Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1. NHỮ NG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦ A CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1. Giả thuyết De Broglie Theo giả thuyết phôtôn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dòng hạt.
De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự do có năng lượng và xung lượng tương ứng với một sóng phẳng có tần số góc và véc tơ sóng ; và thỏa mãn hệ thức sau đây: ħ ħ Với ħ =h/2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý. Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng: không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng electron chuyển động cũng có tính chất sóng. Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi mô vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng có lưỡng tính sóng hạt. Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là : ħ (1.1) Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt là véc tơ sóng của hạt có độ lớn ħ ħ 1.
Lý thuyết về nguyên tử của Borh Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn. E E ,E ,E ,…E ,… Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng của bức xạ 4 bằng hiệu năng lượng của trạng thái đầu En và năng lượng của trạng thái cuối Em. Nếu gọi ωmn là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có : ħωmn En – Em (1. Hàm sóng của ha ̣t vi mô a.
Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng Trạng thái bất kì của một hạt vi mô vào thời điểm t có thể biểu diễn bởi một hàm , gọi là hàm sóng của hạt: , ħ (1. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền không gian Gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng ta có: | , |. Để đơn giản, chọn C=1 → | , | Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian: , | , | (1.4) Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức: | , | 1 (1.5) ∗ Với: | , | , , Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa. Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV bao quanh điểm M có vectơ tia r là: | , | Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì: | , | Trong đó C thỏa mãn điều kiện (1.5) → | , | 1 Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng ,.
Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là: Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa: | , | | , | Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa: | , | 1. Khái niệm Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng hạn) chuyển nó thành một hàm khác: 5 (1.6) Với là toán tử tác dụng lên hàm và biến hàm này thành hàm. Nếu tác dụng của toán tử lên hàm chỉ đơn giản là phép nhân hàm này cho một số a: (1.7) Lúc đó ta nói rằng là hàm riêng của toán tử , a gọi là trị riêng của. Tập hợp các trị riêng của được gọi là phổ trị riêng.
Phương trình (1.7) được gọi là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là phương trình trị riêng. Các phép tính toán tử - Phép cộng (trừ) toán tử: - Phép nhân toán tử: - Giao hoán tử: , - Phản giao hoán tử: , c. Toán tử tự liên hợp Hermite Toán tử được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn: ∗ ∗ .8) ∗ ∗ ∗ ∗ Trong đó: là một toán tử sao cho. là một hàm bất kì Các trị riêng của toán tử hermite là số thực: (1.9) Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là trực chuẩn: ∗ .10) Với , là kí hiệu Kronecker Khi m = n → , 1 : hệ chuẩn hóa Khi m ≠ n → , 1 : hệ trực giao 6 Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ: ∑ (1.11) Với: là hàm riêng của toán tử là hệ số phân tích, hệ số khai triển.
Xác suất để toán tử có giá trị : | | | 1. CÁC TOÁN TỬ THƯỜNG GẶP 1. Toán tử tọa độ Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng. Giả sử đã được chuẩn hóa.
Phương trình trị riêng của toán tử tọa độ là: (1.12) Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông thường nên: và Dựa vào tính chất hàm Delta: 0 Ta có: hay Lúc này người ta nói toán tử có hàm riêng ứng với giá trị. Trường hợp tổng quát, trong không gian 3 chiều toán tử tọa độ có: - Dạng : → ̂ - Trị riêng : - Hàm riêng : với là hàm Delta-Dirac ba chiều. Toán tử xung lượng Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng. Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có: - Dạng : ħ - Trị riêng : liên tục.
- Hàm riêng : ħ √ ħ Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có: 7 ħ - Dạng : ħ → ħ ħ - Trị riêng : có giá trị liên tục. - Hàm riêng : ħ / ħ ħ / ħ √ √ Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite. Toán tử năng lượng Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có: ħ - Dạng : ∆ ) - Phương trình trị riêng: (1.14) ħ Với ∆ là toán tử Laplace. - Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị riêng có dạng: ħ 0 (1.
Toán tử momen xung lượng Toán tử momen xung lượng có dạng :. Trong đó : , lần lượt là vec tơ định vị và vec tơ xung lượng của hạt. Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có dạng : ħ ħ (1.16) ħ Với là toán tử hermite. 8 Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là toán tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z ( ) và toán tử momen xung lượng toàn phần hay gọi là toán tử bình phương momen.
* Toán tử Trong tọa độ Descartes toán tử có: - Dạng : ħ ∅ - Trị riêng : ħ có giá trị gián đoạn: 0ħ, 1ħ, 2 ħ … ∅ - Hàm riêng : ∅ √ * Toán tử bình phương momen xung lượng Trong tọa độ cầu toán tử này có: - Dạng : ħ ∆ ,∅ Với ∆ ,∅ là phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng như sau : ∆ ,∅ (1.17) ∅ - Phương trình trị riêng: ħ ∆ ,∅ ,∅ ,∅ (1.18) Trong đó : ħ 1 hay ħ 1 , với nhận các giá trị khả dĩ 0,1,2,… ∅ - Hàm riêng : ,∅ ,∅ 1. TRI ̣TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 1. Theo cơ học cổ điển Nếu trong phổ gián đoạn thì: ̅ ∑ Với: giá trị đo được ở lần thứ i. Nếu trong phổ liên tục thì: ̅.
Theo cơ học lượng tử Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình ∗ .19) Chú ý: phải là hàm sóng chuẩn hóa. HỆ THỨC BẤT ĐINH ̣ 1. Sai số của phép đo Độ lệch ∆ cho biết độ chính xác của quá trình đo: ∆ (1.20) ⇒∆ 0 Với: ∆ ∞: độ bất định. ∆ 0: độ chính xác cao.
Trị trung bình của bình phương độ lệch ∆ 2 2 2 ⇒ ∆ #0 (1.21) Với: ∆ : trị toàn phương trung bình ∆ : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L. Hệ thức bất định Heisenberg Toán tử và được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi: , 0 , (1.22) Với: là toán tử hermite Hệ thức bất định Heisenberg: ̅ ∆. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng ħ .25) Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hoàn toàn bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô không đồng thời đo được chính xác. Chính vì thế không thể xác định được quỹ đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan tro ̣ng của hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng.
Hệ thức bất định Heisenberg đối với năng lượng và thời gian ħ ħ .26) Hệ thức này có ý nghĩa như sau: - Nếu trạng thái của hạt có năng lượng càng xác định (∆ càng nhỏ) thì thời gian sống của hạt càng lâu (∆ càng lớn) và ngược lại. Riêng trạng thái có năng lượng xác định (trạng thái dừng) là trạng thái có thời gian sống vô hạn. - Nếu hạt ở trạng thái kích thích trong khoảng thời gian ∆ thì độ bất định về năng lượng là ∆. - Khi đo năng lượng trong khoảng thời gian ∆ thì gặp phải một sai số là ∆ 1.
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử, vai trò của nó trong Cơ học lượng tử cũng giống như vai trò của phương trình Newton trong cơ học cổ điển. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề V trong Cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian , ħ , (1.27) Trong đó, là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau: ħ , (1.28) , là hàm mô tả trạng thái của hệ. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: , .29) Nghiệm của phương trình có dạng: , .