CHƯƠNG 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1 Quy tắc đếm 1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân a. Quy tắc cộng Giả sử một công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án: A1 , A2 ,. , Ak , trong đó: - Phương án A1 có n1 cách thực hiện. - Phương án A2 có n2 cách thực hiện không trùng với bất kì cách thực hiện nào của phương án A1.
- Phương án Ak có nk (k > 2) cách thực hiện không trùng với bất kì cách thực hiện nào của các phương án trước đó. Khi đó, công việc A có thể được thực hiện theo (n1 + n2 + · · · + nk ) cách. Trong một hộp có sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quả cầu? Giải.
Vì các quả cầu trắng hoặc đen được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả bất kỳ là một lần chọn. +) Nếu chọn quả trắng có 6 cách. +) Nếu chọn quả đen có 3 cách. Vậy số cách chọn một quả cầu là: 6 + 3 = 9(cách).
Quy tắc nhân Giả sử một công việc A được hoàn thành bởi n bước liên tiếp. - Bước 1 có k1 cách thực hiện. - Bước 2 có k2 cách thực hiện. - Bước i (i = 3, n) có ki cách thực hiện.
Khi đó số cách để hoàn thành công việc A đó là: (k1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Gọi số phải tìm là abcd, (a 6= 0, a 6= b 6= c 6= d). Ta có: a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (vì chỉ còn 4 số sau khi đã chọn a), c có 3 cách chọn (vì chỉ còn 3 số sau khi đã chọn a, b), d có 2 cách chọn (vì chỉ còn 2 số sau khi đã chọn a, b, c).2 = 120 cách lập số thỏa mãn đề bài.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp a.
Hoán vị Cho tập A gồm n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Kết quả của việc sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị các phần tử của A (gọi tắt là hoán vị của A). Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của tập A gồm n phần tử khác nhau thì Pn = n! = n(n − 1). Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ tập A? Giải.
Số cách tạo nên số có 5 chữ số đôi một khác nhau từ A là số các hoán vị của các phần tử của A, nên số các số là: P5 = 5! = 120. Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử khác nhau (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử (0 ≤ k ≤ n) khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Kí hiệu: Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử của A thì n! Akn =.
Hỏi có bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ tập A? Giải. Từ tập A chọn ra bốn chữ số và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định ta được một số có bốn chữ số thỏa mãn đề bài. Vì vậy, số các số tạo thành thỏa mãn là số các chỉnh hợp chập 4 của 5 hay: A45 = 120. Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử khác nhau (n ≥ 1).
Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Kí hiệu: Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử của A thì n! Cnk =. Hỏi có bao nhiêu tập con có 4 chữ số được tạo nên từ tập A? Giải. Vì các phần tử của tập con không phân biệt thứ tự nên số các tập con có 4 chữ số được tạo ra từ tập A là: C54 = 5.2 Định nghĩa xác suất 1.1 Phép thử và biến cố a.
Định nghĩa Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có thể xảy ra hay không được gọi là phép thử. Hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố. Tung một con xúc xắc xuống đất, thấy mặt ngửa lên có 3 chấm. Khi đó, phép thử là "tung một con xúc xắc xuống đất" và biến cố là "mặt ngửa lên có 3 chấm".
Các loại biến cố Biến cố sơ cấp: Là biến cố không có trường hợp riêng, nó là kết quả đơn giản nhất của phép thử, kí hiệu: ω. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là Không gian mẫu và kí hiệu: Ω. Biến cố chắc chắn: Là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu: Ω. Biến cố không thể : Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, kí hiệu: 0.
/ Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu: A, B,C. Tập hợp tất cả các kết quả làm cho biến cố A xảy ra được gọi là tập các kết quả thuận lợi cho A, kí hiệu: ΩA. Tung một con xúc xắc, khi đó: Biến cố " Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6" là biến cố chắc chắn Ω. Biến cố " Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6" là biến cố không thể có 0.
/ 8 Biến cố " Xuất hiện mặt có số chấm chẵn" là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố này gồm 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho nó nên ΩA có 3 phần tử.2 Xác suất của biến cố Như vậy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không trong phép thử là kết quả không thể đoán trước được. Tuy nhiên, bằng trực quan ta có thể thấy rằng các biến cố khác nhau có thể có khả năng xảy ra khác nhau, hay khi lặp đi lặp lại phép thử thì mật độ xuất hiện của một số biến cố là khác nhau. Để định lượng khả năng xuất hiện của biến cố nào đó, ta sẽ nghiên cứu các khái niệm về xác suất.
Trước hết, người ta đưa ra khái niệm "xác suất của biến cố": Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng xuất hiện khách quan của biến cố đó khi thực hiện phép thử. Để tính toán được xác suất của biến cố, người ta có các định nghĩa sau đây. Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử với phép thử nào đó có hữu hạn kết cục và các kết cục là đồng khả năng thì xác suất xuất hiện biến cố A, kí hiệu: P(A), là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số kết cục đồng khả năng đó, tức là: |ΩA | số kết cục thuận lợi cho A P(A) = =. |Ω| tổng số kết cục có thể xảy ra Nhận xét.
Như vậy, định nghĩa cổ điển của xác suất được sử dụng khi số kết cục là hữu hạn, đồng khả năng. Từ định nghĩa cổ điển, ta dễ dàng suy ra được các tính chất sau của xác suất. i) 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A bất kì. Tung một đồng tiền xu cân đối và đồng chất 2 lần.
Tính xác suất của các biến cố sau: a) Mặt sấp xuất hiện 2 lần. b) Mặt sấp xuất hiện đúng 1 lần. c) Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần. Ta có Ω = {SS, NN, SN, NS} suy ra |Ω| = 4.
a) Gọi A là biến cố mặt sấp xuất hiện 2 lần, ta có ΩA = {SS} suy ra |ΩA | = 1 nên 1 P(A) =. 4 9 b) Gọi B là biến cố mặt sấp xuất hiện đúng 1 lần, ta có ΩB = {SN, NS} suy ra |ΩB | = 2, nên 1 P(B) =. 2 c) Gọi C là biến cố mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần, ta có ΩC = {SN, NS, SS} suy ra |ΩC | = 3, nên 3 P(C) =. Trong một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm. b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 1 chính phẩm. Số cách lấy ra 3 sản phẩm từ 10 sản phẩm là |Ω| = C10 a) Gọi A là biến cố cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm thì |ΩA | = C73 nên: C73 7 P(A) = 3 = C10 24 b) Gọi B là biến cố trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 1 chính phẩm thì |ΩB | = C71.
Định nghĩa hình học của xác suất Tiếp tục, ta xét trường hợp kết quả của phép thử là vô hạn, không đếm được. Cụ thể, giả sử mỗi biến cố sơ cấp được biểu diễn bởi một điểm trong một miền H nào đó, biến cố A được biểu diễn bởi miền A là một phần nằm trong miền H. Khi đó, xác suất của A được định nghĩa: m(A ) P(A) = , m(H ) với m(A ), m(H ) là độ đo của miền A , H (độ đo thông thường là độ dài, diện tích, thể tích,. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng thời gian từ 18 giờ đến 19 giờ để cùng đi xem phim.
Hai người đến chỗ hẹn độc lập với nhau và quy ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người đến sau 10 phút, nếu không gặp thì sẽ đi trước. Tính xác suất để hai người gặp nhau.1: Biểu diễn các biến cố Ω, ΩA. Gọi A là biến cố hai người gặp nhau. Coi gốc thời gian là lúc 18 giờ.
Gọi x, y là thời điểm (phút) người thứ nhất, thứ hai đến điểm hẹn. Như vậy thời điểm đến chỗ hẹn của hai người được biểu diễn bởi Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}. Thời điểm để hai người gặp nhau được biểu diễn ΩA = {(x, y) ∈ Ω : |x − y| ≤ 10} hay ΩA = {(x, y) ∈ Ω : x − 10 ≤ y ≤ x + 10}. Biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy (xem Hình 1.1) thì Ω được biểu diễn bởi hình vuông OBDF và ΩA được biểu diễn bởi lục giác OACDEG, nên theo định nghĩa hình học của xác suất: 2 502 S(OBDEFH) 60 − 2.