MỞ ĐẦU 1. TỔNG QUAN VỀ MÔN HỌC 1. Giới thiệu Trong quá trình lao động, con người đã làm việc và sáng tạo ra những sản phẩm là thực thể của không gian ba chiều. Lúc ban đầu, người suy nghĩ ra những đối tượng ba chiều đó cũng chính là người trực tiếp làm ra chúng.
Hình 0-01 – Ví dụ như người suy nghĩ ra hình dạng của một cái bình cũng chính là người nhào nặn ra cái bình đó. Dần dần, theo sự phát triển của văn minh nhân loại, việc phân công lao động đã tách quá trình : Suy nghĩ ra đối tượng trong trí óc và tạo lập đối tượng đó thành một vật thể ba chiều trên thực tế ra làm hai phần do những nhóm người khác nhau thực hiện. Hình 0-02 – Ví dụ như kiến trúc sư thiết kế ra một công trình trên bản vẽ giấy hai chiều (2D). Kỹ sư xây dựng có nhiệm vụ xây dựng công trình đó thành một đối tượng ba chiều (3D) trên thực tế.
1 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC Hình 0-03 – Ví dụ nhà tạo dáng sản phẩm công nghiệp đưa ra ý tưởng bằng các hình vẽ 2D. Thợ sản xuất dựa theo bản thiết kế đó mà làm ra sản phẩm 3D trên thực tế. Như vậy, thông tin về một đối tượng trong không gian cần phải được thể hiện trên những bản vẽ giấy để những nhóm người khác nhau có thể đọc và liên tưởng trở lại hình ảnh không gian của đối tượng đó. Việc thể hiện thông tin của một đối tượng ba chiều lên trên những bản vẽ giấy hai chiều đòi hỏi phải có những phương pháp biểu diễn sao cho tất cả những thông tin về đối tượng đó đều phải được tìm thấy trên các bản vẽ hai chiều và người đọc bản vẽ có thể tái hiện lại được hình ảnh ba chiều của đối tượng đó trong trí óc.
Nghiên cứu về những phương pháp biểu diễn đó để làm cơ sở lý luận cho việc xây dựng các bản vẽ là nguồn gốc lịch sử và là một trong những nội dung của môn Hình Học Họa Hình. Định nghĩa môn học Hình học họa hình là môn học nghiên cứu cách thức biểu diễn một không gian hình học lên một không gian hình học khác (thường có chiều thấp hơn) rồi dùng các hình biểu diễn ấy để nghiên cứu không gian hình học ban đầu. Trong giáo trình này, chúng ta chỉ giới hạn trong phạm vi biểu diễn không gian hình học Euclide ba chiêu lên không gian hình học Euclide hai chiều. MỤC ĐÍCH CỦA MÔN HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC 2.
Mục đích của môn học Việc học môn hình học họa hình nhằm tạo cơ sở để người học biết cách thể hiện các bản vẽ kỹ thuật, kiến trúc, mỹ thuật,…Đồng thời cũng giúp cho việc rèn luyện về tư duy không gian. Phương pháp học Để có thể tiếp thu tốt môn học, người học cần phải biết kết hợp tư duy không gian (khả năng tưởng tượng) với việc vận dụng tư duy logic trên hình biểu diễn. (Xem hình 0-04) 2 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC Hình 0-04 – Phương pháp học môn hình học họa hình 3. QUI ƯỚC VỀ KÝ HIỆU BIỂU DIỄN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC Để tránh xảy ra nhầm lẫn khi biểu diễn các yếu tố hình học, ta qui ước sử dụng thống nhất các ký hiệu sau đây : (xem hình 0-05) 1 - Để ký hiệu điểm, ta dùng các chữ in: A, B, C, D, E, … - Để ký hiệu đường (thẳng hoặc cong), ta dùng chữ thường: a, b, c, d, e, … - Để ký hiệu mặt (phẳng hoặc cong), ta dùng chữ hoa: , , , …hoặc ta để các chữ trong dấu ngoặc đơn: (ABC), (p // q), … - Để ký hiệu hình chiếu 1 của một đối tượng hình học A, ta thêm các chỉ số: A’ hoặc A1 Hình 0-05 hoặc A2 hoặc A3, … 4.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH 2 4. Phép chiếu Ta có thể hiểu khái niệm về phép chiếu từ việc mô hình hóa một vật thể ba chiều đặt trước một nguồn sáng và cho bóng đổ lên trên một bề mặt nào đó.1 để biết khái niệm về phép chiếu. 2 Phép chiếu, tương ứng 1-1 và sự suy biến là những thuật ngữ cơ bản của hình học họa hình, các thuật ngữ này có thể được định nghĩa một cách chính xác bằng các công cụ toán học ( tập hợp, ánh xạ,…), tuy nhiên các định nghĩa này khá trừu tượng. Do đó giáo trình này chỉ đưa ra các khái niệm về chúng nhằm cố gắng mô tả một cách dễ hiểu và trực quan nhất cho người đọc.
3 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - Nguồn phát ra tia sáng được mô hình hóa thành một điểm gọi là nguồn chiếu (hay tâm chiếu) S. - Các tia xuất phát từ nguồn chiếu S được gọi là tia chiếu. - Mặt (phẳng) nhận bóng của vật thể được gọi là mặt (phẳng) hình chiếu. - Bóng của vật thể A in lên trên mặt (phẳng) hình chiếu được gọi là hình chiếu A’ hay ảnh A’ của vật thể A.
Tương ứng 1-1 Ta có thể hiểu khái niệm tương ứng 1-1 như là một sự tương đương giữa hai vấn đề A và B. Nếu biết được A thì sẽ biết được B và ngược lại. Hay nói cách khác, A và B là hai cách thức khác nhau diễn đạt cùng một vấn đề duy nhất. (Hình 0-07) Hình 0-07 Tương ứng 1-1 là điều kiện bắt buộc trong việc truyền đạt thông tin thông qua các hình thức diễn đạt khác nhau nhằm đảm bảo cho thông tin nhận được không bị sai lệch, thêm bớt so với thông tin ban đầu.
4 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC 4. Sự suy biến Hình chiếu A’ của một đối tượng hình học A gọi là bị suy biến khi có các đặc điểm sau : (xem hình 0-08 a,b) - Số chiều không gian của hình chiếu A’ (là n-1), giảm đi một so với số chiều không gian của đối tượng hình học A (là n). - Nếu mở rộng đối tượng hình học A trong không gian ra vô tận thì nó luôn đi qua nguồn chiếu S. Hình 0-08 a Hình 0-08 b Hình 0-08 a : đường thẳng a (một chiều) có hình chiếu a’ A là một điểm (không chiều).
Nếu kéo dài đường thẳng a ra vô tận thì đường thẳng a sẽ đi qua nguồn chiếu S. Do đó ta nói hình chiếu a’ bị suy biến thành một điểm. Hình 0-08 b : mặt phẳng (ABC) (hai chiều) có hình chiếu (A’B’C’) là một đường thẳng (một chiều). Nếu mở rộng mặt phẳng (ABC) ra vô tận thì nó sẽ đi qua nguồn chiếu S.
Do đó ta nói hình chiếu (A’B’C’) bị suy biến thành một đường thẳng. Sự suy biến có một vai trò rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tìm giao tuyến của hình học họa hình. Phần lớn các bài toán muốn tìm ra lời giải thì trước hết phải đi xác định (hoặc tạo lập) các yếu tố suy biến. BỔ SUNG YẾU TỐ VÔ TẬN VÀO KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE 3 CHIỀU Để không gian hình học ba chiều có thể được biểu diễn đầy đủ bởi không gian giấy vẽ hai chiều, đồng thời làm đơn giản hóa khi biểu diễn các yếu tố hình học, người ta mở rộng không gian Euclide ba chiều bằng cách thêm vào yếu tố vô tận (∞) Ta có hệ tiên đề mới về yếu tố vô tận (∞) như sau : - Mỗi đường thẳng có một điểm vô tận.
Những đường thẳng song song nhau thì có chung với nhau điểm vô tận. (Hinh 0- Hình 0-09 09) 5 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC - Mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận. Những mặt phẳng song song nhau thì có chung với nhau đường thẳng vô tận. (Hinh 0-10) - Quĩ tích tất cả những điểm vô tận của không gian tạo thành một mặt phẳng vô tận.
Mọi điểm vô tận và đường thẳng vô tận đều nằm trên mặt phẳng này. Hình 0-10 ➔ Ta xem các yếu tố vô tận và các yếu tố hữu hạn của không gian có vai trò bình đẳng như nhau. Sau khi bổ sung các yếu tố vô tận vào không gian hình học Euclide ba chiều, các mệnh đề liên thuộc 3 được phát biểu đơn giản hơn : - Hai đường thẳng thuộc cùng một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm chung. - Một đường thẳng và một mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một điểm chung.
- Hai mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một đường thẳng chung. Phép chiếu xuyên tâm ➔ Xây dựng phép chiếu : (hình 0-11) Trong không gian ta lấy một điểm S hữu hạn làm tâm chiếu (nguồn chiếu) và một mặt phẳng làm mặt phẳng hình chiếu. Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không gian, để chiếu điểm A qua tâm chiếu S lên mặt phẳng ta vẽ tia SA. Tia SA giao với mặt phẳng tại điểm A’.
A’ được gọi là hình chiếu của điểm A qua tâm chiếu S lên mặt phẳng. Hình 0-11 Nhờ bổ sung yếu tố vô tận mà mọi điểm của không gian Euclide ba chiều đều có hình chiếu của nó trên mặt phẳng (trừ điểm nằm trùng với nguồn chiếu S). 3 Liên thuộc là một thuật ngữ của hình học họa hình dùng để chỉ mối liên hệ giữa những đối tượng có liên quan và phụ thuộc với nhau. 6 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC ➔ Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm : - Hình chiếu của một điểm (không trùng tâm chiếu) là một điểm.
- Hình chiếu của một đường thẳng (không đi qua tâm chiếu) là một đường thẳng. - Sự liên thuộc giữa điểm và đường thẳng được bảo toàn: A a A’ a’ - Tỉ số kép giữa bốn điểm thẳng hàng được bảo toàn: (hình 0-12) AB AC A' B' A' C' : = : DB DC D' B' D' C' Hình 0-12 Hay viết gọn hơn là (ABCD) = (A’B’C’D’) 6. Phép chiếu song song ➔ Định nghĩa : Phép chiếu song song là phép chiếu xuyên tâm có nguồn chiếu S ở vô tận. ➔ Các tính chất của phép chiếu song song : - Hình chiếu của những đường thẳng song song nhau cũng là những đường thẳng song song nhau : a // b a’ // b’ (hình 0-13) MN M' N' - Tỉ số của hai đoạn thẳng song song nhau được bảo toàn : = PQ P' Q' (Hình 0-13) AB A' B' - Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng được bảo toàn: = (Hình 0-14) CB C' B' Hay viết gọn hơn là (ABC) = (A’B’C’) Hình 0-13 Hình 0-14 7 HÌNH HỌC HỌA HÌNH CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC 6.
Phép chiếu thẳng góc ➔ Định nghĩa : Phép chiếu thẳng góc là phép chiếu song song có phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.