Bài Toán Dựng Hình Trong Chương Trình Hình Học Ở Trường Trung Học Cơ Sở

Luận văn thạc sĩ phân tích lý luận và phương pháp dạy học toán, tập trung vào bài toán dựng hình tam giác và hình thang trong chương trình trung học cơ sở.

• Tác giả: Huỳnh Quốc Hao
• Người hướng dẫn: TS. Đoàn Hữu Hải
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp Dạy học
• Đề tài: Bài Toán Dựng Hình Trong Chương Trình Hình Học Ở Trường Trung Học Cơ Sở
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ giáo dục học
• Năm xuất bản: 2006
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN
• 1.1. Nguồn gốc của khái niệm bài toán dựng hình
• 1.2. Một số chiến lược dựng hình gắn với bộ công cụ Euclide
• 1.2.1. Chiến lược dựng hình gắn đúng
• 2. CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
• 2.1. Giai đoạn trước lớp 8
• 2.2. Giai đoạn lớp 8
• 2.3. Giai đoạn lớp 9
• 2.4. Mật số khác biệt cơ bản về dựng hình của các sách giáo khoa 1986 và 2002
• 2.5. Các tổ chức toán học được xây dựng xung quanh bài toán dựng hình tam giác
• 3. CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM
• 3.1. Thực nghiệm đối với giáo viên
• 3.1.1. Hình thức thực nghiệm
• 3.1.2. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi dành cho giáo viên
• 3.1.3. Phân tích Aposriori thực nghiệm
• 3.1.4. Kết luận phần thực nghiệm giáo viên
• 3.2. Thực nghiệm đối với học sinh
• 3.2.1. Mục đích thực nghiệm học sinh
• 3.2.2. Hình thức thực nghiệm
• 3.2.3. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi dành cho học sinh
• 3.2.4. Phân tích Aposriori thực nghiệm học sinh
• KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Bài Toán Dựng Hình Trong Hình Học THCS

Bài toán dựng hình hình học THCS là một phần quan trọng trong chương trình toán học, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế. Từ thời cổ đại, các nhà toán học đã quan tâm đến việc dựng hình bằng các công cụ đơn giản như thước và compa. Theo Huỳnh Quốc Hao, trong chương trình THCS, bài toán dựng hình luôn xuất hiện trong các bộ sách giáo khoa, dù là trước hay sau cải cách. Kiến thức về dựng hình là không thể thiếu, chỉ có thể giảm nhẹ hoặc đặt nặng ở từng loại sách mà thôi. Việc học hình học của học sinh còn yếu, việc vẽ hình thôi cũng là khó khăn đối với họ. Bài toán dựng hình không chỉ là một đối tượng giảng dạy mà còn là một công cụ hỗ trợ trong việc giảng dạy hình học. Tuy nhiên, việc trình bày có hợp lý không? Có mang tính kế thừa? Và học sinh có nắm được ý đồ của các tác giả?

1.1. Lịch sử phát triển của bài toán dựng hình cơ bản

Bài toán dựng hình có lịch sử lâu đời, bắt nguồn từ thời Hy Lạp cổ đại, với các nhà toán học như Euclid. Họ đã xây dựng nền tảng lý thuyết cho việc dựng hình bằng thước và compa. Theo [16, tr. ] từ thế kỉ VI-V trước Công nguyên, người ta đã nghiên cứu các bài toán dựng hình với quy định chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa. Các bài toán cổ điển như chia đôi góc, gấp đôi hình lập phương và cầu phương hình tròn đã thúc đẩy sự phát triển của hình học.

1.2. Vai trò của bài toán dựng hình trong giáo dục THCS

Trong chương trình THCS, bài toán dựng hình giúp học sinh làm quen với các khái niệm hình học cơ bản, rèn luyện kỹ năng sử dụng thước và compa, đồng thời phát triển tư duy hình học và khả năng giải quyết vấn đề. Các bài toán dựng hình như dựng tam giác, dựng đường trung trực, dựng đường phân giác là những kiến thức nền tảng quan trọng. Bài toán dựng hình là một bài toán truyền thống trong chương trình và SGK Việt Nam, tuy vậy vai trò của nó dường như ngày càng kém quan trọng so với các đối tượng tri thức khác.

II. Thách Thức và Khó Khăn Trong Dạy Và Học Dựng Hình

Mặc dù quan trọng, việc dạy và học bài toán dựng hình gặp nhiều thách thức. Nhiều học sinh cảm thấy khó khăn trong việc hình dung và thực hiện các bước dựng hình. Giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc truyền đạt kiến thức một cách hiệu quả. Khó khăn đến từ nhiều yếu tố, bao gồm sự trừu tượng của các khái niệm hình học, kỹ năng sử dụng thước và compa chưa thành thạo, và thiếu sự liên kết giữa lý thuyết và thực hành. Một điều khác cũng làm chúng tôi quan tâm để đưa vào nghiên cứu là việc Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã tung ra bộ sách mới vào năm 2002, và hiện tại họ đã hoàn thành việc thay sách cuốn chiếu ở bậc THCS. Cần xem xét khái niệm dựng hình đã nảy sinh và phát triển như thế nào trong lịch sử?

2.1. Nguyên nhân khiến học sinh gặp khó khăn với dựng hình

Một trong những nguyên nhân chính là sự trừu tượng của các khái niệm hình học. Học sinh khó hình dung các đối tượng hình học và các thao tác dựng hình trong không gian. Kỹ năng sử dụng thước và compa chưa thành thạo cũng là một rào cản lớn. Ngoài ra, nhiều học sinh thiếu sự kiên nhẫn và cẩn thận cần thiết để thực hiện các bước dựng hình một cách chính xác. Tham khảo vài ý kiến của các giáo viên THCS, họ cho rằng: dựng hình là một loại toán khó, nó chỉ thích hợp với học sinh khá giỏi, các cuộc thi vòng Huyện, vùng Tỉnh, còn học sinh đại trà khó nắm được loại bài toán này.

2.2. Những hạn chế trong phương pháp giảng dạy dựng hình

Phương pháp giảng dạy truyền thống thường tập trung vào việc truyền đạt lý thuyết và hướng dẫn các bước dựng hình một cách máy móc. Ít chú trọng đến việc tạo cơ hội cho học sinh thực hành và khám phá. Việc thiếu các hoạt động thực tế và các ví dụ minh họa sinh động cũng khiến học sinh khó tiếp thu kiến thức. Giáo viên còn cho biết thêm: Việc học hình học của học sinh là yếu, việc vẽ hình thôi cũng là khó khăn đối với họ.

III. Phương Pháp Dựng Hình Bằng Thước Và Compa Hiệu Quả

Để giúp học sinh vượt qua những khó khăn, cần áp dụng các phương pháp dựng hình bằng thước và compa hiệu quả. Các phương pháp này cần chú trọng đến việc tạo sự hứng thú cho học sinh, khuyến khích sự khám phá và sáng tạo, đồng thời đảm bảo tính chính xác và logic. Dụng các hình bằng thước kẻ và compa được xem như một trò chơi phải tuân theo hai luật nêu trên, đã tỏ ra rằng đó là một trò chơi hấp dẫn nhất được nghĩ ra từ trước tới nay. Thật đáng ngạc nhiên khi các phép dựng hình thực sự phức tạp lại có thể thực hiện được bằng cách này và cũng khó có thể tin rằng các bài toán dựng hình tưởng chừng như đơn giản lại không thể thực hiện được.

3.1. Hướng dẫn chi tiết các bước dựng hình cơ bản

Hướng dẫn chi tiết các bước dựng hình cơ bản là một phần quan trọng trong việc giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng. Các bước dựng hình cần được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các hình minh họa trực quan. Cần chú trọng đến việc giải thích lý do của từng bước dựng hình, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề. Voi cây thước kẻ chúng cho phép ta vẽ một đường thẳng có chiều dài không xác định đi qua 2 điểm phân biệt cho trước. Vii chiếc compa cho phép ta vẽ một đường tròn với bất kì điểm nào cho trước làm tâm và đi qua 1 điểm thứ 2 bất ki nào.

3.2. Bí quyết giúp học sinh dựng hình chính xác và nhanh chóng

Để dựng hình chính xác và nhanh chóng, học sinh cần nắm vững các bí quyết sau: Sử dụng thước và compa đúng cách, vẽ các đường thẳng và đường tròn một cách cẩn thận, kiểm tra lại các bước dựng hình sau khi hoàn thành. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên và làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau cũng giúp học sinh nâng cao kỹ năng dựng hình. Dựng hình không có số đo và đơn vị.

IV. Ứng Dụng Của Dựng Hình Trong Giải Bài Tập Hình Học

Bài toán dựng hình không chỉ là một kỹ năng riêng lẻ mà còn là một công cụ quan trọng trong việc giải các bài tập hình học phức tạp. Việc nắm vững các kỹ năng dựng hình cơ bản giúp học sinh dễ dàng phân tích và giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Việc sử dụng dựng hình vào bài tập giúp phần hình vẽ trực quan hơn. Đánh giá: Qua phần trên, chúng ta thấy rằng bài toán dựng hình có thể ra đời trước thời Pythagore, tuy nhiên với các cử liệu có được, chúng tôi chỉ có thể nói rằng bài tuần dựng hình ra đời từ thời Pythagore (-569 — 500). Trang thời kì này, người ta dựng hình luôn tuần thủ bộ compa và thước kẻ, coi nó như là một bộ dụng cụ chỉnh thống.

4.1. Giải bài tập dựng hình tam giác tứ giác đường tròn

Ứng dụng dựng hình vào giải bài tập tam giác, tứ giác, đường tròn giúp học sinh hiểu rõ hơn về các tính chất hình học và mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình. Ví dụ, dựng tam giác khi biết ba cạnh, dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác, dựng hình vuông nội tiếp đường tròn. Các tổ chức toán học được xây dựng xung quanh bài toán dựng hình tam giác.

4.2. Cách chứng minh bài toán hình học bằng phương pháp dựng hình

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng phương pháp dựng hình để chứng minh các bài toán hình học. Phương pháp này thường được sử dụng để chứng minh các tính chất về đồng quy, thẳng hàng, hoặc các quan hệ về độ dài và góc. Lấy ví dụ: giải nhượng trình x(a-x) = b² hoặc x² — ax + b² =0, có thể phát biểu lại ở dạng hình học: Chia một đoạn thẳng cho trước sao cho hình chữ nhật được chữa bởi các bộ phận của đoạn thẳng đó sẽ bằng một hình vuông cho trước, hình vudng này không tươi quá hình vuông trên nữa của đoạn thẳng cho trước.

V. Bài Tập Dựng Hình Nâng Cao Và Ứng Dụng Thực Tế

Ngoài các bài tập cơ bản, còn có nhiều bài tập dựng hình nâng cao đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Các bài tập này thường liên quan đến việc dựng các hình phức tạp, chứng minh các tính chất hình học khó, hoặc giải các bài toán thực tế liên quan đến dựng hình. Tới thế ki 19, người ta mới chứng minh được rằng đó là những bài toán không giải đước, tức là không thé bằng một số hữu han phép dựng bằng thước và compa tìm thấy được hình đòi hỏi.

5.1. Các dạng bài tập dựng hình khó thường gặp trong thi cử

Các dạng bài tập dựng hình khó thường gặp trong thi cử bao gồm các bài toán dựng hình thỏa mãn nhiều điều kiện, dựng hình liên quan đến các quỹ tích điểm, hoặc dựng hình kết hợp với các kiến thức hình học khác như lượng giác, hình học giải tích. Trong chương trình THCS bài toán dựng hình luôn xuất hiện trong các bộ sách giáo khoa.

5.2. Ứng dụng của dựng hình trong kiến trúc kỹ thuật thiết kế

Các kỹ năng dựng hình có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật, thiết kế. Việc dựng hình giúp các kỹ sư, kiến trúc sư tạo ra các bản vẽ chính xác, đảm bảo tính khả thi và thẩm mỹ của các công trình. Các đặc trưng của chúng? Việc dạy dựng hình ở trường THCS Việt Nam có tương đẳng với các đặc điểm của dựng hình trong lịch sử toán hay không?

VI. Kết Luận Tầm Quan Trọng và Hướng Phát Triển Dựng Hình

Bài toán dựng hình đóng vai trò quan trọng trong chương trình hình học THCS, giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề. Việc đổi mới phương pháp giảng dạy và tăng cường các hoạt động thực hành sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả và ứng dụng vào thực tế. Bài toán dựng hình không chỉ là một kỹ năng riêng lẻ mà còn là một công cụ quan trọng trong việc giải các bài tập hình học phức tạp.

6.1. Đánh giá về vai trò của dựng hình trong chương trình THCS

Bài toán dựng hình là một phần không thể thiếu trong chương trình hình học THCS, góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh. Qua bài viết, học sinh sẽ nắm được rõ hơn kiến thức về dựng hình cũng như những phương pháp giải dựng hình hay.

6.2. Hướng phát triển bài toán dựng hình trong tương lai

Trong tương lai, bài toán dựng hình có thể được tích hợp với công nghệ thông tin, sử dụng các phần mềm dựng hình để tạo ra các bài tập trực quan và sinh động hơn. Đồng thời, cần chú trọng đến việc kết nối kiến thức dựng hình với các ứng dụng thực tế, giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của môn học trong cuộc sống.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: PHÁN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 1. Nguén gốc của khái niệm hải toần dựng hình: “Neay từ thể kỉ VỊ = V trước Công nguyên, người ta đã nghiên cứu cúc bài todn dựng hình với quy định chỉ sử dụng hai dung cụ là thước va compa” — [16, tr. Chúng ta hãy cùng nhau xem xét vấn để này. Trước hết chúng ta xét 2 quy luật ma no đã khai sinh ra bài todn dựng hình: I Voi cây thước ké chúng cho phép ta vẽ một đường thẳng cd chiều dài không xác định di qua 3 điểm phân biệt cho trước.

Vii chiếc compa cho phép ta vẽ một đường tron với bất kì điển nào cha trước làm tâm va di qua | điểm thứ 2 bất ki nào.95] Dung các hình bằng thước kẻ và compa được xem như một trò chơi phải tuân theo hai luật nêu trên, đã tổ ra rằng đó là | trò chơi hấp dan’ nhất được nghĩ ra từ trước tdi may. That ding ngạc nhién khi các phép dựng hình thực sự phức tạp lại có thể thực hiện được bằng cách này và cũng khó có thể tin rằng các bài toán dựng hình tưởng chừng như đơn giản lai không thể thực hiện được. Dụng cụ Euclid là thuật ngữ dùng để chỉ bộ dung cụ thước kẻ và compa, lí do là các tiên để trong Nguyên lý của Euclid quy định chỉ được dùng thước kẻ và compa và theo các luậi ở trên nên những dụng cụ này được gọi là các dựng cụ Eucld, Cũng cẩn đặc biệt chú ý rằng ở thước kẻ không hé có ly tấc gì. Như vậy bộ câng cụ này là bộ cong cụ rất li tưởng.

Công cụ dựng hình này không nhằm tạo ra hình vật chất (thước thẳng vô tận, compa). Dựng hình khâng có sé đo và đơn vị. Trùng thời dai của Pythagore (-569 — -500), các môn sinh của Pythagore biết dựng hình và giải một số phương trình hằng dựng hình, đổi diện tích bằng dựng hình (5, tr. Chúng ta lấy 2 bài toán sau để minh họa: Bai todn I; Giải nhượng trình x(a-x) = b> hoặc x” — ax + h =0, có thể phát biểu lại ở dạng hình học: Chia mật đoạn thẳng cho trước sao cho hình chữ nhật được chữa bởi các bộ phận của đoạn thẳng đó sẽ bằng một hình vuông cho trước, hình vudng này không tươi quá hình vuông trên nữa của đoạn thẳng cho trước, Để giải, gọi AB và b la 2 đuạn thẳng, b không lớn hơn AB.

Ta phải chia AB bởi mat điểm Q sao cho (AQ) (QB) = bỉ. Cúch dựng: E - ta dựng từ điểm giữa P của AB một đường —2 thẳng vuông góc với nó và lấy trên đó PE=b h Ề 5 “a ! |5.*95J bì - và từ E làm tâm và PB làm bán kính , vẽ một cung cất AB ở điểm Q phải tim. Chitng mình: (AQ) (QB) = (PB) - (PQÿỶ = (EQ) - (PQÿ = (EP)” = bỶ, Kí hiệu AB có chiéu dài là a và chiéu dài của AQ là x, ta đã giải được phương trình bic hai xˆ- ax + b =Ú, Các nghiệm được biểu thị bđi AQ và QB. Bài toán 2: Giải nhường trình x(x - a) = b* hoặc x” — ax - hẰ = 0, có thể được phát hiểu ở dạng hình học như sau: Kéo dài | đoạn thẳng cho trước sac cho hình chữ nhật chita đoạn thẳng được kéo đài và phần kéo dài sẽ bằng một hình vuông cho trước.

Ta lai dit AB và b là 2 đoạn thang. Ta phải kéo dai AB đến một điểm Q sao cho (AQ) (QB) = bỶ. ‘E Cách dựng: ——_ ' - ta lấy BE = b trên đường thẳng vuông gác AB tại B, - lấy điểm giữa P của AB làm tâm và PE làm ban kinh vạch một cung tron cất AB kéo dài ở điểm Q phải tim Chững minh: (AQ) (QB) = (PQY - (PB]” = (PE)” - (PBY = (BE) =b', 3 H n Trong hộ Eléments d' Euclide, chúng ta bat gặp bài tuần nỗi tiếng “điểm chia vàng” (mệnh để 11, quyển I) như sau: A Gog “Che trước doan thẳng AB (hình), cần chia AB thành 2 phân bởi điểm Œ, sao cho diện tích hình chữ nhật GBDK bằng diện E toch hình vuông ASHG, (BD = AB)” Cách dung: - Dung hình vuõng ABDC. - Lấy trung điểm E của AC — - Kéo dai EA đến J sao cho EJ = BE, rỗi dựng hình vuông AJHG - HG kéo đãi cất CD tại K - Điểm G là điểm chia AB phải dựng Chứng mình: Gui AG =x; AR=a ĐỂ thỏa mãn yêu cấu dé bai cho thì ta nhải có: x= (a-X}a <=> x’ +ax—a'=0 v5 -Ï Giải ra ta được; x = { Jah (lấy căn dương} Theo cách dựng trên thì ta có: EB’ = AB” + AE” =a° + (a/2)° = 5a /4 Do đó AG =EI - AE =EB- Ab =(%—! a= Sy | ood - Vay bài toán đã được chứng minh.

Thời kì này, (TKS trước CN) xuất hiện 3 bài toán dựng hình không giải được, nủ xuất nhát từ vấn để cầu phương các nguyệt hình của Hypocrat thành Khiôx, ông là mat Pythagorit: + Gấp đổi | hình lập phương: Dựng | hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của hình lập phương có thể tích cho trước, + Chia 3 mặt góc. + Cau phương hình tròn: Dựng | hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tron cho trước.L |3 Tới thé ki 19, người ta mới chứng minh được rằng đó là những bài toán không giải đước, tức là không thé bằng một số hữu han phép dựng bằng thước và compa tìm thấy được hình đòi hỏi. Đánh giá: Qua phần trên, chúng ta thấy rằng bài toán dung hình có thể ra đời trước thời Pythagore, tuy nhiên với các cử liệu có được, chúng tôi chỉ có thể nói rằng bài tuần dựng hình ra đời từ thời Pythagore (-569 — 500), Trang thời kì này, người ta dựng hình luũn tuần thủ bộ compa và thước kẻ, coi nó như là một bộ dụng cụ chỉnh thống. De thấy được sự khác hiệt giữa dựng hình của các nhà toán học và dựng hình trong giing dạy, chúng tôi sẽ tiếp tục xét thêm vài chiến lược dựng hình đặc hiệt đã xuất hiện trong lịch sử 1.2, Một sốchiến lược đựng hình gắn với bộ công cụ Euelide: 1.

Chiến lược dựng hình gắn đúng : Từ khi xuất hiện 3 bài toán không giải được trong dựng hình, thì nhiều người đã ra sức giải chúng, từ dd cũng thúc đẩy sự phát triển của hình hoe, người ta cũng đã phát triển dựng hình với nhiều hướng khác nhau về mặt công cụ, nhưng trong phẩn xem xét ở đây, chúng tôi chi quan tâm các chiến lược dựng hình có liên quan tới 2 dung cu thước kẻ và compa. Với quan điểm này, chúng tôi xin ghi lai một sốchiến lược sau, để từ đó (và cùng với phẩn trên) góp phẩn nêu lên đặc điểm của đựng hình trong lịch sử: Ngoài việc dựng chính xác mật hình, người ta cũng quan tâm tới phép dựng xấp xỉ (gần đúng), Năm 1525, Albrecht Durer đưa ra phép đựng xấp xỉ khá tốt. Cho góc AOK là góc ở tâm của | vòng tròn (xem hình], Gọi C ở gân B là điểm chia 3 của 10 dây AB. Từ C dựng đường thẳng gác với AB và cất đường tròn ở D Với B làm tâm và BD lam ban kính vẽ Ú cung cất AB ở E.

Goi F gần với E D là điểm chia 3 của EC. Rồi cũng lấy B làm tâm và BF _ làm ban kinh, và Í cung cất đường trên ở G. Như vậy OG là đường chia 3 gdn đúng của góc AOB nhưng chỉ: ^ B uc khu ng ! cho trắc AOB =60" va 18 cho gc 0 AGB = 90". ANH tt [5, ir.

B02 - 128] Năm 1919, Kopf đưa ra phép dựng gin đúng dé chia 3 một góc như sau: (về sau được O.Perron và M, d'Ocagne cải tiến thêm!. Mộ! góc AOH cho trước được lấy là gúc ở tâm trong một vòng tron có đường kinh BOC. Tim D, điểm giữa của OC, rãi P trên OC kéo dài sau cho CP = OC. Tại D dựng một đường tuông góc CấÝT tông tròn ở E và lấy điểm F bén trong C và D sao cho DF = DE/3.

Vai F làm tâm và FB làm bản kính vé một cung cất CA kéo dài ở A', Như vdy góc A'BD gdn bằng 1⁄3 của gác AOH. d Ocagne đưa ra cách chia 3 một góc và nó chính xác một cách đáng ngạc nhiễn cho các góc nhủ. Lấy gác AOB cho trước làm gúc ở tâm cua mật nàng tron có đường kính BOC. Goi D là điểm giữa của OC va M là điểm giữa của cung AB, Như vậy góc MDB xửp xỉ bằng 1/3 của góc AOR.

Chiến lược đựng hình tiệm cận: Bên cạnh phương pháp dựng hình xấp xỉ, có một phương pháp dựng hình cũng đáng chú ý, đó là dựng hình tiệm cận: một phép dựng hình bằng các dụng cụ Euclid nhưng cần phải tiến hành một số võ hạn các thao tác thì được gọi là phép dựng hình Euclid tiểm cặn. Chẳng hạn Fialkiwski đưa ra vào nấm 1860, cho bai toán chia 3 như sau: Goi OT, là đường phân giác của góc AOB, OT, là của góc AOT,, OT; là của góc TOT, OT, là của T,O7, , OTs là của TOT, v. Như vay limOT, = OT là một trong những đường chia 3 gấu AOB Hoặc lời giải cho hài toán cầu phương: Trên đoạn thang AB, kéo dài lấy B;B; = AB,, BH;B; = 2(B,B,), B;B, = 2(B,B,) v. với Bị, Ba, Bị.

lam tim vẽ các đường tròn B,(A), BoA), ByA). Gọi M, là điểm giữa của nữa đường tròn trên AB,. Vẽ B2M, cất đường tron B (A) tại Mạ, BạM; cất đường tròn By(A) ở My,. Gọi N, là hình chiếu của M, lên tiến tuyến chung của các đường tron tại A.

Như vậy lim AN] = lá của đường tròn By(A). Dung hình với bộ công cu Euclid bi hạn chế: khác, trong lịch sử dựng hình bằng bộ dụng cụ Euclid cũng đã nảy sinh ra một số “biến tưởng” của bộ dụng cụ : + Dựng hình chỉ bằng compa của Lorenzo Mascheroni(tk!8) xuất hiện năm 1797 trong Geometria del compasso [5, tr. Tuy vậy ý đổ tương tự cũng đã có trong quyển Euclides Danicus (1672) của Georg Mohr.1 15] + Jean = Victor Poncelet dựng chỉ bằng thước kẻ (điểu này không phải tất cả các phép dựng hình Euclid déu có thể thực hiện được), nhưng có thêm một đường tron và tim của nó hiện điện trên mặt phẳng dựng hình thi moi cách dựng hình Euelid đều có thể thực hiện được bằng thước kẻ (nằm trong định lí năm 1822). Sau này Jacob Steiner phat triển thêm [5, tr.1 16} + Francesco Severi (1904) chỉ cẩn | cung tròn và tâm của nó là có thể dựng được bằng thước kẻ.