CHƯƠNG 1 - CƠ SỎ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực, năng lực toán học phổ thông và bồi dưỡng năng lực toán học 1.1 Quan niệm về năng lực Quan niệm về “năng lực” vẫn còn chưa thống nhất trên phạm vi thế giới. Tuy nhiên, có thể kể đến một số quan niệm phổ biến về năng lực như sau: - Năng lực là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kỹ năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống'” [2] - Năng lực là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lý vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống. [2] - Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra.2 Năng lực toán học phổ thông Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toán học tại Đan Mạch cuối thế kỉ 20, đã đưa ra quan niệm về năng lực toán học được PISA lựa chọn. Theo đó, PISA 2015 quan niệm: Năng lực toán học phổ thông (Mathematical Literacy) là khả năng của cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh.
Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm" 11 Năng lực toán học gồm những thành tố sau: + Kỹ năng tư duy và lập luận toán học + Kỹ năng tranh luận về các nội dung toán học + Kỹ năng giao tiếp toán học + Kỹ năng mô hình hoá toán học + Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học + Kỹ năng biểu diễn toán học + Kỹ năng sử dụng các ký hiệu, thuật ngữ chuyên môn và các phép toán hình thức + Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện tính toán 1.3 Bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh Thực chất của quá trình bồi dưỡng năng lực cho HS là việc bổ sung, cập nhật, cải thiện các kiến thức, kĩ năng còn thiếu hoặc còn yếu của HS thông qua việc thực hiện các hoạt động và bằng hoạt động đặc thù, nhằm phát triển năng lực trong một lĩnh vực hoạt động, dưới một hình thức phù hợp.2 Năng lực biểu diễn toán học 1. Quan niệm về biểu diễn toán học Biểu diễn toán học là sự trình bày một nội dung toán học bằng các thuật ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học,…). Biểu diễn toán học có thể thay đổi tùy theo bối cảnh hoặc theo cách mà ta sử dụng các biểu diễn.
Năng lực biểu diễn toán học Theo TS.Vũ Thị Bình, BDTH là việc sử dụng, sắp xếp các thuật ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học,.) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả, Một số biện pháp nhằm nâng cao NLBD toán học cho học sinh trong dạy học tam giác đồng dạng tượng trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay một qui trình toán học. Nói cách khác, BDTH là sự trình bày một nội dung toán học bằng các thuật ngữ, kí hiệu, biểu tượng. BDTH có thể thay đổi tùy theo bối cảnh hoặc theo cách mà ta sử dụng các biểu diễn. BDTH cũng được xem là kết quả của quá trình BDTH.
Mối quan hệ giữa NNTH và các biểu diễn tương tự như mối quan hệ giữa ngôn ngữ và lời nói, NNTH là phương tiện giao tiếp, là công cụ để tư duy dưới dạng vật chất tiềm tàng, các biểu diễn là phương tiện, công cụ ở dạng hiện thực hóa, tức là ở dạng hoạt động, gắn liền với những nội dung toán học cụ thể. Các mức độ năng lực biểu diễn toán học 1. Biểu diễn theo qui ước và biểu diễn không theo qui ước Trong toán học có những biểu diễn đã được phát triển theo thời gian và được thống nhất sử dụng rộng rãi trong chương trình môn toán, như: Hệ thống kí tự số, công thức, đồ thị, hình hình học, biểu đồ,. Đây là những biểu diễn theo qui ước (biểu diễn tiêu chuẩn).
Ngoài ra, còn có những biểu diễn không theo qui ước (biểu diễn không tiêu chuẩn) là các hệ thống ký hiệu, các sơ đồ, hình vẽ ước lệ, các mô hình, phác thảo có tính cá nhân, được tạo ra trong quá trình nhận thức toán học của mỗi cá nhân. Biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài Biểu diễn bên trong thường diễn ra trong ý nghĩ của HS khi HS sử dụng các biểu diễn để hỗ trợ cho tư duy, cho nhận thức hay giải quyết các vấn đề toán học. Biểu diễn bên ngoài thể hiện khi HS trình bày suy nghĩ, trao đổi, lập 13 luận, giải thích, kết nối các đối tượng và các mối quan hệ toán học bằng BDTH. Như vậy,biểu diễn bên ngoài có chức năng hỗ trợ phát triển tư duy, đồng thời góp phần giao tiếp hiệu quả, sáng tạo.
Năng lực biểu diễn toán học 1. Quan niệm về năng lực biểu diễn toán học Niss Mogens phân tích mối liên hệ của các hoạt động hình thành năng lực toán học đã phân thành 2 cụm năng lực: (1) Khả năng đặt ra và giải đáp các vấn đề trong, với và về toán học (the ability to ask and answer questions in, with, about mathematics) bao gồm bốn năng lực đầu tiên: Tư duy; Mô hình hóa; Giải quyết vấn đề; Lập luận; (2) Khả năng sử dụng ngôn ngữ và các công cụ toán học (the ability to deal with mathematical language and tools) gồm: biểu diễn; kí hiệu và hình thức hóa; giao tiếp; công cụ và các thiết bị hỗ trợ [2] Theo sắp xếp đó, cho thấy năng lực BDTH và năng lực GTTH thuộc cùng một cụm năng lực: Sử dụng ngôn ngữ và các công cụ toán học.Cụm năng lực này đề cập đến khả năng hiểu và sử dụng NNTH, các công cụ toán học. Một số biện pháp nhằm nâng cao NLBD toán học cho học sinh trong dạy học tam giác đồng dạng Lê Văn Hồng khi đề cập đến năng lực giao tiếp trong chương trình môn toán phổ thông mới, đã có ý xem năng lực GTTH và năng lực BDTH thuộc phạm trù năng lực sử dụng NNTH Vận dụng các kết quả nghiên cứu về BDTH nói trên, xem xét năng lực BDTH là một dạng thức của năng lực sử dụng NNTH, có sự tương giao với năng lực GTTH, Vũ Thị Bình cho rằng: năng lực BDTH là khả năng hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra và chuyển đổi các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ, mô tả, giải thích, lập luận, kết nối và trao đổi các ý tưởng trong giải quyết các vấn đề toán học. Nhiều nghiên cứu cho thấy, kĩ năng BDTH của HS là chìa khóa dẫn đến thành công trong giải quyết vấn đề.
Việc học tập của HS cần luôn hướng đến việc hình thành kết nối giữa các loại biểu diễn khác nhau như: vật liệu, tranh ảnh, các biểu tượng, các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu, bảng,.; biểu diễn bằng lời nói và bằng hình ảnh; biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài. Các thành tố của năng lực BDTH - Hiểu và sử dụng hiệu quả các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội dung toán học - Liên kêt, biên đôi hoặc tạo ra các BDTH phù hợp để tìm kiêm ý tưởng, giải pháp hoặc giải quyêt vấn đề toán học - Lựa chọn, chuyển đổi các BDTH thuận lợi trong nhận thức, thực hành, ghi nhớ và GTTH. Các biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH - Phân biệt, hiểu đúng nội dung của các đối tượng và quan hệ toán học trong các BDTH. - Sử dụng được hệ thống BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội 15 dung toán học.
- Biết liên kết, biến đổi các biểu diễn để kết nối, lập luận, chứng minh; tìm kiếm giải pháp, ý tưởng toán học. - Tạo ra các BDTH phù hợp để biểu thị các đối tượng, quan hệ hay phương án giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống khác nhau. Lựa chọn cách BDTH hợp lí trong các tình huống học tập đa dạng. - Chuyển đổi giữa các dạng BDTH thuận lợi cho nhận thức, thực hành, ghi nhớ và GTTH.Phiên dịch từ NNTN sang các BDTH để mô hình hóa, phù hợp với bối cảnh cụ thể, tạo hiệu quả trong tư duy và giao tiếp.
Năng lực BDTH được hình thành và phát triển qua các hoạt động BDTH.Ở đó, HS được tập luyện sử dụng các BDTH, khai thác, lựa chọn, biến đổi và tạo ra các BDTH khác nhau để giải quyết các vấn đề toán học. Qua đó, HS nhận ra tính đơn giản và hiệu quả của các dạng biểu diễn, vai trò của biểu diễn trong giao tiếp cũng như trong nhận thức toán học (tư duy). Các mức độ năng lực biểu diễn toán học Theo TS. Vũ Thị Bình, năng lực biểu diễn toán học được chia thành 5 mức độ: Mức độ 1: Hiểu được nội dung các biểu diễn quen thuộc cho các đối tượng và quan hệ toán học.
Còn gặp khó khăn và nhiều sai sót trong việc sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ,. Mức độ 2: Bước đầu sử dụng các BDTH quen thuộc để mô tả, minh họa cho một đối tượng hay quan hệ toán học nhưng chưa chính xác, rõ ràng, đầy đủ. Mức độ 3: Sử dụng được các biểu diễn toán học để biểu thị các đối tượng và các quan hệ toán học có tính qui luật tương đối phù hợp. Mức độ 4: Sử dụng hiệu quả các BDTH trong tư duy và giao tiếp.
Giải Một số biện pháp nhằm nâng cao NLBD toán học cho học sinh trong dạy học tam giác đồng dạng thích, đánh giá được các dạng biểu diễn khác nhau.Tạo ra hoặc kết nối các biểu diễn để mô hình hóa (ở dạng đơn giản) trong giải quyết vấn đề toán học. Mức độ 5: Vận dụng linh hoạt, sáng tạo các BDTH trong phân tích, Tổng hợp, suy luận, khái quát hóa và chứng minh toán học. Sử dụng và tạo ra các BDTH phù hợp để mô hình hóa trong giải quyết các vấn đề toán học gắn với bối cảnh cụ thể. Ví dụ về các mức độ biểu diễn toán học trong dạy học tam giác đồng dạng.
Cho hình bình hành ABCD.Gọi I là trung điểm của DC.
