Giáo trình Toán cao cấp A1 phần Giải tích - Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TPHCM

• Tác giả: Nguyễn Thị Minh Thư
• Trường học: Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TP HCM
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Toán cao cấp A1 phần Giải tích
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng quan về giáo trình Toán cao cấp A1 phần Giải tích

Giáo trình Toán cao cấp A1 phần Giải tích là tài liệu học tập chính thức của Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP.HCM. Giáo trình do Bộ môn Toán biên soạn năm 2013, dưới sự chủ biên của ThS Nguyễn Thị Minh Thư. Nội dung bám sát đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội đồng Khoa học trường phê duyệt. Giáo trình cung cấp nền tảng toán học cần thiết cho sinh viên khối ngành kỹ thuật. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn và dễ hiểu. Nhiều ví dụ minh họa phù hợp với trình độ sinh viên hệ cao đẳng. Sau mỗi chương đều có bài tập rèn luyện giúp sinh viên củng cố kiến thức. Đây là công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình học tập và thi kết thúc học phần.

1.1. Thông tin về giáo trình và tác giả

Giáo trình được xuất bản năm 2013 bởi Bộ môn Toán Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP.HCM. Chủ biên là ThS Nguyễn Thị Minh Thư - Trưởng bộ môn Toán. Đồng biên soạn có ThS Dương Thị Xuân An và ThS Nguyễn Thị Thu Thủy. Tài liệu thuộc dạng lưu hành nội bộ, phục vụ đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kỹ thuật. Giáo trình được xây dựng theo hướng đào tạo tín chỉ, đảm bảo tính hệ thống và khoa học.

1.2. Mục tiêu đào tạo của giáo trình

Giáo trình nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán trong trường. Nội dung giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn Giải tích. Sinh viên được trang bị nền tảng toán học vững chắc để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo. Giáo trình hướng đến giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần đạt hiệu quả tốt. Phần bài tập phong phú hỗ trợ sinh viên tự rèn luyện kỹ năng tính toán.

II. Phân tích nội dung chương trình Giải tích trong giáo trình

Giáo trình Toán cao cấp A1 phần Giải tích bao gồm nhiều chương học quan trọng. Chương I giới thiệu giới hạn và liên tục của hàm một biến. Nội dung bao gồm giới hạn dãy số thực, khái niệm hàm số và giới hạn hàm số. Phần tính liên tục trình bày các khái niệm cơ bản và điểm gián đoạn. Chương II đề cập phép tính vi phân với định nghĩa đạo hàm và quy tắc tính đạo hàm. Đạo hàm cấp cao, vi phân cấp một và cấp cao cũng được giới thiệu đầy đủ. Các định lý về giá trị trung bình và công thức Taylor được trình bày chi tiết. Ứng dụng của đạo hàm bao gồm quy tắc L'Hospital và tìm cực trị. Giáo trình còn giới thiệu phân thức hữu tỷ và các phép tính tích phân cơ bản.

2.1. Chương I Giới hạn và tính liên tục

2.2. Chương II Phép tính vi phân

III. Phương pháp học tập giáo trình Toán cao cấp A1 hiệu quả

Học tập giáo trình Toán cao cấp A1 đòi hỏi phương pháp đúng đắn. Đầu tiên, sinh viên cần nắm vững lý thuyết trước khi làm bài tập. Mỗi khái niệm đều có ví dụ minh họa cụ thể trong giáo trình. Việc đọc kỹ các ví dụ giúp hiểu cách áp dụng công thức vào bài toán. Thứ hai, sinh viên nên làm bài tập cuối mỗi chương một cách hệ thống. Bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, phù hợp cho việc tự học. Thứ ba, cần hiểu rõ mối liên hệ giữa các chương học. Kiến thức về giới hạn là nền tảng cho đạo hàm và tích phân. Thứ tư, luyện tập thường xuyên giúp ghi nhớ công thức lâu dài. Cuối cùng, sinh viên nên tham khảo thêm tài liệu ngoài để mở rộng kiến thức.

3.1. Cách tiếp cận từng chương học

3.2. Mẹo ghi nhớ công thức và kỹ năng tính toán

IV. Ứng dụng của giáo trình Toán cao cấp A1 trong đào tạo kỹ thuật

Giáo trình Toán cao cấp A1 có vai trò quan trọng trong đào tạo kỹ thuật. Nền tảng Giải tích giúp sinh viên tiếp cận các môn chuyên ngành dễ dàng hơn. Kiến thức về đạo hàm ứng dụng trong tối ưu hóa và phân tích hàm số. Công thức Taylor được sử dụng trong kỹ thuật xấp xỉ và tính toán số. Quy tắc L'Hospital giải quyết các bài toán giới hạn phức tạp trong thực tế. Tích phân phục vụ tính toán diện tích, thể tích và các đại lượng vật lý. Giáo trình cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho các kỳ thi chuyển tiếp. Nội dung bám sát thực tiễn giúp sinh viên áp dụng kiến thức vào công việc sau này. Chương trình đào tạo tín chỉ tạo điều kiện cho sinh viên học tập linh hoạt.

4.1. Vai trò trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng

4.2. Hướng phát triển và cập nhật giáo trình

Trích đoạn nội dung tài liệu

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 PHẦN GIẢI TÍCH KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn 2 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách là phần Giải tích giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kỹ thuật. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ [e-mail] Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN 3 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN PHẦN GIẢI TÍCH 4 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MỤC LỤC PHẦN GIẢI TÍCH CHƯƠNG I 9 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BIẾN 1.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC 9 I. Định nghĩa giới hạn của dãy số thực II. Một số giới hạn cơ bản 1.2 CÁC KHÁI NIÊM CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ 15 I. Các định nghĩa II. Các hàm sơ cấp cơ bản 1.3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 23 I. Định nghĩa giới hạn của hàm số II. Vô cùng bé và vô cùng lớn ∞ 0 III. Khử dạng vô định ; và ∞ - ∞ ; 0.4 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 36 I. Các khái niệm cơ bản II. Điểm gián đoạn BÀI TẬP CHƯƠNG I 40 CHƯƠNG II 42 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 2. Định nghĩa đạo hàm II. Các quy tắc tính đạo hàm III. Đạo hàm cấp cao 2. Định nghĩa vi phân cấp 1 II. Các công thức tính vi phân III. Vi phân cấp cao 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 55 I. Định nghĩa II. Các định lý về giá trị trung bình 5 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 2.4 CÔNG THỨC TAYLOR 58 I. Công thức Taylor và công thức Maclaurin II. Ứng dụng của công thức Taylor 2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 67 I. Quy tắc L’Hospital II. Tìm cực trị BÀI TẬP CHƯƠNG II 70 CHƯƠNG III 72 TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 72 I. Nguyên hàm và định nghĩa tích phân bất định II. Các phương pháp tính tích phân bất định III. Tích phân một số hàm sơ cấp 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 87 I. Định nghĩa tích phân xác định II. Công thức Newton – Leibnitz III. Các phương pháp tính 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 94 I. Trường hợp tính tích phân có cận là vô hạn II. Trường hợp tính tích phân có điểm gián đoạn trong khoảng lấy tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG III 111 CHƯƠNG IV 114 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN 114 I. Định nghĩa hàm nhiều biến II. Giới hạn của hàm hai biến số III. Sự liên tục của hàm hai biến số 4.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP 1 122 I. Định nghĩa đạo hàm riêng II. Vi phân toàn phần cấp 1 III. Ứng dụng vi phân tính gần đúng IV. Đạo hàm của hàm hợp V. Đạo hàm của hàm ẩn 6 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 4.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO 129 I. Định nghĩa đạo hàm riêng cấp 2 II. Vi phân toàn phần cấp 2 4.4 CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 135 I. Khái niệm cực trị II. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm 2 biến BÀI TẬP CHƯƠNG IV 140 CHƯƠNG V CHUỖI 142 5. Các khái niệm và tính chất II.Chuỗi số dương III.Chuỗi có dấu bất kỳ 1. Chuỗi đan dấu 2. Chuỗi có dấu bất kỳ 5.2 CHUỖI HÀM BẤT KỲ 162 5.Định nghĩa II.Cách tìm bán kính hội tụ III.Khai triển 1 số hàm thành chuỗi lũy thừa 5.Định nghĩa II.Điều kiện để hàm số có thể khai triển thành chuỗi Fourier BÀI TẬP CHƯƠNG V 193 ĐỀ THI THAM KHẢO 198 TÀI LIỆU THAM KHẢO 199 7 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN 8 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM 1 BIẾN 1. 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I. Định nghĩa giới hạn của dãy số thực 1. Các khái niệm cơ bản a) Dãy số thực: ánh xạ f : → , n x n được gọi là một dãy số thực, gọi tắt là dãy số Ký hiệu: {xn}, (xn) VÍ DỤ 1 ⎧1 ⎫ ⎧ (−1)n 2n + 1⎫ xn = ⎨ ⎬ , xn = ⎨ ⎬ , yn = {3n + 1} ⎩n⎭ ⎩ n2 ⎭ Chú ý: Tuỳ thuộc vào công thức xác định của dãy mà ánh xạ đi từ hay * b) Dãy con: Dãy { x n } được gọi là một dãy con của dãy{xn} k nếu mỗi phần tử của { x n } cũng là một phần tử của dãy {xn} . k (các phần tử của dãy con được trích ra từ dãy mẹ {xn}) ⎧1⎫ ⎧1⎫ ⎧1 ⎫ VÍ DỤ 2 Các dãy ⎨ ⎬ , ⎨ ⎬ là dãy con của dãy ⎨ ⎬ ⎩ 2n ⎭ ⎩ 3n ⎭ ⎩n ⎭ c) Dãy tăng là dãy có xn < xn+1; ∀ n ∈ VÍ DỤ 3 xn = {2 n + 3} là dãy tăng d) Dãy giảm là dãy có xn > xn+1 ; ∀ n ∈ 1 ⎫ VÍ DỤ 4 xn = ⎧ ⎨ ⎬ là dãy giảm ⎩ n + 1 ⎭ Để kiểm tra một dãy số tăng hay giảm chúng ta có 2 cách: + Cách 1 9 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN x n+1 x > 1 thì daõ y taê ng; n+1 < 1 thì daõ y giaû m neá u x n > 0∀n xn xn + Cách 2 x n +1 − xn > 0 thì daõ y taê ng; xn +1 − x n < 0 thì daõ y giaû m 2. Giới hạn của dãy số a) Định nghĩa 1 Số L được gọi là giới hạn của dãy {xn} khi n dần ra vô cùng nếu ∀ε > 0; ∃ n0 ∈ : ∀n > n0 thì xn − L < ε . Khi đó ta cũng nói dãy {xn} hội tụ về L và viết: n →∞ x n → L khi n → ∞; hay x n → L ; hay lim n →∞ xn = L * Dãy không tồn tại giới hạn, tức là dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ * Dãy có giới hạn là vô hạn ( ± ∞ ) thì gọi là dãy có giới hạn vô hạn. Ký hiệu: x n → ±∞ khi n → ∞ hay lim x n = ±∞ n →∞ (−1)n VÍ DỤ 5 Chứng minh rằng lim =0 n →∞ 3n2 − 5 Thật vậy (−1)n 1 1 1 1 1 ∀ε > 0, −0 <ε ⇔ 2 < ε ⇔ n2 > ( + 5) ⇔ n > ( + 5) 3n − 5 2 3n − 5 3 ε 3 ε ⎡ 1 1 ⎤ Như vậy nếu ta đặt n0 = ⎢ ( + 5) ⎥ + 1 ⎣ 3 ε ⎦ thì ta có ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ : ∀ n > n0 thì x n − 0 < ε 10 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN Tương tự ta có 1 (−1)n 2n 2 + 100 2 lim = 0; lim = 0; lim = n →∞ n 2n n →∞ n →∞ 3n2 3 lim(n) = +∞; n →∞ lim( n →∞ −3n2 ) = −∞ b) Định nghĩa 2 (Giới hạn riêng của dãy) Mỗi dãy con { x n } của dãy {xn} nếu có giới hạn thì giới hạn k đó được gọi là giới hạn riêng của dãy {xn}. VÍ DỤ 6 Dãy xn={(-1)nn}có hai dãy con là{2n}và{-(2n+1)} thì{2n} → +∞ khi n → ∞ và {-(2n+1)} → −∞ khi n → −∞ . Khi đó ±∞ được gọi là giới hạn riêng của dãy đã cho Chú ý: dãy {xn} có hai dãy con dần đến 2 giới hạn khác nhau thì dãy {xn} không tồn tại giới hạn ⎛ ⎡π ⎤⎞ Dãy xn = sin ⎜ ⎡( −1) + 1⎤ ⎢ π n VÍ DỤ 7 + n ⎥⎦ ⎟ có các ⎝⎣ ⎦⎣4 ⎠ ⎛π ⎞ dãy con là: x2 n = sin ⎜ + n 2π ⎟ = 1 và x2 n +1 = 0 . Các dãy ⎝2 ⎠ con này tương ứng có các giới hạn là 1 và 0, các giới hạn này là các giới hạn riêng của dãy xn 3. Các tính chất về giới hạn của dãy ĐỊNH LÝ 1 -Dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất -Dãy hội tụ thì giới nội (tức tồn tại (a,b) chứa tất cả các giá trị của dãy xn) ĐỊNH LÝ 2 (tính tuyến tính của giới hạn) Cho hai dãy số hội tụ { xn } → a và { yn } → b khi n → ∞ ; a, b ≠ ±∞ 11 TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN a) lim ( xn + yn ) = lim xn + lim yn = a + b n →∞ n →∞ n →∞ b) lim ( Cxn ) = Ca ∀C ∈ n →∞ c) lim ( C + xn ) = C + a ∀C ∈ n →∞ d) lim ( xn . yn ) = lim xn .