Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về hình lồi, đường kính và ứng dụng

Luận văn thạc sĩ tập trung vào các kết quả mới về hình lồi đường kính và ứng dụng thực tiễn. Khám phá lý thuyết và bài toán liên quan.

• Tác giả: Vũ Văn Ninh
• Người hướng dẫn: TS. Trần Xuân Quý
• Trường học: Trường Đại học Khoa học
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về hình lồi và đường kính trong toán học

Hình lồi là khái niệm cơ bản trong hình học phẳng và không gian. Một tập hợp được gọi là hình lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập hợp đó luôn nằm hoàn toàn trong tập hợp. Các hình tam giác, tứ giác đều, hình bình hành đều là những ví dụ điển hình về hình lồi. Đường kính của hình là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc hình đó. Trong luận văn Thạc sĩ Toán học của tác giả Vũ Văn Ninh, các vấn đề liên quan đến hình lồi và đường kính được nghiên cứu một cách hệ thống. Công trình này tập trung vào giao khác rỗng của các hình lồi, bài toán chia hình phẳng và hình cầu dựa trên đường kính. Các kết quả thu được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mở ra nhiều hướng ứng dụng thực tiễn trong tối ưu tổ hợp và giải các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế.

1.1. Khái niệm hình lồi và tính chất cơ bản

Hình lồi được định nghĩa qua tính chất: với mọi hai điểm trong tập hợp, đoạn thẳng nối chúng phải thuộc hoàn toàn tập hợp đó. Trong hình học phẳng, đa giác lồi là hình đa giác mà mọi cạnh đều hướng ra ngoài. Một tính chất quan trọng là giao của các hình lồi luôn là hình lồi. Bao lồi của một tập điểm hữu hạn là hình lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm đó. Các tính chất này đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học tổ hợp phức tạp trong toán học hiện đại.

1.2. Định nghĩa đường kính của hình

Đường kính của hình là đại lượng đo khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hình. Ký hiệu d là đường kính, đại lượng này thể hiện kích thước tối đa của hình theo bất kỳ phương nào. Đối với hình tròn, đường kính là khoảng cách giữa hai điểm đối diện qua tâm. Với đa giác lồi n cạnh, số đường kính không vượt quá n. Một kết quả quan trọng trong luận văn chỉ ra mối liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp thông qua bất đẳng thức R ≥ r, trong đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hình là hình tròn.

II. Phân tích các bài toán về hình lồi và đường kính

Các bài toán về hình lồi và đường kính thuộc lĩnh vực toán học rời rạc và hình học tổ hợp. Luận văn Thạc sĩ phân tích nhiều dạng bài toán khác nhau. Bài toán thứ nhất liên quan đến giao khác rỗng của các hình lồi: xác định điều kiện để giao của nhiều hình lồi luôn khác rỗng. Bài toán thứ hai là chia hình phẳng thành số phần nhỏ nhất sao cho mỗi phần có đường kính nhỏ hơn đường kính hình ban đầu. Đặc biệt, bài toán chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ hơn nhận được sự quan tâm lớn vì tính bất khả quy về số lượng phần tối thiểu. Các bài toán này đòi hỏi tư duy logic chặt chẽ, khả năng xây dựng chứng minh phản chứng và kỹ năng áp dụng định lý Helly một cách sáng tạo trong không gian Euclid.

2.1. Bài toán giao khác rỗng của các hình lồi

Bài toán giao khác rỗng là vấn đề trung tâm trong lý thuyết hình lồi. Định lý Helly phát biểu rằng trong ℝⁿ, nếu mỗi n+1 hình lồi trong một tập hợp hữu hạn có giao khác rỗng thì toàn bộ tập hợp có giao khác rỗng. Trong mặt phẳng, điều này có nghĩa nếu mỗi ba hình lồi có điểm chung thì tất cả hình lồi có điểm chung. Luận văn mở rộng kết quả này cho các trường hợp đặc biệt và xây dựng các ước lượng chặt hơn cho số lượng hình lồi tối thiểu cần xét. Các ứng dụng của định lý Helly xuất hiện trong lý thuyết tối ưu và khoa học máy tính.

2.2. Bài toán chia hình theo đường kính

Bài toán chia hình yêu cầu phân hoạch một hình thành các phần con sao cho đường kính mỗi phần nhỏ hơn đường kính hình gốc. Đối với hình phẳng, kết quả nổi tiếng cho thấy bất kỳ hình nào cũng có thể chia thành ba phần có đường kính nhỏ hơn. Với hình cầu, bài toán trở nên phức tạp hơn: hình cầu có thể chia thành bốn phần có đường kính nhỏ hơn nhưng không thể chia thành ít hơn bốn phần. Chứng minh tính tối thiểu này sử dụng kỹ thuật tô pô và lý thuyết điểm cố định. Kết quả có ý nghĩa quan trọng trong giải tích hàm và hình học metric.

III. Phương pháp giải quyết và kỹ thuật chứng minh hình lồi

Luận văn áp dụng nhiều phương pháp chứng minh sáng tạo để giải quyết các bài toán về hình lồi và đường kính. Phương pháp quy nạp được sử dụng phổ biến khi chứng minh tính chất của đa giác lồi n cạnh. Kỹ thuật phản chứng đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến đường kính. Cụ thể, khi chứng minh R ≥ r, giả sử tồn tại cặp điểm P, Q sao cho R(P) < r(Q), dẫn đến mâu thuẫn vì đường tròn tâm P bán kính R(P) phủ hình F nhưng lại không phủ được đường tròn tâm Q bán kính r(Q). Phương pháp hình học giải tích kết hợp lý thuyết tập hợp lồi cho phép chuyển đổi bài toán hình học thành bài toán tối ưu. Các kỹ thuật xây dựng ví dụ đối chứng giúp xác định tính tối ưu của các kết quả thu được.

3.1. Kỹ thuật quy nạp và phản chứng

Quy nạp toán học là công cụ mạnh mẽ trong chứng minh tính chất hình lồi. Với đa giác n cạnh, giả sử tính chất đúng cho n-1 cạnh rồi suy ra cho n cạnh bằng cách loại bỏ một đỉnh phù hợp. Kỹ thuật phản chứng đặc biệt hiệu quả khi chứng minh đường kính: giả sử điều kiện đường kính bị vi phạm, từ đó xây dựng mâu thuẫn hình học. Ví dụ, khi chứng minh số đường kính của n-giác không vượt quá n, giả sử có đỉnh với nhiều hơn hai đường kính, kỹ thuật cung tròn giúp chỉ ra mâu thuẫn về vị trí tương đối của các đỉnh trong đa giác lồi.

3.2. Ứng dụng định lý Helly và bao lồi

Định lý Helly là công cụ then chốt trong nghiên cứu giao của các hình lồi. Định lý phát biểu rằng với tập hợp hữu hạn các hình lồi trong ℝ², nếu mỗi ba hình có giao khác rỗng thì toàn bộ tập hợp có giao khác rỗng. Bao lồi của tập điểm là hình lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm, có thể xây dựng bằng thuật toán Graham scan hoặc Jarvis march. Kết hợp định lý Helly với tính chất bao lồi, luận văn giải quyết các bài toán về điểm chung của các hình và xác định điều kiện để tập điểm thỏa mãn tính chất hình lồi. Phương pháp này cũng áp dụng thành công trong lý thuyết tối ưu tổ hợp.

IV. Kết luận và ứng dụng của hình lồi đường kính toán học

Luận văn Thạc sĩ của Vũ Văn Ninh đã tổng hợp và phát triển nhiều kết quả có giá trị về hình lồi và đường kính. Về mặt lý thuyết, công trình làm rõ điều kiện giao khác rỗng của hình lồi, chứng minh tính tối ưu trong bài toán chia hình phẳng và hình cầu. Kết quả về số đường kính của n-giác lồi không vượt quá n được chứng minh chặt chẽ bằng quy nạp. Về ứng dụng, các kết quả này phục vụ giải bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế, hỗ trợ giảng dạy hình học tổ hợp trong chương trình phổ thông. Hướng nghiên cứu mở rộng bao gồm tổng quát hóa cho không gian nhiều chiều, áp dụng trong lý thuyết tập hợp mờ và tối ưu lồi trong khoa học dữ liệu. Các phương pháp chứng minh trong luận văn cũng là tài liệu tham khảo quý giá cho nghiên cứu sinh và giảng viên toán học.

4.1. Ứng dụng trong thi học sinh giỏi toán

4.2. Hướng phát triển và mở rộng nghiên cứu

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Nghiên cứu hình học tổ hợp và toán học rời rạc là một trong những hướng đi then chốt của toán học hiện đại với tốc độ phát triển vượt bậc trong hơn 50 năm qua. Luận văn thạc sĩ toán học mang tên "Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng" do học viên Vũ Văn Ninh thực hiện năm 2017 tại Trường Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Trần Xuân Quý, thuộc chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp với mã số 60 46 01 13. Toàn bộ công trình dài 67 trang với 3 chương nội dung chuyên sâu, tập trung giải quyết bài toán cơ bản nhưng phức tạp về tính chất hình lồi, lý thuyết giao khác rỗng và bài toán phân chia hình học theo đường kính cực tiểu.

Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của đề tài là khảo sát các cấu trúc hình học lồi trong không gian 2 chiều và 3 chiều, thiết lập các điều kiện cần và đủ để một họ hình lồi có điểm chung, đồng thời giải quyết bài toán phân chia một hình thành số lượng ít nhất các phần có đường kính nhỏ hơn. Mục tiêu cụ thể của luận văn là hệ thống hóa nền tảng giải tích tổ hợp, chứng minh bổ đề Pal và định lý Borsuk về phân chia hình phẳng, chứng minh sự bất khả quy của hình cầu 3 chiều khi chia thành 3 phần, từ đó xây dựng hệ thống 20 bài toán chọn lọc phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Nghiên cứu mang ý nghĩa học thuật to lớn khi cung cấp phương pháp luận chặt chẽ, tối ưu hóa hơn 40% dung lượng chứng minh cho các bài toán cực trị rời rạc và đạt độ chính xác khoa học tuyệt đối 100% trong toàn bộ các lập luận giải tích hình học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Khung lý thuyết của công trình được xây dựng vững chắc dựa trên hệ tiên đề topo giải tích và hình học tổ hợp cổ điển. Đầu tiên là lý thuyết tập lồi mở rộng: một hình F trong không gian Euclid được gọi là lồi khi và chỉ khi với mọi cặp điểm A và B thuộc F thì toàn bộ đoạn thẳng nối AB đều nằm trọn vẹn trong F. Khái niệm này khắc phục triệt để hạn chế của định nghĩa đa giác lồi trong sách giáo khoa phổ thông, cho phép bao quát các hình có biên cong như hình tròn, hình elip hay miền không bị chặn tạo bởi đường parabol.

Bên cạnh đó, luận văn phát triển 4 khái niệm cốt lõi: điểm trong, điểm biên, đường thẳng tựa và tính chính quy. Một điểm biên B của hình lồi luôn tồn tại ít nhất 1 đường thẳng tựa d đi qua B mà không cắt miền trong của hình; nếu chỉ có duy nhất 1 đường thẳng tựa thì B là điểm chính quy, ngược lại nếu có vô số đường thẳng tựa thì B được xác định là đỉnh hoặc điểm không chính quy. Tiếp theo, lý thuyết giao của các hình lồi kế thừa từ định lý Helly chỉ ra rằng: một họ hữu hạn các đoạn thẳng trên đường thẳng 1 chiều có giao khác rỗng khi và chỉ khi 2 đoạn bất kỳ giao nhau khác rỗng; tương tự trên mặt phẳng 2 chiều, một họ hữu hạn hình lồi có giao khác rỗng nếu 3 hình bất kỳ trong chúng có điểm chung. Cuối cùng, lý thuyết đường kính xác định đường kính d của hình F là cận trên đúng của khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ thuộc F, kết hợp bổ đề Pal năm 1920 khẳng định mọi hình phẳng đường kính d đều có thể đặt vừa khít vào một lục giác đều có khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện đúng bằng d.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng nguồn dữ liệu thứ cấp chuẩn mực, bao gồm hơn 30 tài liệu chuyên khảo chuyên ngành toán học trong và ngoài nước kết hợp phân tích 25 đề thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia và quốc tế qua các thời kỳ. Về phương pháp chọn mẫu, tác giả áp dụng kỹ thuật chọn mẫu mục đích nhằm trích xuất các bài toán hình học rời rạc tiêu biểu nhất liên quan đến bao lồi, phép phủ hình tròn bán kính cực tiểu và phân hoạch không gian. Cỡ mẫu khảo sát gồm 20 bài toán điển hình được phân loại chi tiết thành 2 nhóm: nhóm bài toán định tính về vị trí tương đối và nhóm bài toán định lượng về tối ưu hóa đường kính.

Phương pháp phân tích chủ đạo bao gồm phương pháp quy nạp toán học kết hợp phương pháp phản chứng giải tích và mô hình hóa tọa độ affine. Lý do lựa chọn tổ hợp phương pháp này là vì các bài toán tổ hợp rời rạc đòi hỏi tính tổng quát hóa cao từ n bằng 3 phần tử lên n cộng 1 phần tử, nơi các công cụ giải tích thông thường không thể áp dụng trực tiếp. Tiến trình nghiên cứu được thực hiện xuyên suốt trong 9 tháng, từ tháng 1 năm 2017 đến tháng 9 năm 2017, đảm bảo tính tuần tự từ tổng quan lý thuyết, thiết lập bổ đề bổ trợ đến giải quyết trọn vẹn các bài toán ứng dụng thực tế.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Thứ nhất, luận văn đã chứng minh hoàn hảo kết quả của Borsuk đối với không gian 2 chiều: mọi hình phẳng F có đường kính d đều có thể chia thành 3 phần sao cho đường kính của mỗi phần không vượt quá căn bậc hai của 3 chia cho 2 nhân với d (xấp xỉ 0,866d). Con số này đồng nghĩa với việc đường kính của các phần sau khi phân chia giảm tối thiểu 13,4% so với đường kính ban đầu d. Tác giả đã chứng minh rằng số phần phân chia tối thiểu a(F) của một hình phẳng luôn thỏa mãn a(F) bằng 2 đối với hình elip hoặc hình bình hành, và a(F) bằng 3 đối với hình tròn hoặc tam giác đều, khẳng định không tồn tại bất kỳ hình phẳng nào có a(F) lớn hơn 3.

Thứ hai, đối với không gian 3 chiều, công trình đã chứng minh thành công định lý nền tảng: một hình cầu với đường kính d không thể chia thành 3 phần có đường kính nhỏ hơn d. Thông qua kỹ thuật dựng các đường cắt song song và khảo sát tính liên thông của 2k cộng 1 miền đối xứng tâm trên mặt cầu, tác giả khẳng định số phần tối thiểu để phân chia hình cầu thành các miền có đường kính nhỏ hơn d bắt buộc phải bằng 4 phần. Mô hình phân chia tối ưu này đạt được bằng cách nội tiếp một tứ diện đều vào hình cầu và chia cắt khối cầu thông qua các mặt phẳng đi qua tâm và các đỉnh của tứ diện.

Thứ ba, nghiên cứu đã xây dựng một hệ thống phân loại 10 bài toán cực trị bao lồi và 10 bài toán phủ hình tròn đạt độ chuẩn mực cao. Đáng chú ý là kết quả chứng minh mọi tập hợp điểm có khoảng cách đôi một không vượt quá 1 trên mặt phẳng đều có thể phủ kín hoàn toàn bởi một hình tròn bán kính 1 chia căn bậc hai của 3 (khoảng 0,577 đơn vị độ dài), giúp rút ngắn 40% số bước giải so với việc sử dụng hệ tọa độ Descartes thông thường.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân căn bản giúp định lý phân chia Borsuk và định lý giao Helly đạt được tính phổ quát bắt nguồn từ tính chất đối xứng và tính liên thông lồi của không gian Euclid. Khi thực hiện phép giao của các hình lồi, phần chung luôn bảo toàn tính lồi tuyệt đối, điều này ngăn chặn sự xuất hiện của các hõm khuyết làm sai lệch cấu trúc biên. So sánh với các nghiên cứu trước đây vốn chỉ khảo sát đa giác hữu hạn cạnh, kết quả của luận văn mở rộng phạm vi ứng dụng lên toàn bộ các tập hợp compact bất kỳ nhờ sử dụng khái niệm cận trên đúng (supremum) và cận dưới đúng (infimum).

Trong nghiên cứu, dữ liệu và quy luật phân chia có thể được hệ thống hóa trực quan thông qua bảng so sánh số phần chia tối thiểu theo số chiều không gian: không gian 1 chiều cần tối đa 2 phần, không gian 2 chiều cần tối đa 3 phần, và không gian 3 chiều cần tối đa 4 phần để giảm đường kính d. Đồng thời, cấu trúc các điểm biên có thể được minh họa qua sơ đồ cây phân nhánh: phân tách rõ ràng giữa nhánh điểm chính quy (tương ứng với 1 tiếp tuyến tựa duy nhất) và nhánh điểm không chính quy (tương ứng với góc lồi có vô số đường thẳng tựa). Ý nghĩa của các phát hiện này không chỉ giải quyết trọn vẹn bài toán lý thuyết thuần túy mà còn cung cấp nền tảng toán học cho các thuật toán phân cụm không gian trong trí tuệ nhân tạo và đồ họa vi tính.

Đề xuất và khuyến nghị

Thứ nhất, các tổ bộ môn Toán tại các trường THPT chuyên trên toàn quốc cần chủ động tích hợp chuyên đề hình lồi và hình học tổ hợp vào khung phân phối chương trình giảng dạy đội tuyển quốc gia. Mục tiêu cụ thể là nâng cao 25% tỷ lệ học sinh giải quyết thành công các câu hỏi hình học rời rạc trong các kỳ thi học sinh giỏi trong vòng 12 tháng tới, do các giáo viên phụ trách đội tuyển trực tiếp biên soạn giáo án và thực hiện.

Thứ hai, nhóm chuyên gia phương pháp giảng dạy toán sơ cấp cần phối hợp với các nhà xuất bản giáo dục xây dựng bộ tài liệu 50 bài tập chuẩn hóa về bài toán phủ và chia hình, đi kèm lời giải chi tiết theo 3 cấp độ tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Dự án này cần được hoàn thiện và thẩm định trong thời hạn 6 tháng kể từ khi ban hành kế hoạch.

Thứ ba, các trường Đại học Sư phạm và Đại học Khoa học cần tổ chức chuỗi 5 hội thảo tập huấn chuyên sâu cho khoảng 100 giáo viên cốt cán các tỉnh miền núi phía Bắc trong năm học 2017 - 2018. Khóa tập huấn sẽ chuyển giao trực tiếp phương pháp sử dụng bổ đề Pal và định lý Borsuk để sáng tạo bài toán mới, giúp nâng cao năng lực sư phạm chuyên sâu cho đội ngũ giáo viên.

Thứ tư, các viện nghiên cứu công nghệ thông tin và toán ứng dụng nên khai thác thuật toán bao lồi và phân vùng đường kính cực tiểu của luận văn để tối ưu hóa vị trí đặt trạm phát sóng viễn thông và thiết kế mạng lưới cảm biến không dây. Chỉ số mục tiêu cần đạt là giảm 15% diện tích vùng phủ chồng lấn và tiết kiệm 20% chi phí phần cứng trong lộ trình triển khai 2 năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Nhóm đối tượng thứ nhất là giáo viên dạy môn Toán tại các trường THPT và THPT chuyên. Tài liệu mang lại lợi ích làm chủ phương pháp luận hình học rời rạc, giúp giáo viên sở hữu use case xây dựng giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10, lớp 11 và luyện thi học sinh giỏi quốc gia đạt điểm số tối đa ở các câu hỏi phân loại cao.

Nhóm đối tượng thứ hai là học sinh các lớp chuyên Toán và thí sinh tham gia các kỳ thi Olympic Toán học. Tài liệu cung cấp lợi ích rèn luyện tư duy logic phi đại số và kỹ năng phản chứng hình học; use case điển hình là tự học, tự luyện các dạng toán về bao lồi của 5 điểm mặt phẳng và bài toán phủ đĩa tròn bán kính tối ưu.

Nhóm đối tượng thứ ba là sinh viên đại học, học viên cao học chuyên ngành Sư phạm Toán học và Phương pháp Toán sơ cấp. Lợi ích đạt được là nắm bắt cấu trúc chuẩn mực của một công trình nghiên cứu khoa học lý thuyết; use case là sử dụng làm tài liệu tham khảo trực tiếp để viết khóa luận tốt nghiệp hoặc luận văn thạc sĩ chuyên ngành 60 46 01 13.

Nhóm đối tượng thứ tư là kỹ sư khoa học dữ liệu, lập trình viên đồ họa 3D và chuyên gia nghiên cứu thuật toán. Lợi ích là hiểu rõ bản chất hình học tính toán; use case là áp dụng định lý bao lồi và phép phân hoạch đường kính vào thuật toán tìm biên nhận dạng hình ảnh, tối ưu hóa lưới đa giác và phân tích cụm dữ liệu không gian nhiều chiều.

Câu hỏi thường gặp

Khái niệm hình lồi trong luận văn có điểm gì ưu việt hơn định nghĩa trong sách giáo khoa phổ thông? Định nghĩa truyền thống chỉ giới hạn ở đa giác nằm về một phía của đường thẳng chứa cạnh, bỏ sót các hình biên cong. Định nghĩa mở rộng trong luận văn dựa trên tính chất đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ, bao quát trọn vẹn 100% các hình như hình tròn, elip và miền không giới hạn.

Bài toán Borsuk về phân chia đường kính của hình phẳng có kết quả then chốt nào? Kết quả khẳng định mọi hình phẳng đường kính d đều chia được thành tối đa 3 phần có đường kính nhỏ hơn d. Tỷ lệ co đường kính đạt mức căn bậc hai của 3 chia cho 2 nhân d, tức giảm khoảng 13,4% kích thước đường kính ban đầu.

Tại sao hình cầu trong không gian 3 chiều không thể chia thành 3 phần có đường kính nhỏ hơn? Dựa trên tính chất topo đối xứng qua tâm, nếu chia mặt cầu thành 3 phần thì luôn tồn tại ít nhất 1 miền liên thông tự đối xứng chứa 2 điểm xuyên tâm đối. Do đó, đường kính của miền này vẫn bằng d, buộc số phần chia tối thiểu phải bằng 4 phần.

Định lý giao của các hình lồi được áp dụng giải bài toán phủ hình tròn như thế nào trong thực tế? Định lý chứng minh một hệ điểm có thể phủ bởi hình tròn bán kính R khi và chỉ khi họ các hình tròn tâm tại các điểm đó có giao khác rỗng. Bài toán thực tế quy về việc chỉ cần kiểm tra giao điểm chung của từng nhóm 3 hình tròn trên mặt phẳng.

Làm thế nào để xác định bao lồi của một tập hợp n điểm rời rạc trên mặt phẳng? Tác giả sử dụng phương pháp quét tia: chọn điểm biên ngoài cùng, dựng đường thẳng tựa song song rồi quay quanh điểm đó ngược chiều kim đồng hồ để lần lượt bắt gặp các đỉnh tiếp theo, tạo thành đa giác lồi bao phủ 100% các điểm đã cho.

Kết luận

• Công trình đã hệ thống hóa hoàn chỉnh lý thuyết hình lồi mở rộng, điểm biên, đường thẳng tựa và định lý giao khác rỗng Helly trong không gian 1 chiều và 2 chiều.
• Luận văn đã giải quyết xuất sắc bài toán phân chia đường kính của Borsuk, chứng minh định lượng hệ số co đường kính trên mặt phẳng đạt mức 0,866d và khẳng định tính tất yếu của việc chia hình cầu 3 chiều thành 4 phần.
• Tác giả đã phân loại và giải chi tiết 20 bài toán vận dụng thực tiễn trích từ các kỳ thi Olympic toán học, cung cấp công cụ tư duy hình học rời rạc sắc bén.
• Hướng nghiên cứu tiếp theo trong giai đoạn 2018 - 2020 là mở rộng bài toán phân hoạch Borsuk cho không gian n chiều tổng quát và xây dựng thuật toán số hóa giải bài toán bao lồi tự động trên máy tính.
• Quý độc giả, các nhà nghiên cứu và giáo viên toán học hãy tải về, tham khảo và ứng dụng ngay toàn bộ 67 trang công trình luận văn thạc sĩ này vào công tác giảng dạy, nghiên cứu khoa học và phát triển tư duy toán học chuyên sâu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1. Khái niệm về hình lồi [3] Khi học hình học phẳng chúng ta đã làm quen với các hình lồi, chẳng hạn các hình tam giác, các hình bình hành, các hình thang và các đa giác đều là các hình lồi. Hình 1 Trong sách giáo khoa các đa giác lồi được đề cập tới và được định nghĩa như sau: một đa giác là đa giác lồi khi nó nằm về một phía của đường thẳng đi qua một cạnh bất kì. Nhưng định nghĩa này rất hạn chế không thể áp dụng cho hình có ít nhất một cạnh không phải là đoạn thẳng (chẳng hạn hình tròn, các hình e-lip), hoặc là hình không có giới hạn trong mặt phẳng (một góc chẳng hạn).

Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa ra định nghĩa sau đây mở rộng cho các hình không phải là các đa giác.1 Một hình F được gọi là lồi khi và chỉ khi mọi điểm A, B thuộc F thì đoạn AB thuộc F. Hình 2 Dễ thấy rằng các đa giác lồi cũng lồi theo khái niệm này. Và ngoài các đa giác lồi thì các hình tròn, hình elip, hình viên phân hình không có giới hạn trong mặt phẳng cũng là hình lồi. Hình 3 Trong hình trên ta có thể tìm thấy các ví dụ về hình không phải là hình lồi.

Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích là nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó) và bị chặn (có thể phủ nó bằng một hình tròn đủ lớn) được gọi là các oval. Ngoài ra còn có các hình lồi không bị chặn: nửa mặt phẳng, một góc nhỏ hơn 180 độ, một dải, phần mặt phẳng giới hạn bởi một đường thẳng parabol. Các điểm của một hình lồi được chia thành hai loại điểm trong và điểm biên.2 Một điểm gọi là điểm trong của hình lồi F nếu tồn tại một hình tròn nhận nó làm tâm và nằm hoàn toàn trong F. 4 Hình 4 Định nghĩa 1.3 Một điểm gọi là điểm biên của hình lồi F nếu mỗi hình tròn nhận nó làm tâm chứa ít nhất một điểm không thuộc hình lồi F.

Hình 5 Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng thì tập hợp các điểm biên là những đường liên tục được gọi là biên của F. Các oval có biên là một đường khép kín. Các hình trong luận văn này đều được hiểu là các hình đóng có tính cả biên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ.1 Một đường thẳng qua điểm trong hình lồi F cắt biên tại đúng 2 điểm. Khi đó đoạn nối hai điểm này nằm trong F.

Bây giờ xét B là một điểm biên tùy ý của một hình lồi F. Từ B ta kẻ những nửa đường thẳng xuất phát từ B và chạy qua ít nhất một điểm bên trong của F. 5 Hình 6 Các tia này sẽ tạo nên một nửa mặt phẳng hoặc là tạo nên một góc lồi.5 Đường thẳng d đi qua ít nhất một điểm biên và không đi qua điểm trong nào của hình lồi F gọi là đường thẳng tựa của F. Trong trường hợp thứ nhất đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng là đường thẳng tựa duy nhất của F.

Hình 7 Còn trong trường hợp thứ hai, hình F nằm trong miền trong của góc [ nhỏ hơn 180 độ và qua B sẽ có vô hạn đường thẳng tựa của hình ABC [ lồi F: bất kỳ đường thẳng nào không đi qua điểm trong của góc ABC đều sẽ là đường thẳng tựa của F. Các tia tạo nên bởi BA+ và BC + được gọi là nửa tiếp tuyến của F tại B. Tóm lại là đi qua một điểm biên tùy ý của F có ít nhất một đường thẳng tựa.2 Qua một điểm biên B của hình lồi F có ít nhất một đường thẳng tựa.