Chương 1 TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Ngày nay, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trong thực tế đã trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng vượt trội của nó như: giải quyết nhanh, đơn giản và cho kết quả khá chính xác. Vì vậy, đã có nhiều phương pháp số ra đời và ngày càng phát triển mạnh, trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu khi giải quyết các bài toán trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Có thể liệt kê một vài phương pháp số đang phổ biến trên thế giới và tại Việt Nam như: phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM), phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method - FDM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method - FVM), phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM), phương pháp không lưới (Meshless Method),…Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đặc biệt là các ngành công nghệ cao, đòi hỏi độ chính xác cao như hàng không, vũ trụ, giao thông, y sinh học, quân sự …thì lợi ích từ việc sử dụng các phương pháp số trong quá trình nghiên cứu, sản xuất là rất lớn. Trong lĩnh vực cơ học lưu chất nói chung, bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu trong thực tế nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu.
Đây là một lĩnh vực khó, cần đầu tư nhiều về con người, tài chính cũng như thời gian nghiên cứu nhưng lợi ích mà chúng mang lại thì rất lớn. Từ những kết quả nghiên cứu sẽ giúp chúng ta chế tạo các sản phẩm có chất lượng tốt hơn, chi phí thấp hơn, tuổi thọ cao hơn,…Khi nghiên cứu bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu, đối với các bài toán có biên dạng của kết cấu phức tạp hay có lớp biên di chuyển thì 1 TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Việc khảo sát các bài toán này gặp nhiều trở ngại nhưng vì tầm quan trọng trong thực tế nên đã có nhiều phương pháp số ra đời. Trong đó, phương pháp chia lưới theo miền biên vật thể hay lưới phi cấu trúc là các phương pháp số phổ biến để giải quyết các bài toán có biên dạng phức tạp hay có lớp biên di chuyển.
Tuy nhiên chi phí tính toán và yêu cầu bộ nhớ của máy tính khi giải quyết bài toán này theo các phương pháp trên thì rất cao. Đặc biệt với các bài toán có miền tính toán lớn, việc chia lại lưới theo các bước thời gian cho toàn miền này rất tốn thời gian, đồng thời kết quả nhiều khi có sai số lớn. Do đó, chi phí tính toán và độ chính xác của kết quả dường như là hai thách thức lớn nhất trong loại bài toán này. Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Method - IBM) đã ra đời và trở nên phổ biến trong các thập niên gần đây.
Phương pháp này có khả năng giải quyết các bài toán có biên dạng phức tạp, biên di chuyển và đặc biệt là các vật thể đàn hồi nhưng yêu cầu về thời gian tính toán và bộ nhớ ít hơn so với các phương pháp thông thường. Phương pháp biên nhúng được Peskin. S [1, 2] giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1972. Peskin đã sử dụng phương pháp biên nhúng để mô phỏng sự tương tác của dòng máu và sự co bóp của các cơ tim đang đập.
Sau đó đã được phát triển để giải quyết các bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid Structure Interaction - FSI). Các công thức toán học trong phương pháp biên nhúng sử dụng kết hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian. Mối quan hệ giữa hai biến này thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta. Trong IBM, các biến Eulerian của miền lưu chất được định nghĩa trên lưới cố định Cartesian.
Các biến Lagrangian của kết cấu được định nghĩa trên lưới đường cong và di chuyển “tự do” trên lưới Cartesian cố định mà không chịu một sự ràng buộc nào. Các điểm lưới của biên nhúng thì được mô hình hóa thành các điểm lực và được đưa vào phương trình Navier – Stokes như là một thành phần của ngoại lực tác dụng lên miền lưu chất. Hiện tại, trên nền tảng là phương pháp biên nhúng, đã có nhiều nghiên cứu khác nhau nhằm nâng cao độ chính xác cũng như tầm ảnh hưởng của phương pháp 2 TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU này trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu. Ý tưởng chính là sử dụng biến Eulerian để mô phỏng dòng lưu chất kết hợp với biến Lagrangian cho miền kết cấu.
Biên nhúng tác động các lực đơn vào miền lưu chất thông qua phương pháp nội suy. Lưới Lagrangian có thể di chuyển tự do trên nền lưới Cartesian. Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp này là phương pháp xác định các giá trị lực tác động của kết cấu vào miền lưu chất. D [3] đã đề xuất một phương pháp gọi là công thức biên ảo (Virtual Boundary Formulation) và đã được sử dụng để mô phỏng dòng chảy qua một khe hẹp.
Phương pháp này nhìn chung giống như phương pháp biên nhúng nhưng chỉ thích hợp cho việc giải quyết bài toán có biên cứng cố định hay di chuyển. Ý tưởng chính của phương pháp biên ảo là để xử lý biên nhúng trong lưu chất thì áp đặt một trường lực đến lưu chất và trường lực này có vận tốc giống như vận tốc của bề mặt vật thể. Đây là một mô hình ảo của điều kiện biên không trượt. Bởi vì trường lực này không được biết trước nên được tính toán khi có một thông số nào đó được phản hồi lại như là vận tốc của biên.
Thông số này được sử dụng để phân bố các lực như mong muốn vào miền lưu chất. S [4] đã giải phương trình Stokes trong miền 3 chiều để mô phỏng dòng chảy có các hạt trong chế độ Stokes. Trong mô phỏng này, các hạt có biến dạng nhỏ. Sử dụng lưới Eulerian đồng nhất cho toàn bộ miền lưu chất.
Mỗi hạt thì được biểu diễn thành một nhóm các điểm Lagrangian. Phương trình động lượng được giải trong toàn bộ miền lưu chất. Các điểm hạt di chuyển theo vận tốc cục bộ của lưu chất. Vận tốc này chịu ảnh hưởng bởi trọng lực mà được tính toán thông qua các điểm Lagrangian và được phân bố đến các điểm lưới Eulerian lân cận.
Việc phân bố trường lực này là phi tuyến và chịu sự ảnh hưởng của độ nhớt giữa lưu chất và bề mặt hạt. Tác giả đã mô phỏng khi có một và hai hạt trong dòng chảy dưới ảnh hưởng của trọng lực. Nghiên cứu đã kết luận rằng phương pháp này là một công cụ số mạnh để khảo sát dòng chảy với các hạt lơ lửng. 3 TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU Ye.
R, [5] đã đề xuất một phương pháp gọi là phương pháp lưới Cartesian (Cartesian Grid Method) để mô phỏng dòng chảy 2 chiều không ổn định, nhớt, không nén được qua một kết cấu phức tạp. Trong phương pháp này, các thể tích điều khiển (control volume) gần bề mặt biên nhúng thì được thiết lập lại thành một dạng hình chữ nhật bám theo biên vật thể để loại bỏ phần ô lưới thuộc miền vật thể và phần còn lại của ô lưới được thêm vào các ô lân cận. Sử dụng thuật toán nội suy gần bề mặt biên nhúng với độ chính xác bậc 2. Khái niệm lực cưỡng bức, là lực được cộng vào trong phương trình Navier-Stokes, không được sử dụng trong phương pháp này.
J [6] đã đề xuất một phương pháp căn cứ vào cách tiếp cận thể tích hữu hạn sử dụng lưới so le. Các dòng chảy qua các kết cấu phức tạp đã được mô phỏng bằng phương pháp này. Tác giả đã sử dụng các lực cưỡng bức để đảm bảo điều kiện biên không trượt trên biên nhúng. Bởi vì biên nhúng nói chung là không trùng với các điểm lưới Eulerian của lưu chất, do đó phải dùng thuật toán nội suy để tính toán các lực cưỡng bức này.
S [7] đã tính toán lực cưỡng bức (momentum forcing) tại thời điểm bắt đầu mỗi bước lặp. Vận tốc và áp suất tại các điểm biên được nội suy bởi đa thức bậc hai Lagrange. Khi lực cưỡng bức tại một điểm biên được tính, nó sẽ được phân bố vào lưới Eulerian của lưu chất thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta. Toàn bộ giải thuật số của phương pháp này giống với giải thuật của Lai và Peskin [8] ngoại trừ phương pháp tính lực cưỡng bức.
Mặc dù ý tưởng của phương pháp này đơn giản nhưng việc tính toán lực cưỡng bức thì rất phức tạp. Không sử dụng các điểm Lagrangian, Modh-Yusof [9] đã đề xuất phương pháp cưỡng bức trực tiếp (Direct forcing). Trong phương pháp này, lực cưỡng bức trực tiếp được áp đặt đến một điểm liền kề với bề mặt biên và phía trong của vật thể, tương đương việc áp đặt điều kiện biên vận tốc trên lưới Eulerian để đảm bảo điều kiện biên không trượt tại biên nhúng. Do đó, các dữ liệu liên quan về vị trí của các điểm lưới Eulerian, vị trí bên ngoài và vị trí bên trong của biên nhúng phải được xác định.
4 TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU Ngoài ra còn có một số phương pháp khác như phương pháp biên nhúng mở rộng (Extend Immersed Boundary Method – EIBM) [10] khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán miền kết cấu, miền lưu chất vẫn sử dụng lưới Cartesian. Trong EIBM, thay cho các biên nhúng đàn hồi không có thể tích, các miền kết cấu đàn hồi được lấp đầy bởi một thể tích hữu hạn trong miền lưu chất. Sự tương thích giữa động học và động lực học trong quá trình tương tác và ảnh hưởng của miền biên nhúng đặc được chọn một cách phù hợp với tính toán lực trong công thức phần tử hữu hạn. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng suất thực tế của miền kết cấu thì phù hợp với các kết cấu có biến dạng lớn.
Phương pháp phần tử hữu hạn nhúng (Immersed Finite Element Method – IFEM) [11] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho cả miền lưu chất và kết cấu. Trong IFEM, lưới đặc Lagrangian di chuyển trên nền lưới Eulerian được chia trong toàn bộ miền lưu chất. Cả miền lưu chất và kết kết được mô hình hóa theo phương pháp phần tử hữu hạn và tính liên tục giữa miền lưu chất và các miền kết cấu thông qua phương pháp nội suy vận tốc và phân bố lực thông qua hàm delta Reproducing Kernel Partical Method - RKPM.