phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chƣơng: CHƢƠNG 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn CHƢƠNG 2: Một số biện pháp dạy học phép biến hình trong mặt phẳng theo định hƣớng phát triển tƣ duy hình học cho học sinh lớp 11 CHƢƠNG 3: Thực nghiệm sƣ phạm 7 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Tƣ duy hình học 1. Tư duy Trong tâm lý học, một trong những nghiên cứu tƣơng đối đầy đủ nhất về TD đã đƣợc trình bày trong các công trình của X. Theo Rubinstein: “TD – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”.
Theo các tác giả Phạm Minh Hạc, Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn Quang Uẩn [8] đã định nghĩa: “TD là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”. Từ điển triết học [13, tr. 873]: “TD – sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán,.” Trong luận văn này, tôi thống nhất với quan điểm của tác giả Sacđacov M.: “TD là một quá trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó. TD sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó”.
Khái niệm tư duy hình học Theo [27], HH bắt nguồn từ với mục đích đo đạc đất đai. HH và số học là một trong hai ngành toán học đƣợc con ngƣời nghiên cứu từ thời cổ đại. Euclid đã cách mạng hóa HH bằng cách giới thiệu phƣơng pháp chứng minh toán học và các tiên đề mà ngày nay sử dụng. Cuốn sách của ông, Cơ sở (The Elements) đƣợc coi là SGK có ảnh hƣởng nhất mọi thời đại và đƣợc tất cả những ngƣời có học ở phƣơng Tây học tập cho đến giữa thế kỷ XX.
Trong thời hiện đại, khái niệm HH đã trở thành đối tƣợng của các phƣơng pháp giải 8 tích và đại số trừu tƣợng, do đó nhiều ngành hiện đại của HH khác biệt nhiều đến mức không còn gì liên quan tới HH cổ điển nhƣ HH đại số và HH giải tích. HH cổ đại là các công thức thực nghiệm dùng để đo độ dài, góc, diện tích,. đƣợc phát triển để vận dụng trong khảo sát, xây dựng, thiên văn học, nông nghiệp và hàng loạt ngành nghề khác nhau. Trong số đó có một số công thức phức tạp đến mức đáng ngạc nhiên mà một nhà toán học hiện đại cũng khó mà chứng minh đƣợc các công thức trên nếu không sử dụng vi phân hay tích phân.
HH cổ đại Ai Cập: Từ bốn nghìn năm trƣớc công nguyên, mỗi lần nƣớc lụt từ các sông, đặc biệt là sông Nile tràn vào đồng ruộng, phù sa lắng xuống tạo thành các mảnh đất màu mỡ lấp kín các bờ ngăn. Khi nƣớc rút đi ngƣời ta phải chia lại ruộng đất, từ đó con ngƣời phát sinh nhu cầu đo đạc đất đai. Những bản di cảo thời cổ Ai Cập và cổ Babilon còn lại ngày nay cho ta thấy rằng hai nghìn năm trƣớc công nguyên loài ngƣời đã biết tính diện tích các hình tam giác, hình chữ nhật, hình thang và tính gần đúng diện tích hình tròn. Họ còn biết công thức tính thể tích các hình lập phƣơng, hình trụ, hình nón, hình tháp và hình tháp cụt.
HH đã trở thành một môn học quan trọng và bất kỳ lớp học cơ bản nào cũng cần phải trải qua. Để học đƣợc môn HH, chúng ta cần phải biết suy luận và lý giải. Điều này không tự nhiên có đƣợc mà chúng ta phải đúc kết từ những chuỗi suy luận, từ kinh nghiệm của bản thân. Đối với HS, một TDHH tốt vô cùng quan trọng khi học toán, đặc biệt là HH.
Trong luận văn này, chúng tôi thống nhất theo quan điểm TDHH của Hoffer(1981). Theo nghiên cứu của ông, TDHH là một NL mà ngƣời GV cần hình thành cho HS trong quá trình dạy học HH. Ông đƣa ra 5 nhóm NL cần thiết của TDHH bao gồm: 9 a. NL về thị giác, hình ảnh: Nhận biết, quan sát về đặc điểm các hình HH, đọc hiểu bản đồ, nhận biết hình từ các vị trí khác nhau.Thurstone [28], TD không gian là một bộ phận của TD thị giác.
Trong đó, TD không gian đƣợc thể hiện bởi 3 thành tố: + NL nhận biết một vật thể khi nó đƣợc hình thành dƣới các góc độ khác nhau. + NL hình dung sự vận động hoặc dời chỗ các bộ phận bên trong của một hình thù. + NL xem xét về các mối quan hệ không gian, trong đó bộ phận căn bản của bài toán là hƣớng xoay của cơ thể ngƣời quan sát. Chẳng hạn, HS tiểu học sẽ nhận dạng hai hình vuông bằng nhau bằng cách xếp chồng khít chúng lên nhau hoặc lấy thƣớc đo độ dài 4 cạnh và so sánh.
HS THCS sẽ dùng các phƣơng pháp chứng minh hai vuông bằng nhau dựa vào các tính chất đã học. Đối với HS THPT, công cụ phép biến hình giúp các em nhận biết hai hình vuông bằng nhau hay không. Để phát triển NL này, trong quá trình dạy học GV có thể sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học nhƣ Maple, Sketchpad. Chẳng hạn, khi dạy tính chất: Phép tịnh tiến biến một đƣờng tròn thành một đƣờng tròn có bán kính bằng nó.
GV sử dụng phần mềm Sketchpad minh họa trực quan nhƣ sau: Hình 1.1 Thông qua hình ảnh này, HS dễ dàng nhận thấy ảnh của một hình qua phép tịnh tiến là một hình bằng nó. NL ngôn ngữ: Sử dụng đúng thuật ngữ và ngôn ngữ chính xác trong miêu tả đối tượng, quan hệ không gian. Trong quá trình dạy học chủ đề Phép biến hình, HS tiếp cận với nhiều kí hiệu mới, thuật ngữ toán học mới. Việc sử dụng đúng kí hiệu và các phép suy luận giúp ngƣời học có TD mạch lạc, trình bày nội dung toán học chặt chẽ và logic.
Chẳng hạn, trong chƣơng 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng của SGK HH cơ bản lớp 11 xuất hiện kí hiệu phép biến hình là F; phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu là Tv ; phép đối xứng qua đƣờng thẳng a kí hiệu là Đa; phép vị tự tâm O, tỉ số k kí hiệu là VO ,k ; phép quay tâm O, góc quay kí hiệu là QO , ,. HS cần sử dụng đúng kí hiệu cho mỗi bài toán liên quan. Ngoài ra, HS cần sử dụng đúng các lƣợng từ, phép kéo theo, tƣơng đƣơng, kí hiệu toán học để biểu diễn trong qua trình giải toán và chứng minh. Chẳng hạn, định nghĩa về phép tịnh tiến trong SGK HH cơ bản 11, trang 5 đƣợc phát biểu bằng lời.
Khi đó, HS cần chuyển sang đƣợc cách viết định nghĩa này dƣới dạng ngôn ngữ logic vị từ nhƣ sau: Tv M M ' MM ' v. Bên cạnh đó, qua việc sử dụng thành thạo ngôn ngữ toán học, HS còn có thể dễ dàng phát hiện ra sai lầm khi giải toán qua hình vẽ và kí hiệu. NL tạo hình: NL tạo ra các biểu tượng không gian hai chiều hay ba chiều, vẽ hình đồng dạng, vẽ hình đối xứng. Trong quá trình dạy học phƣơng pháp tọa độ nói chung và phép biến hình nói riêng, GV cần quan tâm cho HS thể hiện các đối tƣợng HH thông qua các hình vẽ cụ thể.
Việc làm này giúp HS không tách rời bản chất HH của bài toán, nắm đƣợc phép biến hình là một đối tƣợng của HH và hoàn toàn có thể thể hiện đƣợc nội dung phép biến hình thông qua hình vẽ cụ thể. 11 Chẳng hạn (Bài 2 – Sách giáo khoa HH 11- cơ bản – trang 19): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A 2;0 và đƣờng thẳng d có phƣơng trình x y 2 0. Hãy tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 90. 0 Lời giải: Gọi B 0;2 là ảnh của A.
Hai điểm A và B 0;2 thuộc d. Ảnh của B qua phép quay tâm O góc 90o là A’ 2;0 . Do đó đƣờng BA là ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90o. Vectơ chỉ phƣơng của BA’ là u BA (2;2 ), VTPT của BA’ là n (1 ; 1).
Phƣơng trình đƣờng thẳng BA’ là: x y 2 0. Sau khi HS giải bằng phƣơng pháp tọa độ, GV có thể yêu cầu HS minh họa bằng hình vẽ: 6 4 B 2 A' A -10 -5 O 5 10 -2 -4 -6 Hình 1. NL TD logic: Khi tiếp cận với một tình huống HH, HS cần biết phân loại tình huống, nhận biết tiêu chuẩn, dấu hiệu cơ bản để phân loại tình huống, từ đó định hướng cách giải quyết tình huống. Ngoài ra, HS cần TD logic để có khả năng biến đổi và kiểm tra các giả thiết suy luận và chứng minh.
Trong quá trình dạy học chủ đề Phép biến hình, căn cứ để định hƣớng cách giải thƣờng dựa trên việc nhận biết những bất biến xuất hiện trong tình huống bài toán đặt ra. Khi nghiên cứu HH ở bậc đại học, ta biết bài toán chứa bất biến của phép biến hình nào thì có thể sử dụng phép biến hình đó để giải quyết. Bất biến của phép tịnh tiến và phép vị tự là phƣơng của đƣờng thẳng nên những bài toán chứa yếu tố song song thƣờng sử dụng hai phép này. Phép quay thƣờng đƣợc sử dụng cho các bài toán chứa các đa giác đều và một điểm cố định.
Phép đối xứng thƣờng đƣợc sử dụng đối với các bài toán có một đƣờng thẳng cố định. Dựa vào những yếu tố đó, HS có thể định hƣớng đƣợc công cụ để giải các bài toán này. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A 1;2 , B 3;1 , C 2;3. Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Trong bài toán xuất hiện hình bình hành tức là có yếu tố bất biến về đƣờng song song, hơn nữa lại xuất hiện cặp vectơ bằng nhau nên định hƣớng giải bài toán này bằng phép tịnh tiến. Cụ thể, Giả sử điểm D x; y . Từ (*) ta tìm đƣợc D 2;4 e.