Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ vật lý với tiêu đề "Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr", chuyên ngành Quang học (mã số: 9440110), được tác giả Lương Thị Tú Oanh thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn Quốc Khoa và PGS. Chu Văn Lanh, bảo vệ năm 2021.

Về tính cấp thiết, sự hình thành và kiểm soát các trạng thái phi cổ điển, đặc biệt là trạng thái đan rối lượng tử, giữ vai trò nền tảng trong lý thuyết thông tin lượng tử và công nghệ lượng tử hiện đại. Trong cơ sở lý thuyết lượng tử, hai nghịch lý kinh điển là nghịch lý con mèo Schrödinger và nghịch lý Einstein - Podolsky - Rosen (EPR) phản ánh bản chất phi định xứ và sự phụ thuộc vào phép đo của các hệ lượng tử. Đan rối lượng tử là nguồn tài nguyên căn bản cho các quá trình viễn tải lượng tử, mã hóa lượng tử và phân bổ khóa lượng tử. Để tạo ra các trạng thái đan rối có độ đan rối cao, các hệ quang học phi tuyến chứa môi trường kiểu Kerr (đặc trưng bởi độ cảm phi tuyến bậc ba $\chi^{(3)}$) được sử dụng rộng rãi nhằm thiết lập mô hình kéo lượng tử phi tuyến (nonlinear quantum scissors - NQS). Mô hình này cho phép cắt không gian Hilbert vô hạn chiều của trường bức xạ thành không gian hữu hạn chiều để tạo ra các hệ qubit hoặc qutrit.

Về khoảng trống nghiên cứu, tác giả chỉ ra rằng các công trình trước đây về bộ nối phi tuyến kiểu Kerr hầu hết chỉ khảo sát cho một điều kiện đầu duy nhất đối với các phương trình vi phân chuyển động của biên độ xác suất và luôn giả thiết trường laser điều khiển bên ngoài là đơn sắc lý tưởng. Tuy nhiên, ánh sáng laser thực tế không bao giờ đơn sắc tuyệt đối mà luôn tồn tại các thăng giáng ngẫu nhiên về biên độ và pha, được mô hình hóa bởi các quá trình ngẫu nhiên dừng Gauss với thời gian tương quan hữu hạn hoặc trường hợp giới hạn là nhiễu trắng. Việc thiếu vắng các khảo sát toàn diện cho nhiều điều kiện đầu khác nhau cũng như việc chưa đánh giá chính xác tác động của độ rộng phổ laser (thông qua mô hình nhiễu) lên sự hình thành các trạng thái đan rối cực đại là khoảng trống mà luận án tập trung giải quyết.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode bởi trường ngoài với các điều kiện đầu khác nhau của các mode trong trường hợp trường ngoài không có nhiễu hoặc có nhiễu trắng.

Nội dung nghiên cứu của luận án được chia thành hai nội dung chính:

  1. Tìm các biên độ xác suất cho trường hợp các điều kiện đầu khác nhau đối với bộ nối phi tuyến kiểu Kerr tương tác tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode khi trường liên kết là đơn sắc hay được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên.
  2. Khảo sát khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến khi trường liên kết là đơn sắc hay được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Thăng giáng lượng tử, biên độ xác suất và sự hình thành các trạng thái đan rối, đặc biệt là các trạng thái đan rối cực đại (trạng thái kiểu Bell) trong hệ hai dao động tử phi tuyến kiểu Kerr.
  • Phạm vi nghiên cứu: Về mặt mô hình vật lý, luận án giới hạn ở hệ hai mode quang học trong các sợi quang phi tuyến Kerr ghép đôi (bộ nối phi tuyến) liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến, vận hành trong chế độ kích thích yếu so với hệ số phi tuyến. Về mặt quang học ngẫu nhiên, trường bơm ngoài được khảo sát ở hai trường hợp: trường sóng liên tục đơn sắc (không thăng giáng) và trường thăng giáng được mô hình hóa bằng quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng Gauss phức.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án điểm lại hệ thống tài liệu nghiên cứu quốc tế và trong nước xoay quanh các hướng:

  • Nghiên cứu cơ sở lý thuyết lượng tử và trạng thái phi cổ điển: Bắt đầu từ nghịch lý EPR (1935), các tính chất phi cổ điển của trường lượng tử đã được khám phá qua nhiều hiệu ứng như hiệu ứng nén (Walls, 1983), hiệu ứng định hướng (Mandel, 1982), hiệu ứng phản kết chùm photon (Kimble, Dagenais và Mandel, 1977), đan rối lượng tử đa phương (Dür, Vidal, Cirac, 2000; Coffman, Kundu, Wootters, 2000) và các bằng chứng phi cổ điển bậc cao (Alsing và cộng sự). Các ứng dụng thực tế được phát triển gồm viễn tải lượng tử biến liên tục (Braunstein và Kimble, 1998), nguồn photon đơn lẻ (Lounis và Orrit, 2005), phân bổ khóa lượng tử (Ekert, 1991; Gisin và cộng sự, 2002).
  • Dao động tử phi tuyến kiểu Kerr và mô hình kéo lượng tử phi tuyến: Dao động tử Kerr được ứng dụng trong bẫy ion (Gerry, 1997), tạo trạng thái chồng chất kết hợp (Yurke và Stoler, 1986; Tombesi và Mecozzi, 1987), kiểm chứng bất đẳng thức Bell (Gerry và Grobe, 1995), cộng hưởng nano (Aldridge và Cleland, 2005) và ngưng tụ Bose-Einstein (Wright, Walls, Garrison, 1996). Leoński và cộng sự (1994, 1997) đề xuất mô hình kéo lượng tử phi tuyến (NQS) để cắt không gian Hilbert vô hạn chiều thành hữu hạn chiều, tạo ra các hệ hai qubit hoặc hai qutrit. Hướng nghiên cứu này được mở rộng qua mô hình đan rối magnon qua phi tuyến Kerr (Zhang và cộng sự), tăng cường đan rối bằng xung kích thích nhiễu loạn ngoài (Kowalewska-Kudłaszyk và Leoński) và hiệu ứng chặn photon trong hệ cộng hưởng nguyên tử - trường (Birnbaum và cộng sự, 2005) hoặc bộ cộng hưởng nano (Rabl, 2011; Ferretti và cộng sự; Liao và cộng sự).
  • Mô hình hóa trường laser bằng quá trình ngẫu nhiên: Các nghiên cứu thực nghiệm của Short và Mandel (1983), Kaminishi và cộng sự (1981) trên laser màu đơn mode chỉ ra sự khác biệt với lý thuyết Haken truyền thống (1970). Graham và cộng sự (1982) đề xuất mô hình nhiễu trắng cho tham số bơm, trong khi Dixit và Sahni (1983) giải số cho mô hình nhiễu màu. Về mặt toán học, Wódkiewicz (1979) tìm ra nghiệm trung bình giải tích cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu trắng; Fox (1978) phát triển phương pháp cumulant; Faetti và cộng sự (1988) dùng kỹ thuật phân số chuỗi Markov. Ảnh hưởng của nhiễu laser đến hiệu ứng tự ion hóa và trong suốt cảm ứng điện từ (EIT) được khảo sát bởi Paspalakis và Knight, Ficek và Swain, Đoàn Quốc Khoa và Chu Văn Lanh.
  • Các nghiên cứu liên quan tại Việt Nam: Nhóm tác giả Q. Ho Quang và cộng sự nghiên cứu giao thoa kế Mach-Zehnder sợi quang phi tuyến gồm một sợi tuyến tính kết hợp một sợi phi tuyến và bộ liên kết phi tuyến dùng phân loại dãy xung. Nhóm tác giả A. Nguyen Ba và cộng sự công bố hàng loạt nghiên cứu về trạng thái nén exciton, biexiton, nén tổng, nén hiệu trong trường đa mode, đan rối hai mode photon, đan rối đa mode kiểu nhóm và viễn tải lượng tử với trạng thái nén dịch chuyển photon.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết: Hầu hết các công trình nghiên cứu NQS trước đó dừng lại ở một trạng thái ban đầu cố định và giả định trường laser bơm là sóng đơn sắc thuần túy. Luận án đặt vị trí nghiên cứu tại điểm giao thoa giữa quang học phi tuyến và lý thuyết xác suất ngẫu nhiên: mở rộng khảo sát động lực học lượng tử cho nhiều trạng thái đầu khác nhau trong cả hai cơ chế tương tác tuyến tính và phi tuyến, đồng thời đưa mô hình nhiễu trắng vào trường bơm để xác định biểu thức giải tích chính xác của ma trận mật độ trung bình, từ đó định lượng mức độ suy giảm đan rối do thăng giáng pha và biên độ của nguồn laser.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên các khung lý thuyết và công cụ toán học giải tích sau:

  • Môi trường phi tuyến kiểu Kerr và Hamiltonian lượng tử: Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell trong điện môi đồng nhất, đẳng hướng, vectơ phân cực điện được khai triển theo độ cảm điện: $\mathbf{P} = \epsilon_0 (\chi^{(1)}\mathbf{E} + \chi^{(3)}\mathbf{E}^3)$ do độ cảm bậc chẵn triệt tiêu bởi tính đối xứng nghịch đảo và bậc cao hơn 3 được bỏ qua. Khi lượng tử hóa trường điện từ đơn mode trong buồng cộng hưởng độ dài $L$, biểu thức Hamiltonian tương tác của dao động tử phi tuyến Kerr xuất hiện số hạng phi tuyến bậc bốn $(\hat{a}^\dagger)^2 \hat{a}^2$ với hệ số phi tuyến $\chi_a = \frac{3\hbar\omega^2}{4\epsilon_0 V}\chi^{(3)}$.
  • Mô hình kéo lượng tử phi tuyến (NQS): Không gian trạng thái hai mode ban đầu là vô hạn chiều $|\psi(t)\rangle = \sum_{m,n=0}^{\infty} c_{mn}(t) |m\rangle_a |n\rangle_b$. Dưới điều kiện kích thích yếu, khi cường độ liên kết giữa hai mode $\epsilon$ và cường độ trường bơm ngoài $\alpha, \beta$ nhỏ hơn rất nhiều so với hệ số phi tuyến Kerr $\chi_a, \chi_b$ ($\epsilon, \alpha, \beta \ll \chi$), hệ bị chặn chuyển dời lên các mức photon cao hơn do sự lệch cộng hưởng năng lượng. Không gian trạng thái bị cắt cụt về một không gian con hữu hạn chiều (hệ hai qubit gồm 4 trạng thái cơ sở $|0\rangle_a|0\rangle_b, |0\rangle_a|1\rangle_b, |1\rangle_a|0\rangle_b, |1\rangle_a|1\rangle_b$ đối với tương tác tuyến tính, hoặc hệ qutrit đối với tương tác phi tuyến). Độ lệch từ phép cắt lý tưởng đạt bậc $10^{-4}$.
  • Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên và kỹ thuật trung bình nhiễu trắng: Trường laser thực tế được mô hình hóa với thăng giáng biên độ và pha qua phương trình vi phân ngẫu nhiên phức: $$\frac{d\psi}{dt} = \left[ N_{a0} + \xi(t) N_{a1} + \xi^(t) N_{a2} \right] \psi$$ Trong đó $\xi(t)$ là nhiễu trắng Gauss thỏa mãn $\langle \xi(t)\rangle = 0$ và $\langle \xi(t)\xi^(t')\rangle = 2a_0 \delta(t-t')$, với $a_0$ là tham số độ rộng phổ liên quan đến thành phần nhiễu. Áp dụng phương pháp giải tích trung bình chính xác của Wódkiewicz, phương trình tiến triển của véctơ trạng thái trung bình (hoặc các phần tử ma trận mật độ) có dạng đóng: $$\frac{d\langle\psi\rangle}{dt} = \left[ N_{a0} + \frac{a_0}{2} (N_{a1}N_{a2} + N_{a2}N_{a1}) \right] \langle\psi\rangle$$
  • Thước đo lượng tử: Độ đan rối của trạng thái thuần hai mode được tính qua entropy von Neumann của ma trận mật độ rút gọn: $E(\psi) = -\text{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A) = -\sum \lambda_j \log_2 \lambda_j$ (đơn vị ebit). Đối với trạng thái hỗn tạp hoặc cặp hai qubit tổng quát, luận án áp dụng công thức Concurrence $C(\rho)$ và phép biến đổi đảo spin của Wootters thông qua ma trận Pauli $\sigma_y$: $$E(C) = h\left(\frac{1 + \sqrt{1 - C^2}}{2}\right), \quad h(x) = -x\log_2 x - (1-x)\log_2(1-x)$$ Trạng thái đan rối cực đại đạt giá trị $E = 1\text{ ebit}$ khi $C = 1$.

Phương pháp thực hiện trong luận án là phương pháp giải tích lý thuyết kết hợp tính toán số: thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho các biên độ xác suất $c_{mn}(t)$ từ phương trình Schrödinger, áp dụng phép cắt NQS để thu được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính cấp thấp, giải tìm nghiệm giải tích tường minh cho các điều kiện đầu, sau đó sử dụng máy tính để vẽ đồ thị khảo sát sự tiến triển thời gian của entropy đan rối và xác suất tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell. Nguồn số liệu xuất phát từ việc tính toán giải tích trên các biểu thức lý thuyết với các tham số vật lý quang học cụ thể.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Lý thuyết cơ sở của quá trình ngẫu nhiên và mô hình kéo lượng tử phi tuyến

Chương 1 hệ thống hóa toàn bộ nền tảng toán học và vật lý làm cơ sở cho các tính toán của luận án. Nội dung chương gồm ba phần chính:

  1. Các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser: Trình bày sự hình thành thăng giáng biên độ và pha của laser đơn mode từ phương trình Langevin tuyến tính hóa; phân tích mô hình laser với thăng giáng bơm của Graham, Short, Dixit và Sahni; mô hình laser đa mode với giới hạn số mode $N \to \infty$ dẫn tới tính chất thống kê của bức xạ nhiệt với hàm tương quan $\langle E^*(t)E(t')\rangle = I_0 e^{-b|t-t'|}$; lý thuyết nhiễu trắng Gauss và công thức lấy trung bình chính xác cho phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính và phức.
  2. Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều: Định nghĩa trạng thái Fock $n$-photon đa mode; trạng thái kết hợp hữu hạn chiều của Bužek và trạng thái kết hợp cắt qua đa thức Laguerre suy rộng $L_s^{(1)}(|p|^2)$ của Kuang; khái niệm qubit trên mặt cầu Bloch, trạng thái đan rối $n$-qubit, các trạng thái Bell hai qubit, trạng thái NOON của Sanders và trạng thái Bell tổng quát chiều $D$; cách tính độ đan rối bằng entropy von Neumann và concurrence theo phép biến đổi đảo spin của Wootters.
  3. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến: Dẫn dắt cơ chế phi tuyến Kerr từ phương trình Maxwell và phân cực phi tuyến $\chi^{(3)}$; biểu diễn toán tử Hamilton phi tuyến $(\hat{a}^\dagger)^2 \hat{a}^2$; nguyên lý hoạt động của NQS đơn mode (Leoński, Tanaś, Kilin, Horoshko) và NQS hai mode dựa trên Hamiltonian tổng quát $H = H_0 + H_1$. Tác giả chứng minh rằng khi thỏa mãn điều kiện kích thích yếu, hệ hai mode dao động tử Kerr liên kết khép kín trong không gian Hilbert hữu hạn chiều với độ chính xác cắt có sai số bậc $10^{-4}$.

Chương 2. Các trạng thái đan rối hình thành trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr

Chương 2 nghiên cứu chi tiết động lực học lượng tử của bộ nối phi tuyến kiểu Kerr trong trường hợp trường bơm ngoài là sóng liên tục đơn sắc (không có nhiễu), chia thành hai cấu hình tương tác chính:

1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính

Mô hình gồm hai sợi quang phi tuyến Kerr có hệ số $\chi_a, \chi_b$ ghép đôi định hướng bốn cổng, tương tác qua Hamiltonian $H_{\text{int}} = \hbar\epsilon(\hat{a}^\dagger\hat{b} + \hat{a}\hat{b}^\dagger)$.

  • Bơm một mode: Mode $a$ được bơm bởi trường ngoài qua Hamiltonian $H_{\text{ext}}^a = \hbar\alpha(\hat{a}^\dagger + \hat{a})$, mode $b$ không bơm ($\beta = 0$). Hệ số phi tuyến được chọn $\chi_a = \chi_b = 10^8\text{ rad/s}$, độ mạnh liên kết $\epsilon = 5\cdot 10^5\text{ rad/s}$, biên độ bơm $\alpha = 10^6\text{ rad/s}$. Hệ phương trình vi phân cho 4 biên độ xác suất $c_{00}, c_{01}, c_{10}, c_{11}$ được thiết lập và giải giải tích. Tác giả khảo sát hai điều kiện đầu: trạng thái chân không $|\psi(0)\rangle = |0\rangle_a|0\rangle_b$ và trạng thái một photon $|\psi(0)\rangle = |0\rangle_a|1\rangle_b$. Đồ thị entropy đan rối $E_{100}(t)$ và $E_{101}(t)$ biến thiên tuần hoàn điều hòa theo thời gian, đạt cực đại tại 1 ebit. Xác suất tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell: $$|\Phi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle \pm |11\rangle), \quad |\Psi^\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle \pm |10\rangle)$$ dao động tuần hoàn và đạt các đỉnh cực đại xen kẽ.
  • Bơm hai mode: Mode $b$ được bơm thêm trường ngoài với $H_{\text{ext}}^b = \hbar\beta(\hat{b}^\dagger + \hat{b})$. Khảo sát với hai bộ thông số: $\alpha = \beta = \epsilon = 10^6\text{ rad/s}$ và $\alpha = \epsilon = 10^6\text{ rad/s}, \beta = 2\cdot 10^6\text{ rad/s}$. Khi tăng cường độ bơm $\beta$, tần số dao động của entropy đan rối tăng lên và cấu trúc các đỉnh xác suất trạng thái Bell thay đổi rõ rệt.

2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến

Hai mode tương tác phi tuyến thông qua quá trình trao đổi đa photon.

  • Bơm một mode: Thiết lập với hệ số phi tuyến $\chi_a = \chi_b = 2,5\cdot 10^7\text{ rad/s}$, cường độ liên kết và bơm $\epsilon = \alpha = 1,5\cdot 10^5\text{ rad/s}$. Khảo sát với ba trạng thái đầu $|0\rangle_a|2\rangle_b, |1\rangle_a|2\rangle_b, |2\rangle_a|0\rangle_b$ ở tần số $\epsilon = 5\cdot 10^4\text{ rad/s}$, ứng với hai trường hợp $\alpha = \epsilon$ và $\alpha = 2\epsilon$. Tác giả tính toán xác suất hệ tồn tại trong 6 trạng thái kiểu Bell mở rộng ($B_1^{(220)}$ đến $B_6^{(220)}$), cho thấy hệ đạt độ đan rối cực đại tại các thời điểm xác định.
  • Bơm hai mode: Tham số $\chi_a = \chi_b = 2\cdot 10^7\text{ rad/s}$, $\epsilon = \alpha = 5\cdot 10^4\text{ rad/s}$, khảo sát sự thay đổi theo biên độ bơm $\beta$ từ 0 đến $4\cdot 10^4\text{ rad/s}$ cho 4 trạng thái đầu $|0\rangle_a|2\rangle_b, |1\rangle_a|2\rangle_b, |2\rangle_a|1\rangle_b, |2\rangle_a|0\rangle_b$. Sai khác từ phép cắt hoàn hảo ($1-F$) được kiểm chứng duy trì ở mức rất nhỏ. Kết quả chỉ ra việc bơm hai mode làm phong phú số lượng trạng thái Bell có thể tạo ra và cho phép điều khiển chu kỳ xuất hiện đan rối cực đại thông qua tham số $\beta$.

Chương 3. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành trạng thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr

Chương 3 giải quyết bài toán trọng tâm khi trường laser ngoài có thăng giáng được mô hình hóa bằng quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng. Tác giả áp dụng công thức trung bình vi phân ma trận giải tích để tìm nghiệm của các phần tử ma trận mật độ trung bình theo thời gian cho ba trường hợp:

1. Bộ nối tương tác tuyến tính bơm một mode có nhiễu trắng

Tham số tần số cơ sở $\epsilon_0 = 10^6\text{ rad/s}$, khảo sát ba giá trị tham số nhiễu: $a_0 = 0$ (không nhiễu), $a_0 = 10^5\text{ rad/s}$ và $a_0 = 2\cdot 10^5\text{ rad/s}$. Kết quả đồ thị (Hình 3.1 - 3.4 trong văn bản) cho thấy:

  • Khi $a_0 = 0$, entropy đan rối $E_{1N}$ và xác suất các trạng thái kiểu Bell dao động điều hòa tuần hoàn không tắt với biên độ không đổi.
  • Khi $a_0 > 0$, các dao động của entropy đan rối và xác suất trạng thái Bell bị tắt dần (damped oscillations). Đỉnh cực đại của entropy giảm dần từ 1 ebit về các giá trị thấp hơn theo thời gian; tốc độ tắt dần tỷ lệ thuận với độ lớn của tham số nhiễu $a_0$.
  • Các trạng thái Bell $B_1^{(1N)}, B_2^{(1N)}, B_3^{(1N)}, B_4^{(1N)}$ bị triệt tiêu dần xác suất xuất hiện sau một khoảng thời gian tương tác nhất định, minh chứng cho hiện tượng mất kết hợp pha do thăng giáng ngẫu nhiên của nguồn laser.

2. Bộ nối tương tác tuyến tính bơm hai mode có nhiễu trắng

Khảo sát với $\epsilon_0 = 10^6\text{ rad/s}$ và các mức nhiễu $a_0 = 0, 10^5\text{ rad/s}, 2\cdot 10^5\text{ rad/s}$ cho entropy đan rối $E_{2N}$ và các trạng thái Bell tương ứng (Hình 3.5 - 3.8). Sự có mặt của kênh bơm thứ hai làm tăng tốc độ phân rã kết hợp khi có nhiễu, biên độ dao động suy giảm nhanh hơn so với trường hợp bơm một mode ở cùng mức tham số $a_0$.

3. Bộ nối tương tác phi tuyến bơm một mode có nhiễu trắng

Khảo sát với $\epsilon_0 = 5\cdot 10^4\text{ rad/s}$, tham số nhiễu nhận các giá trị $a_0 = 0, 1,25\cdot 10^4\text{ rad/s}$ và $2,5\cdot 10^4\text{ rad/s}$ (Hình 3.9 - 3.15). Động lực học của entropy đan rối $E_{3N}$ và xác suất 6 trạng thái Bell ($B_1^{(3N)}$ đến $B_6^{(3N)}$) thể hiện rõ quy luật: nhiễu trắng phá hủy tính kết hợp lượng tử bậc cao trong tương tác phi tuyến nhanh hơn, đòi hỏi thời gian thực hiện các thao tác logic lượng tử phải ngắn hơn đáng kể so với thời gian suy giảm gây ra bởi tham số $a_0$.

Dưới đây là bảng tổng hợp các cấu hình tham số vật lý được khảo sát thực tế trong toàn bộ luận án:

Chương Cấu hình bộ nối Chế độ bơm Hệ số phi tuyến Kerr $\chi$ (rad/s) Cường độ liên kết $\epsilon$ và bơm $\alpha, \beta$ (rad/s) Tham số nhiễu trắng $a_0$ (rad/s) Trạng thái đầu khảo sát
Chương 2 Tương tác tuyến tính Bơm 1 mode $\chi_a = \chi_b = 10^8$ $\epsilon = 5\cdot 10^5$; $\alpha = 10^6; \beta = 0$ $0$ (Đơn sắc) $|0\rangle_a|0\rangle_b$, $|0\rangle_a|1\rangle_b$
Chương 2 Tương tác tuyến tính Bơm 2 mode $\chi_a = \chi_b = 10^8$ $\epsilon = 10^6$; $\alpha = 10^6; \beta = 10^6 \text{ và } 2\cdot 10^6$ $0$ (Đơn sắc) $|0\rangle_a|0\rangle_b$, $|0\rangle_a|1\rangle_b$
Chương 2 Tương tác phi tuyến Bơm 1 mode $\chi_a = \chi_b = 2,5\cdot 10^7$ $\epsilon = 5\cdot 10^4$; $\alpha = 5\cdot 10^4 \text{ và } 10^5$ $0$ (Đơn sắc) $|0\rangle_a|2\rangle_b, |1\rangle_a|2\rangle_b, |2\rangle_a|0\rangle_b$
Chương 2 Tương tác phi tuyến Bơm 2 mode $\chi_a = \chi_b = 2\cdot 10^7$ $\epsilon = 4\cdot 10^4, \alpha = 4\cdot 10^4; \beta = 0, 2\cdot 10^4, 4\cdot 10^4$ $0$ (Đơn sắc) $|0\rangle_a|2\rangle_b, |1\rangle_a|2\rangle_b, |2\rangle_a|1\rangle_b, |2\rangle_a|0\rangle_b$
Chương 3 Tương tác tuyến tính Bơm 1 mode $\chi_a = \chi_b = 10^8$ $\epsilon_0 = 10^6$ $0; 10^5; 2\cdot 10^5$ $|0\rangle_a|0\rangle_b, |0\rangle_a|1\rangle_b$
Chương 3 Tương tác tuyến tính Bơm 2 mode $\chi_a = \chi_b = 10^8$ $\epsilon_0 = 10^6$ $0; 10^5; 2\cdot 10^5$ $|0\rangle_a|0\rangle_b, |0\rangle_a|1\rangle_b$
Chương 3 Tương tác phi tuyến Bơm 1 mode $\chi_a = \chi_b = 2,5\cdot 10^7$ $\epsilon_0 = 5\cdot 10^4$ $0; 1,25\cdot 10^4; 2,5\cdot 10^4$ $|2\rangle_a|0\rangle_b, |1\rangle_a|2\rangle_b$

Kết quả và những đóng góp mới

Theo công bố và tổng kết của tác giả trong bản luận án, các kết quả và đóng góp mới gồm:

  • Về mặt lý luận:
    1. Dẫn ra nghiệm giải tích tường minh cho các hệ phương trình chuyển động của biên độ xác suất trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr đối với nhiều điều kiện đầu khác nhau, áp dụng cho cả hai trường hợp tương tác tuyến tính và tương tác phi tuyến khi được bơm một mode hoặc hai mode.
    2. Xác lập biểu thức giải tích chính xác mô tả sự tiến triển của ma trận mật độ trung bình khi trường laser liên kết được mô hình hóa bằng quá trình ngẫu nhiên nhiễu trắng, làm rõ cơ chế toán học xử lý phương trình vi phân ngẫu nhiên phức trong hệ quang học lượng tử.
    3. Chứng minh về mặt định lượng rằng thăng giáng ngẫu nhiên của trường ngoài (thông qua tham số nhiễu $a_0$) gây ra sự suy giảm có quy luật đối với entropy đan rối và xác suất tìm thấy các trạng thái kiểu Bell. Mức độ suy giảm và tốc độ tắt dần của dao động đan rối phụ thuộc trực tiếp vào tỷ lệ giữa tham số nhiễu $a_0$ và cường độ liên kết $\epsilon_0$.
  • Về mặt thực tiễn và giải pháp đề xuất:
    1. Xác định các điều kiện tham số cụ thể (tỷ lệ giữa độ mạnh liên kết $\epsilon$, biên độ bơm $\alpha, \beta$ và hệ số phi tuyến Kerr $\chi$) để bộ nối quang học hoạt động tối ưu như một kéo lượng tử phi tuyến, bảo đảm độ chính xác của phép cắt không gian trạng thái với độ tin cậy sai lệch chỉ ở bậc $10^{-4}$.
    2. Cung cấp các tiêu chí lựa chọn nguồn laser thực tế cho các thiết bị xử lý thông tin lượng tử: nguồn laser bơm cần có độ rộng phổ hẹp tương ứng với tham số nhiễu $a_0 \ll \epsilon_0$ để duy trì độ đan rối cực đại trong khoảng thời gian đủ dài cho việc thực hiện các phép đo và cổng logic lượng tử.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và nội dung văn bản trình bày, luận án có các hạn chế sau:

  • Về mô hình nhiễu: Luận án mới chỉ thực hiện lấy trung bình giải tích chính xác cho trường hợp nhiễu trắng Gauss (thời gian tương quan bằng 0). Các trường hợp tổng quát hơn của laser thực tế là nhiễu màu (quá trình Ornstein - Uhlenbeck với thời gian tương quan hữu hạn) chưa được giải quyết bằng biểu thức đóng do độ phức tạp toán học cao.
  • Về điều kiện vật lý: Hệ được khảo sát hoàn toàn trong gần đúng kích thích yếu để thực hiện phép cắt NQS về không gian hữu hạn chiều photon thấp; chưa xét đến quá trình tiêu tán năng lượng, suy hao photon trong sợi quang vào môi trường nhiệt độ phòng và các hiệu ứng phi tuyến bậc cao hơn $\chi^{(3)}$.

Hướng nghiên cứu tiếp được đề xuất:

  • Mở rộng nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu màu (nhiễu tiền Gauss hoặc quá trình Ornstein - Uhlenbeck) lên sự hình thành trạng thái đan rối bằng các phương pháp gần đúng hoặc mô phỏng số.
  • Đưa thêm các tham số suy hao quang học (phương trình chủ động Lindblad) vào mô hình bộ nối phi tuyến kiểu Kerr để tiệm cận sát hơn với điều kiện thực nghiệm truyền dẫn trong sợi quang.

Giá trị tham khảo

Bản luận án có giá trị tham khảo chuyên môn cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên thuộc các chuyên ngành Quang học, Quang học lượng tử, Vật lý lý thuyết và Khoa học thông tin lượng tử.
  • Các nhà nghiên cứu quan tâm đến phương pháp giải tích áp dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên vào các hệ vi mô mở, cụ thể là kỹ thuật trung bình hóa phương trình vi phân với nhiễu trắng phức.
  • Các nhóm nghiên cứu thực nghiệm và thiết kế linh kiện quang học lượng tử sợi: Luận án cung cấp các đồ thị định lượng và ngưỡng tham số vận hành cụ thể cho bộ nối phi tuyến Kerr, hỗ trợ tính toán thời gian sống của trạng thái Bell dưới tác động của độ rộng phổ nguồn bơm.

Câu hỏi thường gặp

1. Kéo lượng tử phi tuyến (NQS) hoạt động dựa trên cơ chế vật lý nào để cắt không gian trạng thái?

Cơ chế của NQS dựa trên tính phi tuyến của môi trường Kerr ($\chi^{(3)}$) kết hợp với điều kiện kích thích yếu ($\epsilon, \alpha, \beta \ll \chi$). Số hạng phi tuyến $(\hat{a}^\dagger)^2 \hat{a}^2$ trong Hamiltonian tạo ra khoảng cách năng lượng không đều giữa các mức photon. Khi hệ bị kích thích bởi trường ngoài có biên độ nhỏ hơn nhiều so với hệ số phi tuyến, các chuyển dời cộng hưởng chỉ xảy ra giới hạn giữa các trạng thái có số photon thấp (như $|0\rangle$ và $|1\rangle$), trong khi các chuyển dời lên mức photon cao hơn bị chặn do lệch cộng hưởng lớn. Kết quả là không gian trạng thái vô hạn chiều bị cắt cụt khép kín trong không gian con hữu hạn chiều với sai số bậc $10^{-4}$.

2. Sự khác biệt giữa bộ nối tương tác tuyến tính và tương tác phi tuyến trong luận án là gì?

Ở bộ nối tương tác tuyến tính, hai mode quang học liên kết thông qua quá trình trao đổi đơn photon mô tả bởi toán tử $\hat{a}^\dagger\hat{b} + \hat{a}\hat{b}^\dagger$, dẫn đến không gian trạng thái cắt cụt gồm 4 trạng thái cơ sở (hệ hai qubit) và tạo ra 4 trạng thái Bell chuẩn. Ở bộ nối tương tác phi tuyến, hai mode tương tác thông qua quá trình chuyển dời đa photon, dẫn đến không gian trạng thái cắt cụt mở rộng chứa các trạng thái photon bậc cao hơn (như $|2\rangle_a|0\rangle_b, |0\rangle_a|2\rangle_b, |1\rangle_a|2\rangle_b$), cho phép tạo ra và khảo sát tới 6 trạng thái kiểu Bell mở rộng.

3. Tác giả sử dụng thước đo nào để xác định độ đan rối lượng tử?

Luận án sử dụng hai thước đo:

  • Entropy von Neumann $E(\psi) = -\text{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A)$ tính trên ma trận mật độ rút gọn của một mode cho các trạng thái thuần, đo bằng đơn vị ebit.
  • Concurrence $C(\rho)$ kết hợp phép biến đổi đảo spin của Wootters $\tilde{\rho} = (\sigma_y \otimes \sigma_y)\rho^*(\sigma_y \otimes \sigma_y)$ cho các trạng thái hai qubit tổng quát và trạng thái hỗn tạp, sau đó quy đổi về entropy đan rối thông qua hàm $E(C) = h((1 + \sqrt{1 - C^2})/2)$. Giá trị biến thiên từ 0 (trạng thái phân tách) đến 1 ebit (trạng thái đan rối cực đại).

4. Nhiễu trắng của trường laser ảnh hưởng cụ thể như thế nào đến trạng thái đan rối cực đại?

Khi trường laser bơm có thăng giáng được mô hình hóa bằng nhiễu trắng với tham số $a_0 > 0$, động lực học của hệ không còn duy trì các dao động điều hòa tuần hoàn thuần túy. Biên độ dao động của entropy đan rối và xác suất tồn tại của các trạng thái kiểu Bell bị suy giảm (tắt dần)