Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Ta thấy rằng khi n thay đổi thì m cũng thay đổi. Tuy nhiên, tần suất có tính ổn định, nghĩa là khi số phép thử n tăng lên đủ lớn thì tần suất sẽ biến đổi rất nhỏ xung quanh một giá trị xác định. Để minh họa cho nhận xét trên, ta nhắc lại một ví dụ kinh điển được thực hiện bởi Buffon và Pearson để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu như sau: Người làm thí nghiệm Số lần tung Số lần được mặt sấp Tần suất Buffon 4.012 0,5005 Nhìn vào bảng trên, ta thấy rằng khi số lần tung ngày càng tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấp ngày càng dần đến giá trị xác định là 0,5 và giá trị này được lấy làm xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền cân đối đồng chất. Ví dụ này dẫn đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.
Xác suất xuất hiện biến cố A là giới hạn của tần suất xuất hiện biến cố đó khi phép thử tăng lên vô hạn. n→∞ Trên thực tế, P (A) được tính xấp xỉ bởi tần suất f (A) khi n đủ lớn.10 Để xác định tỷ lệ nảy mầm của một giống lúa, người ta gieo thử 5000 hạt và quan sát thấy có 120 hạt không nảy mầm. Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ 5000 − 120 bằng = 0,976 hay tỷ lệ nảy mầm là 97,6%. (i) Định nghĩa thống kê về xác suất cho ta một giá trị gần đúng dựa trên cơ sở quan sát thực tế để đưa ra kết luận xác suất xảy ra của một biến cố.
Định nghĩa này không đòi hỏi những điều kiện như định nghĩa cổ điển và có độ chính xác khá lớn, phù hợp với thực tế cũng như tính toán lý thuyết. (ii) Tuy nhiên, định nghĩa này chỉ áp dụng cho những phép thử có thể lặp lại nhiều lần một cách độc lập với những điều kiện giống hệt nhau. Hơn nữa, để xác định được giá trị xác suất một cách tương đối chính xác, ta cần tiến hành trên thực tế một số n đủ lớn phép thử, mà điều này nhiều khi không thực hiện được vì hạn chế về thời gian và kinh phí. Ngoài các định nghĩa vừa nêu trên, người ta còn đưa ra những định nghĩa khác như định nghĩa hình học về xác suất, định nghĩa tiên đề về xác suất của Kolmogorop, định nghĩa xác suất chủ quan,.
Tuy nhiên, với khuôn khổ của cuốn giáo trình này, chúng tôi không trình bày những định nghĩa đó ở đây mà dành để bạn đọc tự tham khảo. Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ Trong thực tế, ta gặp phải nhiều trường hợp mà các biến cố có xác suất rất nhỏ, gần như bằng 0. Trong trường hợp đó, liệu ta có thể cho rằng những biến cố này sẽ không xảy ra khi thực hiện phép thử? Tất nhiên ta không thể kết luận như vậy, vì thậm chí một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn chưa chắc chắn là biến cố không thể có, tức là vẫn có thể xảy ra. Tuy nhiên, qua nhiều lần quan sát, người ta thấy rằng các biến cố có xác suất nhỏ gần như sẽ không xảy ra khi tiến hành một phép thử.
Trên cơ sở đó ta có thể đưa ra “Nguyên lý thực tế không thể có của các biến cố có xác suất nhỏ” sau đây: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. Chú ý rằng việc quy định mức xác suất được coi là rất nhỏ sẽ được quy định trong từng bài toán cụ thể và gọi là mức ý nghĩa. Chẳng hạn, nếu xác suất để một chuyến tàu đường dài đến ga chậm là 0,01 thì thực tế có thể cho rằng tàu đến ga đúng giờ, nhưng nếu một phi công nhảy dù mà xác suất để dù không mở khi sử dụng là 0,01 thì xác suất đó chưa thể coi là nhỏ và chiếc dù đó sẽ không được sử dụng trong thực tế. Tương tự như vậy, ta có thể đưa ra “Nguyên lý chắc chắn xảy ra của các biến cố có xác suất lớn” như sau: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử.
Cũng như ở trên, việc quy định mức xác suất được coi là lớn sẽ được quy định trong từng bài toán cụ thể. Các định lý cơ bản Ở mục trước, ta đã đưa ra cách tính xác suất trực tiếp bằng các định nghĩa. Tuy nhiên, trong thực tế, có nhiều bài toán phức tạp hơn, đòi hỏi phải tính xác suất của những biến cố thông qua xác suất đã biết của những biến cố khác có liên quan với chúng. Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu 5 định lý cơ bản nhất của xác suất.
Định lý cộng xác suất Định lý 1. Ta có hệ quả trực tiếp của Định lý 1.1 cho các biến cố xung khắc, biến cố đối lập và hệ đầy đủ các biến cố. 16 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Hệ quả 1. (ii) Nếu các biến cố A1 ,.
, An là một hệ đầy đủ các biến cố thì P (A1 + .3 Một gia đình có hai vợ chồng chưa có con, xác suất để chồng xem tivi là 0,8; vợ xem tivi là 0,5; hai vợ chồng cùng xem ti vi là 0,4. Hãy tính xác suất để: (i) Tivi có người xem. (ii) Tivi không có ai xem. Gọi A là biến cố “Chồng xem tivi”, B là biến cố “Vợ xem tivi”.
Khi đó, (i) Biến cố “Tivi có người xem” là A + B. Vì A và B không xung khắc nhau nên áp dụng Định lý cộng P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0,8 + 0,5 − 0,4 = 0,9. (ii) Biến cố “Tivi không có người xem” là A + B. Đây là biến cố đối lập với biến cố “Tivi có người xem” nên P (A + B) = 1 − 0,9 = 0,1.4 Trong một phòng thí nghiệm, có một hộp kín đựng 25 hạt giống đậu tương, trong đó có 15 hạt giống đậu tương chịu hạn.
Chọn ngẫu nhiên 3 hạt giống trong hộp để gieo thử nghiệm. Hãy tính xác suất để: (i) Chọn được cả 3 hạt giống đậu tương chịu hạn. (ii) Chọn được không quá 1 hạt giống đậu tương chịu hạn. (iii) Chọn được ít nhất 1 hạt giống đậu tương chịu hạn.
Số biến cố sơ cấp đồng khả năng là số cách chọn ngẫu nhiên 3 trong số 25 3 hạt giống, do đó n(S) = C25. Gọi Ai là biến cố “Chọn được i hạt giống đậu tương chịu hạn”, i = 0,. Khi đó các biến cố Ai xung khắc từng đôi. (i) Gọi A là biến cố “Chọn được cả 3 hạt giống đậu tương chịu hạn”.
C25 (ii) Gọi B là biến cố “Chọn được không quá 1 hạt giống đậu tương chịu hạn”. Khi đó B = A0 + A1 và theo Định lý cộng 0 3 1 2 C15 C10 C15 C10 P (B) = P (A0 ) + P (A1 ) = 3 + 3 = 0,346.4 Các định lý cơ bản 17 (iii) Gọi C là biến cố “Chọn được ít nhất 1 hạt giống đậu tương chịu hạn”. Khi đó biến cố đối lập C là “Không chọn được hạt giống đậu tương chịu hạn nào” và vì C = A0 nên 0 3 C15. Định lý nhân xác suất Mục này sẽ giới thiệu một quy tắc cho phép ta tính xác suất của tích của một số biến cố.
Trước hết ta xét ví dụ sau (xem [13, trang 65]): gieo một con xúc xắc và gọi A là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, B là biến cố “Xúc xắc xuất hiện hoặc các mặt 1, 2, 3, 5 chấm”. Khi đó, theo định nghĩa xác suất ta có 1 2 P (A) = ; P (B) = · 2 3 Tuy nhiên, một câu hỏi đặt ra là xác suất để xuất hiện biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra là bao nhiêu? Theo định nghĩa cổ điển, dưới giả thiết đồng khả năng của các biến cố sơ cấp, ta có n(AB) 1 n(AB) n P (AB) P (A|B) = = = n(B) = , 4 n(B) P (B) n trong đó n(AB) là số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tích AB, n(B) là số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho B, (n(B) ̸= 0 vì giả thiết cho biến cố B đã xảy ra). Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau (xem [8, tr. Giả sử A và B là hai biến cố bất kỳ trong cùng một phép thử sao cho P (B) > 0.
Xác suất có điều kiện (conditional probability) của biến cố A với giả thiết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P (A|B), được định nghĩa là P (AB) P (A|B) =. Với hai biến cố A,B bất kỳ thì nhìn chung P (A|B) ̸= P (B|A). Thật vậy, xét ví dụ gieo xúc xắc ở trên, rõ ràng ta có P (AB) n(AB) 1 P (AB) n(AB) 1 P (A|B) = = = ; P (B|A) = = = · P (B) n(B) 4 P (A) n(A) 3 18 Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Liên quan chặt chẽ đến xác suất có điều kiện là một trong những loại biến cố cơ bản của lý thuyết xác suất được giới thiệu như sau (xem [8, tr. A và B được gọi là hai biến cố độc lập (indenpendent events) nếu các xác suất P (A|B) = P (A) hoặc P (B|A) = P (B), nghĩa là việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra biến cố kia.
Trong trường hợp ngược lại thì gọi là hai biến cố phụ thuộc (dependent events). Các bài toán liên quan đến biến cố độc lập và phụ thuộc thường liên quan tới cách chọn k phần tử từ n phần tử một cách lần lượt (có hoàn lại hay không hoàn lại) như đã đề cập tại Mục 1.8 Trong một chuồng kín có 5 gà mái và 3 gà trống. Bắt ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần một con. Gọi A là biến cố “Bắt được gà trống ở lần thứ nhất”; B là biến cố “Bắt được gà trống ở lần thứ hai”.
(i) Trường hợp 1: Nếu bắt theo phương thức có hoàn lại thì P (A) = 3/8 và vì sau đó con gà được bỏ trở lại chuồng nên P (B) = 3/8, không phụ thuộc gì vào kết quả của lần trước. Do đó A và B là hai biến cố độc lập. Lần bắt thứ hai, vì chuồng gà lúc này chỉ còn 7 con gà, nên P (B) = 2/7 (nếu biến cố A xảy ra), hoặc P (B) = 3/7 (nếu biến cố A không xảy ra).
