chương I, Ths. Đỗ Thị Hoài biên soạn chương 2, TS. Trần Thị Hoàng Anh biên soạn chương 3, Ths. Vũ Thị Mai biên soạn chương 4.
HAM SO NHIEU BIEN SO Chương này trình bày về định nghĩa hàm nhiều biến số, phép tính giới hạn, tính chất liên tục, đạo hàm riêng, vi phân của hàm nhiều biến. Sau đó áp dụng các kiến thức này vào bai toán cực trị, và bải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hai biến số, đây là bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt ứng dụng, tạo cơ sở toán học cho các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. GIỚI HẠN - LIÊN TỤC 1. Tập hợp trong ” a.
Không gian ]R" Xét ƒ là tập hợp các bộ ø số thực có thứ tự x= (x¡. Trong ƒ đưa vào phép cộng và phép nhân với vô hướng: x= (X55, ey = (Mod, ) XV; ER, x+ yH(X +H 05%, +, )s ax =(ax,,. Méi phan tir cia V goi la véc to, hoac gọi là điểm. * Tich vô hướng.
Tích vô hướng của hai véc tơ x và y là một sô thực, ký hiệu là x. Khoảng cách giữa x = (x¡.1) Khoảng cách này còn gọi là khoảng cách Euclide, có các tính chất sau đây: d(x,y)=d(y,x): tinh déi xing, d(x,y)20; d(x,y)=0<> x= y: tinh xác định đương, d(x,y)+ d(y,z) > d(x.z): bất đẳng thức tam giác. Tọa độ điểm M⁄ trong R* dugc ky higu M(x,y). Trong phần còn lại của chương này, các kết quả được trình bảy chủ yếu trong IR?.
Nhiều kết quả tương tự còn đúng cho IR". Phân loại tập hợp trong R" © Lân cận. Cho ae]R";£— lân cận của điểm z (còn gọi là hình cầu mở tâm z, bán kính £), kí hiệu U,(a) 1a tap hợp xác định bởi: 2 U,(a)={x ER" :d(x,a)<e}. Điểm z được gọi là điểm trong của tap hop E cR" nếu E£ chứa một hình cầu mở nảo đó tâm z: 3U, (ø) E,( >0).
Đồng thời, tập gọi là một lân cận của diém a. Tap hop E duoc goi la tap mo nếu mọi điểm của E déu 1a điểm trong của nó. Dễ nhận thấy rằng, tập hợp , (z) là tập mở. Điễm x duoc goi la điểm biên cia E néu trong một £— lân cận bất kì của x đều chứa ít nhất một điểm thuộc # và một điểm không thuộc Z.
Tập các điểm biên của £ ki hiệu là ô(E) gọi là biên của E. Rõ ràng, điểm trong của E nằm trong E ; điểm biên của E có thể thuộc # có thể không thuộc E. E được gọi là tập đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó: E đóng ©E=EUô(#). (a) Hình cầu mở, (b) tập mở, (c) hình cầu đóng, (d) mat cầu (tập đóng) trong R* Chẳng hạn, các tập sau đây là đóng (xem hình 1.1): 3 (b) (d) + Hình cầu đóng tam a, ban kính ¢.
+ Mặt cầu đóng tâm z, bán kính e. Cho các tập hợp sau đây trong ïR” (xem hình 1.>) :a<x<b,c< y< 4]: tập hợp mở (Không chứa biên), D, ={(x,y):a<x<b,e< y< d}: không mở, không đóng, D, ={(x,y):a<x<b,e< y < d}: tập hợp đóng (chứa biên). Người ta còn dùng ký hiệu tích Descartes dé chỉ các hình chữ nhật do: D, được kí hiệu bởi (a,b)x(c. Hình chữ nhật trong R” 1.
Hàm nhiều biến số a. Định nghĩa Định nghĩa 1.5%,) eR được gọi là hàm số trên D. D: tập xác định, ƒ: hàm số; x: biến số (hay đối số). Lưu ý rằng, biến số có ø0 thành phần, mỗi thành phần xem như một biến độc lập (cho nên hàm số trên IR” hay được gọi là hàm nhiêu biến).
Miễn xác định Cho hàm số z=f(%,. Miền xác định của z là tập hợp các điểm M(x,,.x,)€R" sao cho tén tai z.x„)}- 3ƒ ` A B A B dị” HN CHẾ cl]. ; iC iC ' ‘ > ' iy a b x a b x Vi du 1. Miền xác định của hàm z =.J4— xỶ—x; —x‡ là hình cầu đóng tâm O, bán kính =2.
Giới hạn của hàm nhiều biến a. Định nghĩa Định nghĩa 1.x4)} 06 giới hạn là (hội tụ đến) điểm M,(x;,x;.x, nếu limđ(M,,M) = 0 hay tương đương ke limx*=x?; 1<i<n. Điểm dần đến (xạ. y„) theo những đường khác nhau Vi dy 1.
3 1 yack Day diém {14 " 3) hội tụ về điểm(1,0)khi ø — +œ, vì: n+Ìn | lim =1; lim—=0. ment] noe A Cho ham sé f:D—>R, va mét diém M, (27,235.59) trong R" sao cho tồn tại các dãy diém {M,,\ thudc D hdi ty vé diém M, khi n>. Néu với mọi dãy số {M,„} hội tụ về điểm A,, tồn tại giới hạn: lim ƒ(M,)=1 n—~>% thì ta nói hàm số w = ƒ(x¡„x;.x„) có giới hạn / khi # -> A⁄„. Chứng minh : 2 2\_ Im(x +y )=l.
Thật vậy, chọn dãy điểm {M, (x„:, )} bắt kỳ hội tụ đến điểm (1,0) tức là: limx, =l; limy„ =0. Theo định nghĩa ta có: Bm(x +y ?)= 1. Tính chất Dinh ly 1. Gia su ƒ#(M):g(M) là hai hàm số có giới hạn hữu hạn khi M > A.
Khi do: * Jm[/(M)+g(M)]= Jim /(M)+ Jimg(M) ° lim [Af(M ns lim ƒ(M) ( & là hằng số) + jm[/(M)(M)]= Jm /(M)1pmz(M) sim /(M)_ m/(M) 9y) Tìm g(M) nếu lim g(M) #0. MA Dinh ly 1.yo) Khiđó lim J (x,y)= (x,y)=(Xo„yọ) Vi du 1. Tinh các giới hạn sau:. 1 a) lim (x?+y7)sin ; ) dim, (2° +2" sin yề.
) clit, al 7 ) r+y x = 2y! c) lim .0) x? 4 y? d) lim x+y (x»)¬(09) x” + yŸ Giải a) lim (x°+y’)sin 5 =sinl. ) „19a 7 ) x+y? b) Hàm số xác định trên R? \{(0,0)}. Theo dinh ly kep, lio) | f(xy) 0> dim,» f(y) =0. : 11 12 c) Xét hai day diem M (: +) 0) và M, (2 =) (a0) nn nn , 1 1 ¬ 7 7 Ta có /ƒ(M,)==S~>~3,n=%, ([M,)== Zn, ọ x2 Vậy lim ——~ là không tồn tại.
Nhung |xy| <5 (x" +3”), V(x,y)eR’, do đó |x" +y'|s. Chúng ta cần phân biệt khái niệm giới hạn nói trên khi (x,y) cùng tiến đến điểm (xạ,y„) với hai giới hạn lặp, đó là khi ta lấy giới han theo x trước y sau hoặc theo y trước x sau lim lim g(x,y) va lim lim g(x,y). Nói chung giới hạn đồng thời và giới hạn lặp không liên quan đến nhau, có thể giới hạn đồng thời tồn tại nhưng không tồn tại giới hạn lặp và ngược lại. Xét giới hạn lim (x +y)sin-Lsin 1T (x.y}¬(0;0) X y Ta có: 0< slx+z|©0 khi x,y->0.
1L, (++y)sin sin Theo nguyên lý kẹp : _ 1. 1 lim (x + y)sin—sin— =0.y)—0:0) x y Tuy nhiên từng giới hạn lặp không tồn tại. Thật vậy do vai trò của x,y như nhau nên ta xét giới hạn theo x trước, y sau. 1 I =lim(x + y)sin—sin—= ysin—limsin—.
x0 x y y x0 x Gidi han trén khong ton tại, nên cũng không tồn tại giới hạn ". „1L, Ì lim lim(x + y)sin in Định nghĩa giới hạn vô hạn và giới hạn khi x,y dần tới vô hạn tương tự như với hàm một biến. e`” +Ị 2 y Chang han + — +00 khi (x,y) —> (0,3); — +00 khi (x,y) > (0,0). Tinh gidi han sau:.
x+ lim— ” T- x->® X” — Xÿ + J you Giải. ~ il iy x+y < 1 1 x -—xyp+y x+y Ma in{ + +) =0, do đó lim =0. x¬=|x[ ly| oe x xy ty" yoo 1. Sự liên tục của hàm số Khái niệm hàm nhiều biến số liên tục được định nghĩa như trong trường hợp của hàm số một biến só.
Cho hàm số ƒ : D —>]R xác định trên miền DCR", va M, là một điểm thuộc 2D. Hàm số không liên tục tại điểm M được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Nếu hàm số /(M⁄) liên tục tại mọi điểm A⁄„ thuộc miền D ta nói ƒ(Ä⁄) liên tục trên Ð. _ Từ định lý về giới hạn của tông, hiệu, tích, thương của các hàm nhiều biến sô, ta chứng minh được định lý sau đây vê hàm liên tục.
Giả sử ƒ/(M);g(M) là hai hàm số của biến điểm ø chiều M(x,.x,) liên tục tại điểm 4. Ta có: e Các hàm số ƒ(A⁄)+g(M) và ƒ(M')g(M) cũng liên tục tại điểm Mẹ. 4 than cá “(M) «và | ak N M 0 thih liên tục tại đ Mẹ. e Neu g(M,) #0 thi hàm số s/M) cũng liên tục tại điểm M, Các định lý về hàm số một biến liên tục trên đoạn [z,b] cũng được mở rộng cho hàm nhiều biến liên tục trên tập D.
Giả sử hàm số ƒ(M) của biến điểm ø chiều M (x,,x;.x,) xác định và liên tục trên miễn D voi D={(Xi.,): 4, Sx, Sbhị: a; Sx; <Sb;;. Khi đó e Hàm số ƒ (3⁄) bị chặn trên mién D, nghĩa là tồn tại một hằng số K >0 sao cho: |/(M)|<K: VM eÐ. e Hàm số ƒ(M) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền D. e Giả sir A, B là hai điểm thuộc miền D sao cho ƒ(4)ƒ(B)<0 thì tồn tại một điểm C e D sao cho ƒ(C) =0.
Nói riêng các định nghĩa và định lý nói trên đều đúng cho trường hợp n=2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên I§? ¬. Giải: Rõ ràng hàm liên tục tại mỗi điểm (x¿,„)#(0. Tại (xạ„„) =(0,0), theo bất đẳng thức Cauchy, ta có a 2 2# 2 2 \Z "“.
> = vey _2“(x +) 2z (x'+z}“ e Trường hợp 1: œ>l, khi đó do lim ——————=0 nên theo (x. se Trường hợp2: z<l. không dần tới 0 khi x->0. Xét tính liên tục của hàm số sau trên ]Ñ”.
khi x° + y? #0 /(x)=4 Fey * 0 khi x° + y* =0. xi—y Tai (x,y) =(0,0), xét aim, f (5) = li) Wye x + Ta có, x” + y”>2|xy ? x(x -y | <u(x +y’) Do đó, 2 2 2 2 xy|x“—y xy|x* +y x+y 2xy < ety 2 Mặtkhác, lim Ý °” =0,nên lìm #(x.0) “ bộ Vậy hàm số liên tục tại (0,0) do đó nó liên tục trên RẺ. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 1. Số gia riêng và số gia toàn phần Một hàm nhiều biến = ƒ (x,„x;.x„) có thể xem như là hàm số của một biến số khi ta cô định giá trị của các biến còn lại.
Từ đây có thể định nghĩa số gia riêng của một hàm nhiêu biên đôi với một biên sô nào đó. Trước hêt ta xét voi n=2. Xét hàm số z= ƒ(x,y) xác định trên miền D va M,(x,,¥)) là một điểm thuộc miền D. Cố định giá trị y= yạ và cho x thay đổi một lượng Ax thì giá trị của hàm số thay đối một lượng là: A,Zz= f (X +Ax,¥y)—f (X95): Ta gọi A,z là số gia riêng theo biến x của hàm số z = ƒ (x,y).
Tương tự số gia riêng theo biến y của hàm số z=/(x,y)tại điểm M,(Xps¥o) a: A,z = f (XM + Ay)= ƒ(®;#a)- Số gia toàn phần biểu thị sự thay đổi giá trị của hàm số khi cả hai biến đồng thời thay đôi.