mở đầu phần đạo hàm, G2 bắt đầu với việc trình bày hai khái niệm « tiếp tuyến với đường cong » và « vận tốc ». Vấn dé tiếp tuyến: Dau tiên, G2 giải thích từ Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Lon « tangent » cô nghĩa là « sự tiếp xúc » và dẫn dắt « tiếp tuyến của một đường cong là sự tiếp xúc với đường cong ». Sau đó, G2 nhắc lại khái niệm « tiếp tuyến với đưởng trỏn », đồng thời đưa ra ý tưởng về hình ảnh của tiếp tuyến như cách nghĩ thông thường. Dé xây dựng khái niệm tiếp tuyến, trước hết, G2 đưa ra ví dụ « Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong parabol y =x° tại điểm P(1,1) », Dé giải ví dụ này, G2 đi tính độ dốc của cát tuyến PQ là đường thẳng đi qua hai điểm P và điểm Ø có tọa độ bat kỳ thuộc parabol, G2 minh họa điều này bằng Hình 1 [8].
G2 cho một vai giá trị điểm Ø cụ thé và lấy các giá trị này ngày càng gần với tọa độ điểm (x =>1) và G2 tính toán giá trị độ đốc m,, tương ứng với các tọa độ điểm Q đã chọn và thấy giá trị này « tiến đến 2 ». Dé kiểm tra tính đúng đắn này, G2 thực hiện phép toán giới hạn và cuối cùng G2 áp dụng cách viết phương trình đường thẳng để viết phương trình tiếp Van đề vận tốc: G2 dẫn dat« Néu bạn thấy tốc kế của một chiếc xe hơi đang chạy trên đường, ta thấy tốc kế liên tục thay đổi nghĩa là vận tốc không phải là hằng số. Chúng tôi giả sử rằng tốc kế của xe có giá trị xác định tại mỗi thời điểm, vậy thế nào gọi là tức thời, chúng ta hãy cùng tìm hiểu ví dụ về một quả bóng rơi ». Tiếp theo, G2 đưa ra ví dụ Ví dụ: Giả sử thả một quả bóng từ tang quan sát của CN Tower ở Toronto, cách mặt đất 450 m.
Tìm vận tốc của quả bóng sau 5s? b. Vận tốc lúc chạm đất? » Dé giải ví dụ nay, G2 sử dụng phương trình chuyển động mô tả vị trí của quả bóng tại thời điểm ¿ là s(t) = 4,9:?. G2 tìm vận tốc của quả bóng sau 5s bằng cách sử Ee Luận van tot nghiệp 8 Chương 2: Phân tích giáo trình Bủi Quốc Long dụng khái niệm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ =5 đến ¢=5,1 bằng khái niệm vận tốc trung bình. Cũng tương tự như cách giải ví dụ ở phẩn tiếp tuyến, G2 cũng cho các khoảng thời gian khác nhau [5;6],[5;5,1],.[5;5,001] và tính toán các giá trị vận tốc trung bình tương ứng và thấy rằng khi ta thu hẹp khoảng thời gian lại thì vận tốc trung bình « tiến đến 49».
Từ đó, G2 nói rằng « vận tốc tức thời tại thời điểm f =5 là giới han của giá trị vận tốc trung bình lấy trong một khoảng thời gian rất rất nhỏ. Do đó, vận tốc tức thời sau 5s là 49 m/s ». Qua hai ví dụ vừa nêu, ta thấy ý đồ của G2 là đi xây dựng tiếp tuyến là giới hạn của cát tuyến và vận tốc tức thời 1a giới hạn của vận tốc trung bình. G2 đi xây dựng điều này bằng cách xét các đại lượng quan tâm trong một khoảng nhỏ.
Dé liên hệ giữa khái niệm vận tốc và tiếp tuyến, G2 cũng minh họa bằng Hình 2 [8]. G2 nói rằng « độ dốc của cát tuyến = vận tốc trung bình, độ dốc của tiếp tuyến = vận tốc tức thời ». Hình 2 i Định nghĩa dao hàm > Giáo trình G1: [1| Bắt đầu với chương Dao ham, G1 trình bày định nghĩa đạo hàm như sau: Luận văn tôt nghiệp 9 Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long « Cho hàm y= ƒ(x) xác định trên (a,b),x, (a,b). Cho xạ số gia Ax sao cho x,+Ave(a,b)và gọi Ay= f(x, +Ax)— f(x) là số gia của hàm số ứng với số gia Ay Ax của đối số.
Nếu tôn tại hữu han lim Lực—thi —= giới han đó gọi là đạo hàm của hàm im Ÿ f(x) tại x, và hàm f(x) gọi là có đạo hàm tại xạ. Ta kí hiệu ƒ (xạ)= tee Ax ` Nếu chỉ ton tại và hữu hạn ƒ (xj)= tim rey hoặc Sq) = Ilim m SẺ thì các giới hạn đó gọi lần lượt là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của f(x) tại x,. k4 Giáo trình G2: [8] — Trước tiên, G2 trình bày lại tổng quát khái niệm tiếp tuyến và vận tốc: « Tiếp tuyến của đường cong y= ƒ(x) tại điểm P(a,f(a)) là đường thẳng qua P với độ dốc m= tim! )-S(4) néu giới hạn này tôn tại.^ x-a cũng minh họa điều này bằng Hình 3. « Vận tốc tức thời là giới hạn của vận tốc trưng bình lấy trong một khoảng dịch chuyển thời gian h rất nhỏ va v(a)=m24£+,)=/49 với h=x—a.
G2 minh họa điều này bằng Hình 4. Hình 3 ———ễ——— Luận văn tot nghiệp 10 Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long Trước khi định nghĩa đạo hàm, G2 khái quát lại « Chúng ta thấy rằng độ dốc của tiếp tuyến và vận tỐc tức thời của một vật thì cùng một loại giới hạn. Trén thực té, gidi hạn đó có dang im HEF phát sinh bắt cứ khi nào chúng ta tính toán tốc độ thay đổi của bắt kỳ lĩnh vực khoa 4 Hình học hay kỳ thuật nào, như là tốc độ phản ứng trong hoá học hay giá cả trong kinh tế. Sau đó, G2 đưa ra định nghĩa đạo hàm « Đạo hàm của hàm số ƒ tai điểm a, kí hiệu f(a) là f(a)= inp nếu giới han đó ton tại.
Ta thấy khái niệm này có phan khác so với G1 ở chỗ thay A=Ax, về mặt hình thức, hai kí hiệu nảy đều mang vai trò và chức năng như nhau và ta cũng thấy rằng định nghĩa mà G2 đưa ra đơn giản hơn G1. G2 cũng đưa ra định nghĩa thứ 2 bằng cách đặt x=a+kh>h=x-a và f(a)=tim ZL) ze Hon nữa, G2 sau khi trình bảy khái niệm « dao hàm của ham sé tại một điểm », G2 dẫn dat va đưa ra khái niệm tổng quát của đạo hàm « Đạo hàm của hàm số tại điểm f (x+h)-f (x) x (bién số) là ƒ”(x)= lim và ta có thể nói ƒ'(x) là một hàm số là h đạo hàm của hàm ƒ (x) ». B Các định lý và tính chất « Giáo trình G1: [1| Luận văn tốt nghiệp 11 Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long Nhìn chung, G1 có các định lý sau: « Định lý 1: Ham f(x) có đạo hàm tại xạ khi và chỉ khí f(x) có đạo hàm bên phải và bên trái tại x, và các đạo hàm đó bằng nhau. Định lý 2: Hàm số f(x) có đạo hàm tại xạ thì liên tục tại xạ.ƒ 8 8 Định lý 4: Cho hàm y= f(x) có đạo hàm tại điểm xo và ham z= g(y) xác định trong một khoảng chứa y, = ƒ(xạ) và có đạo hàm tại yạ.
Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm xo thuộc (a,b) và f (xo) khác không thì hàm ngược x=@(y) của f(x) cũng có đạo hàm tại y,=f(x,) và có công thức ¬. (log,) = a pms) “ở (sinx) =cosx,(cosx) = —sinx,(tanx) = mas =» (cot) = ae _ v I ' Ị (aresin x) = Tung) es (arctanx) =", (arecotx) ni id Giáo trình G2: [8] Khác với G1, G2 cũng trình bày một số nội dung tương tự nhưng gọi là « Các quy tắc của phép tinh vi phân », và trình bày sâu hơn và mặt tiếp cận van đề, chú trọng giải thích ý nghĩa vả bắt đầu từ những ví dụ đơn giản nhất, rồi từ đó rút ra quy tắc chung. Đạo hàm của hàm đa thức và hàm mũ G2 bắt đầu với việc tim đạo ham cùa hàm số ƒ(x)=c bằng định nghĩa, sau đó nói rang “Sir dụng kí hiệu của Leibnitz, ta có thé viết quy tắc này dưới dạng” Đạo hàm của hàm hang số S()=0. — Tiếp theo, G2 dẫn dắt rằng Với ham số ƒ(x)=x thì độ dốc của nó bằng 1 (điều nay nghĩa là độ đốc = đạo hàm của ffx) và bằng 1) và đưa ra (x) =1.
G2 nhắc lại: Ở chương trước theo bai tập tính đạo hàm bằng định nghĩa ta có d 5% d —(x*)=2x x) —(x’) =3x’, xí )=3x Nf eEOoeeeeeeeeeeeeeeerr eS Luan van tot nghiép 13 Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Long Với f(x) =x", sử dụng định nghĩa đạo hàm, G2 chứng minh được /”(x) = 4x’. Sau đó, G2 dẫn dắt “So sánh dao hàm của các hàm số trên, ta xây dựng được công thức cho n là số nguyên dương , ta có Quy tắc đạo hàm của đa thức: Nếu n là số nguyên dương, ta được (x )=m*. — G2 cũng trình bày ví dụ minh hoa « Sử dụng Quy tắc đạo hàm của đa thức, ta có f(x) =x* = f(x) = 6x" f(x) =x! => f"(x) =1000x”” y= 4 > dy "= = ` d 5 = r ) = 3r — 2 s = —=4 Sau vi dy này, G2 tiếp tục dẫn dat: d (1 | ra oe : Ta cũng có £(1)--4 hay có thể viết ~ứ '\=(-0x3. , a mm: zz, Ae 2y Ì in Và rad ay hay có thể viết 7 (x )=5* : — Tổng quát lại các trường hợp, G2 đưa ra quy tắc tống quát: « Quy tắc đạo hàm đa thức Nếu n là số thực, ta có : ra _ ~ix)=m „x3 Phù hợp với quy tắc vừa nêu, G2 phát biểu rằng « Dao hàm của hằng số với hang số thì bằng hằng số với đạo hàm của hàm số ».
— Tiếp theo, G2 đưa ra « Quy tắc đạo hàm của hằng số nhân với hàm số ty: ẺENỢỹẶỢNNỢGỢỌỢNỌNỌHNỢNƠỜNNNNNNNNE. "TRE ` NG Luận văn tốt nghiệp 14 Chương 2: Phân tích giáo trình Bùi Quốc Lon Nếu c là một hằng số và f là một hàm số khả vi, ta có “tf @l=cL ƒ@) » — G2 đưa ra quy tắc « Đạo hàm của tổng các hàm số thì bằng tổng các đạo hàm Nếu hàm [va g khả vi ta có d d d xiI/@) + g(x)]= ~/)+ ae G2 đưa ra quy tắc tương tự nhưng đối với phép trừ. Dé minh họa cho quy tắc vừa nêu, G2 đưa ra Ví dụ “(ở +i2z —4x* +10x’ -6x+5). dx Và có một Vi dụ ứng dụng trong Vật lý « Phương trình chuyển động của một hạt là s=2f` =5t” +3t+4 với s tính bằng cm, t tính bằng giây.
Tìm gia tốc là ham số của thời gian. Gia tốc có giá trị bao nhiễu sau 2s? » — Tiếp đó, G2 định nghĩa hàm số mũ và đưa ra « Quy tắc tính đạo hàm của hàm số mũ “(e ) =e" „.