Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Phương trình vi phân đại số (DAE) (xem [19], [1]) 1. Một số khái niệm về DAE Khi nghiên cứu về phương trình vi phân nói chung ta thường bắt đầu từ phương trình vi phân cấp 1 tổng quát dạng F t , x, x 0, t0 t t f (1.1) trong đó F t , x, x là một hàm vectơ phụ thuộc ba biến: t là biến thời gian, x là hàm chưa biết, x là đạo hàm của x. F Nếu ma trận Jacobian không suy biến thì (1.1) ta có thể giải x theo x x và t , khi đó (1.1) là phương trình vi phân thường dạng x f t , x .
F Nếu ma trận Jacobian suy biến thì (1.1) được gọi là phương trình vi x phân ẩn hay phương trình vi phân đại số (DAE) dạng tổng quát. Phương trình vi phân đại số thường tập trung nghiên cứu về mặt lý thuyết, nó là một bộ phận quan trọng của phương trình vi phân ẩn, mặt khác nó mô tả rất nhiều hiện tượng trong kỹ thuật, tự nhiên, sinh hoc,…. Và trường hợp đặc biệt quan trọng của DAE là dạng nửa hiện hoặc ODE cùng với các ràng buộc đại số dạng y f (t , y, z ) (1.2) g (t , y, z ) 0 ở đây x ( y, z ) và g (t , y, z) 0 là ràng buộc ẩn.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn 4 download by : skknchat@gmail.com Mô tả chuyển động của con lắc có độ dài dây 1 , g là hằng số hấp dẫn, z (t ) là nhân tử Lagrange, ( x1 , x2 ) là vị trí của quả cầu trong hệ tọa độ Descartes, ta nhận được hệ DAE. 2 Ở đây, độ dài của dây là 1 , do đó các tọa độ ( x1 , x2 ) của quả cầu (gắn vào đầu con lắc) ngoài việc thỏa mãn phương trình vi phân mô tả chuyển động của con lắc còn phải thỏa mãn một ràng buộc đại số (theo định lý Pitago) là x12 x22 1.
Chỉ số của DAE mg Chỉ số là một khái niệm được sử dụng trong lý thuyết về DAE để đo khoảng cách từ DAE đến ODE. Chỉ số là một số nguyên dương cung cấp những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn khi phân tích và giải DAE. Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong việc tìm nghiệm của DAE. Có nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số này, ví dụ: chỉ số Kronecker (cho DAE với hệ số hằng tuyến tính), chỉ số vi phân (do Brenan và các cộng sự đưa ra năm 1986), chỉ số nhiễu (Hairer và các cộng sự đưa ra năm 1996), chỉ số linh hoạt (Griepentrog và các cộng sự đưa ra năm 1986), chỉ số hình học (Rabier và các cộng sự đưa ra năm 2002), và chỉ số lạ (Kunkel et al, 2006).
Với những bài toán đơn giản thì những khái niệm chỉ số này là như nhau. Nhưng trong những hệ phương trình phi tuyến và hoàn toàn ẩn thì những chỉ số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn 5 download by : skknchat@gmail.com này lại khác nhau. Thực tế là, các chỉ số này có thể trở thành khái niệm địa phương với các giá trị khác nhau ở những miền khác nhau. Vì một DAE là tổ hợp của các phép vi tính phân và các phép tích phân nên nếu chúng ta có thể lấy đạo hàm các ràng buộc (trong DAEs nửa hiện) và thay thế (khi cần) từ các phương trình vi phân và lặp lại (nếu cần), thì sẽ thu được kết quả là một hệ ODE dạng hiện đối với tất cả các ẩn hàm.
Nghiệm của DAE là các nghiệm của ODE này, nó nằm trong một không gian con được gọi là đa tạp nghiệm (solution manifold). Chỉ số vi phân của DAE là số lần lấy đạo hàm cần thiết trong phép biến đổi từ DAE về ODE. Ví dụ, phương trình vi phân thường có chỉ số 0. Bây giờ ta cùng xét một vài ví dụ đơn giản dưới đây để làm rõ hơn khái niệm chỉ số vi phân của DAE.1 - Xét phương trình vô hướng x q t (1.3) trong đó q(t ) là hàm trơn cho trước.
Đạo hàm hai vế (1. Ta chỉ cần thực lấy đạo hàm một lần (1.3) để được một ODE đối với x .3) là một DAE chỉ số 1 x1 q (t ), - Xét hệ (1. Đạo hàm hai vế phương trình thứ nhất của (1. x1 q(t ), Ta được hệ (1.
Đạo hàm hai vế phương trình thứ hai của (1. Như vậy ta phải lấy đạo hàm hai lần (1.5) mới nhận được ODE Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn 6 download by : skknchat@gmail. Vậy hệ phương trình (1. Ta biết rằng để xác định nghiệm của ODE cấp m nói chung cần phải biết m điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên.
Tuy nhiên đối với DAE đơn giản như hệ (1.3) thì nghiệm của nó được hoàn toàn được xác định bởi vế phải. Các hệ DAE dạng tổng quát thường bao gồm một hệ gồm một số ODE và một số ràng buộc đại số. Vì vậy, một hệ ODE sẽ có l bậc tự do (0 l m). Tuy nhiên là khá khó để có thể xác định các thông số của l để tìm nghiệm của DAE.
Điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên xác định riêng cho DAE phải tương thích. Nói cách khác chúng phải thỏa mãn các ràng buộc đại số của hệ. Ví dụ, điều kiện ban đầu của hệ (1.3) chỉ số 1 phải thỏa mãn điều kiện x(0) q(0) (điều này là rất cần thiết nếu ta xem hệ này là ODE). Bài toán có vẻ phức tạp hơn khi điều kiện ban đầu của hệ (1.
Không những một nghiệm bất kỳ phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc x1 t0 q(t0 ) mà còn phải thỏa mãn ràng buộc ẩn x2 t0 q(t0 ), t chứ không chỉ là điều kiện x1 (0) q(0), x2 (0) q(0). Đây là điểm khác biệt quan trọng giữa DAE chỉ số 1 và DAE chỉ số cao hơn 1. DAEs chỉ số cao thường kèm theo một số ràng buộc ẩn. Bây giờ xem lại DAE nửa hiện chỉ số 1 dạng (1.
Vì trong trường hợp g này nếu phương trình có chỉ số 1 thì Jacobian là không suy biến, theo định z lý hàm ẩn ta xác định z bằng cách lấy đạo hàm một lần DAE. Đối với DAE chỉ số 1 , ta cần phân biệt biến khả vi x(t ) và các biến đại số z (t ). Cần chú ý rằng, các ẩn đại số có thể kém trơn hơn ẩn khả vi qua một lần lấy đạo hàm (tức là các biến đại số có thể không có đạo hàm trong khi đó các biến khả vi bắt buộc phải có đạo hàm). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn 7 download by : skknchat@gmail.com Trong trường hợp tổng quát (1.1), mỗi thành phần của x bao gồm các thành phần khả vi và các thành phần đại số, điều này làm cho việc tìm nghiệm dạng số của những bài toán chỉ số cao trở nên khó khăn và nhiều rủi ro hơn.
Dạng DAE nửa hiện được tách riêng thành các phương trình vi phân và các ràng buộc đại số. Việc tách này chính là để giảm bớt khó khăn trong việc tìm nghiệm dạng số cho DAE chỉ số cao. Bất kỳ DAE dạng (1.1) nào cũng có thể được viết dưới dạng nửa hiện (1.2) bằng cách đưa vào một biến mới ta có x z , (1.1) có chỉ số k , tức là phải qua k lần lấy đạo hàm đối với (1.1) mới xác định được x tức là xác định được z. Vì vậy phải đạo hàm một lần nữa mới xác định đc z.
Do đó chỉ số của hệ (1.6) tăng lên một đơn vị. Cuối cùng, cần chú ý rằng, chỉ số không chỉ phụ thuộc vào nghiệm của DAE mà còn phụ thuộc vào dạng của DAE. Chúng ta cùng xem xét ví dụ minh họa dưới đây.2 Xét hệ phương trình vi phân đại số với x x1 x3 T x2 x1 x3 , x2 1 x2 0, (1. 1 2 3 2 phương trình thứ hai của hệ (1.7) có hai nghiệm x2 0 và x2 1.
2 t - Nếu x2 0 , thì x3 t mà x1 x3 nên x1 x1 (0). Vậy nghiệm của hệ 2 T t2 (1.7) có dạng nửa hiện chỉ số 1. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn 8 download by : skknchat@gmail.com - Nếu x2 1, thì x1 t mà x1 x3 nên x3 1. Vậy nghiệm của (1.7) có chỉ số 2 khác hoàn toàn với x2 0 , để ý rằng T trường hợp này không đòi hỏi giá trị ban đầu của x1.
Bây giờ nếu ta thay thế phương trình đại số liên quan đến x2 bởi x2 0 , thì chỉ số của hệ DAE mới sẽ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Vậy nếu x2 (0) 1, thì chỉ số của (1.7) là 2 nếu x2 (0) 0 chỉ số (1. Nhận xét: Để xác định chỉ số của DAE dạng Hessenberg, ta cần thực hiện phép lấy đạo hàm các ràng buộc đại số. Số lần lấy đạo hàm chính là chỉ số vi phân của phương trình.
Sau đây là một vài DAE dạng Hessenberg chẳng hạn x f (t , x, z ), - Hệ phương trình đại số có dạng g (t , x, z ) 0. g trong đó ma trận Jacobian không suy biến với mọi t. Đây là dạng Hessenberg z chỉ số 1 vì ta chỉ cần lấy đạo hàm một lần để thu được ODE. g f trong đó tích các ma trận Jacobian.
, không suy biến với mọi t. Đây là dạng x z Hessenberg chỉ số 2 vì ta cần lấy đạo hàm hai lần để thu được ODE. h g f trong đó tích của ba ma trận. , không suy biến.
Đây là dạng Hessenberg y x z chỉ số 3 vì ta cần lấy đạo hàm ba lần để thu được ODE. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.vn 9 download by : skknchat@gmail. Phương pháp giải số DAE Có rất nhiều phương pháp để giải DAE nhưng ở đây chúng ta chỉ trình bày phương pháp giải số cho DAE. Phương pháp giải gần đúng DAE có thể được chia làm hai lớp: (i) Rời rạc hóa trực tiếp hệ phương trình đã cho.