Tổng quan luận án
Đào tạo và bồi dưỡng nhân tài toán học là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của hệ thống giáo dục phổ thông. Tại thời điểm đầu thập niên 1990, mạng lưới giáo dục Việt Nam đã hình thành hệ thống các lớp chuyên cấp tỉnh (chuyên toán, chuyên văn) và các lớp chọn tại các trường phổ thông trung học (từ khối lớp 10 đến lớp 12). Mỗi tỉnh tổ chức lớp chuyên toán với quy mô khoảng 25 đến 30 học sinh được nhận học bổng nhà nước, do đội ngũ giáo viên có kinh nghiệm phụ trách, nhằm chuẩn bị nguồn tuyển chọn cho các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia và quốc tế. Chương trình học ở các lớp chuyên bám sát chương trình phổ thông nhưng có yêu cầu nâng cao, được bố trí thêm thời lượng (mỗi tuần thêm 2 tiết) để học các chuyên đề bồi dưỡng phương pháp suy luận, tự học và phát triển tư duy sáng tạo.
Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định xuất phát từ thực tiễn giảng dạy: nhiều bài toán đại số, giải tích, dãy số và cực trị trong các kỳ thi học sinh giỏi vượt ra ngoài khuôn khổ các phương pháp sơ cấp thông thường, gây khó khăn cho học sinh nếu chỉ sử dụng các công cụ truyền thống. Trong khi đó, các kiến thức của bộ môn Phương pháp tính (giải tích số) chứa đựng các công cụ toán học thích hợp nhưng thường chỉ được giảng dạy ở bậc đại học. Luận án đặt ra vấn đề nghiên cứu đưa một số kiến thức cơ bản của Phương pháp tính vào chương trình giảng dạy chuyên đề ở bậc phổ thông trung học để trang bị công cụ giải toán và rèn luyện tư duy cho học sinh năng khiếu.
-
Mục tiêu nghiên cứu:
- Lựa chọn, hệ thống hóa và sư phạm hóa các kiến thức cơ bản của chuyên ngành Phương pháp tính (sai phân hữu hạn, phương trình sai phân, phương pháp lặp, phương pháp tiếp tuyến Newton, hệ đa thức Chebyshev) phù hợp với trình độ tiếp thu của học sinh phổ thông trung học.
- Xây dựng phương pháp vận dụng các công cụ trên vào việc giải quyết các dạng bài toán nâng cao về dãy số, tính tổng, phương trình phi tuyến, giới hạn và bài toán cực trị (min-max).
- Ứng dụng các kết quả nghiên cứu để giải các bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia và quốc tế.
-
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, định lý và thuật toán cơ bản của Phương pháp tính; hệ thống bài toán đại số, giải tích, dãy số nâng cao và đề thi học sinh giỏi phổ thông.
- Phạm vi nghiên cứu: Chương trình giảng dạy toán tại các lớp chuyên, lớp chọn khối trung học phổ thông (khối lớp 10, 11, 12) tại Việt Nam. Luận án được hoàn thành và bảo vệ năm 1991 tại Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Trong bức tranh toán học và sư phạm toán thời kỳ 1991, các nội dung về giải tích số và giải tích rời rạc như lý thuyết sai phân, phương trình sai phân và giải tích xấp xỉ chủ yếu được biên soạn trong các giáo trình đại học chuyên ngành Toán - Tin học. Ở cấp độ phổ thông, chương trình toán chuyên tập trung chủ yếu vào các bài toán suy luận logic, hình học phẳng sơ cấp, bất đẳng thức cổ điển và đại số giải tích thuần túy.
Tác giả luận án nhận thấy việc tiếp cận kiến thức giải tích cổ điển theo hướng vận dụng linh hoạt chưa được khai thác sâu. Các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số truy hồi, tính tổng các lũy thừa, khử nghiệm phương trình đa thức bậc cao hoặc đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ thường được học sinh giải bằng các mẹo biến đổi đại số rời rạc thiếu tính hệ thống.
Vị trí của luận án được xác lập như một công trình chuyển giao lý thuyết toán học chuyên sâu vào thực hành giảng dạy chuyên đề phổ thông. Bằng việc kết nối lý thuyết Phương pháp tính với các bài toán thi học sinh giỏi, luận án cung cấp cơ sở lý luận và kỹ thuật giải toán mang tính thuật toán hóa, giúp học sinh tiếp cận phương pháp tư duy toán học hiện đại ngay từ bậc trung học.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết
Luận án dựa trên nền tảng các lý thuyết toán học thuộc chuyên ngành Phương pháp tính (Mã số: 1.01.07), bao gồm:
- Lý thuyết sai phân hữu hạn (Finite Differences): Toán tử sai phân $\Delta$ trên tập số nguyên, bảng sai phân, các biểu thức liên hệ giữa sai phân và giá trị hàm số, công thức nội suy Newton dạng sai phân tiến.
- Lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính: Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cấp $n$ (thuần nhất và không thuần nhất), cấu trúc không gian nghiệm, phương trình đặc trưng, nghiệm thực đơn, nghiệm thực bội, nghiệm phức liên hợp và hệ phương trình sai phân.
- Nguyên lý ánh xạ co và lý thuyết điểm bất động: Phương pháp lặp đơn $x = g(x)$, điều kiện hội tụ Lipschitz/Co, các định lý đánh giá sai số tiên nghiệm và hậu nghiệm.
- Phương pháp tiếp tuyến Newton (Newton-Raphson): Thuật toán xấp xỉ tuyến tính nghiệm phương trình phi tuyến $f(x) = 0$, điều kiện hội tụ Fourier và tốc độ hội tụ bậc hai.
- Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất và đa thức trực giao Chebyshev: Đa thức $T_n(x)$ trên đoạn $[-1, 1]$, tính chất dao động cực đại và định lý Chebyshev về độ lệch ít nhất khỏi 0.
Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu toán học và nghiên cứu sư phạm chuyên ngành:
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Tuyển chọn các phần kiến thức cốt lõi của giải tích số, lược bỏ các chứng minh quá phức tạp không phù hợp với bậc học, tinh giản thành các định lý và quy tắc thuật toán trực quan.
- Phương pháp mô hình hóa toán học: Chuyển đổi các bài toán đại số sơ cấp (bài toán dãy số, tính tổng, tìm cực trị) về dạng các mô hình toán học giải tích số tương ứng (mô hình phương trình sai phân, phương pháp lặp, xấp xỉ Chebyshev).
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm thông qua hệ thống ví dụ chuyên đề: Xây dựng hệ thống bài tập mẫu và bài tập ứng dụng đa dạng từ mức độ cơ bản đến các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Nội dung chính theo từng chương
Luận án gồm phần mở đầu, lời cảm ơn và 5 chương nội dung chuyên môn:
Chương I: Sai phân - các tính chất và ứng dụng
Chương này trình bày toàn bộ hệ thống lý thuyết về toán tử sai phân và ứng dụng vào việc tính toán đa thức, xử lý dãy số và tính tổng hữu hạn.
- Định nghĩa sai phân: Giả sử hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số nguyên, sai phân cấp 1 được định nghĩa là $\Delta y_k = y_{k+1} - y_k$. Tổng quát, sai phân cấp $i$ là $\Delta^i y_k = \Delta(\Delta^{i-1} y_k)$ với $k = 0, 1, 2, \dots$
- Quy trình lập bảng sai phân: Luận án trình bày cách thức lập bảng sai phân với các cột biểu diễn đối số $k$, giá trị hàm số $y_k$, sai phân cấp một $\Delta y_k$, sai phân cấp hai $\Delta^2 y_k, \dots$
Bảng dưới đây tóm tắt ví dụ mẫu về bảng sai phân của hàm số đa thức $y = x^3 + 1$ được trình bày trong luận án:
| $k$ | $y_k$ | $\Delta y_k$ | $\Delta^2 y_k$ | $\Delta^3 y_k$ | $\Delta^4 y_k$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 6 | 6 | 0 |
| 1 | 1 | 6 | 12 | 6 | 0 |
| 2 | 7 | 18 | 18 | 6 | 0 |
| 3 | 25 | 36 | 24 | 6 | 0 |
| 4 | 61 | 60 | 30 | 6 | 0 |
| 5 | 121 | 90 | 36 | 6 | 0 |
| 6 | 211 | 126 | - | - | - |
-
Các tính chất cơ bản của sai phân:
- Tính chất I: Mọi sai phân cấp $i$ đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số theo công thức tổ hợp: $$\Delta^i y_k = \sum_{s=0}^i (-1)^{i-s} C_i^s y_{k+s}$$ (Được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học theo $i$).
- Tính chất II: Tính tuyến tính của toán tử sai phân: $\Delta(\alpha u_k + \beta v_k) = \alpha \Delta u_k + \beta \Delta v_k$ với $\alpha, \beta$ là các hằng số.
- Tính chất III: Sai phân cấp $i$ của một đa thức bậc $n$ ($P_n(x)$):
- Khi $i < n$: $\Delta^i P_n(k) = P_{n-i}(k)$ (là một đa thức bậc $n-i$).
- Khi $i = n$: $\Delta^n P_n(k) = c$ (hằng số khác 0).
- Khi $i > n$: $\Delta^i P_n(k) = 0$.
- Tính chất IV: Công thức sai phân của một tích các hàm số.
- Tính chất V: Công thức tính tổng sai phân rút gọn: $$\sum_{k=m}^n \Delta^i y_k = \Delta^{i-1} y_{n+1} - \Delta^{i-1} y_m \quad (i \ge 2)$$ Đặc biệt khi $i = 1$: $\sum_{k=m}^n \Delta y_k = y_{n+1} - y_m$.
- Tính chất VI: Biểu diễn đa thức bậc $n$ qua các sai phân mốc ban đầu (khai triển Newton): $$P_n(k+h) = P_n(h) + C_k^1 \Delta P_n(h) + C_k^2 \Delta^2 P_n(h) + \dots + C_k^n \Delta^n P_n(h)$$ Khi $h = 0$: $P_n(k) = P_n(0) + \frac{k}{1!} \Delta P_n(0) + \frac{k(k-1)}{2!} \Delta^2 P_n(0) + \dots + \frac{k(k-1)\dots(k-n+1)}{n!} \Delta^n P_n(0)$.
-
Các ứng dụng trong Chương I:
- Tìm đa thức: Xác định đa thức $P_n(x)$ khi biết dãy giá trị nguyên thông qua bảng sai phân.
- Tính nhanh giá trị đa thức: Thay thế các phép tính lũy thừa cồng kềnh bằng phép cộng số học liên tiếp trên bảng sai phân khi cần tính giá trị đa thức tại các số nguyên lớn.
- Kiểm tra tính chính xác của bảng sai phân: Sử dụng Tính chất V để kiểm tra chéo các cột sai phân nhằm phát hiện sai sót tính toán.
- Tính tổng các dãy số hữu hạn: Ứng dụng Tính chất V để tính nhanh tổng các dãy số $S_n = \sum_{k=1}^n k$, $\sum_{k=1}^n k^2$, $\sum_{k=1}^n k^3$, cũng như chuỗi cấp số nhân $\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{q^n - 1}{q - 1}$.
Chương II: Phương trình sai phân và các ứng dụng
Chương II đi sâu vào lý thuyết phương trình sai phân và các kỹ thuật giải phương trình phục vụ xác định số hạng tổng quát của dãy số.
-
Phương trình sai phân tuyến tính cấp $n$: Phương trình có dạng tổng quát: $$a_n y_{k+n} + a_{n-1} y_{k+n-1} + \dots + a_0 y_k = g(k) \quad (a_n \ne 0, a_0 \ne 0)$$
- Khi $g(k) \equiv 0$, phương trình là thuần nhất.
- Phương trình đặc trưng tương ứng: $a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_0 = 0$.
- Cấu trúc nghiệm:
- Nếu phương trình đặc trưng có $n$ nghiệm thực phân biệt $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$: nghiệm tổng quát là $y_k = \sum_{i=1}^n C_i \lambda_i^k$.
- Nếu có nghiệm bội $s$: số hạng tương ứng là $(C_0 + C_1 k + \dots + C_{s-1} k^{s-1}) \lambda^k$.
- Nếu có nghiệm phức liên hợp $\lambda = r(\cos \varphi \pm i \sin \varphi)$: số hạng tương ứng trong nghiệm thực có dạng $r^k (C_1 \cos k\varphi + C_2 \sin k\varphi)$.
- Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất tương ứng ($y_k^{(0)}$) và một nghiệm riêng bất kỳ ($y_k^$): $y_k = y_k^{(0)} + y_k^$.
-
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1: $a y_{k+1} + b y_k = g(k)$.
- Tác giả xét trường hợp hệ số $a, b$ là hằng số ($a \ne 0, b \ne 0$). Nghiệm thuần nhất: $y_k = C \left(-\frac{b}{a}\right)^k$.
- Cách tìm nghiệm riêng khi $g(k)$ là hàm đa thức bậc $n$ hoặc hàm mũ:
- Nếu $g(k) = d \cdot \alpha^k$: thử nghiệm riêng $y_k^* = A \alpha^k$.
- Nếu $g(k)$ là đa thức bậc $n$: nếu $a+b \ne 0$, nghiệm riêng là đa thức bậc $n$; nếu $a+b = 0$, nghiệm riêng là đa thức bậc $n+1$.
-
Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2: $a y_{k+2} + b y_{k+1} + c y_k = g(k)$.
- Xét phương trình đặc trưng $a \lambda^2 + b \lambda + c = 0$.
- Phân tích chi tiết ba trường hợp: $\Delta > 0$ (hai nghiệm thực phân biệt), $\Delta = 0$ (nghiệm kép), và $\Delta < 0$ (cặp nghiệm phức liên hợp biểu diễn qua công thức Euler/Moivre).
- Quy tắc tìm nghiệm riêng tương ứng với các dạng vế phải $g(k)$.
-
Hệ phương trình sai phân và phương trình phân thức:
- Hệ phương trình sai phân tuyến tính dạng: $$\begin{cases} x_{n+1} = a x_n + b y_n \ y_{n+1} = c x_n + d y_n \end{cases}$$ Được giải bằng cách biến đổi khử một ẩn để đưa về phương trình sai phân cấp 2 đối với ẩn còn lại.
- Phương trình sai phân phân thức bậc nhất: $$x_{n+1} = \frac{a x_n + b}{c x_n + d}$$ Được giải quyết bằng kỹ thuật đặt ẩn phụ $x_n = \frac{y_n}{z_n}$ để chuyển về hệ hai phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.
Chương III: Phương pháp lặp và các bài toán giới hạn dãy số
Chương III giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số phi tuyến, sự hội tụ của dãy số và việc giải gần đúng phương trình vô hướng.
-
Phương pháp lặp đơn:
- Để giải phương trình $f(x) = 0$ trên khoảng $(a, b)$, biến đổi phương trình về dạng tương đương $x = g(x)$.
- Xây dựng dãy lặp $x_n = g(x_{n-1})$ với giá trị ban đầu $x_0 \in (a, b)$.
- Định lý về sự hội tụ: Giả sử $g(x)$ khả vi trên $(a, b)$ và thỏa mãn $|g'(x)| \le q < 1$ với mọi $x \in (a, b)$. Khi đó:
- Phương trình $x = g(x)$ có nghiệm duy nhất $\alpha \in (a, b)$.
- Dãy lặp ${x_n}$ hội tụ về $\alpha$ với mọi điểm xuất phát $x_0 \in (a, b)$.
- Đánh giá sai số tiên nghiệm: $|x_n - \alpha| \le \frac{q^n}{1-q} |x_1 - x_0|$.
- Đánh giá sai số hậu nghiệm: $|x_n - \alpha| \le \frac{q}{1-q} |x_n - x_{n-1}|$. Khi $q \le \frac{1}{2}$, ta có $|x_n - \alpha| \le |x_n - x_{n-1}|$.
- Ứng dụng định lý để chứng minh sự tồn tại giới hạn và tính giới hạn của các dãy số truy hồi dạng $x_{n+1} = g(x_n)$ trong chương trình toán phổ thông.
-
Phương pháp tiếp tuyến Newton (Newton-Raphson):
- Khái niệm: Xây dựng dãy xấp xỉ nghiệm qua công thức: $$x_n = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$$
- Điều kiện hội tụ: Xét đoạn cách ly nghiệm $[a, b]$, các đạo hàm $f'(x)$ và $f''(x)$ liên tục, không triệt tiêu và giữ nguyên dấu trên $[a, b]$. Điểm ban đầu $x_0$ được chọn thỏa mãn điều kiện $f(x_0) f''(x_0) > 0$.
- Ước lượng sai số của phương pháp Newton: Nếu $|f'(x)| \ge m > 0$ và $|f''(x)| \le M$ trên đoạn cách ly nghiệm, sai số thỏa mãn: $$|x_n - \alpha| \le \frac{M}{2m} |x_n - x_{n-1}|^2$$
Chương IV: Đa thức Chebyshev và một số tính chất
Chương IV giới thiệu hệ đa thức trực giao Chebyshev (trong văn bản phiên âm là Tsi-bư-sép) loại một và ứng dụng trong các bài toán cực trị đại số.
- Định nghĩa đa thức Chebyshev: $T_n(x) = \cos(n \arccos x)$ với $x \in [-1, 1]$.
- Công thức truy hồi: $T_0(x) = 1$, $T_1(x) = x$, $T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)$.
- Các tính chất cơ bản:
- $T_n(x)$ là đa thức đại số bậc $n$ có hệ số của $x^n$ là $2^{n-1}$ (với $n \ge 1$).
- Trên đoạn $[-1, 1]$, $|T_n(x)| \le 1$.
- Đa thức $T_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt nằm trong $(-1, 1)$ và đạt giá trị cực trị $\pm 1$ tại $n+1$ điểm xen kẽ $x_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)$ ($k = 0, 1, \dots, n$).
- Định lý Chebyshev về xấp xỉ tốt nhất: Trong tất cả các đa thức bậc $n$ có hệ số cao nhất bằng 1 ($P_n(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$), đa thức lệch ít nhất khỏi 0 trên đoạn $[-1, 1]$ chính là $\widetilde{T}n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x)$, với độ lệch cực đại là: $$\max{x \in [-1, 1]} |\widetilde{T}_n(x)| = \frac{1}{2^{n-1}}$$
- Ứng dụng: Giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (min-max), đánh giá chặn trên, chặn dưới của đa thức và giải các bài toán bất đẳng thức cực trị đại số ở cấp phổ thông.
Chương V: Phương pháp giải một số bài toán vô địch trong nước và quốc tế
Chương cuối của luận án tổng hợp và phân loại các đề thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia và Olympic Toán học Quốc tế (IMO) liên quan đến các chủ đề:
- Giải các bài toán dãy số truy hồi phức tạp bằng phương trình sai phân và phương pháp lặp.
- Vận dụng đa thức Chebyshev để giải các bài toán bất đẳng thức đa thức và cực trị hình học/đại số trong các kỳ thi vô địch toán.
- Đưa ra quy trình phân tích và nhận dạng bài toán giúp học sinh lớp chuyên có định hướng phương pháp rõ ràng khi gặp các dạng toán liên ngành giữa giải tích số và đại số sơ cấp.
Kết quả và những đóng góp mới
-
Đóng góp về mặt lý luận sư phạm:
- Hệ thống hóa và tinh giản thành công các kiến thức nền tảng của chuyên ngành Phương pháp tính thành các nội dung chuyên đề sư phạm phù hợp với đối tượng học sinh chuyên và chọn cấp phổ thông trung học.
- Xây dựng cầu nối lý thuyết giữa toán học cao cấp (giải tích số, toán rời rạc) với toán học phổ thông nâng cao, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy toán cho học sinh năng khiếu.
-
Đóng góp về mặt thực tiễn giảng dạy:
- Cung cấp thuật toán và công cụ toán học tường minh (toán tử sai phân, phương trình sai phân, thuật toán lặp, tiếp tuyến Newton, đa thức Chebyshev) để giải quyết các bài toán phức tạp về dãy số, giới hạn, tính tổng và cực trị đại số.
- Giúp học sinh và giáo viên giảm bớt sự phụ thuộc vào các kỹ thuật giải toán mang tính trực giác rời rạc, thay vào đó là tư duy thuật toán và phương pháp tiếp cận có hệ thống.
- Đề xuất hệ thống bài tập mẫu và phương pháp giải chi tiết cho nhiều bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
-
Hạn chế:
- Nội dung nghiên cứu tập trung chuyên sâu cho đối tượng học sinh các lớp chuyên và lớp chọn, chưa thể áp dụng đại trà cho học sinh phổ thông thông thường do đòi hỏi nền tảng tư duy toán học cao và thời lượng học bổ sung.
- Về mặt kỹ thuật, luận án chủ yếu giới hạn ở phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng và các hàm số một biến; chưa mở rộng sang các hệ sai phân phi tuyến đa biến hoặc các phương pháp giải tích số đòi hỏi công cụ ma trận phức tạp.
-
Hướng nghiên cứu tiếp:
- Mở rộng việc ứng dụng các phương pháp số khác (như giải gần đúng hệ phương trình, phương pháp bình phương bé nhất, nội suy spline) vào giảng dạy toán chuyên đề.
- Kết hợp việc giảng dạy lý thuyết phương pháp tính với thực hành tính toán trên máy tính điện tử cho học sinh chuyên toán - tin.
Giá trị tham khảo
Luận án mang giá trị tham khảo chuyên môn và phương pháp luận đối với:
- Giảng viên và giáo viên dạy toán chuyên: Làm tài liệu tham khảo để biên soạn bài giảng chuyên đề về dãy số, sai phân, phương trình sai phân và phương pháp lặp cho các lớp chuyên toán, lớp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi.
- Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán: Tham khảo hướng tiếp cận sư phạm hóa kiến thức toán học cao cấp đưa vào chương trình phổ thông nâng cao.
- Học sinh năng khiếu toán học: Trang bị các công cụ và phương pháp suy luận giải tích số để giải quyết các bài toán khó trong các kỳ thi Olympic toán học.
Câu hỏi thường gặp
1. Luận án đề xuất đưa những nội dung cơ bản nào của Phương pháp tính vào dạy học ở các lớp chuyên?
Luận án đề xuất 5 khối kiến thức cơ bản gồm:
- Toán tử sai phân và bảng sai phân;
- Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 và cấp $n$ (cùng hệ phương trình và phương trình phân thức);
- Phương pháp lặp đơn và ứng dụng tính giới hạn dãy số;
- Phương pháp tiếp tuyến Newton giải gần đúng phương trình;
- Đa thức Chebyshev và định lý xấp xỉ tốt nhất giải bài toán min-max.
2. Tính chất nào của sai phân được sử dụng để kiểm tra tính chính xác của bảng sai phân trong Chương I?
Luận án sử dụng Tính chất V của sai phân: $$\sum_{k=m}^n \Delta^i y_k = \Delta^{i-1} y_{n+1} - \Delta^{i-1} y_m$$ Đặc biệt khi $i = 1$, tổng các phần tử trong một cột sai phân cấp 1 từ hàng $m$ đến hàng $n$ bằng hiệu số giữa hai giá trị hàm số $y_{n+1} - y_m$. Nhờ tính chất này, người tính toán có thể cộng dồn các cột để đối chiếu và kiểm tra tính chính xác của bảng sai phân.
3. Kỹ thuật giải phương trình sai phân phân thức bậc nhất trong Chương II được thực hiện như thế nào?
Đối với phương trình sai phân dạng phân thức bậc nhất $x_{n+1} = \frac{a x_n + b}{c x_n + d}$, tác giả sử dụng phép đổi biến đặt $x_n = \frac{y_n}{z_n}$. Kỹ thuật này chuyển phương trình phân thức phi tuyến về một hệ gồm hai phương trình sai phân tuyến tính cấp 1: $$\begin{cases} y_{n+1} = a y_n + b z_n \ z_{n+1} = c y_n + d z_n \end{cases}$$ Từ đó, hệ phương trình này được giải quyết bằng phương pháp khử đưa về phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.
4. Điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn trong Chương III được xác định như thế nào?
Để phương pháp lặp $x_n = g(x_{n-1})$ hội tụ về nghiệm duy nhất $\alpha$ của phương trình $x = g(x)$ trên khoảng $(a, b)$, hàm số $g(x)$ phải khả vi và thỏa mãn điều kiện co: $$|g'(x)| \le q < 1 \quad \forall x \in (a, b)$$ Khi điều kiện này được thỏa mãn, dãy lặp ${x_n}$ sẽ hội tụ về nghiệm với mọi điểm xuất phát $x_0 \in (a, b)$.
5. Phương pháp tiếp tuyến Newton đòi hỏi những điều kiện gì đối với hàm số để đảm bảo tính hội tụ?
Theo trình bày trong luận án, để phương pháp tiếp tuyến Newton $x_n = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$ hội tụ, cần thỏa mãn:
- Các đạo hàm $f'(x)$ và $f''(x)$ liên tục, không triệt tiêu và không đổi dấu trên khoảng cách ly nghiệm $[a, b]$;
- Giá trị xấp xỉ ban đầu $x_0$ phải được chọn thỏa mãn điều kiện Fourier: $f(x_0) f''(x_0) > 0$.
Kết luận
Luận án "Áp dụng phương pháp tính vào việc dạy toán ở các lớp chuyên, lớp chọn phổ thông trung học" của tác giả Lý Quốc Hào (1991) đã giải quyết trọn vẹn nhiệm vụ nghiên cứu chuyển giao và sư phạm hóa các kiến thức giải tích số vào giảng dạy chuyên đề bậc phổ thông. Bằng việc phân tích sâu các công cụ sai phân, phương trình sai phân, phương pháp lặp, thuật toán Newton và đa thức Chebyshev, luận án đã xây dựng hệ thống phương pháp giải toán có tính quy tắc và thuật toán cao. Công trình đóng góp thiết thực cho công tác bồi dưỡng giáo viên và đào tạo học sinh năng khiếu toán học trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.