Chương 1. DÒNG CHẢY FALKNER – SKAN 1.1 Ngắn gọn về lý thuyết lớp biên Chúng ta quan tâm, khảo sát dòng chảy với độ nhớt nhỏ hoặc số Reynolds lớn. Một sự đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chuyển động của chất lỏng được đưa ra bởi L.Prand vào năm 1904 trong đó ông giải thích ảnh hưởng cơ bản của độ nhớt trong dòng chảy với số Reynolds lớn và chỉ ra cách đơn giản phương trình Navier – Stokes để xấp xỉ nghiệm cho trường hợp này. Dòng chảy lớp biên dọc theo bức tường.
Để đơn giản được phương trình, chúng ta sẽ coi dòng chảy hai chiều của một chất lỏng với độ nhớt nhỏ bao quanh vật trụ với hai biên mỏng giống như hình 1. 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với sự bỏ qua của vùng lân cận trực tiếp của bề mặt vật rắn, vận tốc là bậc của vận tốc dòng tự do, v , kiểu của đường dòng và phân bố vận tốc chỉ sai lệch nhỏ khi dòng chảy không có ma sát. Tuy nhiên, những nghiên cứu chi tiết chỉ ra rằng, không giống như dòng chảy có thế, dòng chảy không chỉ trượt qua tường mà bám vào nó. Sự chuyển từ vận tốc 0 tại mặt tường tới khi đạt giá trị đủ lớn tại một khoảng cách nào đó tính từ bề mặt vật rắn tạo nên một lớp khá mỏng và được gọi là lớp biên.
Với dòng chảy này có hai vùng cần xem xét, thậm chí sự phân chia ranh giới giữa chúng là không thật rõ ràng. Lớp rất mỏng trong vùng lân cận trực tiếp của vật thể mà ở đó gradient u vận tốc theo chiều vuông góc với bức tường, là rất lớn. Trong miền y này độ nhớt rất nhỏ của dòng chảy ảnh hưởng cơ bản vào việc tạo u nên ứng suất trượt . Trong miền còn lại gradient vận tốc không lớn xuất hiện và ảnh hưởng của vận tốc là không quan trọng.
Trong miền này dòng chảy là không ma sát và có thế. Tổng quan có thể nói rằng độ dày lớp biên biến thiên cùng vận tốc, hoặc chính xác hơn, nó giảm khi số Reynolds tăng. Có thể thấy được từ một vài nghiệm chính xác của phương trình Navier – Stokes rằng độ dày của lớp biên là tỷ lệ với căn bậc hai của độ nhớt động học . Khi đơn giản hóa phương trình Navier – Stokes, ta giả sử độ dày lớp biên là nhỏ so với chiều dài đặc trưng, L của vật thể: L.
Trong miền này nghiệm 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thu được từ phương trình lớp biên là gần đúng và áp dụng cho số Reynolds đủ lớn. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu cách đơn giản phương trình Navier – Stokes, và để hoàn thành chúng, chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng. Trong bài toán hai chiều chỉ ra trong hình 1, ta giả thiết bức tường là phẳng và trùng với trục x, trục y sẽ vuông góc với nó. Ta viết lại phương trình Navier – Stokes ở dạng không thứ nguyên bằng cách lấy vận tốc dòng tự do V, độ dài nào đó của vật L làm các đại lượng đặc trưng.
Khi đó thời gian đặc trưng L sẽ là đại lượng và áp suất cũng trở thành không thứ nguyên khi chia cho V VL VL V 2. Khi đó đại lượng R sẽ là số Reynolds. Phương trình liên tục và phương trình Navier – Stokes cho dòng chảy phẳng có dạng sau: u v 0 (1.3) t x y y R x y Điều kiện biên là không có sự trượt giữa chất lỏng và bức tường: u v 0 với y 0 và u U khi y . 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với giả thiết độ dày lớp biên là không thứ nguyên , là rất nhỏ so với 1 L ( 1), ta sẽ giữ lại các đại lượng có cùng bậc với .
Chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng để có thể bỏ qua những u đại lượng nhỏ và đơn giản phương trình. Vì là bậc một nên theo phương x v trình liên tục thì cũng là bậc một, do đó tại mặt tường v 0 và trong lớp biên y v 2u 2u v là bậc của . Vì và 2 là cùng bậc , nên 2 là bậc một. x x x u u Chúng ta sẽ giả thiết rằng gia tốc là cùng bậc với đại lượng u , t x nghĩa là gia tốc tức thời xuất hiện trong sóng áp suất lớn bị loại trừ.
Để phù hợp với những đối số trước, một số đại lượng nhớt phải cùng bậc độ lớn với các đại lượng quán tính, ít nhất là trong vùng lân cận trực tiếp với mặt tường mặc dù nó 1 nhỏ so với đại lượng. Vì thế đạo hàm cấp hai của vận tốc phải lớn khi gần R mặt tường. Để phù hợp với những giả thiết trước ở đây ta chỉ áp dụng đối với 2u 2v và. Vì thế vectơ vận tốc song song với bức tường tăng từ 0 tại mặt y 2 y 2 u 1 tường và có giá trị 1 trong dòng tự do qua lớp có độ dày .
Nếu những giá trị này được đưa vào y 2 2 y y 2 phương trình (1.3), thì từ phương trình thứ nhất của chuyển động suy ra 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com rằng lực nhớt trong lớp biên có thể trở thành cùng bậc độ lớn như lực quán tính 1 chỉ khi số Reynolds là bậc : 2 1 2 (1.4) R Phương trình thứ nhất, phương trình liên tục còn lại không thay đổi khi số Reynolds rất lớn. Phương trình thứ hai bây giờ có thể đơn giản hoá bằng cách bỏ 2u 2u p đi 2 và giữ lại 2. Từ phương trình thứ ba ta có thể suy ra rằng có cùng x y y bậc với . Ứng suất tăng dọc theo lớp biên ta có thể thu được bằng việc tích phân phương trình thứ 3.
Vì thế áp suất theo hướng trực giao với lớp biên là một hằng số thích hợp. Nó có thể coi bằng áp suất tại lớp biên phía ngoài mà tại đó giá trị của áp suất được xác định bằng dòng không có ma sát. Do đó nó có thể được xem như là một hàm đã biết ngoài dòng chảy lớp biên và chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t. Tại vùng ngoài lớp biên thành phần vận tốc u bằng vận tốc dòng chảy ngoài U x, t .
Vì thế tại đó gradient vận tốc không lớn, thành phần vận tốc trong phương trình (1.2) giảm khi R có giá trị lớn, và tương ứng với dòng chảy phía ngoài ta thu được: U U 1 p U (1.5) t x x trong đó các đại lượng là vô hướng. 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trường hợp dòng chảy dừng phương trình được đơn giản hơn khi áp suất chỉ phụ thuộc vào x. Chúng ta sẽ nhấn mạnh sự ảnh hưởng này bởi việc đạo hàm dp là , vì thế: dx dU 1 dp U (1.5a) dx dx Nó cũng có thể được viết trong các đại lượng được dùng của phương trình Becnoulli 1 p U 2 const (1.6) 2 Điều kiện biên cho dòng chảy bên ngoài là gần giống như dòng chảy không ma sát. Độ dày lớp biên là rất nhỏ và thành phần vận tốc ngang v là rất nhỏ trên biên.
Do đó dòng chảy không nhớt, có thế quanh vật thể khi thành phần vận tốc vuông góc là bé và giảm khi xa dần mặt tường sẽ là một xấp xỉ tốt cho dòng chảy phía ngoài. Gradient áp suất theo phương x trong lớp biên có thể thu được bằng cách áp dụng phương trình Becnoulli (1.5a) tới đường dòng tại mặt tường trong dòng chảy có thế đã biết. Hệ phương trình lớp biên hai chiều lần đầu tiên nhận được bởi Prandtl có dạng như sau: u v 0 (1.8) t x y x y Với điều kiện biên: y 0 : u v 0; y : u U x, t (1.9) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dòng chảy có thế U(x, t) bên ngoài lớp biên coi như đã biết. Nó sẽ được sử dụng để xác định phân bố áp suất theo hướng vuông góc với dòng chảy cùng với phương trình (1.
Hơn nữa dòng chảy lớp biên phù hợp phải duy trì trên toàn miền x, y với điều kiện ban đầu t = 0. Trong trường hợp dòng chảy dừng hệ trên trở thành: u v 0 (1.11) x y dx y Cùng các điều kiện biên: y 0 : u v 0; y : u U x (1.12) Mặc dù phương trình lớp biên đã được đơn giản khi so sánh với phương trình Navier – Stokes, nhưng chúng vẫn còn phức tạp từ góc nhìn tính toán số và không có nhiều trường hợp cho lời giải giải tích. Có một chú ý quan trọng rằng phương trình Navier – Stokes có dạng elliptic tương ứng với hệ toạ độ mà ở đó phương trình lớp biên Prand là parabolic. Nó là một kết quả của sự đơn giản trong lý thuyết lớp biên rằng áp suất có thể giả thiết là hằng số theo hướng vuông góc với lớp biên.
Sự đơn giản hoá về mặt toán học đưa ra ở đây là rất quan trọng, nó khác so với trường hợp chuyển động trượt, thành phần phi tuyến của phương trình Navier – Stokes được bảo toàn, nhưng ba phương trình ban đầu cho u,v, p của 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bài toán dòng chảy hai chiều. Phương trình chuyển động theo hướng vuông góc với tường được loại bỏ hoàn toàn. Vì thế những ẩn chưa biết giảm đi một. Ta thu được một hệ đồng thời cho hai ẩn u và v.
Áp suất không còn là một hàm ẩn và có thể được tính từ nghiệm của dòng chảy có thế kết hợp với phương trình Becnoulli. Hơn nữa một biểu thức nhớt trong phương trình chuyển động còn lại cũng được giảm. Như vậy chúng ta đánh giá độ dày lớp biên trong (1.13) L R vL Biểu thức được suy ra từ nghiệm chính xác của phương trình Navier – Stokes. Hệ số hằng chưa biết trong (1.13) bằng 5 cho trường hợp bản phẳng, khi L là khoảng cách tính từ rìa trước của nó.
Đánh giá về bậc của các đạo hàm được tiến hành đối với bản phẳng, nhưng ta có thể mở rộng ra đối với trường hợp ở trên tường cong. Khi mở rộng này được thực hiện, ta thấy rằng phương trình (1.