Chương 1 TỔNG QUAN Chương này trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực phân tích dầm FGM, dầm sandwich FGM trên thế giới. Các kết quả và phương pháp nghiên cứu liên quan tới dao động của dầm sandwich FGM được trình bày chi tiết. Một số kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong nước cũng được thảo luận. Cuối chương trình bày định hướng nghiên cứu của luận án.
Vật liệu có cơ tính biến thiên Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được khởi tạo lần đầu tiên bởi các nhà khoa học Nhật Bản vào năm 1984 tại Sendai [4], với ứng dụng ban đầu như là vật liệu cách nhiệt dùng trong công nghiệp vũ trụ. FGM là vật liệu composite, được tạo từ hai hay nhiều thành phần, thường là gốm và kim loại, trong đó tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc nhiều hướng không gian. Với tính chất cơ-lý thay đổi liên tục, FGM không có các nhược điểm như các vật liệu composite truyền thống, ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau, đặc biệt trong các môi trường khắc nghiệt [5, 6]. FGMs có thể được phân ra làm các dạng khác nhau, tùy thuộc vào quy luật thay đổi tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần.
Dạng phổ biến và được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất là FGM với quy luật hàm số lũy thừa (Power-law FGM). Chẳng hạn dầm FGM hai pha, pha gốm và pha kim loại, tỷ phần thể tích của pha gốm (Vc ) và pha kim loại (Vm ) thay đổi theo chiều cao dầm theo hàm số lũy thừa z 1 n Vc = + , Vm = 1 −Vc (1.1) h 2 trong đó h là chiều cao dầm; z - tọa độ theo chiều cao, tính từ mặt giữa dầm; n - chỉ số mũ, không âm, xác định sự phân bố của vật liệu thành phần. Bên cạnh FGM với quy luật lũy thừa (1.1), kết cấu FGM với quy luật hàm số mũ và quy luật Sigmoid [7] cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Luận án này chỉ quan tâm nghiên cứu dầm làm từ FGM với quy luật hàm lũy thừa, vì thế, để tránh phức tạp, các biểu thức toán học cho dầm Sigmoid FGM và dầm với quy luật số mũ FGM không trình bày ở đây.
6 7 Các tính chất hiệu dụng của dầm FGM có thể được đánh giá bằng một số mô hình cơ học vi mô khác nhau. Phổ biến và đơn giản nhất là mô hình Voigt, trong đó tính chất hiệu dụng (P f ), chẳng hạn mô-đun đàn hồi hoặc mật độ khối, của FGM với tỷ phần thể tích theo phương trình (1.1) cho bởi P f = (Pc − Pm )Vc + Pm (1.2) với Pc và Pm tương ứng là tính chất của gốm và kim loại. Mô hình Mori-Tanaka [8] cũng được nhiều nhà khoa học sử dụng để đánh giá tính chất hiệu dụng của FGM. Mô-đun khối hiệu dụng (K f ) và mô-đun trượt hiệu dụng (G f ) trong mô hình Mori-Tanaka cho bởi K f − Km Vc = Kc − Km 1 + (1 −Vc ) (Kc − Km )/(Km + 4Gm /3) G f − Gm Vc (1.3) = Gc − Gm (1 −Vc ) (Gc − Gm ) 1+ Gm + Gm (9Km + 8Gm )/(6Km + 12Gm ) trong đó Kc , Gc , Km , Gm tương ứng là mô-đun khối và mô-đun trượt của các pha gốm và kim loại.
Mô-đun đàn hồi hiệu dụng (E f ) và hệ số Poisson hiệu dụng (ν f ) được tính qua mô-đun khối và mô-đun trượt hiệu dụng như sau 9K f G f 3K f − 2G f Ef = , νf = (1.4) 3K f + G f 6K f + 2G f Cần nhấn mạnh rằng mô hình Voigt, mặc dù đơn giản và được nhiều nhà khoa học sử dụng nhưng không thỏa mãn các đánh giá Hashin-Strickman [9]. Thêm vào đó, tần số dao động riêng của dầm FGM nhận được từ mô hình Voigt cao hơn hẳn tần số nhận được từ các mô hình Mori-Tanaka và Hashin-Strickman [10]. Tình hình nghiên cứu trên thế giới 1. Dầm 1D-FGM Nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu FGM nói chung, dầm FGM có cơ tính biến đổi theo một phương (dầm 1D-FGM) nói riêng được quan tâm đặc biệt trong hai thập kỷ gần đây.
Một số lớn các công trình liên quan tới phân tích dầm FGM đã được công bố và tập hợp thành sách chuyên khảo [11]. Dưới đây chỉ thảo luận một số công bố có liên quan tới đề tài của luận án. Dao động tự do của dầm FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao là những công bố đầu tiên về dao động của dầm FGM. Điển hình trong số này là các công 8 trình của các tác giả Mahi cùng cộng sự [7], Aydogdu và Taskin [12], Benatta và cộng sự [13], Sina và cộng sự [14], Huang và Li [15], Wattanasakulpong và cộng sự [16], trong đó các phương pháp giải tích được sử dụng để tính toán tần số dao động riêng của dầm.
Các nghiên cứu này chỉ ra rằng tính không đồng nhất về vật liệu thông qua chỉ số mũ n và nhiệt độ môi trường có ảnh hưởng quan trọng tới tần số dao động riêng của dầm. Đặc biệt, một số tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của các lý thuyết dầm khác nhau tới tần số dao động riêng của dầm FGM [7, 17]. Phương pháp giải tích và bán giải tích cũng được sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu các tải trọng khác nhau. Şimşek và Kocatürk [18] sử dụng các đa thức bậc cao để xấp xỉ trường chuyển vị để thiết lập phương trình chuyển động dạng rời rạc cho dầm Euler-Bernoulli FGM chịu tải trọng điều hòa di động.
Đáp ứng động lực học của dầm được các tác giả tính toán với sự trợ giúp của phương pháp tích phân trực tiếp Newmark. Cũng với phương pháp nêu trên Şimşek và cộng sự đã nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang [19] và cơ tính biến đổi dọc [20] chịu tải trọng di động. Các tác giả chỉ ra rằng, bên cạnh vận tốc và độ lớn của tải di động, chỉ số mũ n cũng đóng vai trò quan trọng tới các đặc trưng dao động của dầm. Phương pháp Ritz được Khalili và đồng nghiệp [21] sử dụng kết hợp với phương pháp CPVP để tính toán đáp ứng động lực học của dầm Euler-Bernoulli FGM chịu tác động của lực hoặc khối lượng di động.
Các tác giả chỉ ra rằng phương pháp đề nghị có một số ưu việt so với phương pháp tích phân trực tiếp Newmark và phương pháp Wilson. Rajabi và cộng sự [22] sử dụng phương pháp Petrov–Galerkin để chuyển hệ phương trình vi phân bậc bốn của bài toán dầm Euler-Bernoulli FGM chịu hệ khối lượng-lò xo di động về hệ phương trình vi phân bậc hai và giải hệ phương trình nhận được bằng phương pháp Runge-Kutta. Các tác giả đã tiến hành đánh giá sự phụ thuộc của độ võng động lực học, độ võng cực đại ở giữa dầm vào tham số vật liệu và vận tốc của tải trọng. Phương pháp Lagrange được Wang và Wu [23] sử dụng cùng với phương pháp Newmark để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ đồng nhất tới dao động của dầm Timoshenko PFGM với cơ tính biến đổi theo chiều dài dưới tác động của lực điều hòa di động.
Kết quả số nhận được bởi các tác giả cho thấy độ võng động học của dầm tăng nhanh khi nhiệt độ tiến gần tới nhiệt độ tới hạn. Bên cạnh phương pháp giải tích, phương pháp số, đặc biệt là phương pháp cầu phương vi phân (Differential Quadrature Method, viết tắt là "CPVP") và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method, viết tắt là "PTHH") cũng được nhiều tác giả 9 sử dụng để nghiên cứu dao động của dầm FGM. Malekzadeh [24], Malekzadeh và cộng sự [25] sử dụng phương pháp CPVP để tính toán các đặc trưng dao động tự do của các dầm vòm FGM. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới dao động của dầm được các tác giả quan tâm nghiên cứu.
Shahba và Rajasekaran [26] sử dụng kết hợp phương pháp biến đổi vi phân với phương pháp CPVP bậc thấp để tính tần số dao động riêng và lực tới hạn của dầm Euler-Bernoulli FGM có thiết diện ngang thay đổi. Rajasekaran [27], Rajasekaran và Tochaei [28] nghiên cứu dao động và mất ổn định của dầm vát (tapered beam ) FGM ; Bambill và cộng sự [29] nghiên cứu dao động tự do của dầm Timoshenko FGM; Ghazaryan và cộng sự [30] phân tích dao động tự do của dầm FGM với mặt cắt ngang không đồng nhất. Với thế mạnh vượt trội trong rời rạc hóa và xử lý các vấn đề phức tạp do tính không đồng nhất về vật liệu, phương pháp PTHH được một số tác giả sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm FGM. Alshorbagy và cộng sự [31] tính toán tần số dao động riêng và mốt dao động của dầm FGM với cơ tính biến đổi ngang với sự trợ giúp của mô hình dầm Euler-Bernoulli hai nút.
Shahba và cộng sự nghiên cứu dao động tự do của dầm vát Euler-Bernoulli [32], dầm vát Timoshenko [33] làm từ vật liệu FGM với cơ tính biến đổi dọc theo chiều dài dầm. Mô hình PTHH dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko trong [33] sử dụng nghiệm của phương trình vi phân cân bằng thuần nhất để nội suy trường chuyển vị hội tụ nhanh và không bị nghẽn màng (shear locking). Eltaher và cộng sự [34, 35] sử dụng mặt trung hòa làm mặt quy chiếu trong việc xây dựng mô hình PTHH để nghiên cứu dao động tự do của dầm nano FGM. Mô hình PTHH trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko được Hemmatnezhada và cộng sự [36] phát triển cho phân tích dao động tự do phi tuyến của dầm FGM.
Gan và cộng sự [37] phân tích ứng xử động lực học của dầm Timoshenko FGM với cơ tính biến đổi dọc và thiết diện ngang không đồng nhất với sự trợ giúp của phương pháp PTHH và phương pháp Newmark. Wang và Wu [38] xét ảnh hưởng của nhiệt độ tới đáp ứng động lực học của dầm Timoshenko chịu tác động của lực điều hòa di động. Cơ tính của dầm được giả định tuân theo hàm số lũy thừa dọc theo chiều dài dầm. Esen và cộng sự [39], Esen [40, 41] xây dựng phần tử dầm Timoshenko hai nút để tính toán đáp ứng động lực học của dầm FGM chịu khối lượng di động với vận tốc thay đổi.
Ảnh hưởng của nền đàn hồi và nhiệt độ môi trường được tác giả quan tâm nghiên cứu. Dầm 2D-FGM Phát triển các phần tử kết cấu có cơ tính biến thiên theo hai hoặc nhiều hướng không gian khác nhau là đòi hỏi của thực tiễn nhằm đáp ứng khả năng chịu tải phức tạp và tối ưu hóa kết cấu [42].