Chương 1 Mô hình Logit thứ bậc và mô hình Probit thứ bậc Đối với mô hình hồi quy tuyến tính, ta làm việc với biến phụ thuộc được giả thiết là biến định lượng liên tục. Đây là mô hình rất phổ biến và được sử dụng rộng rãi. Tuy nhiên trong các vấn đề kinh tế- xã hội, chúng ta bắt gặp nhiều biến phụ thuộc không liên tục và thậm chí không quan sát được. Các biến dạng này được gọi chung là các biến phụ thuộc giới hạn (limited dependent variable, LDV).
Trong luận văn này sẽ trình bày các mô hình phi tuyến đối với các biến phụ thuộc là biến thứ tự và biến định danh. Ta định nghĩa các biến dạng này như sau: Biến thứ tự (ordinal variable) là biến có các tính trạng được sắp thứ tự. Ví dụ trong cuộc điều tra các câu hỏi được đưa ra và phương án trả lời có thể là các lựa chọn: tuyệt đối đồng ý, đồng ý, không đồng ý và hoàn toàn không đồng ý. Biến định danh (nominal variable) là biến có nhiều tính trạng và các tính trạng không có thứ hạng.
Ví dụ tình trạng hôn nhân có thể là các tính trạng sau: độc thân, đã kết hôn, li dị, góa bụa. Đối với biến có thứ tự, các tính trạng có thể được sắp thứ tự từ thấp tới cao, nhưng khoảng cách giữa các tính trạng gần kề chưa được xác định. Những tính trạng này được đánh số lần lượt và mô hình hồi quy tuyến tính (LRM) có thể được áp dụng. Tuy nhiên, ta ngầm giả thiết rằng khoảng cách giữa các tính trạng là bằng nhau.
Một vấn đề là khi dùng mô hình hồi quy tuyến tính đối với biến LDV, ước lượng có thể chệch và vì thế dẫn tới những kết quả sai lầm, thậm chí không chấp nhận được. Cho nên các mô hình phi tuyến được đề xuất mặc dù những lí giải về nó phức tạp hơn nhiều. Trong chương đầu tiên, ta xét các mô hình logit thứ bậc và probit thứ bậc (ordered logit and ordered probit models). Hai mô hình này có quan hệ chặt 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com chẽ với nhau và được gọi chung là mô hình hồi quy thứ bậc (ordered regression models, ORM).
Một số mô hình liên quan với hai mô hình trên cũng được giới thiệu.1 Mô hình biến ẩn đối với biến thứ tự Mô hình hồi quy thứ bậc ORM có thể nhận được từ một mô hình hồi quy thông thường với biến phụ thuộc là một biến liên tục. Trong mô hình ORM, biến phụ thuộc định lượng là một biến ẩn y ∗ có thể nhận giá trị từ−∞ tới +∞, song bị ẩn dưới biến phụ thuộc quan sát được y thông qua một ánh xạ được xác định như sau: yi = m khi τm−1 ≤ y ∗ < τm , m = 1, ., J Các điểm τ được gọi là điểm cắt. Tính trạng đầu tiên và cuối cùng tương ứng với m = 1 và m = J được định nghĩa bởi khoảng mở tương ứng với τ0 = −∞ và τJ = +∞. Để hiểu rõ hơn về ý tưởng trên, ta xét ví dụ sau đây về cuộc điều tra phỏng vấn do General Social Survey.
Trong một cuộc điều tra phỏng vấn, mọi người được yêu cầu trả lời câu hỏi sau đây: “Một người mẹ làm việc thì tình cảm và sự quan tâm tới con cái của họ có như những người mẹ không đi làm hay không ?”. Các lựa chọn trả lời là: Rất khác biệt (strongly disagree) SD Khác biệt (Disagree) D Giống nhau (Agree) A Hoàn toàn như nhau (Strong agree) SA Biến tính trạng này liên kết với biến ẩn liên tục y ∗ , trong đó biến y ∗ chỉ ra các mức khác biệt đối với câu hỏi về “Người mẹ làm việc thì tình cảm và sự quan tâm mà họ dành cho con cái có như người mẹ không đi làm không?”. Biến quan sát được y được xác định thông qua y ∗ bởi ánh xạ sau: 1 =⇒ SD, khi τ0 = −∞ ≤ y ∗ < τ1 2 =⇒ D, khi τ1 ≤ y ∗ < τ2 yi = khi τ2 ≤ y ∗ < τ3 3 =⇒ A, 4 =⇒ SA, khi τ3 ≤ y ∗ < τ4 = +∞ Ánh xạ này được minh họa bằng hình vẽ sau Đường thẳng nét liền thể hiện biến ẩn y ∗ , các điểm cắt được xác định và được đánh dấu bằng τ1 , τ2 và τ3. Giá trị của biến quan sát y trên mỗi khoảng của y ∗ được đánh dấu với đường chấm.
Cấu trúc của mô hình là: yi∗ = xi β + εi 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong đó, xi là véc tơ hàng với các số 1 ở cột đầu tiên và quan sát thứ i đối với biến độc lập xk được xuất hiện ở cột thứ k + 1, β là véc tơ hệ số với hệ số chặn β0 .1: Hồi quy với biến ẩn y ∗ Hình 1.2: Hồi quy với biến y Mô hình chỉ chứa một biến độc lập có cấu trúc như sau: yi∗ = α + βxi + εi Trong Hình 1.1, biến ẩn y ∗ là trục tung, các giá trị 15, 0 ,-5 phân chia tỷ lệ của y ∗. Các điểm cắt τ1 , τ2 và τ3 được chỉ ra bởi đường ngang chấm chấm. Đường này chia y ∗ thành 4 miền giá trị của biến quan sát y, τ0 = −∞ ở vị trí dưới cùng và τ4 ở trên cùng. Đường hồi quy E(y ∗ |x) = α + βx với α = 1, β = 0.1 được vẽ là đường liền.
Vì y ∗ không quan sát được nên α, β không ước lượng được bằng hồi quy y ∗ theo x.2 vẽ biến quan sát y theo x, biến y được xác định từ biến ẩn y ∗ bằng cách gán tất cả các trường hợp mà y ∗ lớn hơn τ3 tương ứng với số 4, trường hợp y ∗ nằm giữa τ2 và τ3 là số 3. Tương tự cho các trường hợp tiếp theo của y ∗. Uớc lượng bình phương tối thiểu (OLS) của hàm hồi quy y theo x, được chỉ ra bởi đường đứt với ước lượng độ dốc là 0,026. Đường hồi quy y theo x không xấp xỉ đường hồi quy y ∗ theo x, vì đường này có độ dốc lớn hơn 4 lần.
Đường hồi quy trong Hình 1.2 trông có vẻ giống nhau bởi vì tỷ lệ của các trục là khác nhau. Nếu trục y trong Hình 1.2 được vẽ với cùng tỷ lệ như Hình 1.1 thì đường hồi quy y theo x trông như đường ngang. Một vấn đề khác khi hồi quy y theo x là sai số không có phân phối chuẩn và phương sai không thuần nhất. Tổng quát, mô hình hồi quy tuyến tính (LRM) chỉ có 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cùng kết quả như mô hình hồi quy thứ bậc (ORM) nếu những điểm cắt có khoảng cách như nhau.
Khi khoảng cách giữa các điểm này khác nhau thì kết quả của mô hình hồi quy tuyến tính (LRM) có thể đưa tới những kết quả sai lầm.1 còn chỉ ra một tính chất quan trọng của mô hình ORM. Trong hình này, bạn có thể thêm hoặc bỏ đi những điểm cắt mà không làm thay đổi cấu trúc mô hình. Tưởng tượng rằng, ta vẽ một đường ngang giữa τ1 và τ2. Điều này tương ứng thêm một tính trạng khác như “ không ý kiến” giữa “ khác biệt ” và “ giống nhau”.
Đường hồi quy của y ∗ theo x sẽ không bị ảnh hưởng.2, nếu ta thêm một tính trạng mới sẽ tương ứng thêm một đường ngang mới của biến quan sát y, điều này ảnh hưởng tới kết quả của hồi quy y theo x.1 Giả thiết về phân phối của sai số Để dùng được phương pháp ước lượng hợp lí cực đại, ta phải giả thiết về phân phối của sai số. Ta xét hai phân phối là phân phối chuẩn và phân phối logistic tương ứng với mô hình probit thứ bậc và logit thứ bậc. Đối với mô hình probit thứ bậc, sai số ε được giả thiết có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai 1 (phân phối chuẩn tắc). Hàm mật độ của phân phối đó là 1 ε2 φ(ε) = √ exp(− ) 2π 2 Với hàm phân phối tích lũy Z ε 1 t2 Φ(ε) = √ exp(− )dt (1.1) −∞ 2π 2 Với mô hình logit thứ bậc, sai số ε được giả sử có phân phối logit với trung bình 0 và phương sai π 2 /3.
Hàm mật độ của nó là exp(ε) λ(ε) = [1 + exp(ε)]2 Với hàm phân phối tích lũy exp(ε) Λ(ε) = (1.2) 1 + exp(ε) Để đơn giản kí hiệu trong chương này, ta dùng hàm F thay thế cho các hàm phân phối Φ hoặc Λ và hàm f thay cho các hàm mật độ φ hoặc λ. 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Xác suất của giá trị quan sát Khi phân phối của sai số đã xác định, ta có thể tính được xác suất của giá trị quan sát y với giá trị x biết trước.3 minh họa phân phối của y ∗ đối với 3 giá trị của x. Sai số có phân phối logitic hoặc chuẩn xung quanh đường hồi quy E(y ∗ |x) = α + βx. Xác suất để biến đầu ra nhận giá trị là m tương ứng với điểm cắt τm−1 và τm.
Xác suất để sai số rơi vào miền mà biến y ∗ nằm trong khoảng [τm−1 ; τm ) được tính như sau: Đầu tiên, ta tính xác suất khi y = 1. Với y = 1 khi đó y ∗ nhận các giá trị trong khoảng (−∞, τ1 ). Điều này chỉ ra rằng: Hình 1.3: Phân phối của y ∗ theo x trong mô hình hồi quy thứ bậc P r(yi = 1 | xi ) = P r(τ0 ≤ y ∗ < τ1 | xi ) Thay y ∗ = xβ + ε và phương trình trên, ta có P r(yi = 1 | xi ) = P r(τ0 ≤ xi β + εi < τ1 | xi ) Từ đó suy ra P r(yi = 1 | xi ) = P r(τ0 − xi β ≤ εi < τ1 − xi β | xi ) Vậy, ta có kết quả: P r(yi = 1 | xi ) = F (τ1 − xi β) − F (τ0 − xi β) Với cách làm tương tự, khi biến quan sát nhận giá trị y = m, ta có P r(yi = m) | xi = F (τm − xi β) − F (τm−1 − xi β) (1.3) Chú ý rằng, trong công thức trên vì F (τ0 − xi β) = F (−∞) = 0 và F (τJ − xi β) = F (+∞ − xi β) = 1. Do đó, đối với mô hình có 4 biến đầu ra, như ví 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.