CHƯƠNG 1: PHÁN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 1. Nguén gốc của khái niệm hải toần dựng hình: “Neay từ thể kỉ VỊ = V trước Công nguyên, người ta đã nghiên cứu cúc bài todn dựng hình với quy định chỉ sử dụng hai dung cụ là thước va compa” — [16, tr. Chúng ta hãy cùng nhau xem xét vấn để này. Trước hết chúng ta xét 2 quy luật ma no đã khai sinh ra bài todn dựng hình: I Voi cây thước ké chúng cho phép ta vẽ một đường thẳng cd chiều dài không xác định di qua 3 điểm phân biệt cho trước.
Vii chiếc compa cho phép ta vẽ một đường tron với bất kì điển nào cha trước làm tâm va di qua | điểm thứ 2 bất ki nào.95] Dung các hình bằng thước kẻ và compa được xem như một trò chơi phải tuân theo hai luật nêu trên, đã tổ ra rằng đó là | trò chơi hấp dan’ nhất được nghĩ ra từ trước tdi may. That ding ngạc nhién khi các phép dựng hình thực sự phức tạp lại có thể thực hiện được bằng cách này và cũng khó có thể tin rằng các bài toán dựng hình tưởng chừng như đơn giản lai không thể thực hiện được. Dụng cụ Euclid là thuật ngữ dùng để chỉ bộ dung cụ thước kẻ và compa, lí do là các tiên để trong Nguyên lý của Euclid quy định chỉ được dùng thước kẻ và compa và theo các luậi ở trên nên những dụng cụ này được gọi là các dựng cụ Eucld, Cũng cẩn đặc biệt chú ý rằng ở thước kẻ không hé có ly tấc gì. Như vậy bộ câng cụ này là bộ cong cụ rất li tưởng.
Công cụ dựng hình này không nhằm tạo ra hình vật chất (thước thẳng vô tận, compa). Dựng hình khâng có sé đo và đơn vị. Trùng thời dai của Pythagore (-569 — -500), các môn sinh của Pythagore biết dựng hình và giải một số phương trình hằng dựng hình, đổi diện tích bằng dựng hình (5, tr. Chúng ta lấy 2 bài toán sau để minh họa: Bai todn I; Giải nhượng trình x(a-x) = b> hoặc x” — ax + h =0, có thể phát biểu lại ở dạng hình học: Chia mật đoạn thẳng cho trước sao cho hình chữ nhật được chữa bởi các bộ phận của đoạn thẳng đó sẽ bằng một hình vuông cho trước, hình vudng này không tươi quá hình vuông trên nữa của đoạn thẳng cho trước, Để giải, gọi AB và b la 2 đuạn thẳng, b không lớn hơn AB.
Ta phải chia AB bởi mat điểm Q sao cho (AQ) (QB) = bỉ. Cúch dựng: E - ta dựng từ điểm giữa P của AB một đường —2 thẳng vuông góc với nó và lấy trên đó PE=b h Ề 5 “a ! |5.*95J bì - và từ E làm tâm và PB làm bán kính , vẽ một cung cất AB ở điểm Q phải tim. Chitng mình: (AQ) (QB) = (PB) - (PQÿỶ = (EQ) - (PQÿ = (EP)” = bỶ, Kí hiệu AB có chiéu dài là a và chiéu dài của AQ là x, ta đã giải được phương trình bic hai xˆ- ax + b =Ú, Các nghiệm được biểu thị bđi AQ và QB. Bài toán 2: Giải nhường trình x(x - a) = b* hoặc x” — ax - hẰ = 0, có thể được phát hiểu ở dạng hình học như sau: Kéo dài | đoạn thẳng cho trước sac cho hình chữ nhật chita đoạn thẳng được kéo đài và phần kéo dài sẽ bằng một hình vuông cho trước.
Ta lai dit AB và b là 2 đoạn thang. Ta phải kéo dai AB đến một điểm Q sao cho (AQ) (QB) = bỶ. ‘E Cách dựng: ——_ ' - ta lấy BE = b trên đường thẳng vuông gác AB tại B, - lấy điểm giữa P của AB làm tâm và PE làm ban kinh vạch một cung tron cất AB kéo dài ở điểm Q phải tim Chững minh: (AQ) (QB) = (PQY - (PB]” = (PE)” - (PBY = (BE) =b', 3 H n Trong hộ Eléments d' Euclide, chúng ta bat gặp bài tuần nỗi tiếng “điểm chia vàng” (mệnh để 11, quyển I) như sau: A Gog “Che trước doan thẳng AB (hình), cần chia AB thành 2 phân bởi điểm Œ, sao cho diện tích hình chữ nhật GBDK bằng diện E toch hình vuông ASHG, (BD = AB)” Cách dung: - Dung hình vuõng ABDC. - Lấy trung điểm E của AC — - Kéo dai EA đến J sao cho EJ = BE, rỗi dựng hình vuông AJHG - HG kéo đãi cất CD tại K - Điểm G là điểm chia AB phải dựng Chứng mình: Gui AG =x; AR=a ĐỂ thỏa mãn yêu cấu dé bai cho thì ta nhải có: x= (a-X}a <=> x’ +ax—a'=0 v5 -Ï Giải ra ta được; x = { Jah (lấy căn dương} Theo cách dựng trên thì ta có: EB’ = AB” + AE” =a° + (a/2)° = 5a /4 Do đó AG =EI - AE =EB- Ab =(%—! a= Sy | ood - Vay bài toán đã được chứng minh.
Thời kì này, (TKS trước CN) xuất hiện 3 bài toán dựng hình không giải được, nủ xuất nhát từ vấn để cầu phương các nguyệt hình của Hypocrat thành Khiôx, ông là mat Pythagorit: + Gấp đổi | hình lập phương: Dựng | hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của hình lập phương có thể tích cho trước, + Chia 3 mặt góc. + Cau phương hình tròn: Dựng | hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tron cho trước.L |3 Tới thé ki 19, người ta mới chứng minh được rằng đó là những bài toán không giải đước, tức là không thé bằng một số hữu han phép dựng bằng thước và compa tìm thấy được hình đòi hỏi. Đánh giá: Qua phần trên, chúng ta thấy rằng bài toán dung hình có thể ra đời trước thời Pythagore, tuy nhiên với các cử liệu có được, chúng tôi chỉ có thể nói rằng bài tuần dựng hình ra đời từ thời Pythagore (-569 — 500), Trang thời kì này, người ta dựng hình luũn tuần thủ bộ compa và thước kẻ, coi nó như là một bộ dụng cụ chỉnh thống. De thấy được sự khác hiệt giữa dựng hình của các nhà toán học và dựng hình trong giing dạy, chúng tôi sẽ tiếp tục xét thêm vài chiến lược dựng hình đặc hiệt đã xuất hiện trong lịch sử 1.2, Một sốchiến lược đựng hình gắn với bộ công cụ Euelide: 1.
Chiến lược dựng hình gắn đúng : Từ khi xuất hiện 3 bài toán không giải được trong dựng hình, thì nhiều người đã ra sức giải chúng, từ dd cũng thúc đẩy sự phát triển của hình hoe, người ta cũng đã phát triển dựng hình với nhiều hướng khác nhau về mặt công cụ, nhưng trong phẩn xem xét ở đây, chúng tôi chi quan tâm các chiến lược dựng hình có liên quan tới 2 dung cu thước kẻ và compa. Với quan điểm này, chúng tôi xin ghi lai một sốchiến lược sau, để từ đó (và cùng với phẩn trên) góp phẩn nêu lên đặc điểm của đựng hình trong lịch sử: Ngoài việc dựng chính xác mật hình, người ta cũng quan tâm tới phép dựng xấp xỉ (gần đúng), Năm 1525, Albrecht Durer đưa ra phép đựng xấp xỉ khá tốt. Cho góc AOK là góc ở tâm của | vòng tròn (xem hình], Gọi C ở gân B là điểm chia 3 của 10 dây AB. Từ C dựng đường thẳng gác với AB và cất đường tròn ở D Với B làm tâm và BD lam ban kính vẽ Ú cung cất AB ở E.
Goi F gần với E D là điểm chia 3 của EC. Rồi cũng lấy B làm tâm và BF _ làm ban kinh, và Í cung cất đường trên ở G. Như vậy OG là đường chia 3 gdn đúng của góc AOB nhưng chỉ: ^ B uc khu ng ! cho trắc AOB =60" va 18 cho gc 0 AGB = 90". ANH tt [5, ir.
B02 - 128] Năm 1919, Kopf đưa ra phép dựng gin đúng dé chia 3 một góc như sau: (về sau được O.Perron và M, d'Ocagne cải tiến thêm!. Mộ! góc AOH cho trước được lấy là gúc ở tâm trong một vòng tron có đường kinh BOC. Tim D, điểm giữa của OC, rãi P trên OC kéo dài sau cho CP = OC. Tại D dựng một đường tuông góc CấÝT tông tròn ở E và lấy điểm F bén trong C và D sao cho DF = DE/3.
Vai F làm tâm và FB làm bản kính vé một cung cất CA kéo dài ở A', Như vdy góc A'BD gdn bằng 1⁄3 của gác AOH. d Ocagne đưa ra cách chia 3 một góc và nó chính xác một cách đáng ngạc nhiễn cho các góc nhủ. Lấy gác AOB cho trước làm gúc ở tâm cua mật nàng tron có đường kính BOC. Goi D là điểm giữa của OC va M là điểm giữa của cung AB, Như vậy góc MDB xửp xỉ bằng 1/3 của góc AOR.
Chiến lược đựng hình tiệm cận: Bên cạnh phương pháp dựng hình xấp xỉ, có một phương pháp dựng hình cũng đáng chú ý, đó là dựng hình tiệm cận: một phép dựng hình bằng các dụng cụ Euclid nhưng cần phải tiến hành một số võ hạn các thao tác thì được gọi là phép dựng hình Euclid tiểm cặn. Chẳng hạn Fialkiwski đưa ra vào nấm 1860, cho bai toán chia 3 như sau: Goi OT, là đường phân giác của góc AOB, OT, là của góc AOT,, OT; là của góc TOT, OT, là của T,O7, , OTs là của TOT, v. Như vay limOT, = OT là một trong những đường chia 3 gấu AOB Hoặc lời giải cho hài toán cầu phương: Trên đoạn thang AB, kéo dài lấy B;B; = AB,, BH;B; = 2(B,B,), B;B, = 2(B,B,) v. với Bị, Ba, Bị.
lam tim vẽ các đường tròn B,(A), BoA), ByA). Gọi M, là điểm giữa của nữa đường tròn trên AB,. Vẽ B2M, cất đường tron B (A) tại Mạ, BạM; cất đường tròn By(A) ở My,. Gọi N, là hình chiếu của M, lên tiến tuyến chung của các đường tron tại A.
Như vậy lim AN] = lá của đường tròn By(A). Dung hình với bộ công cu Euclid bi hạn chế: khác, trong lịch sử dựng hình bằng bộ dụng cụ Euclid cũng đã nảy sinh ra một số “biến tưởng” của bộ dụng cụ : + Dựng hình chỉ bằng compa của Lorenzo Mascheroni(tk!8) xuất hiện năm 1797 trong Geometria del compasso [5, tr. Tuy vậy ý đổ tương tự cũng đã có trong quyển Euclides Danicus (1672) của Georg Mohr.1 15] + Jean = Victor Poncelet dựng chỉ bằng thước kẻ (điểu này không phải tất cả các phép dựng hình Euclid déu có thể thực hiện được), nhưng có thêm một đường tron và tim của nó hiện điện trên mặt phẳng dựng hình thi moi cách dựng hình Euelid đều có thể thực hiện được bằng thước kẻ (nằm trong định lí năm 1822). Sau này Jacob Steiner phat triển thêm [5, tr.1 16} + Francesco Severi (1904) chỉ cẩn | cung tròn và tâm của nó là có thể dựng được bằng thước kẻ.