Luận văn thạc sĩ lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán khắc phục một số khó khăn sai lầm của học sinh trung học cơ sở chuyển từ học số học sang học đại số

Luận văn thạc sĩ phân tích khó khăn, sai lầm của học sinh THCS khi chuyển từ số học sang đại số, đề xuất phương pháp dạy học hiệu quả.

• Tác giả: Đặng Thị Duyên
• Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn
• Trường học: Đại học Hải Phòng
• Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Khắc phục một số khó khăn, sai lầm của HS THCS khi chuyển từ học Số học sang học Đại số
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
• 1.1. Một số vấn đề lý luận về khó khăn sai lầm của HS trong học toán
• 1.2. Khó khăn và sai lầm
• 1.3. Vấn đề khắc phục khó khăn và sai lầm cho HS trong dạy học
• 1.4. Đặc điểm của số học và đại số ở trường THCS
• 1.4.1. Đặc điểm của số học ở trường THCS
• 1.4.2. Đặc điểm của đại số ở trường THCS
• 1.4.3. Mối liên hệ giữa số học và đại số ở trường THCS
• 1.5. Thực trạng tình hình dạy và học số học, đại số ở trường Tiểu học và THCS
• 1.5.1. Về phía GV
• 1.5.2. Về phía HS
• 1.5.3. Một số khó khăn sai lầm của HS khi chuyển từ học số học sang học đại số
• 1.6. Nguyên nhân HS gặp những khó khăn, sai lầm khi chuyển từ học Số học sang học Đại số
• 1.6.1. Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm
• 1.6.2. Không nắm vững cấu trúc logic của định lý
• 1.6.3. Thiếu các kiến thức về logic
• 1.6.4. HS không nắm vững phương pháp giải những bài toán cơ bản
• 1.7. Kết luận chương 1
• 2. CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN, SAI LẦM CỦA HỌC SINH THCS KHI CHUYỂN TỪ HỌC SỐ HỌC SANG ĐẠI SỐ
• 2.1. Định hướng xây dựng các BP
• 2.2. Một số biện pháp dạy học Đại số ở THCS nhằm khắc phục khó khăn sai lầm cho HS
• 2.2.1. Biện pháp 1: Ôn tập, củng cố những kiến thức số học mà HS còn yếu hoặc bị hổng kiến thức
• 2.2.2. Biện pháp 2: Dạy khái niệm Đại số dựa trên mối liên hệ với khái niệm đã biết ở Số học
• 2.2.3. Biện pháp 3: Dạy định lý ở Đại số dựa trên việc khai thác mối liên hệ với tính chất đã biết ở Số học
• 2.2.4. Biện pháp 4: Dạy học giải bài tập đại số dựa trên việc khai thác kiến thức và phương pháp giải toán số học nhằm khắc phục khó khăn sai lầm cho HS
• 2.3. Kết luận chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
• 3.1. Mục đích thực nghiệm
• 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
• 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
• 3.2.2. Nội dung thực nghiệm
• 3.3. Kết luận thực nghiệm và đánh giá
• 3.3.1. Nội dung yêu cầu và hình thức kiểm tra
• 3.3.2. Đánh giá định tính
• 3.3.3. Đánh giá định lượng
• 3.4. Kết luận chương 3
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu và cơ sở lý luận

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc khắc phục khó khăn của học sinh THCS khi chuyển từ số học sang đại số. Nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp dạy toán để nâng cao chất lượng giáo dục. Toán THCS đòi hỏi sự chuyển đổi tư duy từ các con số cụ thể sang các biểu thức đại diện, gây ra nhiều khó khăn trong học toán cho học sinh. Luận văn đề xuất các phương pháp giảng dạy hiệu quả để giúp học sinh vượt qua những thách thức này.

1.1. Khó khăn và sai lầm trong học toán

Học sinh THCS thường gặp khó khăn khi chuyển từ số học sang đại số do sự thay đổi trong cách tư duy. Các sai lầm phổ biến bao gồm hiểu sai các khái niệm, không nắm vững cấu trúc logic, và thiếu kiến thức về phương pháp giải toán. Những khó khăn này nếu không được khắc phục kịp thời sẽ ảnh hưởng đến quá trình học tập và phát triển tư duy của học sinh.

1.2. Đặc điểm của số học và đại số

Số học ở THCS tập trung vào các phép toán cơ bản với số tự nhiên, số nguyên, và số hữu tỉ. Trong khi đó, đại số yêu cầu học sinh làm việc với các biểu thức, phương trình, và hàm số. Sự chuyển đổi này đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách tư duy từ cụ thể sang trừu tượng, gây ra nhiều khó khăn trong quá trình học tập.

II. Phương pháp khắc phục khó khăn

Luận văn đề xuất các phương pháp dạy toán hiệu quả để khắc phục khó khăn của học sinh THCS khi chuyển từ số học sang đại số. Các phương pháp này bao gồm việc ôn tập kiến thức số học, dạy khái niệm đại số dựa trên mối liên hệ với số học, và sử dụng các bài tập thực hành để củng cố kiến thức. Những phương pháp giảng dạy này nhằm giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa số học và đại số, từ đó vượt qua những khó khăn trong học tập.

2.1. Ôn tập và củng cố kiến thức số học

Một trong những phương pháp hiệu quả là ôn tập và củng cố kiến thức số học mà học sinh còn yếu. Việc này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản trước khi chuyển sang đại số, từ đó giảm bớt khó khăn trong quá trình học tập.

2.2. Dạy khái niệm đại số dựa trên số học

Luận văn đề xuất việc dạy các khái niệm đại số dựa trên mối liên hệ với số học. Cách tiếp cận này giúp học sinh dễ dàng hiểu và áp dụng các khái niệm mới, đồng thời tạo sự liên kết giữa kiến thức cũ và mới, giúp khắc phục khó khăn trong học tập.

III. Thực nghiệm và đánh giá

Luận văn tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các phương pháp giảng dạy được đề xuất. Kết quả thực nghiệm cho thấy các phương pháp này giúp học sinh khắc phục khó khăn và cải thiện kết quả học tập. Đánh giá định tính và định lượng được thực hiện để xác định hiệu quả của các phương pháp, từ đó đưa ra các khuyến nghị cho việc áp dụng trong thực tế giảng dạy.

3.1. Tổ chức thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành trên học sinh lớp 7, 8, và 9 tại các trường THCS. Các phương pháp giảng dạy được áp dụng và đánh giá thông qua các bài kiểm tra và quan sát quá trình học tập của học sinh.

3.2. Kết quả và đánh giá

Kết quả thực nghiệm cho thấy các phương pháp dạy toán được đề xuất giúp học sinh khắc phục khó khăn và cải thiện đáng kể kết quả học tập. Đánh giá định tính và định lượng khẳng định tính hiệu quả của các phương pháp này trong việc hỗ trợ học sinh chuyển từ số học sang đại số.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh phát triển công nghiệp hóa, hiện đại hóa, chất lượng nguồn nhân lực đóng vai trò then chốt đối với sự phát triển bền vững của đất nước. Giáo dục phổ thông, đặc biệt là môn Toán, được xem là nền tảng quan trọng trong việc hình thành tư duy logic và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh (HS). Tuy nhiên, quá trình chuyển tiếp từ học Số học sang học Đại số ở bậc Trung học cơ sở (THCS) thường gây ra nhiều khó khăn và sai lầm cho HS. Theo ước tính, tỷ lệ HS gặp khó khăn trong việc tiếp nhận kiến thức Đại số chiếm khoảng 30-40%, ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả học tập và sự hứng thú với môn Toán.

Mục tiêu nghiên cứu nhằm đề xuất các biện pháp dạy học hiệu quả, giúp khắc phục những khó khăn và sai lầm phổ biến của HS THCS khi chuyển từ học Số học sang học Đại số. Nghiên cứu tập trung vào phạm vi dạy và học Số học và Đại số trong chương trình Toán tiểu học và THCS tại một số trường THCS trên địa bàn thành phố Hải Phòng trong giai đoạn 2016-2018. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa thiết thực trong việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, góp phần phát triển tư duy trừu tượng và logic cho HS, đồng thời hỗ trợ giáo viên trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy phù hợp với đặc điểm nhận thức của HS.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên hai lý thuyết chính: lý thuyết phát triển nhận thức của Piaget và mô hình chuyển đổi kiến thức trong dạy học Toán. Lý thuyết của Piaget nhấn mạnh sự phát triển tư duy trừu tượng và logic của HS trong giai đoạn THCS, từ tư duy cụ thể sang tư duy hình thức. Mô hình chuyển đổi kiến thức tập trung vào quá trình HS tiếp nhận, xử lý và vận dụng kiến thức mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ, đặc biệt là sự chuyển tiếp từ Số học sang Đại số.

Các khái niệm chuyên ngành được sử dụng gồm:

• Khái niệm tổng đại số: tổng các phép tính cộng trừ trên tập số nguyên.
• Biểu thức đại số: biểu thức chứa các biến số và các phép toán đại số.
• Phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT): các dạng toán cơ bản trong Đại số.
• Tư duy logic và suy luận toán học: khả năng phân tích, tổng hợp và chứng minh các mệnh đề toán học.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp kết hợp:

• Phương pháp nghiên cứu lý luận: phân tích tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo và các công trình nghiên cứu liên quan đến dạy học Số học và Đại số.
• Phương pháp điều tra quan sát và trao đổi kinh nghiệm: thu thập ý kiến từ giáo viên dạy Toán THCS và quan sát thực tế quá trình học tập của HS.
• Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tiến hành thực nghiệm trên HS lớp 7, 8, 9 tại trường THCS Lê Lợi, Hải Phòng nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.

Cỡ mẫu thực nghiệm gồm khoảng 120 HS được chọn ngẫu nhiên theo phương pháp chọn mẫu phân tầng nhằm đảm bảo tính đại diện. Thời gian thực nghiệm kéo dài trong học kỳ II năm học 2017-2018. Phân tích dữ liệu sử dụng phương pháp thống kê mô tả và so sánh tỷ lệ sai lầm trước và sau khi áp dụng biện pháp.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Khó khăn trong việc nắm bắt khái niệm đại số trừu tượng: Khoảng 35% HS chưa hiểu rõ khái niệm biểu thức đại số và sự khác biệt giữa số học và đại số, dẫn đến sai lầm trong việc nhận dạng và vận dụng các biểu thức.
2. Sai lầm phổ biến trong phép biến đổi biểu thức: 40% HS mắc lỗi khi thực hiện phép cộng trừ đa thức, đặc biệt là trong việc xử lý dấu ngoặc và dấu âm, do chưa nắm vững quy tắc dấu ngoặc và tính chất tổng đại số.
3. Khó khăn trong giải phương trình và bất phương trình: 30% HS không xét đầy đủ điều kiện xác định và phạm vi nghiệm, dẫn đến kết quả sai hoặc thiếu nghiệm.
4. Thiếu kỹ năng suy luận logic và chứng minh: Hơn 50% HS gặp khó khăn trong việc vận dụng các quy tắc logic toán học, như phân biệt “và”, “hoặc”, “mọi”, “tồn tại”, gây ra sai sót trong lập luận và chứng minh.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính của các khó khăn và sai lầm trên là do HS chưa có nền tảng kiến thức số học vững chắc, đặc biệt là các khái niệm tổng đại số và phép toán trên số nguyên, phân số. Việc chuyển đổi từ tư duy cụ thể sang tư duy trừu tượng trong đại số đòi hỏi HS phải làm quen với ngôn ngữ ký hiệu và các quy tắc logic mới, điều này chưa được chú trọng đầy đủ trong quá trình dạy học. So sánh với một số nghiên cứu trong ngành giáo dục Toán học cho thấy các biện pháp tập trung củng cố kiến thức nền tảng và phát triển kỹ năng tư duy logic có hiệu quả rõ rệt trong việc giảm tỷ lệ sai lầm của HS.

Dữ liệu có thể được trình bày qua biểu đồ cột thể hiện tỷ lệ sai lầm của HS ở các dạng bài tập trước và sau khi áp dụng biện pháp, hoặc bảng so sánh chi tiết các lỗi sai phổ biến và mức độ cải thiện.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường ôn tập, củng cố kiến thức số học nền tảng: Giáo viên cần tổ chức các hoạt động ôn tập có hệ thống về phép tính số học, quy tắc dấu ngoặc, và các khái niệm tổng đại số trước khi dạy đại số. Mục tiêu giảm tỷ lệ sai lầm trong phép biến đổi biểu thức xuống dưới 20% trong vòng 1 học kỳ.
2. Dạy khái niệm đại số dựa trên mối liên hệ với số học: Sử dụng phương pháp giảng dạy liên kết giữa khái niệm đã biết và khái niệm mới, giúp HS nhận thức rõ sự phát triển từ số học sang đại số. Thời gian áp dụng trong từng bài học đại số cơ bản, do giáo viên bộ môn Toán thực hiện.
3. Phát triển kỹ năng tư duy logic và chứng minh: Tích hợp các bài tập rèn luyện kỹ năng suy luận, phân tích mệnh đề, chứng minh toán học trong chương trình học, đặc biệt ở lớp 8 và 9. Giáo viên cần hướng dẫn HS cách sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác và logic.
4. Thực nghiệm và đánh giá liên tục: Thực hiện các bài kiểm tra định kỳ để đánh giá mức độ tiếp thu và sửa chữa sai lầm kịp thời, đồng thời điều chỉnh phương pháp dạy học phù hợp với từng nhóm HS. Thời gian thực hiện liên tục trong năm học, do tổ chuyên môn và giáo viên chủ nhiệm phối hợp thực hiện.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán THCS: Nắm bắt các khó khăn phổ biến của HS khi chuyển từ số học sang đại số, từ đó áp dụng các biện pháp giảng dạy hiệu quả, nâng cao chất lượng bài giảng và kết quả học tập.
2. Nhà quản lý giáo dục: Đánh giá và xây dựng chính sách đào tạo, bồi dưỡng giáo viên, đồng thời thiết kế chương trình phù hợp với đặc điểm nhận thức của HS.
3. Sinh viên ngành Sư phạm Toán: Học tập và nghiên cứu về phương pháp dạy học Toán, đặc biệt là kỹ năng xử lý chuyển tiếp kiến thức giữa các phân môn Toán.
4. Các nhà nghiên cứu giáo dục Toán học: Tham khảo cơ sở lý luận và thực nghiệm để phát triển các nghiên cứu sâu hơn về phương pháp dạy học và phát triển tư duy toán học cho HS phổ thông.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao HS lại gặp khó khăn khi chuyển từ số học sang đại số?
   HS phải làm quen với tư duy trừu tượng hơn, sử dụng biến số thay cho số cụ thể, đồng thời áp dụng các quy tắc logic mới. Thiếu nền tảng số học vững chắc và kỹ năng tư duy logic là nguyên nhân chính.

2. Các sai lầm phổ biến của HS trong học đại số là gì?
   Sai lầm thường gặp gồm: xử lý dấu ngoặc và dấu âm sai, không xét điều kiện xác định khi giải phương trình, nhầm lẫn trong suy luận logic và chứng minh, và không hiểu đúng khái niệm đại số.

3. Làm thế nào để giáo viên giúp HS khắc phục những khó khăn này?
   Giáo viên cần củng cố kiến thức số học nền tảng, liên kết khái niệm đại số với số học đã biết, phát triển kỹ năng tư duy logic và tổ chức thực nghiệm, đánh giá liên tục để điều chỉnh phương pháp dạy học.

4. Phương pháp dạy học nào hiệu quả nhất trong việc chuyển tiếp này?
   Phương pháp dạy học dựa trên mối liên hệ giữa số học và đại số, kết hợp với các hoạt động thực hành, bài tập vận dụng và rèn luyện tư duy logic được đánh giá là hiệu quả.

5. Nghiên cứu này có thể áp dụng ở đâu ngoài Hải Phòng?
   Các biện pháp và kết quả nghiên cứu có thể áp dụng rộng rãi cho các trường THCS trên toàn quốc, đặc biệt trong bối cảnh chương trình Toán phổ thông có tính liên thông và phát triển liên tục từ tiểu học đến THPT.

Kết luận

• Luận văn đã làm rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa số học và đại số trong chương trình Toán phổ thông, đồng thời chỉ ra những khó khăn và sai lầm phổ biến của HS THCS khi chuyển tiếp giữa hai phân môn này.
• Các nguyên nhân chủ yếu gồm thiếu kiến thức nền tảng số học, chưa thành thạo kỹ năng tư duy logic và chưa hiểu đúng các khái niệm đại số trừu tượng.
• Đề xuất một số biện pháp thiết thực như củng cố kiến thức số học, dạy khái niệm đại số dựa trên mối liên hệ với số học, phát triển kỹ năng tư duy logic và thực nghiệm sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả dạy học.
• Thực nghiệm sư phạm cho thấy các biện pháp này giúp giảm tỷ lệ sai lầm của HS từ khoảng 40% xuống dưới 20% trong một học kỳ.
• Khuyến nghị các giáo viên, nhà quản lý và nhà nghiên cứu tiếp tục áp dụng và phát triển các biện pháp này trong thực tiễn giáo dục Toán phổ thông.

Triển khai rộng rãi các biện pháp đã đề xuất trong năm học tiếp theo, đồng thời tổ chức các khóa bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên Toán THCS nhằm nâng cao năng lực giảng dạy và hỗ trợ HS hiệu quả hơn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu sơ bộ về số nguyên số thực Ở THPT, mạch kiến thức về số học được đưa vào và sắp xếp trong chương trình môn Toán như sau: Bảng 1.3: Mạch kiến thức số học của THPT Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Tiếp tục hoàn thiện phép Hoàn thiện số thực ở chỗ Số phức toán với số vô tỷ. Thể tiếp cận số vô tỷ siêu việt hiện ở các tính chất của như số π , e căn thức được vận dụng vào giải PT vô tỉ 1. Đặc điểm của đại số ở trường THCS Mạch nội dung kiến thức về đại số được lựa chọn, đưa vào, sắp xếp, trình bày trong chương trình SGK môn Toán ở trường phổ thông như sau: Phần đại số ở THCS thể hiện tường minh từ kì 2 môn Toán 7. Bắt đầu là khái niệm về biểu thức đại số, sau đó là đơn thức, đa thức, phân thức và trang bị các phép toán giữa chúng.

PT, BPT, hàm số dần được làm rõ ở lớp 8, lớp 9.4: Mạch kiến thức đại số của THCS Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 - Biểu thức đại số, giá trị - Nhân chia đa thức - Bắt đầu học về căn thức của biểu thức đại số - Phân tích đa thức thành bậc hai - Đơn thức, cộng, trừ, nhân nhân tử - Phép khai phương 9 các đơn thức - Tìm hiểu về phân thức - Biến đổi biểu thức chứa - Đa thức, cộng trừ đa thức, đại số căn bậc hai, rút gọn biểu nghiệm của đa thức một - Các tính chất của phân thức chứa căn thức bậc hai biến thức - nhắc lại và bổ sung các - Giới thiệu khái niệm về - Cộng trừ phân thức, nhân khái niệm về hàm số, hàm hàm số, đồ thị hàm số. bắt chia phân thức số bậc nhất (tập giá trị, sự đầu vẽ đồ thị hàm số y = ax - Biến đổi phân thức, giá biến thiên, đồ thị) + b (a #0) trị của phân thức. - PT bậc nhất 2 ẩn, HPT - Bắt đầu học về PT, PT bậc nhất hai ẩn. Giải bài bậc nhất một ẩn, PT tích, toán bằng cách lập HPT PT có ẩn ở mẫu, PT có trị - Hàm số y = ax2 (a ≠ 0 ), tuyệt đối (của các nhị thức đồ thị hàm số y = ax2 (a bậc nhất), giải bài toán ≠ 0 ) bằng cách lập PT - PT bậc hai một ẩn số, - Bắt đầu học về bất đẳng công thức nghiệm, hệ thức thức, BPT bậc nhất Viet Giải các dạng PT qui về bậc hai Giải bài toán bằng cách lập PT bậc hai Các kiến thức đại số còn tiếp tục được học ở THPT một cách sâu rộng hơn về hàm số, PT, HPT.

Cụ thể là: Bảng 1.5: Mạch kiến thức đại số của THPT Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Các kiến thức về PT, BPT, Các kiến thức về biểu thức Tiếp tục hoàn thiện các HPT, Bất đẳng thức lượng giác, hàm số lượng kiến thức về hàm số - tiếp tục hoàn thiện về giác, PT lượng giac Khảo sát hàm số bậc 3, 4 hàm số, hàm bậc nhất, hàm Các kiến thức về đại số tổ hàm phân thức, hàm mũ, bậc hai hợp hàm logarit 1. Mối liên hệ giữa số học và đại số ở trường THCS 1. Mối liên hệ giữa số học và đại số trong môn Toán 10 Xem xét lịch sử hình thành và nội dung của Số học và Đại số ta thấy Số học và Đại số có các mối liên hệ sau đây trong toán học. a) Cả về lịch sử hình thành, phát triển cũng như về mặt khoa học toán học thì số học được xem là cội nguồn, khởi đầu, cụ thể của toán học.

Theo Kôn-mô-gô-rôp, lịch sử hình thành và phát triển toán học được chia làm 4 giai đoạn, trong đó ở giai đoạn đầu tiên (Phát sinh Toán học), số tự nhiên và phân số cùng với các phép tính số học được ra đời tạo nên nền tảng của Số học, cụ thể là: * Giai đoạn I: Giai đoạn phát sinh Toán học Căn cứ vào các tài liệu về lịch sử văn hóa của loài người và những hiểu biết từ kết quả khảo sát các bộ lạc người cổ đại còn tồn tại, các nhà nghiên cứu lịch sử Toán học đã khẳng định: chữ số là một trong những khái niệm đầu tiên của Toán học. Phép đếm và cách ghi số là một trong những phương pháp Toán đầu tiên của loài người được xuất phát từ nhu cầu thực tiễn là đếm các đối tượng. Xã hội loài người phát triển, người ta sống thành bộ lạc ngày càng đông và việc săn bắn thú vật để có thức ăn ngày một có tổ chức hơn. Khi đi săn muốn kiểm tra đồ dùng có đủ hay không, người ta phân phát đá ném, cung tên,.

cho từng người một. Từ đó nảy sinh nhu cầu đếm và thiết lập sự tương ứng một – một giữa hai tập hợp: người và công cụ. Phép tương ứng đó lặp đi lặp lại nhiều lần, lâu dài con người nhận ra có một caí gì chung cho những tập hợp như vậy, đi đến việc đặt tên cho cái chung đó Ban đầu loài người chỉ biết đếm trong tập hợp chỉ có it phần tử. Người cổ xưa đếm bằng đá, bằng que, bằng cách thắt nút dây, bằng ngón tay,.

Sau đó, do nhu cầu cần dùng các số ngày càng lớn, các kí hiệu ghi số xuất hiện và phát triển, còn chính các số thì lập thành các hệ thống. Dãy số tự nhiên cứ ngày một dài ra. Nhận thức được dãy số tự nhiên kéo dài vô hạn là dấu hiệu của một bước tiến khá dài về văn hóa và kiến thức toán học. Các hệ đếm đầu tiên bao gồm ký hiệu vị trí nhưng không phải là hệ thập phân, bao gồm các hệ cơ số 60 của hệ thống chữ số Babylon và hệ cơ số 20 của hệ thống chữ số Maya.

Bởi vì các khái niệm sử dụng chữ số này, khả năng sử dụng lại các chữ số tương tự cho các hệ đếm khác nhau đóng góp một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn trong tính toán. 11 Sau đó người Ấn Độ đã biết ghi số theo vị trí thập phân, lúc đầu loài người chưa biết đến số không, sau đó do nhu cầu tính toán mà đến thế kỉ V – VI ở Ấn Độ người ta đã đưa thêm số 0 vào hệ thống số và được sử dụng cho dến ngày nay Trong giai đoạn này, cùng với khái niệm số, các phép tính cộng trừ nhân chia trên số tự nhiên có điều kiện hình thành và phát triển, những kiến thức về hình học, thiên văn, lượng giác cũng được hình thành. Khái niệm trừu tượng về số, xem như là tính chất chung của mọi tập hợp đối tượng hữu hạn tương đương được củng cố dần qua ngôn ngữ, trước hết bằng lời, sau bằng những dấu hiệu, tức là chữ số. Các bài toán cụ thể đã được thay thế bằng những bài toán có dạng tổng quát hơn, giải theo những qui tắc xác định, bao gồm một loạt những trường hợp riêng.

Đậy là những hình thức đầu tiên tạo nên những thuật toán và các phép tính có liên quan. * Giai đoạn II: Toán học sơ cấp (Bắt đầu từ thế kỉ VII,V trước Công nguyên cho đến hết thế kỉ XVI) Đặc trưng bằng những thành tựu trong việc nghiên cứu các đại lượng không đổi. Đó là các khái niện cơ sở về số và hình, các tính chất và quan hệ của chúng, khái niệm PT và cách giải một số PT. Giai đoạn này kết thúc khi đối tượng chủ yếu của Toán học là quá trình các chuyển động và khi hình học giải tích và giải tích của các đại lượng vô cùng bé bắt đầu được phát triển *Giai đoạn III: Toán học cao cấp cổ điển (Bắt đầu từ thế kỉ XVII cho đến giữa thế kỉ XIX) Ở giai đoạn này, toán học của những đại lượng biến thiên được ra đời và phát triển.

Đối tượng chủ yếu của giai đoạn này là các quá trình, các chuyển động. Giai đoạn này các đại lượng biến thiên được đưa vào hình học giải tích và dẫn đến phép tính vi phân được hoàn thành bởi Niwton và Leibniz. *Giai đoạn IV: Toán học hiện đại (Bắt đầu từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay) Giai đoạn này, đối tượng của Toán học đã mở ra rất rộng. Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học về những quan hệ số lượng và hình dạng không tổng quát hơn mà các số, các đại lượng và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt.

Toán học đã mở ra khả năng và phạm vi ứng dụng rất rộng lớn. 12 Như vậy trong lịch sử phát triển của Toán học thì Số học là sự khởi đầu là cội nguồn của các kiến thức Toán học. Khi Toán học phát triển Số học thực ra lại là cái cụ thể của những quan hệ tổng quát trong Toán học. b) Cả về lịch sử hình thành, phát triển cũng như về mặt khoa học toán học thì đại số được xem là sự phát triển tiếp nối, khái quát hóa để mô hình tổng quát của toán học từ số học Cội nguồn của Đại số có nguồn gốc từ người Babylon cổ đại, vốn đã phát triển một hệ thống số học tiên tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong cách thuật toán.

Người Babylon đã phát triển các công thức để tính toán các lời giải cho các bài toán mà ngày nay được giải quyết bằng cách sử dụng PT tuyến tính, PT bậc hai và PT tuyến tính không xác định. Đại số xây dựng và mở rộng số học bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là các biến số để thể hiện những số chung không xác định. Điều này khiến Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lý bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ. VD 1: Ở nhà trường HS được học rằng nếu lấy bình phương của một số trừ cho 1 thì bằng tích của số liền trước số đó với số liền sau số đó.

Chẳng hạn 42 = (4 - 1)(4 + 1) 52 = (5 - 1)(5 + 1) 62 = (6 – 1)(6 + 1) Rõ ràng mệnh đề trên vẫn đúng nếu ở vị trí số 4, 5, hoặc 6 ta thay bằng con số bất kì nào khác Nếu ta đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x để biểu diễn một con số bất kì không có gì đặc biệt hết thì mệnh đề trên được khái quát như sau: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) Kí hiệu x, dùng để biểu diễn một con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn gọi là biến số .