu, sự phức tạp của mô hình và khả năng dự đoán chính xác là những yếu tố cần được xem xét.

2.1. Độ chính xác của dữ liệu trong mô hình ngẫu nhiên

Độ chính xác của dữ liệu đầu vào là yếu tố quyết định đến hiệu quả của mô hình ngẫu nhiên. Dữ liệu không chính xác có thể dẫn đến những dự đoán sai lầm và quyết định đầu tư không hợp lý. Do đó, việc thu thập và xử lý dữ liệu chính xác là rất quan trọng.

2.2. Sự phức tạp của mô hình ngẫu nhiên

Nhiều mô hình ngẫu nhiên có cấu trúc phức tạp, yêu cầu kiến thức chuyên sâu về toán học và thống kê. Điều này có thể gây khó khăn cho những người không có nền tảng vững chắc trong lĩnh vực này. Việc hiểu và áp dụng các mô hình này đòi hỏi thời gian và công sức.

III. Phương pháp chính trong mô hình ngẫu nhiên tài chính

Có nhiều phương pháp khác nhau được sử dụng trong mô hình ngẫu nhiên tài chính, bao gồm mô hình GARCH, mô hình Markov và mô hình định giá quyền chọn. Mỗi phương pháp có những ưu điểm và nhược điểm riêng, phù hợp với từng loại tài sản và điều kiện thị trường.

3.1. Mô hình GARCH trong phân tích tài chính

Mô hình GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) được sử dụng để mô tả sự biến động của giá tài sản theo thời gian. Mô hình này giúp các nhà phân tích hiểu rõ hơn về rủi ro và sự biến động của thị trường, từ đó đưa ra các quyết định đầu tư hợp lý.

3.2. Mô hình Markov trong dự đoán giá tài sản

Mô hình Markov là một công cụ mạnh mẽ trong việc dự đoán giá tài sản. Mô hình này dựa trên giả định rằng giá tài sản trong tương lai chỉ phụ thuộc vào giá hiện tại, không phụ thuộc vào quá khứ. Điều này giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và dự đoán.

IV. Ứng dụng thực tiễn của mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Mô hình ngẫu nhiên đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực tài chính, từ định giá tài sản đến quản lý rủi ro. Các ứng dụng này không chỉ giúp cải thiện hiệu quả đầu tư mà còn giúp các tổ chức tài chính quản lý rủi ro một cách hiệu quả hơn.

4.1. Định giá quyền chọn và mô hình Black Scholes

Mô hình Black-Scholes là một trong những mô hình nổi tiếng nhất trong việc định giá quyền chọn. Mô hình này cung cấp một công thức đơn giản để tính toán giá trị của quyền chọn, giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định thông minh hơn.

4.2. Quản lý danh mục đầu tư với mô hình ngẫu nhiên

Mô hình ngẫu nhiên cũng được sử dụng trong việc quản lý danh mục đầu tư. Các nhà đầu tư có thể sử dụng các mô hình này để tối ưu hóa danh mục đầu tư của mình, giảm thiểu rủi ro và tối đa hóa lợi nhuận.

V. Kết luận và tương lai của mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Mô hình ngẫu nhiên trong tài chính đã chứng minh được giá trị của mình trong việc phân tích và định giá tài sản. Tương lai của các mô hình này hứa hẹn sẽ còn phát triển hơn nữa với sự tiến bộ của công nghệ và khoa học dữ liệu.

5.1. Xu hướng phát triển của mô hình ngẫu nhiên

Với sự phát triển của công nghệ thông tin và khoa học dữ liệu, các mô hình ngẫu nhiên sẽ ngày càng trở nên chính xác và hiệu quả hơn. Các nhà nghiên cứu đang tìm kiếm những phương pháp mới để cải thiện khả năng dự đoán và phân tích của các mô hình này.

5.2. Thách thức trong việc áp dụng mô hình ngẫu nhiên trong tương lai

Mặc dù có nhiều tiềm năng, nhưng việc áp dụng mô hình ngẫu nhiên trong thực tế vẫn gặp phải nhiều thách thức. Các nhà đầu tư cần phải cẩn trọng trong việc sử dụng các mô hình này và luôn cập nhật kiến thức mới để đưa ra quyết định đúng đắn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực tài chính hiện đại, các mô hình ngẫu nhiên đóng vai trò then chốt trong việc phân tích và định giá tài sản tài chính. Theo ước tính, thị trường tài chính toàn cầu có giá trị giao dịch hàng nghìn tỷ USD mỗi ngày, đòi hỏi các công cụ định giá chính xác và hiệu quả. Luận văn tập trung nghiên cứu một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính, đặc biệt là các mô hình định giá trái phiếu, cổ phiếu và quyền chọn, nhằm hệ thống hóa kiến thức và làm rõ mối liên hệ giữa mô hình thời gian rời rạc và liên tục. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các mô hình từ năm 1973 đến 2012, với trọng tâm tại thị trường tài chính Việt Nam và quốc tế. Mục tiêu cụ thể là xây dựng khung lý thuyết vững chắc, áp dụng các mô hình như mô hình cây nhị phân, mô hình GBM, mô hình Vasicek, CIR và Black-Scholes để định giá các công cụ tài chính phức tạp. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả quản lý rủi ro, tối ưu hóa danh mục đầu tư và phát triển các sản phẩm tài chính mới, góp phần thúc đẩy sự phát triển bền vững của thị trường tài chính.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, tích phân Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính để mô hình hóa biến động giá tài sản. Hai mô hình lý thuyết trọng tâm là:

• Mô hình cây nhị phân (CRR): Mô hình rời rạc mô tả giá cổ phiếu biến động theo hai hướng tăng hoặc giảm với xác suất xác định, cho phép định giá quyền chọn qua phương pháp quy nạp ngược.
• Mô hình Black-Scholes: Mô hình liên tục sử dụng chuyển động Brown hình học (GBM) để mô tả giá cổ phiếu, cung cấp công thức định giá quyền chọn chuẩn với giả định thị trường không có cơ hội chênh lệch giá (ac-bit).

Các khái niệm chính bao gồm: quá trình Wiener, martingale, xác suất trung hòa rủi ro, danh mục tự cân đối tài chính, và các loại quyền chọn (kiểu Âu, kiểu Mỹ, quyền chọn Barrier). Ngoài ra, các mô hình định giá trái phiếu như Vasicek và CIR được sử dụng để mô tả cấu trúc kì hạn của lãi suất với tính ngẫu nhiên.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp tổng hợp lý thuyết toán học và mô hình hóa tài chính, kết hợp phân tích định lượng dựa trên dữ liệu thị trường thực tế. Nguồn dữ liệu bao gồm chuỗi giá cổ phiếu BBC từ năm 2009 với 250 phiên giao dịch, dữ liệu trái phiếu và lãi suất thị trường. Phương pháp phân tích chính là xây dựng mô hình cây nhị phân, ước lượng tham số dựa trên lợi suất và phương sai, áp dụng tích phân Itô và công thức Itô để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên. Quá trình nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian từ 2009 đến 2012, với các bước: thu thập dữ liệu, ước lượng tham số, mô phỏng mô hình, so sánh kết quả dự báo với giá thực tế và phân tích sai số.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả mô hình cây nhị phân trong dự báo giá cổ phiếu ngắn hạn: Qua phân tích chuỗi giá cổ phiếu BBC, mô hình cây nhị phân cho kết quả dự báo sát với giá thực tế trong khoảng 1-50 phiên đầu, với sai số trung bình dưới 15%. Tuy nhiên, sai số tăng dần khi dự báo dài hạn hơn, cho thấy hạn chế của mô hình trong việc dự báo dài hạn.

2. Mô hình GBM phù hợp với biến động giá cổ phiếu trong thời gian liên tục: Mô hình GBM mô tả chính xác đặc điểm lợi suất cổ phiếu với kì vọng µ = 20%/năm và độ dao động σ = 40%/năm, phù hợp với dữ liệu thực tế. Kì vọng giá cổ phiếu theo mô hình là $E(S_t) = S_0 e^{\mu t}$, phương sai tăng theo thời gian, phản ánh tính biến động thực tế của thị trường.

3. Mối liên hệ giữa mô hình rời rạc và liên tục qua giới hạn mô hình CRR: Khi số bước n → ∞, mô hình cây nhị phân hội tụ về mô hình Black-Scholes, với xác suất trung hòa rủi ro p → 0.5 và phân phối nhị thức tiến tới phân phối chuẩn. Điều này khẳng định tính nhất quán và khả năng mở rộng của mô hình rời rạc sang mô hình liên tục.

4. Định giá quyền chọn kiểu Âu và Mỹ: Công thức quy nạp ngược cho quyền chọn kiểu Mỹ cho thấy giá trị quyền chọn tại thời điểm t là giá trị lớn nhất giữa giá thực hiện ngay và giá kỳ vọng chiết khấu của quyền chọn trong tương lai. Định lí thời điểm dừng tối ưu xác định thời điểm thực hiện quyền chọn hiệu quả nhất, giúp tối ưu hóa chiến lược đầu tư.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân mô hình cây nhị phân hiệu quả trong ngắn hạn là do tính đơn giản và khả năng mô phỏng biến động giá theo từng bước nhỏ, phù hợp với dữ liệu có tần suất cao. Tuy nhiên, khi dự báo dài hạn, mô hình không thể bắt kịp các yếu tố phức tạp và biến động liên tục của thị trường, dẫn đến sai số tăng. Mô hình GBM với giả định lợi suất log chuẩn và chuyển động Brown phù hợp hơn với thực tế thị trường liên tục, đồng thời là nền tảng cho mô hình Black-Scholes. Việc chứng minh sự hội tụ của mô hình CRR về Black-Scholes qua giới hạn toán học giúp liên kết hai phương pháp định giá, tạo điều kiện áp dụng linh hoạt trong thực tế. So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả phù hợp với lý thuyết tài chính hiện đại, đồng thời bổ sung các ví dụ ứng dụng cụ thể tại thị trường Việt Nam. Các biểu đồ phân phối lợi suất, sai số dự báo và giá quyền chọn theo thời gian có thể minh họa trực quan các phát hiện trên.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng mô hình cây nhị phân cho dự báo ngắn hạn: Khuyến nghị các nhà đầu tư và tổ chức tài chính sử dụng mô hình cây nhị phân để dự báo biến động giá cổ phiếu trong khoảng thời gian ngắn (dưới 50 phiên), nhằm tối ưu hóa chiến lược giao dịch nhanh và giảm thiểu rủi ro.

2. Sử dụng mô hình GBM và Black-Scholes cho định giá quyền chọn và quản lý rủi ro dài hạn: Các công ty chứng khoán và quỹ đầu tư nên áp dụng mô hình GBM và công thức Black-Scholes để định giá quyền chọn kiểu Âu và Mỹ, đồng thời xây dựng danh mục tự cân đối tài chính nhằm phòng hộ rủi ro hiệu quả trong dài hạn.

3. Phát triển hệ thống phần mềm mô phỏng và phân tích mô hình ngẫu nhiên: Đề xuất xây dựng phần mềm tích hợp các mô hình ngẫu nhiên, cho phép mô phỏng, ước lượng tham số và dự báo giá tài sản tài chính, hỗ trợ quyết định đầu tư và quản lý danh mục.

4. Đào tạo và nâng cao nhận thức về mô hình tài chính hiện đại: Các trường đại học và tổ chức đào tạo cần cập nhật chương trình giảng dạy, tập trung vào các mô hình ngẫu nhiên trong tài chính, giúp sinh viên và chuyên gia nắm vững kiến thức và kỹ năng ứng dụng thực tiễn.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Tài chính - Toán ứng dụng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp nghiên cứu chuyên sâu về mô hình ngẫu nhiên, hỗ trợ học tập và nghiên cứu khoa học.

2. Chuyên gia phân tích tài chính và quản lý rủi ro: Các nhà phân tích có thể áp dụng các mô hình định giá và phòng hộ rủi ro để nâng cao hiệu quả quản lý danh mục đầu tư và dự báo biến động thị trường.

3. Nhà đầu tư cá nhân và tổ chức: Luận văn giúp hiểu rõ cơ chế vận hành của các công cụ tài chính phức tạp như quyền chọn, trái phiếu, từ đó đưa ra quyết định đầu tư chính xác và hiệu quả hơn.

4. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực tài chính toán học: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá để phát triển các đề tài nghiên cứu mới, giảng dạy và ứng dụng mô hình ngẫu nhiên trong tài chính.

Câu hỏi thường gặp

1. Mô hình cây nhị phân có ưu điểm gì so với mô hình liên tục?
   Mô hình cây nhị phân đơn giản, dễ hiểu và dễ triển khai trên dữ liệu rời rạc, phù hợp với dự báo ngắn hạn. Tuy nhiên, nó không mô phỏng được biến động liên tục và phức tạp như mô hình liên tục.

2. Tại sao mô hình GBM được sử dụng phổ biến trong định giá tài sản?
   GBM giả định lợi suất log chuẩn và biến động liên tục, phù hợp với đặc điểm thực tế của giá cổ phiếu, đồng thời cho phép áp dụng công thức Black-Scholes để định giá quyền chọn chính xác.

3. Xác suất trung hòa rủi ro là gì và vai trò của nó?
   Đó là xác suất giả định mà theo đó giá tài sản chiết khấu là martingale, giúp loại bỏ yếu tố rủi ro trong định giá tài sản phái sinh, đảm bảo thị trường không có cơ hội chênh lệch giá.

4. Quyền chọn kiểu Mỹ khác gì so với kiểu Âu?
   Quyền chọn kiểu Mỹ có thể thực hiện bất kỳ lúc nào trước hoặc tại ngày đáo hạn, trong khi quyền chọn kiểu Âu chỉ được thực hiện tại ngày đáo hạn, tạo sự linh hoạt hơn cho nhà đầu tư.

5. Làm thế nào để phòng hộ rủi ro hiệu quả với quyền chọn?
   Phòng hộ rủi ro được thực hiện bằng cách xây dựng danh mục tự cân đối tài chính, sử dụng số lượng cổ phiếu và trái phiếu phù hợp theo hàm delta (đạo hàm giá quyền chọn theo giá tài sản cơ sở), giúp giảm thiểu rủi ro biến động giá.

Kết luận

• Luận văn hệ thống hóa các mô hình ngẫu nhiên quan trọng trong tài chính, từ mô hình cây nhị phân đến mô hình Black-Scholes, làm rõ mối liên hệ giữa mô hình thời gian rời rạc và liên tục.
• Kết quả nghiên cứu chứng minh hiệu quả của mô hình cây nhị phân trong dự báo ngắn hạn và mô hình GBM trong mô phỏng biến động giá cổ phiếu liên tục.
• Định giá quyền chọn kiểu Âu và Mỹ được xây dựng dựa trên nguyên tắc xác suất trung hòa rủi ro và phương pháp quy nạp ngược, giúp tối ưu hóa chiến lược đầu tư và phòng hộ rủi ro.
• Luận văn đề xuất các giải pháp ứng dụng mô hình trong thực tế, đồng thời khuyến nghị phát triển công nghệ và đào tạo chuyên sâu trong lĩnh vực tài chính toán học.
• Các bước tiếp theo bao gồm mở rộng nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên cho các sản phẩm tài chính phức tạp hơn và phát triển phần mềm hỗ trợ mô phỏng, dự báo thị trường.

Hành động ngay hôm nay: Các nhà nghiên cứu và chuyên gia tài chính nên áp dụng các mô hình này để nâng cao hiệu quả quản lý rủi ro và tối ưu hóa danh mục đầu tư trong bối cảnh thị trường ngày càng biến động.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên R+ × Ω, lấy giá trị trong R và là hàm đo được đối với σ - trường tích BR+ × F , trong đó BR+ là σ - trường các tập Borel trên R+. Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán St , giá trái khoán Pt , giá sản phẩm phái sinh Ct. đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc Một họ các σ - trường con (Ft , t ≥ 0) của F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: • (Ft ) là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊆ Ft nếu s ≤ t, • (Ft ) là liên tục phải, tức là Ft = ∩>0 Ft+ , • Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0.

Một quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt , t ≥ 0) gọi là thích nghi với bộ lọc (Ft , t ≥ 0) nếu với mọi t, Yt là đo được đối với σ - trường Ft. Xét một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ) và σ - trường FtX sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ(Xs , s ≤ t). σ - trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Ta gọi đó là bộ lọc tự 3 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X.

Khi đó mọi quá trình X = (Xt , t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó.3 Martingale Định nghĩa 1. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với bộ lọc (Ft ) và khả tích E|Xt | < ∞ với mọi t ≥ 0. Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t. Nếu E(Xt | Fs ) ≤ Xs thì X gọi là martingale trên; 2.

Nếu E(Xt | Fs ) ≥ Xs thì X gọi là martingale dưới; 3.4 Thời điểm dừng Cho một không gian xác suất (Ω, F , P) và bộ lọc (Ft ). Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0 {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft. Một thời điểm Markov được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là P{ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 là một quá trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: 1. X0 = 0 hầu chắc chắn.

Hiệu Xt − Xs là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t). Các số gia Xt4 − Xt3 và Xt2 − Xt1 (với mọi t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. Kí hiệu W = (Wt , t ≥ 0) là một chuyển động Brown. Khi đó Wt là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó, với Ft = FtW = σ(Ws , s ≤ t) là σ− trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính đến thời điểm t.

4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, G ⊂ F là một σ− trường con của F , X : (Ω, F ) → (R, BR ) là một biến ngẫu nhiên. Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ được gọi là kì vọng có điều kiện của X đối với σ− trường G nếu: • X ∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G • Với mọi tập A ∈ G thì ta có Z Z ∗ X dP = XdP. A A Biến ngẫu nhiên X ∗ này được kí hiệu là E(X|G). Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên trên Ω.

Khi đó có các tính chất sau: 1. Với a, b là hai số thực bất kì thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G). Nếu X độc lập với G thì E(X|G) = EX.2 Tích phân ngẫu nhiên 1.1 Tích phân Itô Cho f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên và Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, tất cả quỹ đạo của f và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b. Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]: a = t0 < t1 <.

< tn = b và lập tổng tích phân Pn−1 Sn (ω) = i=0 f (ti , ω)[W (ti+1 , ω) − W (ti , ω)] trong đó f (ti , ω) là giá trị của f (t, ω) tại đúng t = ti. Khi max |ti+1 − ti | → 0, nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên S ∗ (ω) sao cho 5 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] E|Sn (ω) − S ∗ (ω)|2 → 0 khi n → ∞ thì S ∗ (ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f (t, ω) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là Rb I= a f (t, ω)dWt. Giới hạn S ∗ (ω) chính là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của Sn (ω), kí hiệu là l. Vậy tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) là giới hạn n→∞ theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại: Zb X   I= f (t, ω)dWt = l.m f (ti , ω) Wti+1 − Wti max|ti+1 −ti |→0 a Các tính chất quan trọng của tích phân Itô Rt 1.

Tích phân Itô là Xt = 0 f (s, ω)dWs là một martingale đối với σ− trường FtW .2 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 1.1 Vi phân Itô Giả sử X = (Xt )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: 1. Hầu hết các quỹ đạo t → Xt là liên tục, Rt Rt 2. Xt có biểu diễn Xt = X0 + 0 h(t, ω)ds + 0 f (s, ω)dWs trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX - là một biểu thức hình thức được viết như sau: dXt = h(t, ω)dt + f (t, ω)dWt .2 Công thức Itô Định lí 1. Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + f dW.

Giả sử g(t, x) : R2 → R 6 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt ) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi ∂g ∂g 1 ∂2g dYt = (t, Xt )dt + (t, Xt )dXt + (t, Xt )f 2 (t, ω)dt.1) ∂t ∂x 2 ∂x2 Đó là công thức Itô, có dạng tương đương sau: Z t Z t Z ∂g ∂g 1 t ∂2 Yt = g(0, X0) + (s, Xs )ds + (s, Xs )dXs + 2 (s, Xs )f 2 (s, ω)ds.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương trình có dạng: dXt = [a(t)Xt + b(t)]dt + [c(t)Xt + d(t)]dWt , (1.3) trong đó a(t), b(t), c(t), d(t) là các quá trình thích nghi và liên tục theo t.2 Lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phương trình (1.3) với điều kiện ban đầu X0 = Z, (1.4) trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt , t ≥ 0) sao cho E(Z 2 ) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau: 1. Xt là thích nghi với Ft = FtW = σ(Ws , s ≥ t) và là đo được đối với σ− trường tích B[0,T ] × Ft , Rt 2.

Xt thỏa mãn các hệ thức (1.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov Xét bộ lọc F = FW và σ− đại số FT. Ta xác định một biến ngẫu nhiên 1 Z(T ) = exp(−aW (T ) − a2 T ).5) 2 7 TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Rõ ràng Z(T ) ≥ 0 và EP Z(T ) = 1, do đó ta có thể dùng Z(T ) để xác định một độ đo xác suất mới Q trên FT với Q(F ) = EP 1F Z(T ) với mọi F ∈ FT .6) Với t ∈ [0, T ] tùy ý ta có
Z(T ) = Z(t) exp − a(W (T ) − W (t)) − 21 a2 (T − t) , với Z(t) = exp(−aW (t) − 21 a2 t) là Ft − đo được. Từ tính chất của phân phối chuẩn suy ra
EP exp − a(W (T ) − W (t)) − 12 a2 (T − t) = 1.
Ngoài ra EP [Z(T )|Ft] = Z(t)EP [exp(−a(W (T ) − W (t)) − 12 a2 (T − t) )|Ft ] = Z(t).

Do đó {Z(t) : t ∈ [0, T ]} là một martingale dưới hạn chế của F. Ta đã biết EP W (T ) = 0, vậy còn EQ W (T )? Ta có 1 EQ W (T ) = EP [W (T )Z(T )] = EP (W (T ) exp(−aW (T ))) exp(− a2 T ) = −aT, 2 vì EP (W (T ) exp(−aW (T ))) = −aT exp( 12 a2 T ). Một cách tương tự ta cũng tính được EQ W (t) = −at. Như vậy dưới độ đo Q, quá trình W không là chuyển động Brown.

Để khắc phục vấn đề này, ta sẽ xét quá trình W Q xác định bởi W Q (t) = W (t) + at (1. Kết quả dưới đây được biết đến là định lí Girsanov cho trường hợp đơn giản. Quá trình W Q xác định như trên là một chuyển động Brown trên miền thời gian [0, T ] dưới xác suất Q. Dưới đây là hệ quả của nó.

Cho X là một quá trình xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) cho bởi X(t) = at + σW (t), trong đó W là một chuyển động Brown (hạn chế dưới P). Định nghĩa một xác suất mới Q trên (Ω, FT ) bởi dQ dP = Z(T ) = exp(−γWT − 12 γ 2 T ), với γ = a−b σ. Có thể chỉ ra rằng Q là độ đo xác suất duy nhất sao cho X có thể được viết dưới dạng X(t) = bt + σW (t), trong đó W là chuyển động Brown dưới Q. Vì vậy, Z(T ) cũng là biến ngẫu nhiên duy nhất đưa ra độ đo Q để X có biểu diễn trên.