BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO —s9 LI ee Khóa luận tốt nghiệp HÌNH HOC XA ANH CUA CONIC Sinh vién: Nguyễn Dire Thịnh MSSV: 4501101107 Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh TP Hỗ Chí Minh. ngày 05 tháng 05 năm 2023 TRUONG DAI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN —#2ÍL] œa— HÌNH HỌC XA ANH CUA CONIC Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Thịnh Mã số sinh viên: 4501101107 Giảng viên hướng din: TS. Nguyễn Hà Thanh Lời cám ơn Lời cảm ơn dau tiên, chân thành sâu sắc nhất, tôi muốn gửi đến TS.
Nguyễn Hà Thanh - giảng viên hướng đẫn Khóa luận Tốt nghiệp của tôi tại Trưởng Đại học Sư phạm Thành phố Hè Chí Minh. Cam ơn Thay một người Thay luôn nghiêm túc trong công việc và là người thay dau tiên đã dẫn dắt khi tôi tiếp xúc với chuyên ngành hình học ở bậc đại học. Cám on thay đã chỉ dạy tận tỉnh cho tôi, cho tôi lởi khuyên hữu ich dé hoàn thành tốt khóa luận nảy. Trong quá trình thực hiện khóa luận này tôi đã gặp rất nhiều khó khăn vẻ thời gian cũng như kiến thức, tuy nhiên tôi luôn nhận được lời động viên từ bạn bè, gia đình và thầy cô.
tôi xin chân thành cảm ơn các thay, cô Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi những kiến thức Toán học làm nền tang vig chắc cho tôi trên con đường nghiên cứu. Mặc di đã cé gắng biên soạn nội dung thật cẩn thận, song với vốn kiến thức vả kinh nghiệm còn hạn chế, có lẽ không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ¥ dé có thẻ rút kinh nghiệm và làm tốt hơn. Sinh viên Nguyễn Đức Thịnh te Giới thiệu tổng quan Đường conic đã được nghiên cứu từ rất sớm trong lịch sử toán học như một phần của hình nón.
Nhà toán học người Pháp - Girard Desargues cũng nhận ra rằng hai đường conic bat kỳ luôn có thẻ nhận được dưới dang là các phan của một hình nón trong | `, nên có thé trình bày lý thuyết về đường conic theo một cách thông nhất. Pascal nghe qua được công trình của Desargues và nhanh chóng đưa ra một trong những kết quả nôi tiếng nhất trong hình học conic ~ Định lý Pascal, tôi sẽ giới thiệu trong bài luận nảy cùng với một số kết quả khác về đường conic Định lý đó cơ ban như sau nếu sáu điểm A,B,C, A’,B’ và C' nam trên một elip, hoặc một Tại sao một kết quả như định lý Pascal lại áp dụng cho các loại đường conic khác nhau? Một lý do có thé chúng ta đã biết rằng đường conic được gọi như vậy vì chúng là những hình ma chúng ta thu được khi cắt các mặt phẳng qua một hình nón kép. Cụ thé, các đường conic không suy biến là các elip, parabol và hyperbol, và chúng phát sinh khi chúng ta cắt qua một hình nón kép băng một mặt phẳng không đi qua đỉnh » của hình nón đó. ~ v Ì Điều này có một ý nghĩa thú vị đối với hình học xạ ảnh.
Cho bat kỳ hai đường conic không suy biến nao, chăng hạn như đường tròn và parabol được hiện thị ở hình bên. co một phối cảnh có tâm tại w ánh xạ cái này lên cái kia. Suy ra hai đường conic không suy biến bat kỳ là đồng dạng xạ ảnh, Do đó, bất kỳ kết quả nảo liên quan đến các tính chất xạ ảnh của cộng tuyến va đồng quy đúng cho elip, chẳng hạn, nhất thiết cũng đúng cho parabol và hyperbol. Một trong những đặc điểm thú vị của hình học xạ ảnh 1a tất cả các đường conic không suy biến đều đông dang xạ ảnh.
Vì vậy, không có sự phân biệt giữa hình elip, parabol và hyperbol trong hình học này, vì vậy ta chi đơn giản gọi chúng là conic xạ ảnh. Trong phan 1, bài luận đưa ra định nghĩa các bẻ mặt trong | * được gọi là conic xạ anh, ta thấy rang giữa hai conic trong phẳng không suy biến bat kỳ có một phỗi cảnh, và ta lưu ý rằng tat cả các conic xạ ánh đều đông dang xa ảnh. ta quan sát thay rằng tiếp tuyến lả một tính chat xạ ảnh. Tôi giới thiệu một ký hiệu rút gọn của Joachimsthal cho conic xạ ảnh va sử dụng nó để tìm công thức cho các tiếp tuyến, cặp tiếp tuyến và Đường đối cực với conic xạ ảnh.
Trong phan 3, bai luận giới thiệu hai dạng tiêu chuẩn của phương trình xạ ảnh conic, và sử dụng chúng để chứng minh các định lý như Định lý Pascal. Mục lục 1 Comic NA ảnhh. «event ng ng ng ng ng g1171119. 7 BUM Corin XGianhIi0)0.2200202070222009202 09/0 7 Par sci) Ce.
1 si ccii2icc6c21021261665160651021250021601116633666E51 12 DSB SO COO sicisssssssascssssssccisosisass jimmie L4 1.4 Conic trong phối cảnh. re 16 5 TH CGO sccsisscsssscsssscsssssssssssissssisrssssssssaarineainanesaaiaiamanmmmamma ES ci Ties tarpen Wid OOo PENNE ‹os;2is:2is:i:2:10211025415201942102016401221002110830135413541932184318311521108144812185/ 25 2.2 Tiếp tuyến với comic xạ ảnh.-- s26 22 22122212211221122112211211121112111111 111111 11 te 35 3 Mậtột sÐsố định định Ílýý.1 Điểm trên comic xạ ảnÌh. St 11 11 1111111111111 2112111111111 1111111111111 21x02 39 BEAL ETTTL Chân dc 7a a 2 || ee ee ee ee 47 SSI NG IPASCAN GAO 5 sccscsceszsasccssssassesassasscsausacsussascesssaasassasassassesassosaisasssaassesusasscasassssansass Sl S:4iaznp Canara 37+)? BÊ sccasssassvsssesssessssssasssssssssvsosescsesssesnssvscssnssssssssoossvsnsonasnrassnesssvesaes 55 Nhã 2 Tài liệu tham EO .cccrccrcescrocseeseevesseseesesccsecseeceseececeseececeeseeccseesesecsecseeccsecscseeseescoeescsseoeeseeee Ol 1 Conic xạ ảnh 1.1 Conic xạ anh là gì? Cho bat kỳ hình F (Euclide) nao trong mặt phẳng nhúng Z, ta có thé thu được hình xạ anh tương ứng bằng cách vẽ tat cá các Điểm của | P? đi qua các điểm của F. Ví dụ, nếu F là đường tròn {(x, yz): vey =l,z= \ nằm trong mặt phing nhúng # với phương trình z =], thi hình xạ ảnh tương ứng là một hình nón tròn vuông.
Nếu ig AER , ¬ : Pat a : x,y 2 một Điểm [x', y',z'] cua JP? năm trên hình nón nay, thi [x nó sẽ xuyên qua mặt phang nhúng tại điểm Ế y. Vì pose eo ery oe (x'/z', y'/z', 1) < điểm nay nằm trên F , nên nó thõa () Nhân với (z9, và bỏ dây phẩy, ta thu được phương trình sau cho hình nón: x+y=z? (1). Ngược lại, giả sử rằng ta bat đầu với một hình xạ ảnh. Sau đó, ta có thé biểu diễn hình xạ ảnh trong một mặt phăng nhúng +.
Tắt nhiên, biểu diễn mà ta có được phụ thuộc vao mặt phăng nhúng ma ta sử dung. Ví dụ: nêu hình xạ ảnh là hình nón rỗng x7 + yŸ =z’, thì biểu diễn có thẻ bị chặn, không bị chặn hoặc thậm chí hai 'nhánh' tủy thuộc vào vi trí của Z.4, tôi chi ra rằng những biểu điễn này của hình nón, trên thực tế, lần lượt là hình elip, parabol và hyperbol. Tuy nhiên, lưu ý rằng trong trường hợp của parabol và hyperbol. bicu diễn không day đủ trừ khi chúng ta bao gồm các Điểm lý tưởng bô sung cho mặt phẳng nhúng có liên quan.
Parabol yêu cầu một Diém lý tưởng va hyperbol yêu cầu hai Điểm. Chúng được biểu thị bằng các đường đậm trong hình trên. Bây giờ ta hãy tập trung vào chỉ một mặt phăng nhúng 7, và xem xét các loại hình xạ ảnh tương ứng với đường conic trong 7. Dé đơn giản hóa đại số, ta sẽ chon 7 là mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn z =1.
Ta đã giải thích cách tìm phương trình của hình xạ ảnh tương ứng với đường tròn {œ. y,z):x + y° =l,z= 1} trong 7, vì vậy bay giờ ta hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi ta tìm thay phương trình của hình xạ ảnh tương ứng với một đường conic không giới hạn, chăng hạn như hyperbol { y,z): y 4x? =l,z= iH : Mọi điểm [x,vz'] trên hình xạ ảnh tương ứng phải xuyên x tại điểm (= xa) trên - r3 + << hyperbol, va vi thé @ -{5) =1. < Vi z' khác 0 (nếu z'=0, thì [v, y',z”] không xuyên qua 7), ta có thé nhân cho (z”)Ÿ và bỏ dau phay, thu được phương trình tương đương yŸ —4xŸ = zŸ, z0. Như trong trường hợp của đường tròn, đây là phương trình của một họ Điềm giống như hình nón trong | P với đỉnh ở gốc tọa độ, như được hiển thị ở trên.
Tuy nhiên, lưu ý rằng vi z #0 , hai Điểm bị thiểu trong họ. Day phải 1a các Điểm có dạng [x, y,0] thỏa mãn phương trình yŸ =4x? «0. Vì phương trình này ngụ ý rằng y=+2x, nên các Điểm còn thiểu là [1,2,0] và [I. Nhưng những Điểm này có thực sự bị bỏ qua khỏi hình xạ ảnh không? Xét cho cùng, cả hai Điểm đều là Điểm lý tưởng cho mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn và các hình trong mặt phẳng nhúng thường có các Điểm lý tưởng được liên kết với chúng.
Trong hình học xạ ảnh, ta cho ring các Điểm lý tướng [1,2,0] va [1,—2,0] được liên kết với hyperbol yŸ 4x? =1, và do đó hình xạ ảnh tương ứng bao gồm toàn bộ giống hình nón ho các Điểm (+, y, z} thỏa mãn phương 2 trình y°—4x”? =z’. Bài toán I Tìm phương trình cho hình xạ ảnh trong | P tương ứng với parabol f(x, Y,z):y=x,z= 1} trong mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn. Những điểm lý tưởng có nên được liên kết với parabol? Nói chung, bat kỳ conic nào trong mặt phẳng nhúng tiêu chuan đều có thẻ được biểu diễn dưới dạng f(x, v,z): Ax? + Bry + Cy? + Fx + Gy + H =0,z= I. Vi mọi Điểm [x', y', z'] trên hình xa ảnh tương ứng phải xuyên qua mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn tại điểm Ệ - 1) trên conic, nó thda HH > - | ta | nm Nhân với (z')’, va bỏ day phay, ta thu được phương trình tương đương sau -9- Ax’ + Bry + Cy? + Faz + Gy z+ H:” =0,z #0.
Nếu ta loại bỏ rang buộc z #0. thi ta có thé bao gồm các Điểm lý tưởng đó (có tọa độ thuần nhất dang [x, y,0]) cho mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn sẽ được liên kết với mặt phăng conic. Hình xạ ảnh tương ứng (bao gồm cả các Điểm lý tưởng bô sung) được gọi là conic xa ảnh. Định nghĩa phương trình cấp hai có dạng Ax? + Bry + Cy? + Fe +Œyz + Hr?=0 — (2).
Ví dụ, xy+ xz + yz =0 là một conic xạ ảnh, boi vì phương trình có dạng (2) với A=C = H =0 và B=F=G=l. Tuy nhiên, x? + yỶ—3y+z? =0 không phải xác định một conic xạ ảnh, bởi vi nó bao gồm tuyến tinh của y. Ta nói rằng Điểm P nằm trên md6t conic xạ ảnh, hoặc một conic xạ ảnh đi qua Điểm P. nếu các tọa độ thuần nhất của P thỏa mãn phương trình của conic xạ ảnh.
Ví dụ, Diem [3,4,5] nằm trên conic xạ ảnh x7 + về = zŸ, vì 3? +4? =%° ; tuy nhiên, x°+y°=z” không đi qua Điểm [1,1,1], vi Perse.