Luận văn dạy học hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 gắn bối cảnh thực tại THCS Quảng Ninh

Luận văn nghiên cứu dạy học gắn với bối cảnh thực chủ đề hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

• Tác giả: Phạm Thanh Huyền
• Người hướng dẫn: PGS. Trịnh Thị Phương Thảo
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Dạy học gắn với bối cảnh thực chủ đề hệ thức lượng trong tam giác vuông cho học sinh lớp 9
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2025
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9 ở Quảng Ninh

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là nội dung trọng tâm của chương trình Hình học lớp 9. Phân môn này trang bị cho học sinh các công thức tính cạnh, đường cao và tỉ số lượng giác góc nhọn. Việc gắn bài học với bối cảnh thực tiễn địa phương mở ra hướng tiếp cận sinh động. Tỉnh Quảng Ninh sở hữu địa hình độc đáo với đồi núi, biển đảo cùng nhiều công trình hiện đại. Cầu Bãi Cháy, ngọn hải đăng Cô Tô hay cụm núi Bài Thơ đều là nguồn tư liệu tự nhiên phong phú. Thay vì giải quyết các bài toán trừu tượng trên giấy, học sinh được tiếp cận tình huống gắn liền môi trường sống quen thuộc. Giáo viên chuyển hóa dữ liệu thực tế thành sơ đồ tam giác vuông chuẩn mực. Quá trình này giúp bài toán hình học khô khan trở nên gần gũi. Học sinh nắm bắt bản chất toán học nhanh hơn. Hứng thú học tập tăng cao rõ rệt. Năng lực giải quyết vấn đề toán học hình thành tự nhiên thông qua hoạt động khám phá. Giáo dục toán học vì thế không tách rời đời sống xã hội. Bối cảnh thực tại Quảng Ninh tạo tiền đề vững chắc cho việc đổi mới phương pháp giảng dạy theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018.

1.1. Bản chất hình học và vai trò bối cảnh thực tế

Hệ thức lượng mô tả mối quan hệ giữa cạnh, đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông. Các công thức này đặt nền móng cho hình học phẳng và lượng giác học. Bối cảnh thực tế đóng vai trò cầu nối tri thức với thực nghiệm. Học sinh tiếp cận kiến thức từ việc quan sát thế giới xung quanh. Các hình ảnh như trụ tháp cáp treo Nữ Hoàng hay vách đá Vịnh Hạ Long tạo ra góc nhìn trực quan. Người học nhận diện tam giác vuông ẩn sau các kết cấu kiến trúc. Trực giác không gian của học sinh phát triển qua từng bài toán thực tế. Kiến thức hình học trở thành công cụ đắc lực giải thích hiện tượng đời sống. Phương pháp này loại bỏ lối học vẹt công thức truyền thống.

1.2. Mục tiêu phát triển năng lực toán học cho học sinh

Dạy học gắn bối cảnh thực hướng đến việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học. Học sinh học cách phát hiện bài toán toán học từ một sự việc thực tế. Tiếp theo, người học vận dụng định lí Pythagore và tỉ số lượng giác để thiết lập mô hình tính toán. Kỹ năng tư duy logic và suy luận hình học nâng cao rõ rệt. Năng lực sử dụng công cụ đo đạc thực tế như giác kế cũng được củng cố. Hoạt động nhóm trong các tiết thực địa rèn luyện khả năng giao tiếp học thuật. Học sinh tự tin trình bày giải pháp trước tập thể lớp. Quá trình học tập chuyển hóa từ thụ động tiếp thu sang chủ động kiến tạo tri thức mới.

II. Thực trạng dạy học hệ thức lượng lớp 9 gắn bối cảnh tại Quảng Ninh

Khảo sát thực tế tại các trường trung học cơ sở như Lê Thánh Tông, Lê Văn Tám, Trọng Điểm và Văn Lang phản ánh bức tranh đa chiều. Đa số giáo viên bộ môn Toán tại Quảng Ninh đánh giá cao ý nghĩa của việc dạy học gắn với thực tiễn. Thầy cô nhận thức rõ vai trò của bối cảnh thực trong việc kích thích tư duy học sinh. Tuy nhiên, mức độ triển khai thường xuyên trong các tiết học hệ thức lượng còn hạn chế. Nhiều giáo viên vẫn ưu tiên rèn luyện kỹ năng giải toán cơ bản để phục vụ thi cử. Thời gian dành cho hoạt động trải nghiệm thực địa tại địa phương chưa nhiều. Nguồn học liệu số và ngân hàng bài toán thực tế chuẩn hóa còn thiếu thốn. Về phía người học, học sinh lớp 9 thường lúng túng khi gặp các đề bài có dung lượng chữ dài. Khả năng đọc hiểu dữ liệu và mô hình hóa hình học còn nhiều yếu điểm. Học sinh quen với các tam giác vẽ sẵn trên bảng. Khi đứng trước các công trình thực tế như ngọn hải đăng hay cầu dây văng, các em khó xác định các yếu tố góc và cạnh. Sự chênh lệch năng lực giữa các nhóm học sinh gây thêm khó khăn cho việc quản lý lớp học. Đây là bài toán cấp thiết cần giải quyết triệt để.

2.1. Rào cản từ phương pháp giảng dạy và tài liệu

Phương pháp giảng dạy truyền thống vẫn chiếm ưu thế tại nhiều cơ sở giáo dục. Giáo viên thường đối mặt áp lực thời lượng tiết dạy theo phân phối chương trình. Các tiết học chủ yếu diễn ra trong không gian phòng học đóng kín. Việc đưa học sinh ra ngoài đo đạc thực tế gặp nhiều rào cản tổ chức. Ngoài ra, sách giáo khoa hiện hành cung cấp ít bài tập gắn liền đặc trưng Quảng Ninh. Các ví dụ minh họa còn mang tính chung chung và trừu tượng. Giáo viên phải tự biên soạn tài liệu giảng dạy ngoài giờ lên lớp. Quá trình thu thập số liệu đo đạc thực địa tốn nhiều thời gian và công sức. Thiếu thốn thiết bị hỗ trợ đo góc cũng làm giảm hiệu quả bài giảng.

2.2. Khó khăn của học sinh lớp 9 khi mô hình hóa

Học sinh lớp 9 gặp nhiều thách thức khi chuyển hóa bài toán thực tế sang ngôn ngữ toán học. Rào cản lớn nhất nằm ở kỹ năng đọc hiểu ngôn ngữ tình huống. Nhiều học sinh bị choáng ngợp trước các dữ liệu phi toán học trong đề bài. Các em chưa biết cách loại bỏ chi tiết phụ để giữ lại cấu trúc tam giác vuông then chốt. Việc xác định các góc nâng hay góc hạ đòi hỏi khả năng tưởng tượng không gian tốt. Nhiều em vẽ sai vị trí góc vuông dẫn đến tính toán sai lệch kết quả. Sai số trong quá trình đo đạc thực nghiệm cũng khiến học sinh hoang mang. Tâm lý sợ sai làm giảm tính chủ động của người học trong giờ thực hành.

III. Giải pháp dạy học hệ thức lượng lớp 9 theo bối cảnh Quảng Ninh

Để tháo gỡ khó khăn, giáo viên cần xây dựng quy trình dạy học gắn bối cảnh thực rõ ràng và bài bản. Quy trình này gồm bốn bước cốt lõi. Bước đầu tiên là lựa chọn và xây dựng tình huống thực tế gắn liền địa phương Quảng Ninh. Hình ảnh cầu Bạch Đằng, cột cờ đảo Trần hay chiều cao núi Bài Thơ được đưa vào bài giảng. Bước thứ hai là tổ chức cho học sinh phân tích tình huống và phát biểu bài toán hình học. Học sinh lược bỏ thông tin nhiễu để trích xuất tam giác vuông và các đại lượng đã biết. Bước thứ ba là thiết lập mô hình toán học và giải quyết bài toán bằng hệ thức lượng. Học sinh vận dụng linh hoạt tỉ số lượng giác sin, cos, tan và định lí Pythagore. Bước cuối cùng là kiểm chứng kết quả trong thực tế và đánh giá độ chính xác. Bên cạnh đó, hệ thống bài tập cần được phân bậc hợp lý theo năng lực tiếp nhận. Thầy cô phân loại thành bài tập vận dụng trực tiếp và bài tập tích hợp liên môn. Hoạt động dạy học kết hợp công nghệ mô phỏng GeoGebra giúp trực quan hóa bài toán. Học sinh tiến bộ qua từng nhiệm vụ thực tiễn.

3.1. Xây dựng ngân hàng bài toán thực tế địa phương

Giáo viên chủ động thu thập số liệu kích thước từ các danh thắng nổi tiếng tại Quảng Ninh. Tình huống đo chiều cao ngọn hải đăng Cô Tô bằng bóng nắng mặt trời tạo hứng thú lớn cho học sinh. Tình huống tính khoảng cách giữa hai tàu neo đậu trên Vịnh Hạ Long qua góc nhìn từ đài quan sát rèn luyện tư duy thực tế. Ngân hàng bài toán được chia làm hai cấp độ rõ rệt. Cấp độ một cung cấp sẵn hình vẽ mô phỏng để học sinh làm quen. Cấp độ hai yêu cầu người học tự phác thảo sơ đồ tam giác vuông dựa trên văn bản mô tả. Việc phân hóa này giúp mọi đối tượng học sinh đều có thể tiếp cận bài học thuận lợi.

3.2. Tổ chức hoạt động thực hành đo đạc ngoài trời

Tổ chức thực hành ngoài trời là biện pháp cốt lõi biến lý thuyết thành kỹ năng thực tế. Nhà trường trang bị các công cụ hỗ trợ như giác kế cầm tay, thước dây và phần mềm đo góc điện tử. Học sinh làm việc theo nhóm để hoàn thành phiếu học tập tại sân trường hoặc địa điểm tham quan. Từng thành viên đảm nhận vai trò cụ thể gồm ngắm góc, ghi chép số liệu và tính toán cạnh tam giác. Giáo viên hướng dẫn các nhóm xử lý sai số đo đạc thực nghiệm theo chuẩn khoa học. Phương pháp này hình thành tinh thần làm việc nhóm và trách nhiệm cá nhân. Bài học trở nên sôi nổi, giúp học sinh khắc sâu kiến thức hệ thức lượng bền vững.

IV. Ứng dụng hệ thức lượng lớp 9 vào bối cảnh thực tế Quảng Ninh

Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông mang lại nhiều giá trị thực tiễn sâu sắc cho học sinh lớp 9 tại Quảng Ninh. Trong đời sống hàng ngày, các em sử dụng tỉ số lượng giác để tính chiều cao cột cờ hay bóng cây mà không cần leo trèo nguy hiểm. Trong kỹ thuật hàng hải, kiến thức hình học hỗ trợ xác định khoảng cách từ tàu thuyền đến bờ biển hoặc trạm hải đăng. Hoạt động xây dựng dân dụng tại địa phương cũng cần công thức tam giác vuông để tính toán độ dốc mái nhà và kiểm tra góc vuông nền móng. Thực nghiệm sư phạm tại trường THCS Lê Thánh Tông chứng minh học sinh nâng cao rõ rệt năng lực tư duy khi được học qua bối cảnh địa phương. Tỉ lệ học sinh đạt điểm khá giỏi trong các bài kiểm tra thực hành tăng cao. Thái độ học tập đối với môn Toán chuyển biến từ e ngại sang hào hứng say mê. Mô hình này khẳng định tính đúng đắn của định hướng giáo dục gắn liền trải nghiệm thực tiễn. Việc nhân rộng cách làm ra toàn tỉnh Quảng Ninh sẽ tạo bước đột phá trong giảng dạy môn Toán cấp trung học cơ sở.

4.1. Hiệu quả thực nghiệm tại trường THCS Lê Thánh Tông

Kết quả thực nghiệm sư phạm tại trường THCS Lê Thánh Tông cho thấy bước tiến vượt bậc của học sinh. Nhóm lớp thực nghiệm áp dụng dạy học gắn bối cảnh thực đạt kết quả kiểm tra cao hơn rõ rệt so với lớp đối chứng. Điểm số các bài toán mô hình hóa thực tế cải thiện ấn tượng. Học sinh chủ động phân tích góc nhìn và lập luận chặt chẽ. Khả năng làm việc nhóm và kỹ năng thao tác thiết bị đo đạc hình thành rõ nét. Giáo viên ghi nhận không khí lớp học sôi nổi và giàu tính tương tác. Học sinh bày tỏ niềm tự hào khi khám phá di sản quê hương qua lăng kính toán học. Dữ liệu thực nghiệm khẳng định tính khả thi của đề tài.

4.2. Khả năng nhân rộng mô hình tại các trường học

Mô hình dạy học gắn với bối cảnh thực tế có tiềm năng nhân rộng lớn tại các trường học trên toàn tỉnh Quảng Ninh. Mỗi địa phương trong tỉnh đều có đặc trưng địa lý và công trình riêng biệt để khai thác. Thành phố Hạ Long tận dụng kỳ quan vịnh biển và cầu cảng hiện đại. Huyện Bình Liêu khai thác độ dốc ruộng bậc thang và cột mốc biên giới. Thị xã Đông Triều vận dụng công trình di tích lịch sử và nghề gốm sứ truyền thống. Sở Giáo dục và Đào tạo có thể tổ chức các chuyên đề tập huấn giáo viên nhân rộng phương pháp. Nền tảng chia sẻ học liệu mở giúp các trường trao đổi bài toán thực tế dễ dàng hơn bao giờ hết.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Bối cảnh thực và dạy học gắn với bối cảnh thực 1. Khái niệm dạy học gắn với bối cảnh thực Khái niệm bối cảnh thực trong dạy học toán đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và tiếp cận từ các góc độ khác nhau. Mặc dù có sự khác biệt nhất định trong cách diễn đạt và nhấn mạnh, các nghiên cứu đều thống nhất rằng bối cảnh thực đóng vai trò quan trọng trong việc gắn kết tri thức toán học với đời sống, qua đó góp phần nâng cao hiệu quả học tập và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

Theo Trần Trung và Nguyễn Thị Dung [13], bối cảnh thực được hiểu là “tình huống, điều kiện hoặc hoàn cảnh thực tế có tác động trực tiếp đến một chủ thể cụ thể”. Quan điểm này nhấn mạnh vai trò của yếu tố thực tiễn như một điều kiện cần thiết để học sinh có thể vận dụng tri thức toán học, đồng thời hình thành tư duy khoa học và khả năng tương tác với môi trường xung quanh. Ở một cách tiếp cận khác, Phạm Thị Hải Châu [11] cho rằng bối cảnh thực cần đảm bảo tính chân thực, gần gũi và có dữ kiện hợp lí, giúp học sinh dễ dàng hình dung, kiểm chứng và đối chiếu kết quả giải quyết vấn đề với thực tiễn. Tiếp cận từ góc độ ứng dụng, Nguyễn Phương Thảo và Huỳnh Minh Tuấn [9] nhấn mạnh rằng bối cảnh thực là những tình huống quen thuộc mà học sinh có thể thường xuyên gặp trong học tập và sinh hoạt hằng ngày.

Cách tiếp cận này đặc biệt coi trọng vai trò tạo động lực học tập, bởi khi nhận ra sự gần gũi và tính hữu ích của tri thức toán học, học sinh sẽ có thái độ học tập tích cực hơn. Bổ sung cho quan điểm trên, Trịnh Thị Phương Thảo và cộng sự [19] tiếp cận bối cảnh thực từ góc độ thiết kế tình huống dạy học, nhấn mạnh vai trò của bối cảnh trong việc tạo cơ hội để học sinh thực hiện quá trình toán học hóa, vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề có ý nghĩa. Trong khi đó, Nguyễn Thị Thanh Phương [10] mở rộng khái niệm này khi cho rằng bối cảnh thực không chỉ hỗ trợ học sinh tiếp thu kiến thức mà còn góp phần phát triển tư duy phản biện và ý thức trách nhiệm xã hội thông qua các trải nghiệm gắn với thực tiễn. 4 Từ các quan điểm trên, có thể nhận thấy rằng bối cảnh thực là một dạng đặc thù của bối cảnh trong dạy học toán, vừa kế thừa các đặc trưng chung của bối cảnh nói chung, vừa bổ sung những yêu cầu đặc thù về tính thực tiễn và khả năng vận dụng.

Theo đó, bối cảnh thực trong dạy học toán cần hội tụ ba đặc điểm cơ bản: (1) tính chân thực, phản ánh chính xác hoặc mô phỏng hợp lí các tình huống từ đời sống; (2) tính gần gũi, phù hợp với kinh nghiệm, vốn sống và trình độ nhận thức của học sinh; và (3) tính ứng dụng, cho phép học sinh vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Trên cơ sở tổng hợp các quan điểm nghiên cứu và phù hợp với mục tiêu của luận văn, bối cảnh thực trong dạy học toán được hiểu là những tình huống hoặc hoàn cảnh xuất phát từ đời sống thực tiễn hoặc được mô phỏng hợp lí từ thực tiễn, có tính chân thực, gần gũi và ứng dụng, được sử dụng nhằm tạo cơ hội cho học sinh thực hiện quá trình toán học hóa, vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề có ý nghĩa, qua đó góp phần phát triển hứng thú học tập và năng lực giải quyết vấn đề. Khái niệm dạy học gắn với bối cảnh thực Dạy học gắn với bối cảnh thực là một xu hướng giáo dục quan trọng trong kỷ nguyên hiện đại, đặc biệt là đối với bộ môn Toán. Nhiều nghiên cứu trong và ngoài nước đã khẳng định rằng việc tổ chức dạy học thông qua các bối cảnh và tình huống thực tế giúp học sinh kết nối chặt chẽ kiến thức lý thuyết với đời sống sinh động.

Qua đó, người học không chỉ phát triển năng lực giải quyết vấn đề mà còn nâng cao đáng kể động lực và hứng thú học tập. Cách tiếp cận này giúp hoạt động giáo dục trở nên có ý nghĩa và thiết thực hơn, đáp ứng trọn vẹn yêu cầu phát triển năng lực người học theo mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành. Theo Trần Trung và Nguyễn Thị Dung [12], dạy học gắn với bối cảnh thực là việc sử dụng các tình huống thực tiễn có tác động trực tiếp đến học sinh nhằm giúp các em hiểu sâu kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào đời sống. Phạm Thị Hải Châu [10] cho rằng bối cảnh thực trong dạy học phải mang tính chân thực, hợp lí, gần gũi với đời sống và phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh, từ đó tạo ra nhu cầu nhận thức và động cơ học tập.

Ở góc độ tổng quan, Douangalom Phounakhoum và Bùi Thị Hạnh Lâm [4] xác định dạy học gắn với bối cảnh thực là quá trình dạy học 5 cho phép học sinh huy động kiến thức ở trong và ngoài nhà trường để giải quyết các vấn đề của thế giới thực trong nhiều môi trường khác nhau như gia đình, nhà trường và cộng đồng. Tiếp cận theo hướng thiết kế và tổ chức hoạt động học tập, Nguyễn Phương Thảo và Huỳnh Minh Tuấn [9] nhấn mạnh vai trò của giáo viên trong việc chuyển hóa các bối cảnh thực thành các nhiệm vụ học tập có ý nghĩa, qua đó tạo điều kiện cho học sinh vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn và kiến tạo tri thức. Bên cạnh đó, Nguyễn Thị Thanh Phương [9] cho rằng dạy học gắn với bối cảnh thực không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn góp phần phát triển năng lực xã hội, ý thức trách nhiệm và khả năng trải nghiệm thực tế của học sinh. Dựa trên tổng hợp từ các nghiên cứu, có thể đề xuất một định nghĩa tổng quát về dạy học gắn với bối cảnh thực như sau: "Dạy học gắn với bối cảnh thực là phương pháp giảng dạy sử dụng các tình huống, điều kiện hoặc hoàn cảnh thực tế để giúp học sinh kết nối kiến thức với thực tiễn, từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề, tư duy logic và sáng tạo.

Bối cảnh thực trong dạy học phải đảm bảo tính chân thực, tính gần gũi với học sinh và có tính ứng dụng cao. Phương pháp này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà còn khuyến khích các em trải nghiệm thực tế, nâng cao động lực học tập và ý thức trách nhiệm đối với xã hội." Có thể rút ra rằng dạy học gắn với bối cảnh thực có bốn đặc điểm chính. Thứ nhất, phương pháp này phải đảm bảo tính chân thực, tức là các tình huống học tập phải phản ánh đúng thực tế, có sự liên hệ chặt chẽ với đời sống của học sinh. Thứ hai, bối cảnh thực cần có tính gần gũi, nghĩa là phù hợp với nhận thức và trải nghiệm của học sinh, giúp các em dễ dàng liên hệ với thực tiễn và nâng cao động lực học tập.

Thứ ba, phương pháp này phải có tính ứng dụng cao, giúp học sinh vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn, phát triển khả năng tư duy logic và sáng tạo. Cuối cùng, dạy học gắn với bối cảnh thực cần thúc đẩy tư duy mô hình hóa và trải nghiệm thực tiễn, giúp học sinh có thể chuyển đổi các tình huống thực tế thành mô hình Toán học để phân tích và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả. Năng lực giải quyết vấn đề toán học Năng lực giải quyết vấn đề toán học là một trong những năng lực cốt lõi được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới và tại Việt Nam quan tâm sâu sắc. Trong bối cảnh 6 đổi mới giáo dục theo định hướng phát triển năng lực, NLGQVĐTH được xem là năng lực trọng tâm, bởi lẽ thông qua hoạt động giải quyết vấn đề, người học không chỉ được củng cố tri thức mà còn phát triển các kỹ năng tư duy bậc cao, hình thành thái độ học tập tích cực và khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cuộc sống.

Các quan niệm về NLGQVĐTH có sự đa dạng tùy thuộc vào góc độ tiếp cận. Theo hướng nhấn mạnh tính ứng dụng vào thế giới thực, Rajkumar và Hema [17] định nghĩa NLGQVĐTH là khả năng giải quyết các vấn đề trong thế giới thực, đồng thời có thể chuyển đổi linh hoạt các chiến lược giải quyết thông qua nhận thức, công nghệ và tư duy logic. Quan niệm này khẳng định NLGQVĐTH không đơn thuần là áp dụng các quy trình toán học sẵn có, mà là sự vận dụng tổng hợp nhiều yếu tố, tạo điều kiện cho người học thích ứng tốt với những tình huống đa dạng. Ở Việt Nam, NLGQVĐTH thường được xác định là tổ hợp các năng lực thể hiện ở những kỹ năng (bao gồm cả thao tác tư duy và hành động) nhằm giải quyết có hiệu quả các nhiệm vụ của bài toán [8].

Tương tự, Nguyễn Huy Thao và cộng sự [7] nhấn mạnh NLGQVĐTH là khả năng giải quyết một vấn đề toán học cụ thể dựa trên cơ sở vận dụng tri thức, kinh nghiệm và kỹ năng đã có. Quan điểm này được củng cố bởi Võ Xuân Mai và Tô Quốc Lộc [14], khi nhìn nhận NLGQVĐTH như một tổ hợp các thuộc tính tâm lí, cho phép học sinh huy động kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm và phẩm chất cá nhân để giải quyết thành công các vấn đề toán học trong những điều kiện cụ thể. NLGQVĐTH không chỉ dừng lại ở việc tìm ra lời giải mà còn gắn với quá trình tư duy phản tư và sáng tạo, điều này thể hiện rõ qua cấu trúc của năng lực. Các nhà nghiên cứu như Nguyễn Hữu Hậu và cộng sự [6], Nguyễn Dương Hoàng và Hồ Tuấn Thoại [5] đã mở rộng khái niệm, nhấn mạnh các thành tố quan trọng như khả năng phát hiện và làm rõ vấn đề, đề xuất giải pháp, và đặc biệt là quá trình phản tư, phát hiện những giải pháp khác, hoặc phát hiện vấn đề mới trên cơ sở kết quả đã đạt được.

Vũ Đình Chinh [15] bổ sung thêm khía cạnh phán đoán vào quy trình rèn luyện NLGQVĐTH, bao gồm các hoạt động như hiểu vấn đề, khám phá, hình thành, chứng minh và giải quyết vấn đề qua phán đoán.