chương 1 Cho X là đa tạp phức có chứa một đường cong nguyên, tức là một đường cong chỉnh hình khác hằng f : C → X. Khi đó, cả hai đa tạp phức C × X và C∗ × X đều không thuộc loại E−giới hạn với mọi metric Hermit E tương ứng trên C × X và C∗ × X. Phương pháp chứng minh là hoàn toàn cổ điển. Chúng tôi xây dựng một hàm chỉnh hình từ C vào C nhận các giá trị và đạo hàm bậc 1 tại các điểm cho trước, sao cho giá trị và đạo hàm phải không có ràng buộc nào cả.
Để làm được điều đó, chúng tôi bắt chước hoàn toàn cách chứng minh của định lý Mittag-Leffler, đó là dùng lý thuyết bó: xây dựng các mầm hàm địa phương và chứng minh các mầm hàm có thể dán lại được nhờ đối đồng điều bậc 1 của bó triệt tiêu. Tất cả những điều này hoàn toàn có thể thực hiện được khi bó là nhất quán (tiếng Anh: coherent) và không gian nằm dưới là Stein. 16 Một bình luận nhỏ: E ở đây là metric, tức mạnh hơn so với kết quả đầu của ba tác giả. Chúng tôi cần E là metric để có thể áp dụng bất đẳng thức tam giác, từ đó đánh giá được các đại lượng mong muốn.
Bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa Bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa là bài toán phái sinh từ các bài toán nội suy Nevanlinna-Pick và Carathéodory-Fejér, vì thế đầu tiên chúng tôi trình bày sơ qua định nghĩa và thuật ngữ trong lý thuyết nội suy này. Cho X ⊂ Cn và Y ⊂ Cm là các miền. , pN là N điểm phân biệt trong X và q1 ,. , qN là N điểm trong Y.
Bài toán nội suy Nevanlinna-Pick Bài toán tìm các điều kiện (cần và đủ) sao cho tồn tại ánh xạ chỉnh hình f : X → Y sao cho f (pi ) = qi với 1 ≤ i ≤ N được gọi là bài toán nội suy Nevanlinna-Pick. Ta có thể gọi các điểm pi là các điểm nội suy hoặc các mốc nội suy; còn các giá trị qi là các giá trị nội suy. Bài toán nội suy Carathéodory-Fejér Trong bài toán nội suy Nevanlinna- Pick, nếu ta đòi hỏi thêm điều kiện về đạo hàm của f tại các mốc nội suy, ví dụ f ′ (pi ), f ′′ (pi ), v. nhận các giá trị cụ thể, thì bài toán đó được gọi là bài toán nội suy Carathéodory-Fejér.
Ta đưa ra hai ví dụ về bài toán nội suy kiểu này. Bài toán nội suy cổ điển Với X = Y = D đĩa đơn vị mở trong C, bài toán nội suy Nevanlinna-Pick (hoặc Carathéodory-Fejér ) tương ứng được gọi là bài toán nội suy Nevanlinna-Pick (t. Carathéodory-Fejér) cổ điển đã được giải quyết trọn vẹn bởi Rolf Nevanlinna (1919) và Georg Pick (1916). Cụ thể là cho λ1 ,.
, λN phân biệt) khi đó tồn tại một hàm chỉnh hình f : D → D sao cho f (λi ) = zi với 1 ≤ i ≤ N khi và chỉ khi ma trận Pick 1 − z̄j zi 1 − λ̄j λi 1≤i,j≤N là nửa xác định dương. Bài toán nội suy cổ điển không những được giải quyết bằng các phương pháp khá đơn giản như của R. Pick (các chứng minh này có thể tìm thấy ở cuốn sách của J. Garnett[9]), mà còn được nhìn và giải 17 quyết rất thành công từ phương pháp lý thuyết toán tử, khởi đầu bởi D.
Chính từ bài báo của D. Sarason, lý thuyết nội suy Nevanlina- Pick (và các bài toán liên quan) có thêm một bước tiến dài theo kiểu lý thuyết toán tử và nhiều bài toán được giải quyết theo hướng này. Bài toán nội suy hiện nay được quan tâm là bài toán nội suy phổ mà phát biểu của nó là như sau. Bài toán nội suy phổ X = D và Y = Ωn quả cầu phổ (tức là tập các ma trận vuông M ∈ Cn,n có bán kính phổ nhỏ hơn 1).
Bài toán này được gọi là bài toán Nevanlinna-Pick (t. Carathéodory-Fejér) phổ. Bài toán này được nhiều người quan tâm là vì nó có cơ sở thực tế là bài toán xuất phát từ lý thuyết điều khiển mạnh (tiếng Anh: Robust control theory), ta có thể tham khảo bài tổng quan của N. Tuy vậy, bài toán nội suy phổ là bài toán rất khó so với những bài toán trước đó (nội suy trong đĩa đơn vị, hoặc quả cầu đơn vị trong không gian định chuẩn).
Quả cầu phổ Ωn không có hình học đẹp. Nó là miền không bị chặn, không phải tập lồi. Phương pháp lý thuyết toán tử cũ [3] áp dụng trên quả cầu phổ đạt tới giới hạn và khó đưa ra được các điều kiện có thể tính toán được. Young [1] đề xuất một hướng làm mới tiếp cận tới bài toán này với mục đích có thể đưa ra các điều kiện tính toán rõ ràng hơn.
Cụ thể là hai nhà toán học đưa đa đĩa đối xứng hóa, ký hiệu là Gn , có định nghĩa như sau. Với mỗi ma trận M ∈ Ωn , ta xét đa thức đặc trưng n X PM (t) = det(M − tI) = (−1)n−i σi (M )ti. Ánh xạ π được gọi là phép chiếu từ Ωn lên Gn (hoặc ánh xạ đối xứng hóa). σi (M ) cũng có thể định nghĩa là đa thức đối xứng sơ cấp thứ i của các giá trị riêng của M.
Đa đĩa đối xứng hóa Gn có thể coi là một cách ghi chép thông tin phổ của ma trận một cách liên tục (hoặc chỉnh hình). Ý tưởng của hai tác giả là chuyển đổi bài toán Nevanlinna-Pick phổ về bài toán nội suy trong đa đĩa đối xứng hóa, với hi vọng rằng: đa đĩa đối xứng hóa là miền bị chặn, siêu lồi và hyperbolic v. thì có thể dễ tiếp cận hơn so với quả cầu phổ. Tuy vậy, mọi chuyện vẫn còn rất khó khăn, ngay cả bài toán nội suy từ 3 điểm trở lên rất hiếm khi được đề cập.
18 Gần đây, nhóm các nhà toán học phái Ba Lan như Jarnicki, Zwonek, Pflug, Edigarian, Kosinski, Warzawski v. và các nhà toán học khác như N. Thomas, Nguyễn Văn Trào v. đã tích cực sử dụng công cụ giải tích phức để nghiên cứu bài toán nội suy và cũng đạt được một số kết quả.
Điều này là mới là vì J. Young xuất phát điểm luôn đề cập bài toán nội suy dưới cách tiếp cận toán tử, và cách tiếp cận kiểu này gần như không thể tiến triển với bài toán Nevanlinna-Pick phổ. Số lượng bài báo nghiên cứu bài toán Nevanlinna-Pick phổ theo hướng này lên tới vài chục bài, chứng tỏ hướng đi theo kiểu giải tích phức thuyết phục được nhiều nhà toán học. Một cách tự nhiên, nếu chúng ta tiếp cận bài toán nội suy phổ bằng cách chiếu quả cầu phổ Ωn xuống Gn thì sẽ phải có một quá trình ngược lại: đi từ Gn lên Ωn.
Bài toán đó sẽ được gọi là bài toán nâng từ đa đĩa đối xứng hóa Gn , chủ đề của hai chương 2 và 3 của luận án này. Phát biểu bài toán nâng Cho B0 ∈ Ωn và ϕ : D → Gn là một đĩa chỉnh hình có ϕ(0) = π(B0 ). Tìm điều kiện cần và đủ để ta có thể tìm thấy một ánh xạ chỉnh hình Φ : ω → Ωn với Φ(0) = B0 và π ◦ Φ = ϕ trong đó ω là một lân cận của 0 ∈ D? Ánh xạ Φ như thế được gọi là ánh xạ nâng của ϕ và khi đó ϕ được nói là nâng được (địa phương). Ta gọi bài toán này là bài toán nâng ứng với bài toán Nevanlinna-Pick phổ hoặc bài toán nâng từ đa đĩa đối xứng hóa không có điều kiện đạo hàm.
Nếu ta đòi hỏi thêm Φ′ (0) = B1 với B1 ∈ Cn,n là ma trận cho trước, thì bài toán trở thành bài toán nâng từ đa đĩa đối xứng hóa với đạo hàm bậc nhất cho trước. Ta có nhận xét nhỏ là: Nếu Φ là ánh xạ nâng thì C −1 · Φ · C cũng là ánh xạ nâng với C là ma trận khả nghịch, hoặc một hàm chỉnh hình nhận giá trị ma trận khả nghịch. Chính vì thế, ta luôn có thể coi B0 = Φ(0) là ma trận ở dạng Jordan để cho tiện lý luận. Chúng tôi trình bày sơ lược các nghiên cứu về bài toán nâng trong một mục tiếp sau đây.
Sơ lược các nghiên cứu về bài toán nâng không có điều kiện đạo hàm Bản thân J. Young là những người đầu tiên nghiên cứu bài toán nâng [1], nhưng kết quả của họ đạt được là rất sơ lược, cụ thể là với chiều n = 2. Petrovic [16] xét bài toán với chiều n = 3 chủ yếu nhằm trả lời câu hỏi của Bercovici chứ không chủ đích nghiên cứu bài toán 19 nâng. Thực tế thì NCS và thầy đồng hướng dẫn Pascal J.
Thomas chỉ biết tới bài báo của S. Petrovic sau khi hoàn thành bài báo [15]. Bài toán này đạt được tiến bộ rõ ràng hơn với bài báo của P. Thomas và Nguyễn Văn Trào [19], trong đó hai tác giả này nghiên cứu bài toán nâng không có đạo hàm với ma trận giá trị nội suy B0 là lũy linh (điều này cũng tương đương với điều kiện B0 có đúng một giá trị riêng, nhờ biến đổi Möbius).
Cũng chính từ bài báo này mà chúng tôi trình bày được điều kiện cần địa phương cho bài toán nâng ở hình thức rõ ràng như sau. Điều kiện cần và đủ cho bài toán nâng không có đạo hàm, Mệnh đề 2.11 của luận án Cho ϕ ∈ Hol(ω, Gn ), với ω là một lân cận của α ∈ D. Cho A1 như trong (2. Các khẳng định sau là tương đương: (a) Tồn tại ω ′ ⊂ D một lân cận của α và Φ ∈ Hol(ω ′ , Ωn ) sao cho π ◦ Φ = ϕ, Φ(0) = A1 ; (b) Ánh xạ ϕ thỏa mãn dk P[ϕ(ζ)] k (λj ) = O((ζ − α)dmj −k (Bj ) ), 0 ≤ k ≤ mj − 1, 1 ≤ j ≤ s, (1) dt trong đó di như trong Định nghĩa 2.
Trong này, chúng tôi xin phép không trình bày chi tiết định nghĩa của các số di , ta chỉ cần hiểu đơn giản là các số di là các số đặc trưng cho dạng Jordan của ma trận A1 (cũng chính là B0 như đã bàn ở trên, nhưng vì lý do trùng ký hiệu nên tại đó chúng tôi thay đổi chút cho tiện trình bày). Như vậy, về mặt địa phương, bài toán nâng không có đạo hàm đã được giải quyết trọn vẹn. Một cách tự nhiên, bài toán nâng toàn cục là đối tượng nghiên cứu tiếp theo. Thomas trong quá trình nghiên cứu đã tìm ra một công thức nâng dường như hiệu quả để tấn công bài toán này.