CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TU NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG ETTINGSHAUSEN, HIỆU ỨNG PELTIER TRONG BAN DAN KHOI VA SỰ LƯỢNG TỬ HÓA DO GIAM KÍCH THƯỚC TRONG HE BAN DAN MỘT CHIEU 1. Áp dụng phương pháp phương trình động lượng tử nghiên cứu hiệu ứng Ettingshausen và hiệu ứng Peltier trong bán dẫn khối Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu EE và PE trong bán dẫn khi có mặt sóng điện từ mạnh. Từ phương trình động lượng tử cho hàm phân bồ điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường điện trường không đổi, từ trường không đổi và trường bức xạ laser chúng tôi nhận được biểu thức giải tích cho mật độ dòng, mật độ thông lượng nhiệt, ten-xơ động, EC va PC trong bán dẫn khối một cách tổng quát và là cơ sở dé khảo sát trong dây lượng tử ở những chương tiếp theo.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử khi có mặt điện trường, từ trường không đổi và sóng điện từ trong bán dẫn khối Xét bán dẫn khối đặt trong từ trường không đổi B, điện trường không đổi E va một sóng điện từ mạnh biến thiên điều hòa theo thời gian E,(¢) = E, sinOr. Thế véc- z ` C res ` ^ K z z ^ ^ tơ tương ứng là A(t) = °? cosQt với c là vận tốc ánh sáng trong chân không, Z, là biên độ sóng điện từ, là tần số sóng điện từ.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối có dang [5]: = Ye k-£ Ae) Jara tà hp, + Cae, (o, +b.1) Trong đó: + k,q lân lượt là véc-tơ sóng của điện tử và véc-tơ sóng của phonon. lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử; phonon. + Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử tồn tại các hệ thức giao hoán sau: {a,,a;} =a,4) +4/a, = 64.2) + Giữa các toán tử sinh, hủy phonon tổn tai các hệ thức giao hoán sau: |b. là hang số tương tác điện tử - phonon.
—>2 + e(k) =¢ =~ * là phố năng lượng của điện tử. Trong công thức (1. là hang số tương tac điện tử - phonon, hang số này phụ thuộc vào cơ chế tán xạ của điện tử với từng loại phonon [3, 7]. Các kí tự “O” và “A” đại diện cho phonon quang và phonon âm, được dùng cho các đại lượng liên quan đến từng loại phonon quang và phonon âm được trình bày trong các phần tiếp theo của luận án.
+ Tán xạ điện tử - phonon quang: _“2—- at (1⁄2 C9 _ W4 \X. XM q với y, là độ điện thâm tinh, y, là độ điện thâm cao tân, @, là tân sô của phonon quang không giam cam và z, là hăng sô điện. + Tán xạ điện tử - phonon âm: 2 h 2 x2 C2 ¬.5) q 2pvV,` 17 với v, là vận tốc truyền âm, v, là thể tích chuan hóa, ¢ là hang số thế biến dang va p là mật độ khối lượng. Sử dụng phương trình chuyên động của toán tử thống kê hay ma trận mật độ ta thu được phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử n,(t)= (az a; ) có dang: in m0) =([a'a,,H,.6) Sử dung Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối ở biểu thức (1.1) và áp dụng hệ thức giao hoán tử cho toán tử sinh - hủy điện tử (phonon) chúng tôi thu được: lO eB [+.
an =MỀ%,(Fiji¡)* Fig gO Figs) Fi gag (): q trong đó F; ;=%¡ai b; và F,. jog chúng tôi thiệt lập phương trình động lượng tử: OF., được xác định bằng biểu thức (1. - Số hạng thứ nhất: áp dụng công thức (1.2), chúng tôi có biến đổi sau: | 2ja, .4¿a, |= a a, a; Gi, —a; q; ae a, + + kh =a; (6.-d, kị kk đa kh kK ky k _ = d4, 0. at _ AO; yt Thay kết quả vào số hang thứ nhất, chúng tôi thu được kết quả sau: SH, =| 08, Ye FLAC Jaca Cc 18 o( kA Ge a.
M k4 kok kh» 4 kk =|s[=-£A0)]-s[ A00) |Jdiecb, (1.9) - Số hang thứ hai: SH, TL.10) = cab = OF - Số hạng thứ ba: áp dụng công thức (1.2), chúng tôi có biến đối sau: la, „đc“su|= a, a, a,ag tk đị,gka, đụ, =4:|ở k, \ ky k'+4 —at _a. Ja, —at lo: k*k ky k'+q\ k'+q,k, —đ}“a, Ja, k, -at ~ Goes ‘4g a, a, Tu: a,igorRK, + a, A; Aa, _ — —. — FO Oe ecg Gorgepg,’ xT? — | - Thay kết quả tính toán của lá; a, a, qe al vào số hang thứ ba và chỉ xét các số hạng là trung bình số hạt điện tử n,(t)= (a a;) , trung bình số hat phonon N (t) = (bb, ) và lưu ý: k, —k, = —q chúng tôi thu được: f SH.= Ki & “2G, aa ip b, (b;, +b*. 19 SH,= aa, by Dela A =0.9) vào biểu thức (1.8) ta thu được: | af bie eyy ih hha =|s Ej ¬ 1 &)Ä()=e |F,.13) Phương trình (1.13) là phương trình vi phân tuyến tính cap một, không thuần nhất của ham F; „ F-(t ).
Đề giải phương trình này trước tiên ta phải giải phương trình vi ae toe phân thuần nhất: OF.14) Dùng phương pháp phân li biến số, chúng tôi có: n. TH j eC—(k,(ry r2 eeue - -k, )A(t)- dt, 1.16) Su dung diéu kién ban dau (diéu kién doan nhiét) In Fi ig (t)|,__.=0 ta có nghiệm: f=—œ Figg ()=Mexo| Fle, ~~ @;| fanre| (6 —k»)A Ũ ja.17) Sử dụng phương pháp biến thiên hang số, ta giả sử M phụ thuộc thời gian Mw: OF _ OM OF, LF +M, (1.18) at Ot Ot Thay (1.18) ta có: = tM ôM, „.14) vào số hạng thứ 2 ở về trái của (1.19) ta sẽ giản ước được số hang thứ nhất ở về phải của biểu thức (1.19) ta có: am (ifs, 6-0] dy fh -k,)A(a)an| (1.) (bibs) (aa, )(I—(ae a) (6%)} Lay tích phân hai về của (1.21) rồi thay giá trị vào (1.20) ta thu được biểu thức cua F(t) như sau: «oxo if, &;, ¬a( 6:)Ä)=a Ja.22) Áp dụng công thức exp{+izsinØ} =Ð_7„(œ)exp(3i/Ø) và đặt a= a a m exp ~6,—S(§- 6)Ä6)=s J4) =expli (£,—z;,—ø,')=r)|ep| SG: (if), (sind sina’) = YI, (a(& -6))4,(4(- exo i g, =6, =@, -10)(t-1)}exp{i(-s) Or}. Chứng minh tương tự ta có: 21 F.24) ta tim được F.8) ta thu được phương trình động lượng tử cho hàm phân bồ điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt điện trường, từ trường không đôi và trường bức xạ cao tần (laser): 1) (cf +no,[k h]) - yale >7,(44)4,(44)exp|i[~s)©] Jar x|[m (1 (1 —n, „( YN; (t')—n,,,(¢ ‘)(1 =n, (t )\\A; (/')+ 1)| x xexp i(e, —&; ~ø,~lQ+iðÌ(r~t') |+ | k+q tm()(t=m. - Tính toán biểu thức của mật độ dòng toàn phan va mật độ thông lượng nhiệt Sau đây, ta sẽ giả thiết tương tác điện tử - phonon âm là trội.
Nếu tán xạ là đàn hồi thì ta có thể bỏ qua năng lượng của phonon trong đối số của các hàm delta. Giải phương trình (1.25) đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối xứng ta sẽ thu được phương trình [5]: 22 2 ok (1. — — TT q Đặt W2) =2mC.27) và bồ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được 2 _ „ > phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong bán dẫn khối với trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm: ôn; (t) +(sÊ+hø [z.5]) ôn, (t) = 3w ) (@)( mem: o(6,, —é; -19), Ot Ok 7 (1.28) by|bo! eB. > với ©,=—> là tân sô cyclotron, h = 1a véc-to don vi doc theo chiéu tir trường.
m P ¿ 7 NT 2 + Ta nhân hai về của (1.29) rồi lấy tổng theo £ thu được: m Re) + ø [Ï,#(s)]= P(e)+6(e).30) r(z) với r(£) là thời gian phục hồi xung lượng của điện tử.33) Giải phương trình (1.30) ta thu được: Ñ(z)=-— 12} — _ I+ø?7?(£) ÍB(z)+6(z)~øz(z)[#.P()+ö(2))): 23 R(£) mang ý nghĩa là mật độ dòng “riêng”, là dòng được mang bởi các điện tử với năng lượng é. - Mật độ dòng toàn phần Biéu thức mật độ dòng toàn phần được xác định thông qua tích phân sau [5]: j= [ € dkn,6(e-e, )de = [R(e)de (1.35) o1! & 0 hay có thể viết: j=h0Ì+l, (5). o l+ air’ (é, Ta tìm ham phân bố không cân bằng của điện tử dưới dang: =0i[s¡)~PZs¡)0 6x} q37 trong đó fy (z,.) là hàm phân bố cân bằng của điện tử.32) ta tính P(e) trong phép x4p xi tuyến tinh qua cường độ trường ngoài: =—-., —£,— Q)k*dk 2n? =r) Sw (i)(aa) en(e)6(e)a9}0(, Khi đó: (y=) {(e-)" x,(e-Q)f, (6 -Q)a, -2x, (2) (2) Bi} (1. Thay biểu thức của f,(¢,) vào (1.32) ta thu được các biéu thức của Pị (£).40) ta thu được: 130) ee esFeelen [RF] 02(6o\M((er EF).
Lo (2 ) —— 2mm 1+ wt (é, Do F,=6,E, nén ta biéu dién: [AF |= EnghJ*4 Fy ==ee,,hiE, và h,(h,F)=hh,F, = ehjh,E, , j. g2 từ đó ta thu được: {ồ, +o,r(„)£ h + ocr (£„)h,h,} x lừn 1m * {AO (e ~9)~2jð(£~ #z)}%, 2 * = PL 3/2 5, +ø} r(B)s,,l, tet (Q)Mh}* 212m" Im? “m -| (2), __ rứ,) |.39) va biéu dién J, =6,,E, + B,VT, chúng tôi tim được biểu thức của các ten-xơ độ dẫn: Cr'ss) 1+ am (6, + @,7(£; ) Erin ty + @ˆ77 (é, )hh,)x e@?(2m'e,}” r(O 8, = (1. 26 0, = Cres) nc k@,7(£Eig )lt, +t" (é,)hh,)+ 2 „N32 e(2meé 7rÍ€£ r(@) _ r(z;) + 1+ø?r”(©) Izzc() ở,il + @,t(Q)é,,,h,, + @20" (Q)hh,)x in m (1.47) e Thực hiện các bước tinh toán tương tự như đối với mật độ dòng toàn phan, chúng tôi thu được: Ở,; = TC +ø,7(©)6,,h, +027? (Q)hh, ) Âu.F(2)|| Biểu diễn @ =y,„E„ +&,,VT, (1.49), chúng tôi tìm được biểu thức của ten-xơ độ dân: 3 “2 2m 2z7mE 2-2 l+#Ÿ7 (Q)) { s i ố ilm ''m sa. Biểu thức giải tích của hệ số Ettingshausen trong bán dẫn khối.
Hiệu ứng Ettingshausen trong ban dan khối Hiệu ứng Ettingshausen năm trong chuỗi các hiệu ứng nhiệt - điện - từ tác động lên dòng điện qua vật dẫn khi có sự xuất hiện của một từ trường. Hiệu ứng Ettingshausen là hiệu ứng được nhà vật lý người Ao Albert von Ettingshausen (1850- 1932) và học trò của ông là Walther Hermann Nenst phát hiện khi nghiên cứu hiệu ứng Hall trong Bismuth. Trong thực tế, khi đặt vào vật dẫn một dòng điện chạy dọc theo trục x và một từ trường vuông góc dọc theo trục z, một gradient nhiệt độ VT sẽ xuất hiện dọc theo trục y làm cho các electron buộc phải chuyển động theo phương vuông góc với điện trường ban đầu. Hiệu ứng này được xác định bang P là hệ số Ettingshausen (EC) [59].52) 28 Từ biéu thức (1.38), chúng tôi đặt: 2 Oo = = n= at (é,); = @,t(Q); Qi, = À„r(9); Vụ = H,„r (2,) Khi đó: Pig = ro 6, + 1+? (5, + En, ahha, |(6, M [ 1 óc ly rh) 1+? la 1 + I+?? (6, ff NE inn +P hh )V, 1 |.