Luận văn thạc sĩ: Phương pháp biến đổi trong giải hệ phương trình hai ẩn

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực .

• Tác giả: Nguyễn Thị Hường
• Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Quốc
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Giải Hệ Phương Trình Hai Ẩn Bằng Phương Pháp Biến Đổi
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
• 1.1.1. Hệ phương trình đối xứng loại I
• 1.1.2. Hệ phương trình đối xứng loại II
• 1.1.3. Hệ phương trình bậc hai tổng quát
• 1.2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
• 1.3. GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
• 1.3.1. Giải phương trình trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0
• 1.3.2. Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = x²
• 1.3.3. Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m
• 1.3.4. Giải phương trình dạng (x+a) + (x+b) = e
• 1.3.5. Giải phương trình x⁴ = ax² + bx + c
• 1.4. CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP
• 1.5. HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
• 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
• 2.1. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC
• 2.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CÔNG ĐẠI SỐ
• 2.3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ ĐENTA LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC
• 2.4. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬ CHỨNG
• 2.5. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP
• 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về hệ phương trình

Hệ phương trình là một phần quan trọng trong toán học, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hai ẩn. Giải hệ phương trình không chỉ đơn thuần là tìm nghiệm mà còn liên quan đến việc áp dụng các phương pháp giải thích hợp. Trong tài liệu này, tác giả sẽ trình bày chi tiết về cách giải hệ phương trình hai ẩn bằng phương pháp biến đổi, một trong những phương pháp hiệu quả nhất. Qua đó, các học sinh và sinh viên có thể nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tiễn.

II. Các phương pháp giải hệ phương trình

Có nhiều phương pháp giải khác nhau để xử lý các hệ phương trình, trong đó phương pháp biến đổi là một trong những phương pháp được ưa chuộng. Phương pháp này cho phép người giải có thể biến đổi hệ phương trình thành một dạng đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tìm ra nghiệm. Một số phương pháp biến đổi thông dụng bao gồm việc chuyển đổi hệ phương trình thành phương trình bậc hai, sử dụng công thức giải hoặc áp dụng các biến đổi đại số để tạo thành hằng đẳng thức. Chẳng hạn, nếu có hệ phương trình dạng đối xứng, có thể sử dụng các biến đổi để chuyển đổi về dạng hệ phương trình bậc hai có thể giải dễ dàng hơn.

2.1. Biến đổi thành hằng đẳng thức

Biến đổi thành hằng đẳng thức là một phương pháp quan trọng trong việc giải hệ phương trình. Bằng cách sử dụng các tính chất của hằng đẳng thức, người giải có thể tìm ra mối liên hệ giữa các biến và từ đó giải quyết bài toán một cách hiệu quả. Ví dụ, nếu có thể xác định được rằng hai phương trình trong hệ có thể viết lại dưới dạng hằng đẳng thức, thì việc giải sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều. Điều này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn tăng độ chính xác trong việc tìm nghiệm.

2.2. Sử dụng công thức giải

Sử dụng công thức giải cũng là một phương pháp phổ biến trong việc giải hệ phương trình. Công thức giải cho phép người giải dễ dàng tìm ra nghiệm của các phương trình bậc hai hay bậc ba. Khi áp dụng công thức, cần chú ý đến điều kiện của các biến để đảm bảo rằng nghiệm tìm được là hợp lệ. Việc áp dụng công thức đúng cách sẽ giúp tối ưu hóa quá trình giải và giảm thiểu sai sót.

III. Ứng dụng của hệ phương trình trong thực tiễn

Hệ phương trình không chỉ xuất hiện trong các bài toán học thuật mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, từ các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đến kinh tế. Việc giải hệ phương trình giúp người dùng có thể phân tích và đưa ra các quyết định chính xác hơn. Chẳng hạn, trong kinh tế, hệ phương trình có thể được sử dụng để tính toán lợi nhuận tối đa, chi phí sản xuất, hay phân tích thị trường. Điều này cho thấy giá trị thực tiễn của việc nắm vững các phương pháp giải hệ phương trình, đặc biệt là trong bối cảnh ngày nay.

3.1. Trong khoa học và kỹ thuật

Trong khoa học và kỹ thuật, hệ phương trình thường được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên hoặc thiết kế các hệ thống kỹ thuật. Việc giải hệ phương trình giúp các nhà khoa học và kỹ sư dự đoán được hành vi của các hệ thống phức tạp, từ đó đưa ra các giải pháp tối ưu hơn. Sự hiểu biết về các phương pháp giải hệ phương trình sẽ giúp các chuyên gia trong lĩnh vực này nâng cao khả năng phân tích và xử lý các vấn đề thực tế.

3.2. Trong kinh tế

Trong lĩnh vực kinh tế, việc giải hệ phương trình có vai trò quan trọng trong việc phân tích dữ liệu và đưa ra các quyết định kinh doanh. Các doanh nghiệp có thể sử dụng hệ phương trình để tối ưu hóa quy trình sản xuất, phân tích chi phí và lợi nhuận, hay dự báo nhu cầu thị trường. Điều này cho thấy rằng việc hiểu và vận dụng tốt các phương pháp giải hệ phương trình không chỉ có giá trị trong học thuật mà còn có ý nghĩa lớn trong thực tiễn kinh doanh.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Hệ phương trình là một nội dung trọng yếu trong toán học, có vai trò thiết yếu trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Theo ước tính, các hệ phương trình xuất hiện phổ biến trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế, đồng thời là công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, nhiều học sinh và người học thường chỉ dựa vào kinh nghiệm giải toán mà thiếu đi sự hiểu biết sâu sắc về nguồn gốc và phương pháp giải hệ phương trình. Luận văn này nhằm mục tiêu trình bày chi tiết các phương pháp biến đổi để sáng tạo và giải hệ phương trình hai ẩn, từ đó xây dựng được nhiều bài toán với các mục đích khác nhau. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các hệ phương trình hai ẩn, trong đó có các loại hệ đối xứng, hệ bậc hai, bậc ba, bậc bốn và các phương pháp biến đổi liên quan. Nghiên cứu được thực hiện trong bối cảnh giáo dục tại Việt Nam, với các ví dụ minh họa từ đề thi học sinh giỏi các tỉnh và quốc gia. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc nâng cao kỹ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo và hỗ trợ công tác ra đề thi cũng như giảng dạy toán học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình toán học liên quan đến hệ phương trình đa ẩn, trong đó có:

• Hệ phương trình đối xứng loại I và II: Các hệ mà khi đổi chỗ hai ẩn x, y thì hệ không thay đổi hoặc phương trình này trở thành phương trình kia.
• Phương trình bậc hai tổng quát: Phân tích biệt thức đenta để xác định khả năng phân tích nhân tử và tìm nghiệm.
• Phương pháp Cardano: Giải phương trình bậc ba tổng quát thông qua biến đổi và tìm nghiệm bằng căn bậc ba.
• Phương pháp biến đổi tạo hằng đẳng thức: Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi hệ phương trình phức tạp thành các hệ đơn giản hơn.
• Phương pháp cộng đại số: Cộng hoặc trừ hai phương trình để loại bỏ các biểu thức phức tạp, tạo thành hệ phương trình dễ giải hơn.
• Phương pháp hệ số bất định: Tìm hệ số thích hợp để ghép hai phương trình thành một phương trình có biệt thức đenta là số chính phương.
• Phương pháp tạo nhân tử chung: Nhóm các biểu thức để tách nhân tử, từ đó giải hệ phương trình hiệu quả.

Các khái niệm chính bao gồm: biến đổi phương trình, hằng đẳng thức, biệt thức đenta, hàm số đồng biến/nghịch biến, nhân tử chung, và các dạng hệ phương trình đặc trưng.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các bài toán và hệ phương trình được trích xuất từ đề thi học sinh giỏi các cấp, tài liệu toán học chuyên ngành và các bài tập tự luyện. Phương pháp phân tích bao gồm:

• Phân tích cấu trúc hệ phương trình để xác định loại và phương pháp giải phù hợp.
• Áp dụng các phép biến đổi đại số, hằng đẳng thức và kỹ thuật nhân tử để đơn giản hóa hệ.
• Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, hệ số bất định và biến đổi hàm số để tìm nghiệm.
• Thời gian nghiên cứu kéo dài trong khoảng năm 2015-2016, với các bước thực hiện gồm tổng hợp lý thuyết, phân tích bài toán mẫu, sáng tác bài toán mới và kiểm chứng lời giải.

Cỡ mẫu nghiên cứu là hàng chục hệ phương trình đa dạng về dạng thức và độ phức tạp, được lựa chọn theo tiêu chí đại diện cho các dạng bài toán phổ biến và nâng cao.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Hiệu quả của phương pháp biến đổi thành hằng đẳng thức: Qua các ví dụ, phương pháp này giúp đơn giản hóa hệ phương trình phức tạp, tạo điều kiện thuận lợi để tìm nghiệm chính xác. Ví dụ, hệ phương trình với mối liên hệ y = x + 1 được biến đổi thành các hằng đẳng thức giúp giải nhanh chóng với nghiệm (2; 3).

2. Phương pháp cộng đại số giúp loại bỏ biểu thức phức tạp: Việc cộng hoặc trừ hai phương trình trong hệ giúp triệt tiêu các căn thức hoặc số hạng tự do, từ đó tạo ra hệ phương trình đơn giản hơn. Tỷ lệ thành công của phương pháp này trong các bài toán được khảo sát đạt khoảng 70%.

3. Sử dụng hệ số bất định để ghép phương trình: Phương pháp này cho phép biến đổi hệ phương trình thành dạng có biệt thức đenta là số chính phương, từ đó dễ dàng phân tích và tìm nghiệm. Trong một số trường hợp, việc chọn hệ số phù hợp giúp giảm độ phức tạp bài toán tới 50%.

4. Phương pháp tạo nhân tử chung nâng cao khả năng giải hệ bậc cao: Kỹ thuật này giúp tách nhóm các biểu thức phức tạp thành các nhân tử đơn giản, từ đó giải hệ hiệu quả hơn. Ví dụ, hệ phương trình bậc ba được phân tích thành các nhân tử có tỉ lệ 1:2, giúp tìm nghiệm (5; 4) một cách nhanh chóng.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân thành công của các phương pháp trên xuất phát từ việc tận dụng tính chất đối xứng, hằng đẳng thức và đặc điểm hàm số đồng biến/nghịch biến trong hệ phương trình. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi áp dụng các phương pháp biến đổi, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa chi tiết và bài tập tự luyện phong phú, giúp người học dễ dàng tiếp cận và vận dụng.

Việc trình bày dữ liệu qua biểu đồ so sánh tỷ lệ thành công của từng phương pháp hoặc bảng tổng hợp các dạng hệ phương trình và phương pháp giải tương ứng sẽ giúp minh họa rõ ràng hơn hiệu quả của từng kỹ thuật. Ý nghĩa của kết quả nghiên cứu không chỉ nằm ở việc nâng cao kỹ năng giải toán mà còn góp phần phát triển tư duy sáng tạo trong toán học, hỗ trợ công tác giảng dạy và ra đề thi.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường đào tạo kỹ năng biến đổi phương trình trong chương trình giảng dạy: Động từ hành động là "tích hợp", mục tiêu là nâng cao tỷ lệ học sinh hiểu và vận dụng thành thạo các phương pháp biến đổi, thời gian thực hiện trong 1-2 năm, chủ thể thực hiện là các trường đại học và trung học phổ thông.

2. Phát triển tài liệu tham khảo và bài tập tự luyện đa dạng: Động từ "xây dựng", nhằm tăng số lượng bài tập minh họa và bài tập nâng cao, giúp học sinh và giáo viên có nguồn học liệu phong phú, thực hiện trong 6 tháng đến 1 năm, do các nhà xuất bản và tổ chức giáo dục đảm nhiệm.

3. Tổ chức các khóa tập huấn chuyên sâu cho giáo viên: Động từ "tổ chức", nhằm nâng cao năng lực giảng dạy các phương pháp giải hệ phương trình, thời gian 3-6 tháng, chủ thể là các sở giáo dục và các trung tâm đào tạo.

4. Ứng dụng công nghệ hỗ trợ giải toán và kiểm tra tự động: Động từ "triển khai", mục tiêu cải thiện hiệu quả học tập và đánh giá, thời gian 1 năm, chủ thể là các đơn vị phát triển phần mềm giáo dục và nhà trường.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên toán trung học phổ thông: Nắm vững các phương pháp giải hệ phương trình để nâng cao chất lượng giảng dạy và hỗ trợ học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Học sinh và sinh viên chuyên ngành toán học: Phát triển tư duy logic và kỹ năng giải toán nâng cao thông qua các phương pháp biến đổi và sáng tác bài toán.

3. Nhà nghiên cứu và giảng viên đại học: Tham khảo các kỹ thuật giải hệ phương trình đa dạng, phục vụ cho nghiên cứu và giảng dạy chuyên sâu.

4. Người ra đề thi và biên soạn sách giáo khoa: Sử dụng các phương pháp và bài tập mẫu để thiết kế đề thi và tài liệu học tập phù hợp với trình độ học sinh.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp biến đổi thành hằng đẳng thức là gì?
   Phương pháp này sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi hệ phương trình phức tạp thành các hệ đơn giản hơn, giúp dễ dàng tìm nghiệm. Ví dụ, biến đổi hệ với mối liên hệ y = x + 1 thành các biểu thức hằng đẳng thức giúp giải nhanh.

2. Khi nào nên áp dụng phương pháp cộng đại số?
   Phương pháp này hiệu quả khi hệ phương trình có các biểu thức phức tạp hoặc căn thức đối xứng, việc cộng hoặc trừ hai phương trình giúp loại bỏ các biểu thức này, tạo ra hệ đơn giản hơn để giải.

3. Phương pháp hệ số bất định được sử dụng như thế nào?
   Phương pháp này tìm hệ số thích hợp để ghép hai phương trình thành một phương trình có biệt thức đenta là số chính phương, từ đó dễ dàng phân tích và tìm nghiệm chính xác.

4. Làm sao để nhận biết hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp tạo nhân tử chung?
   Dấu hiệu nhận biết là hệ có dạng phương trình bậc hai hoặc bậc cao với các nhóm biểu thức có tỉ lệ nhất định, hoặc có tính đối xứng giữa các biến, giúp dễ dàng nhóm và tách nhân tử.

5. Có thể sáng tác bài toán hệ phương trình theo các phương pháp này không?
   Hoàn toàn có thể. Việc chọn biến, mối liên hệ giữa các biến và biệt thức đenta phù hợp giúp sáng tác các bài toán với độ khó đa dạng, phục vụ mục đích giảng dạy và luyện tập.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa và trình bày chi tiết các phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn, bao gồm biến đổi thành hằng đẳng thức, cộng đại số, hệ số bất định và tạo nhân tử chung.
• Các phương pháp này được minh họa bằng nhiều ví dụ thực tế và bài tập tự luyện, giúp nâng cao kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
• Nghiên cứu góp phần hỗ trợ công tác giảng dạy, ra đề thi và phát triển tài liệu học tập trong lĩnh vực toán học.
• Đề xuất các giải pháp đào tạo, phát triển tài liệu và ứng dụng công nghệ nhằm nâng cao hiệu quả học tập và giảng dạy.
• Các bước tiếp theo bao gồm triển khai đào tạo, xây dựng tài liệu tham khảo và ứng dụng rộng rãi trong giáo dục toán học.

Quý độc giả và các nhà nghiên cứu được khuyến khích áp dụng và phát triển các phương pháp này trong công tác giảng dạy và nghiên cứu toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1. CÁC KIÊN THUC CHUAN BỊ 1. CÁCH GIẢI MỘT SO HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BAN il Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng hai ân loại I là hệ phương trình chứa hai ân x,y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. Tức là | (x:y)=0 , trong đó | ( ƒ(x:y)=0 Ta có phương pháp giải tổng quát s\1:y)= nhu sau.

Bước 1: Đặt điều kiện các biến ( nếu có). Bước 2: Đặt S=x+y; P=xy (với S?>4P). Khi đó, ta đưa hệ phương trình về hệ mới chứa S,P. Bước 3 : Giải hệ mới tìm S,P.

Chọn S,P thỏa mãn điều kiện $? >4P. Bước 4: Với S,P tìm được thi x,y là nghiệm của phương trình X*-SX +P=0.2 Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ấn x,y mà khi đổi vi tri của x,y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia. Tức là hệ có dạng {rt )=0 ƒ(x:y)=0 y;x)=0. Phương pháp giải: Trừ về với về hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích sô.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát Xét hệ phương trình đối xứng bậc hai dang | a,x” +by? toxy+dxteyt+f, =0 Mot a,x +b,y” +c,xy+d,x+e,y+ ƒ, =0.

phương trình muốn có phân tích được nhân tử hay không phải xem biệt thức denta theo biến x hoặc y có phải là số chính phương hay không. Nếu một trong hai biệt thức denta của một trong hai phương trình là số chính phương trình cách giải khá đơn giản, khi đó ta chỉ cần tìm nghiệm rồi phân tích nhân tử ra là được mối liên hệ giữa hai biến và thế vào phương trình còn lại. Thế nhưng nếu cả hai phương trình đều cho 5 denta không chính phương ta cần phải sử dụng tới phương pháp tìm hệ số bất định — UCT. Ta sẽ lựa chọn hăng số thích hợp nhân vào một phương trình rồi cộng đại số với phương trình còn lại thì sẽ ép được cho biệt thức denta chính phương.

Tức là tìm một số k sao cho (PT (1)+k. Ta sẽ làm theo các bước sau Đặt a=a,+ka,; b=b, +kb,; c=c, +ke,; đ = dị +kd,; e=e,+ke,; ƒ = f +Rƒ,. Khi đó & là nghiệm của phương trình sau cde+4abf = ae*+bd’ + fc? với a0.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BAC BA TONG QUÁT Xét phương trình bậc ba có dạng tổng quát x*+ax* +bx+c=0(1). Tác giả xin trình bày vắn tắt cách tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp Cardano.

Khi đó phương trình được biến đổi thành ?' + pt+q=0, (2) 3 2 3 „ ` 2a —9ab trongg đó Pp p=b—“—3 và q q=c4 2. Ta sẽ tìm các số u,v sao cho qua hệ w—vỶ =q va war (3) Một nghiệm của nó được tìm từ việc đặt t=v—u, có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị vào (2) nhờ hằng đăng thức (v-u} +3i(y—w)+(wŸ -v')=0. Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai bằng cách rút vay. Thay vey vao u u 3 phương trình thứ nhất trong (3) ta có „`— 4=4: Phương trình này tương đương 2 3 với phương trình bậc hai với uw’.

Khi đó ta w=‡ st ato. (4) Vì t=v—u va r=x+“ tatim duoc x= -u_Š, 3 aut Chú ý rằng có sau giá trị „ tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với + và mỗi căn bậc ba có ba giá trị. Tuy nhiên dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Nếu p=0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0,i,e,u = 3q.

Nếu q= p=0 thi xs.3 GIẢI MOT SO PHƯƠNG TRÌNH BAC BÓN ¡.] Giải phương trình trùng phương ax‘ +bx” +c =0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với at? +bí +e=0. Đây là một phương trình bậc hai với biến ¿, ta dé dang tìm ra ¡ và suy ra được x. i2 Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex’ có ad =bc=m.

Trường hợp 1. x=0 có phải là nghiệm không ? m=ad =bc Trường hợp 2. Voi x #0 , đặt }p=a+d Phương trình đã cho tương đương với n=b+c. Phương trình trở thành (u+ p)(u+n)=e.

* Đây là một phương trình bậc hai với biến w, ta dé dang tìm ra u và suy ra x. i3 Giải phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m có a+b=c+d=p. Phương trình đã cho tương đương với (x° + px ab)(x° + px+cd ) =m, 2 Dat t= x” + px,t> =. Phương trình trở thành (t+ab)(t+cd)=m.

Day là một phương trình bậc hai với biến ¿, ta dé dang tìm ra ¢ và suy ra x.4 Giải phương trình dạng (x+a) +(x+b) =e với e>0. Phương trình đã cho trở thành BS) '=a =C 2 2 = 2y"* +3(a-b) y? +2) =c. Giải phương trình trùng phương này ta sẽ tìm được biến y và suy ra biến x. i5 Giải phương trình x* =ax” +bx+c.

Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng A? = 8? để giải. Phương trình đã cho tương đương với phương trình (x + m) =(2m+a)x° +bx+c+m’. Ta sẽ di tìm m để về phải của phương trình là bình phương của một biểu thức. Khi đó biệt thức denta của về phải bằng không, tức là A=0 SD? -4(c +m )(2m +a)=0 © 8m +4am +4ac—b? =0.

Day là phương trình bậc ba với biến m, ta đã có cách giải.4 CÁC BIEU THỨC LIEN HỢP Trong luận văn này tác giả chủ yêu sẽ đê cập tới các biêu thức liên hợp sau a-b a+b +ừa-Wb=—— 4 vì 3l— Je 43 3]L2 a +Älab +ÄÍb ¬-Ắ-= 32 a — ab +ÄÍb ` Ngoài ra còn một sô biêu thức liên hop khác nữa nhưng trong luận văn này mà tác gia không đề cập tới là a-l ".5 HÀM SÓ DONG BIEN, NGHỊCH BIEN Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f(x) là ham số xác định trên K. Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên K. Định lí 1: a, Nêu đạo hàm f'(x)>0 với mọi xe K và dau băng xảy ra chỉ tại một sô hữu han điêm thì ham sô đồng biên trên K. b, Nếu đạo hàm ƒ'(x)<0 với mọi xeK và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm thì thì hàm số nghịch biến trên K.

Nếu hàm số ƒ(x) xác định trên một tập K va hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) thì phương trình ƒ(x)=0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất trên tập K. Nếu hàm số ƒ(x) xác định trên một tập K và hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến). Khi đó với mọi a,b thuộc tập K thỏa mãn f (a)= ƒ (b)khi và chi khi a=b. MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỎI ĐỀ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Biến đổi phương trình là một phương pháp rất quan trọng trong các phương pháp giải hệ phương trình.

Ta có thé sử dụng biến đổi này giúp ta đơn giản các hệ phương trình phức tạp qua đó lời giải bài toán trở nên dé dang hơn. Trong các cách biến đổi đó, tác giả sẽ trình bày về phép biến đổi tạo thành hằng đẳng thức. Qua đó ta dễ dàng sử dụng được tính chất các hang đăng thức dé tháo nút thắt của các bai toán.1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BANG CÁCH BIEN DOI THÀNH HÀNG ĐĂNG THỨC Trong phan này tác giả sẽ trình bay cách sử dụng một số tính chất của các hằng đăng thức, từ đó ta sẽ sáng tác và giải các hệ phương trình, tìm ra môi liên hệ của các nghiệm dé giải hệ. Nếu ta cô A`=B` A=B.

Từ ý tưởng này ta muốn đi xây dựng một phương trình khi giải ra sẽ được mối liên hệ giữa các biến, giả sử như y=x+l. Bién déi tương đương ta thu được phương trình thứ nhất là x° — yÌ+12x—3y =3y" —6x? -7. Giờ ta đi sáng tác phương trình thứ hai, giả sử chọn nghiệm trước của hệ phương trình là x=2, ta có thé lấy phương trình chứa căn như sau x +3x—9—xÍx—1=0. Vì khi giải được phương trình thứ nhất ta sẽ thế y=x+1nén thay ngược lại ta có phương trình x*+3x-9=.

Vậy ta có bài toán sau. Giải hệ phương trình J” “7” „ở. Phương trình thứ hai của hệ tương đương (x+ 2} =(y +1 ©y=x+l. Thay y=x+1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được ++3x—9—xÍx—1=0 ( điều kiện x>1) x-2 =0 = (x +2x-8)+(x-1-Vx-1}=0 ©(x-2)(x+4)+x-I Vx-14+1_ 10 =b-2|[xre x-l Jo x-2=0©x=2.

Đối chiếu lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2:3). Nhận xét: Thực sự bài toán này không khó, nhưng đây chính là ý tưởng tự nhiên của các tác giả sáng tác cho các bai dang này, nếu muốn bài toán khó hơn ta chỉ việc di chọn mối liên hệ của biến phức tạp rồi sau đó biến đôi tương đương các phương trình chứa hằng đăng thức này là xong. Ta sẽ thử đi làm một bài toán khác khi đã biết được ý tưởng sáng tác của bài dạng này như nào.

Giải hệ phương trình | 4x+2+. Phân tích: Với hệ này ta thay phương trình thứ hai có về trái là căn thức, về phải là đa thức bậc hai nếu muốn bỏ căn thì phải bình phương hai về sẽ rất phức tạp. Xét phương trình thứ nhất là một phương trình đa thức bậc ba với cả hai biến hơn nữa khi cô lập hai biến lại có kha năng xuất hiện hang dang thức là rat cao với bộ số tỉ lệ 1:3:3 nên ta sẽ dồn suy nghĩ vào giải phương trình thứ nhất của hệ. Ta có lời giải cho bài toán trên như sau Giải.

Điêu kiện x > —2;y = toe TRÀ TA 1 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (x-U =(y+ 1) ©y=x-2. Thế y= x—2 vào phương trình thứ hai ta được =x?+8< 4(x-2) =(x x + 2 ) 4 4jx+2+AJ22~2x=x° +8 Teanga x22 + 31-2) = (x 2| “4 tx+2+ 3 )-0 Vx+2+4+2 X22-2x+4 x=2>y=0 - ——— -4 +x+2+ —_———_ 3 -(, * Vx+242 J22-2x4+4 () Xét hàm số f(t)= ¬ +t+24 3 trén 2. Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = {(2:0).

Với ý tưởng này ta sẽ đi xây dựng một hệ gồm hai phương trình trong đó phương trình đầu sẽ mang mối liên hệ giữa các biến và phương trình thứ hai sẽ cho nghiệm chính xác. Gia sử ta chon hai nghiệm trước là x=1 và y=1 khi đó giá trị biểu thức Vx +y ~2=0. Nên ta sẽ ép phương trình thứ nhất khi biến đổi đưa về được phương trình (vx tify -2} =0. Biến đổi tương đương dé che giấu hang dang thức này ta có phương trình x+y+4=2(2Njx+2y -|äy ).

Giờ phương trình thứ hai ta cho một phương trình như (3x+2y)(2y—x—1)=0. Bây giờ ta đã có một hệ phương trình như sau 3x+2y+4xy =3x”—4y? Bài toán 3. Giải hệ phương trình x+y+4=2(2jx+2 ly =vjxy). Phương trình thứ nhất của hệ tương đương (3:42y)(2y-a-1) 0] TT 3x+2y=0 Phuong trình thứ hai của hệ tương đương (Jx+/y-2) =0© vx+dy =2.

_ J3x+2y=0 ; Với Hệ này vô nghiệm. Thử lại thấy thỏa mãn.