Luận án tiến sĩ toán học kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế

Luận án tiến sĩ nghiên cứu toán học kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các, phát triển phương pháp mới, đánh giá hiệu quả ứng dụng

• Tác giả: Hồ Thị Minh Phương
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Thị Tân An
• Trường học: Đại học Huế - Trường Đại học Sư phạm
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Huế

Tóm tắt

I. Luận án tiến sĩ Toán học

Luận án tiến sĩ Toán học của Hồ Thị Minh Phương tập trung vào việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Nghiên cứu này nhằm mục đích khảo sát khả năng của học sinh trong việc sử dụng và kết hợp hai loại kiến thức này để giải quyết các bài toán thực tiễn. Luận án đã sử dụng phương pháp nghiên cứu hỗn hợp, kết hợp định lượng và định tính, để thiết kế và phân tích dữ liệu. Kết quả nghiên cứu cho thấy sự cần thiết của việc tích hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình trong giáo dục toán học, đặc biệt là trong việc giải quyết các vấn đề thực tế.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận án tiến sĩ Toán học là khảo sát khả năng của học sinh trong việc sử dụng kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Nghiên cứu cũng nhằm đề xuất các phương pháp dạy học hiệu quả để thúc đẩy sự hiểu biết và ứng dụng của học sinh về các khái niệm toán học trong thực tiễn. Luận án đã sử dụng các công cụ nghiên cứu như bảng hỏi, bài kiểm tra và thực nghiệm dạy học để thu thập và phân tích dữ liệu.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Luận án tiến sĩ Toán học sử dụng phương pháp nghiên cứu hỗn hợp, kết hợp giữa định lượng và định tính. Các công cụ nghiên cứu bao gồm bảng hỏi, bài kiểm tra và thực nghiệm dạy học. Dữ liệu được thu thập từ học sinh lớp 10 tại các trường THPT ở khu vực Nam Trung Bộ và Tây Nguyên. Phương pháp phân tích dữ liệu bao gồm thống kê mô tả và kiểm định giả thuyết để đánh giá hiệu quả của các phương pháp dạy học được đề xuất.

II. Kiến thức quy trình và khái niệm phương trình

Kiến thức quy trình và khái niệm phương trình là hai yếu tố quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế trong toán học. Kiến thức quy trình liên quan đến các bước và quy trình giải quyết vấn đề, trong khi khái niệm phương trình tập trung vào việc hiểu và áp dụng các khái niệm toán học. Luận án đã phân tích sâu về mối quan hệ giữa hai loại kiến thức này và cách chúng có thể được kết hợp để nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề của học sinh.

2.1. Kiến thức quy trình

Kiến thức quy trình là kiến thức về các bước và quy trình cần thiết để giải quyết một vấn đề toán học. Trong luận án tiến sĩ Toán học, kiến thức quy trình được xem xét trong bối cảnh giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến phương trình toán học. Nghiên cứu chỉ ra rằng việc hiểu và áp dụng đúng các quy trình có thể giúp học sinh giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn.

2.2. Khái niệm phương trình

Khái niệm phương trình là sự hiểu biết về các khái niệm toán học liên quan đến phương trình, bao gồm cấu trúc, ý nghĩa và cách áp dụng chúng trong các tình huống thực tế. Luận án đã phân tích cách học sinh sử dụng khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế và nhận thấy rằng việc hiểu sâu về khái niệm giúp học sinh áp dụng toán học một cách linh hoạt và sáng tạo.

III. Giải quyết vấn đề thực tế

Giải quyết vấn đề thực tế là một trong những mục tiêu chính của luận án tiến sĩ Toán học. Nghiên cứu tập trung vào việc khảo sát khả năng của học sinh trong việc sử dụng kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc kết hợp hai loại kiến thức này có thể giúp học sinh giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn, đặc biệt là trong các tình huống thực tế phức tạp.

3.1. Vấn đề thực tế

Vấn đề thực tế là những tình huống trong cuộc sống hàng ngày đòi hỏi sự áp dụng kiến thức toán học để giải quyết. Luận án tiến sĩ Toán học đã khảo sát khả năng của học sinh trong việc sử dụng kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Nghiên cứu chỉ ra rằng việc hiểu và áp dụng đúng các khái niệm và quy trình có thể giúp học sinh giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn.

3.2. Phương pháp giải quyết

Phương pháp giải quyết vấn đề trong luận án tiến sĩ Toán học bao gồm việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình. Nghiên cứu đã đề xuất các phương pháp dạy học hiệu quả để thúc đẩy khả năng giải quyết vấn đề của học sinh, bao gồm việc sử dụng các tình huống thực tế và các bài toán có nội dung thực tiễn để giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức toán học một cách linh hoạt.

IV. Ứng dụng thực tế

Ứng dụng thực tế của luận án tiến sĩ Toán học nằm ở việc đề xuất các phương pháp dạy học hiệu quả để thúc đẩy khả năng giải quyết vấn đề của học sinh. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình có thể giúp học sinh giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả hơn. Luận án cũng đề xuất các giải pháp để nâng cao chất lượng dạy và học toán học trong các trường phổ thông.

4.1. Giải pháp toán học

Giải pháp toán học được đề xuất trong luận án tiến sĩ Toán học bao gồm việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng các giải pháp này có thể giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức toán học một cách linh hoạt và sáng tạo hơn.

4.2. Nâng cao chất lượng dạy học

Luận án tiến sĩ Toán học đã đề xuất các phương pháp dạy học hiệu quả để nâng cao chất lượng dạy và học toán học trong các trường phổ thông. Các phương pháp này bao gồm việc sử dụng các tình huống thực tế và các bài toán có nội dung thực tiễn để giúp học sinh hiểu và áp dụng kiến thức toán học một cách linh hoạt và sáng tạo hơn.

V. Nghiên cứu toán học

Nghiên cứu toán học trong luận án tiến sĩ Toán học tập trung vào việc khảo sát khả năng của học sinh trong việc sử dụng kiến thức quy trình và khái niệm phương trình để giải quyết các vấn đề thực tế. Nghiên cứu đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu hỗn hợp để thu thập và phân tích dữ liệu, từ đó đề xuất các phương pháp dạy học hiệu quả để thúc đẩy khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.

5.1. Lý thuyết và thực tiễn

Lý thuyết và thực tiễn trong luận án tiến sĩ Toán học được kết hợp một cách chặt chẽ để đảm bảo tính hiệu quả của các phương pháp dạy học được đề xuất. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm phương trình có thể giúp học sinh giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả hơn.

5.2. Phương trình thực tế

Phương trình thực tế là những phương trình được sử dụng để giải quyết các vấn đề thực tế trong cuộc sống hàng ngày. Luận án tiến sĩ Toán học đã khảo sát khả năng của học sinh trong việc sử dụng phương trình thực tế để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Nghiên cứu chỉ ra rằng việc hiểu và áp dụng đúng các phương trình có thể giúp học sinh giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng quan kết quả của một số nghiên cứu về ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề, vai trò của kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kiến thức bối cảnh trong việc hình thành năng lực toán học của HS, vai trò của nội dung phương trình và tầm quan trọng của các vấn đề thực tế trong chương trình toán phổ thông, kết hợp với phân tích những khó khăn của HS khi sử dụng ba loại kiến thức giải quyết các vấn đề thực tế về nội dung phương trình để làm cơ sở đặt ra vấn đề nghiên cứu của luận án. Ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề Sự hỗ trợ của kỹ năng tính toán và hiểu biết khái niệm đối với quá trình giải quyết vấn đề là một trong những mối quan tâm từ rất sớm trong giáo dục toán và đến nay vẫn là một thách thức để hiểu được quá trình tư duy toán học của HS (Alcock và cộng sự, 2016). Skemp (1976) phân biệt hai loại kiến thức trong giải quyết vấn đề toán học, đó là kiến thức về công cụ và kiến thức về các mối quan hệ: kiến thức về công cụ là nắm các quy tắc, quy trình mà không gắn với ý nghĩa, trong khi kiến thức về các mối quan hệ đòi hỏi các kết nối khái niệm và giải thích lý do tại sao các quy tắc, quy trình hoạt động. Skemp đã thảo luận về những lợi thế nhất định của việc thúc đẩy một trong hai loại kiến thức này.

Kiến thức về công cụ có thể có lợi trong thời gian ngắn và bối cảnh hạn chế, trong khi kiến thức về các mối quan hệ sẽ tốt hơn cho việc giải quyết vấn đề trong những bối cảnh rộng lớn hơn. Skemp xem kiến thức về công cụ và quan hệ là hai thái cực tách biệt với nhau. Sau đó, khi cuốn sách của Hiebert và Lefevre (1986) được xuất bản, các thuật ngữ "kiến thức khái niệm" và "kiến thức quy trình" đã được sử dụng rộng rãi để mô tả sự khác biệt giữa việc biết cách làm (quy trình) và biết tại sao làm như vậy (khái niệm) trong quá trình giải quyết vấn đề toán học. Rittle-Johnson và Koedinger (2005) bổ sung thêm kiến thức bối cảnh, và đề xuất kiến thức toán học để giải quyết vấn đề bao gồm ba loại kiến thức bổ sung cho nhau: kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kiến thức bối cảnh.

Mặc dù KTKN và KTQT không phải lúc nào cũng có thể tách rời, nhưng việc phân biệt hai loại kiến thức này là rất hữu ích và cần thiết để hiểu rõ hơn về quá trình giải quyết vấn đề của người học. Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một cách chi tiết từng loại kiến thức và tầm quan trọng của từng loại kiến thức trong quá trình GQVĐ của HS. Kiến thức khái niệm Theo Hiebert và Lefeve (1986), KTKN là kiến thức phong phú trong các mối quan hệ, có thể được xem như một mạng lưới kiến thức được kết nối với nhau. KTKN được đặc trưng bởi các liên kết và một đơn vị KTKN không thể là một mẫu thông tin cô lập.

Còn theo từ điển Merriam- Webster (2012), một khái niệm là "một ý tưởng trừu tượng hoặc tổng quát được khái quát hóa từ các trường hợp cụ thể". Kiến thức về các khái niệm thường được gọi là kiến thức khái niệm (Byrnes & Wasik, 1991; Canobi, 2009; Rittle-Johnson & cộng sự, 2001). Kiến thức này thường không gắn liền với các dạng vấn đề cụ thể, được thể hiện dưới dạng ẩn tàng hoặc tường minh, và do đó không nhất thiết phải diễn đạt bằng lời một cách rõ ràng (Goldin Meadow & cộng sự, 1993). Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC) cũng đưa ra một định nghĩa tương tự, kiến thức khái niệm là sự hiểu biết về các khái niệm, phép toán và quan hệ toán học (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001).

Loại kiến thức này đôi khi còn được gọi là hiểu khái niệm. Ví dụ về một câu hỏi đánh giá KTKN: “Cho hai phương trình sau: 213 x  476  984 (1) và  213x  476 x  984x (2). Không giải phương trình, em có thể nhận xét gì về tập nghiệm của hai phương trình này? Giải thích.” Để giải quyết bài toán này, HS cần hiểu được khái niệm phương trình hệ quả để nhận ra phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1), do đó tập nghiệm của (2) sẽ chứa tập nghiệm của (1). Theo Crooks và Alibali (2014), KTKN bao gồm 2 loại:  Kiến thức về các nguyên tắc chung như định nghĩa, quy tắc, tính chất.

Trong một số trường hợp, để hiểu nguyên tắc chung đòi hỏi phải có sự kết nối kiến thức. Ví dụ hiểu rằng dấu “=” biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng và cùng thuộc một phạm trù với dấu “>, <”, hoặc hiểu nguyên tắc nghịch đảo đòi hỏi phải hiểu các phép toán nghịch đảo liên quan như thế nào với nhau,.  Kiến thức về các nguyên tắc bên dưới các quy trình, biết quy trình nào là hiệu quả đối với một số vấn đề nhất định và biết mục đích của từng bước trong quy trình. Như vậy, HS có thể giải quyết vấn đề là chưa đủ mà các em còn phải có kiến thức khái niệm về quá trình giải quyết vấn đề đó.

Tuy nhiên, vẫn có khả năng HS chỉ cần ghi nhớ một quy trình đúng là có thể giải quyết thành công, nên những nhiệm vụ như vậy cần được sử dụng kết hợp với các nhiệm vụ không có quy trình để cung cấp đánh giá toàn diện về KTKN. 6 Star (2005) cho rằng KTKN không chỉ đơn thuần là kiến thức về các khái niệm mà còn bao gồm sự phong phú của các kết nối vốn có trong kiến thức đó. Định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa của Hiebert và LeFevre (1986), cho thấy đặc trưng rõ nhất của KTKN là sự kết nối các kiến thức với nhau cùng với sự hiểu biết sâu sắc các khái niệm và mối quan hệ của chúng trong mạng lưới kiến thức đó. Khi KTKN phát triển, các mạng lưới như vậy được liên tục sắp xếp và tổ chức lại.

Trong luận án chúng tôi hiểu kiến thức khái niệm là loại kiến thức được định nghĩa bởi Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC), là “sự hiểu biết các khái niệm, phép toán và quan hệ toán học” (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Kiến thức quy trình Một quy trình là một chuỗi các bước hoặc hành động được thực hiện để hoàn thành một mục tiêu. Quy trình có thể là (1) thuật toán - một dãy các hành động được xác định trước sẽ dẫn đến câu trả lời chính xác khi được thực hiện đúng, hoặc (2) các hành động có thể được sắp xếp theo trình tự thích hợp để giải quyết một vấn đề nhất định (ví dụ: các bước giải phương trình). Kiến thức về quy trình thường được gọi là kiến thức quy trình (Canobi, 2009; Rittle-Johnson và cộng sự, 2001; Rittle-Johnson & Schneider, 2015).

KTQT được phát triển thông qua việc thực hành giải quyết các vấn đề quen thuộc, và do đó gắn liền với các dạng vấn đề cụ thể. Hơn nữa, chính bản chất tuần tự rõ ràng của các quy trình khiến chúng khác biệt với các dạng kiến thức khác (Hiebert & Lefevre, 1986). Theo Hiebert và Lefevre (1986), KTQT gồm hai loại: “Một loại KTQT là sự quen thuộc với các ký hiệu và quy ước cú pháp của các cấu trúc trong hệ thống. Loại KTQT thứ hai bao gồm các quy tắc hoặc quy trình để giải quyết các vấn đề toán học, đó thường là chuỗi các mệnh lệnh để thao tác với các ký hiệu toán học”.

Trong định nghĩa trên của Hiebert và Lefevre, các mối quan hệ có trong KTQT chủ yếu là tuần tự, một bước trong quy trình được kết nối với bước tiếp theo, do đó dễ dẫn đến việc cho rằng KTQT là hời hợt, không có các kết nối phong phú. Tuy nhiên, có nhiều loại quy trình khác nhau và chất lượng của các kết nối trong một quy trình cũng khác nhau (Anderson, 1982). Một số quy trình là các thuật toán, nhưng một số quy trình cũng có tính khám phá. Việc thực hiện các quy trình khám phá đòi hỏi người học phải biết lựa chọn và tích hợp nhiều kỹ năng, các lựa chọn khôn ngoan để có thể chỉ ra KTQT sâu sắc.

Ví dụ, giải phương trình 4(4x  5  x)  7(4x  5  x)  24. Quy trình thuật toán: 7 −4(3𝑥 + 5) + 7(3𝑥 + 5) = 24 Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc −12𝑥 − 20 + 21𝑥 + 35 = 24 Khai triển 9𝑥 + 15 = 24 Rút gọn 9𝑥 = 24 − 15 Chuyển vế 𝑥=1 Rút gọn Quy trình khám phá: 3(4𝑥 + 5 − 𝑥) = 24 Sử dụng tính kết hợp 4𝑥 + 5 − 𝑥 = 8 Chia 2 vế của phương trình cho 1 số 3𝑥 + 5 = 8 Rút gọn vế trái 𝑥=1 Chuyển vế, chia 2 vế cho 1 số Trong luận án, chúng tôi hiểu kiến thức quy trình là loại kiến thức thứ hai được định nghĩa bởi Hiebert và Lefevre (1986), tức là loại kiến thức biểu thị sự vận dụng các quy tắc hoặc quy trình để giải quyết các vấn đề toán học. Mối quan hệ giữa kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình Hiebert và Carpenter (1992) cho rằng cả KTKN và KTQT đều quan trọng và cần thiết cho HS trong tiếp thu và vận dụng kiến thức toán học để GQVĐ, nếu người học kết nối KTQT với một KTKN nào đó làm nền tảng cho nó, thì quy trình đó sẽ trở thành một phần của một mạng lưới lớn hơn, liên quan chặt chẽ đến KTKN. Đồng thời, KTKN góp phần hình thành năng lực toán học của HS thông qua các mối quan hệ của nó với KTQT.

Hiện nay, nhiều nhà nghiên cứu đồng ý rằng cần chú trọng đến việc dạy học cả hai loại kiến thức, nhưng vẫn có nhiều tranh luận diễn ra giữa quan điểm dạy học một chiều và hai chiều (Rittle-Johnson, Schneider, & Star, 2015). Chẳng hạn như NCTM (2014) đã khẳng định quan điểm từ KTKN đến KTQT trong nguyên tắc dạy học “Sự hiểu biết về khái niệm (tức là sự hiểu biết và kết nối các khái niệm, phép toán và quan hệ) là nền tảng và cần thiết để phát triển sự thành thạo về quy trình (tức là, việc sử dụng có ý nghĩa và linh hoạt các thủ tục để giải quyết vấn đề)” (trang 7). Nguyên tắc này chỉ ra rằng HS cần được phát triển KTKN trước và KTQT không nên được phát triển trước khi phát triển KTKN.