Cơ Học Lượng Tử: Bài Giảng Chuyên Sâu - The University of Texas at Austin

I. Khám Phá Cơ Học Lượng Tử Từ Khủng Hoảng Đến Cách Mạng

Cơ học lượng tử ra đời từ những khủng hoảng của vật lý cổ điển vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Các lý thuyết của Newton và Maxwell, vốn rất thành công trong việc mô tả thế giới vĩ mô, đã hoàn toàn thất bại khi áp dụng vào quy mô nguyên tử. Hai vấn đề lớn nhất bấy giờ là bức xạ vật đen và sự ổn định của nguyên tử. Lý thuyết cổ điển dự đoán rằng một vật đen tuyệt đối sẽ phát ra năng lượng vô hạn ở các tần số cao, một nghịch lý được gọi là "thảm họa tử ngoại". Thêm vào đó, mô hình hành tinh nguyên tử của Ernest Rutherford, dù giải thích được kết quả tán xạ hạt alpha, lại mâu thuẫn với điện động lực học cổ điển. Theo lý thuyết, một electron chuyển động trên quỹ đạo sẽ liên tục bức xạ năng lượng, mất dần năng lượng và rơi vào hạt nhân chỉ trong một khoảnh khắc. Điều này cho thấy các nguyên tử không thể bền vững, trái ngược hoàn toàn với thực tế. Những bế tắc này đã thúc đẩy một cuộc cách mạng trong tư duy vật lý. Max Planck vào năm 1900 đã khởi đầu cuộc cách mạng này khi đề xuất rằng năng lượng không phải là một đại lượng liên tục mà được lượng tử hóa thành các gói gián đoạn, gọi là "lượng tử năng lượng". Giả thuyết táo bạo này đã giải quyết thành công bài toán bức xạ vật đen và đặt nền móng cho sự phát triển của cơ học lượng tử. Các công trình tiếp theo của Albert Einstein về hiệu ứng quang điện và của Niels Bohr về mô hình nguyên tử đã củng cố thêm ý tưởng về sự lượng tử hóa. Bài giảng chuyên sâu này sẽ đi từ những khái niệm lịch sử đến các nguyên lý toán học phức tạp, cung cấp một cái nhìn toàn diện về một trong những lý thuyết vật lý quan trọng nhất từng được phát triển.

1.1. Lịch sử hình thành và các vấn đề vật lý cổ điển

Lịch sử của cơ học lượng tử bắt nguồn từ việc các nhà vật lý cố gắng giải thích các hiện tượng mà vật lý cổ điển không thể làm được. Công thức Rayleigh-Jeans, dựa trên các nguyên tắc cổ điển, đã dự đoán sai lầm về mật độ năng lượng của bức xạ vật đen, dẫn đến "thảm họa tử ngoại". Max Planck đã đưa ra một giải pháp mang tính cách mạng: năng lượng của các dao động tử phát ra bức xạ chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn, là bội số nguyên của hν, với h là hằng số Planck. Giả thuyết này, dù ban đầu chỉ là một "thủ thuật toán học", đã phù hợp một cách hoàn hảo với dữ liệu thực nghiệm. Tiếp đó, Albert Einstein đã mở rộng ý tưởng này vào năm 1905, cho rằng chính ánh sáng cũng bao gồm các hạt năng lượng, sau này được gọi là photon, để giải thích hiệu ứng quang điện. Đây là bước đi quan trọng xác lập nên lưỡng tính sóng-hạt của ánh sáng. Những thành công ban đầu này cho thấy các định luật vật lý ở cấp độ vi mô hoàn toàn khác biệt so với thế giới mà chúng ta quan sát hàng ngày.

1.2. Vai trò của hằng số Planck và các thí nghiệm then chốt

Hằng số Planck (h) trở thành viên đá tảng của cơ học lượng tử. Giá trị của nó, dù rất nhỏ (khoảng 6.626 x 10⁻³⁴ J·s), lại là chìa khóa để hiểu thế giới hạ nguyên tử. Các thí nghiệm sau đó đã liên tục xác nhận vai trò trung tâm của nó. Thí nghiệm tán xạ của Arthur Compton vào năm 1923 đã chứng minh một cách thuyết phục rằng photon có động lượng, và va chạm của chúng với electron tuân theo các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng, củng cố bản chất hạt của ánh sáng. Song song đó, thí nghiệm của Davisson và Germer năm 1927 đã cho thấy các electron cũng thể hiện tính chất sóng khi bị nhiễu xạ bởi một tinh thể niken. Kết quả này đã xác thực giả thuyết của Louis de Broglie rằng mọi vật chất đều có lưỡng tính sóng-hạt. Những thí nghiệm này không chỉ là bằng chứng thực nghiệm mà còn là kim chỉ nam định hướng cho sự phát triển các lý thuyết toán học hoàn chỉnh của cơ học lượng tử sau này.

II. Thách Thức Của Phổ Nguyên Tử Và Các Mô Hình Lượng Tử Đầu Tiên

Một trong những bí ẩn lớn nhất của vật lý thế kỷ 19 là phổ nguyên tử. Khi các chất khí bị kích thích, chúng chỉ phát ra ánh sáng ở những tần số cụ thể, tạo thành các vạch quang phổ đặc trưng cho từng nguyên tố. Nguyên lý tổ hợp Ritz cho thấy các tần số này có thể được biểu diễn bằng hiệu của các "số hạng" (terms), nhưng không ai hiểu tại sao. Mô hình nguyên tử của Rutherford không thể giải thích được hiện tượng này. Chính Niels Bohr, vào năm 1913, đã kết hợp mô hình hành tinh với ý tưởng lượng tử hóa để giải quyết vấn đề. Ông đề xuất rằng electron chỉ có thể tồn tại trên các "quỹ đạo dừng" với các mức năng lượng xác định. Một photon được phát ra hoặc hấp thụ khi electron nhảy giữa các quỹ đạo này, và tần số của nó được xác định bởi sự chênh lệch năng lượng: ν = (Em - En)/h. Bohr cũng đưa ra một điều kiện lượng tử hóa cho moment động lượng: mvr = nħ, với ħ = h/2π. Mô hình này đã thành công rực rỡ trong việc tính toán chính xác các vạch quang phổ của nguyên tử hydro. Tuy nhiên, lý thuyết của Bohr vẫn còn nhiều hạn chế: nó chỉ áp dụng được cho các hệ một electron và không giải thích được tại sao các quỹ đạo lại được lượng tử hóa. Dù chưa phải là một lý thuyết hoàn chỉnh, mô hình Bohr là một bước tiến vĩ đại, mở đường cho sự phát triển của một lý thuyết cơ học lượng tử tổng quát hơn.

2.1. Phân tích phổ hydro và công thức của Bohr

Mô hình của Niels Bohr đã cung cấp một công thức toán học chính xác cho các mức năng lượng của nguyên tử hydro: En = -Z²e⁴mₑ / (2n²ħ²). Từ công thức này, tần số của các vạch quang phổ có thể được tính toán một cách hoàn hảo, khớp với các dãy quang phổ đã được quan sát thực nghiệm như dãy Lyman, Balmer và Paschen. Sự thành công này là một minh chứng mạnh mẽ cho ý tưởng về các trạng thái năng lượng lượng tử hóa. Bohr đã sử dụng "nguyên lý tương ứng", cho rằng ở các số lượng tử lớn (n lớn), các kết quả của cơ học lượng tử phải tiệm cận với vật lý cổ điển. Điều này giúp ông xác định được hằng số cơ bản ħ. Dù thành công với hydro, mô hình bán cổ điển của Bohr vẫn không thể giải thích cường độ của các vạch quang phổ hay cấu trúc tinh tế (fine structure) của chúng. Nó là một bước đệm quan trọng, nhưng một lý thuyết sâu sắc hơn là cần thiết để mô tả đầy đủ hành vi của nguyên tử.

2.2. Giả thuyết de Broglie và cơ học sóng sơ khởi

Năm 1923, Louis de Broglie đã đưa ra một giả thuyết đột phá: không chỉ ánh sáng, mà mọi hạt vật chất đều có tính chất sóng. Ông đề xuất rằng một hạt có động lượng p sẽ tương ứng với một sóng có bước sóng λ = h/p. Giả thuyết này đã cung cấp một lời giải thích tự nhiên cho điều kiện lượng tử hóa của Bohr. Nếu electron được xem như một sóng, thì để quỹ đạo của nó ổn định, chu vi quỹ đạo phải bằng một số nguyên lần bước sóng, 2πr = nλ. Thay λ = h/p và p = mv, ta có 2πr = nh/mv, hay mvr = nh/2π = nħ, chính là điều kiện của Bohr. Ý tưởng về sóng vật chất đã biến một quy tắc tùy ý thành một điều kiện vật lý hợp lý. Giả thuyết này đã mở ra một hướng đi hoàn toàn mới, dẫn đến sự phát triển của cơ học sóng bởi Erwin Schrödinger, một trong hai trụ cột toán học chính của cơ học lượng tử hiện đại.

III. Hướng Dẫn Về Cơ Học Sóng Phương Trình Schrödinger

Năm 1926, Erwin Schrödinger đã xây dựng một lý thuyết toán học hoàn chỉnh dựa trên ý tưởng về sóng vật chất của de Broglie, được gọi là cơ học sóng. Trái tim của lý thuyết này là phương trình Schrödinger, một phương trình vi phân mô tả sự tiến hóa của hàm sóng ψ(x, t) theo không gian và thời gian. Hàm sóng chứa đựng mọi thông tin có thể biết về một hệ lượng tử. Đối với các trạng thái có năng lượng xác định E, phương trình Schrödinger độc lập thời gian có dạng Hψ = Eψ, trong đó H là toán tử Hamilton, đại diện cho tổng năng lượng của hệ. Điều quan trọng là phương trình này chỉ có các nghiệm hợp lý (hữu hạn, đơn trị) cho một tập hợp các giá trị năng lượng E gián đoạn, gọi là các trị riêng năng lượng. Chính các điều kiện biên của hàm sóng đã dẫn đến sự lượng tử hóa một cách tự nhiên, không cần các giả định tùy ý như trong mô hình Bohr. Cơ học sóng đã được áp dụng thành công để giải các bài toán quan trọng như dao động tử điều hòa và nguyên tử hydro, cho kết quả hoàn toàn trùng khớp với thực nghiệm và lý thuyết của Bohr. Theo diễn giải của Max Born, bình phương module của hàm sóng, |ψ|², biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí nhất định. Đây là một sự thay đổi căn bản từ tính tất định của vật lý cổ điển sang tính xác suất của cơ học lượng tử.

3.1. Xây dựng phương trình Schrödinger độc lập thời gian

Phương trình Schrödinger cho các trạng thái dừng (năng lượng không đổi) được xây dựng dựa trên sự tương ứng giữa các đại lượng vật lý và các toán tử. Năng lượng cổ điển E = p²/2m + V(x) được chuyển thành phương trình toán tử. Động lượng p được thay thế bằng toán tử −iħ∇, và năng lượng E được thay thế bằng toán tử iħ∂/∂t. Đối với trạng thái dừng, ψ(x, t) = ψ(x)e⁻ⁱᴱᵗ/ħ, toán tử năng lượng trở thành phép nhân với hằng số E. Từ đó, ta có phương trình Schrödinger độc lập thời gian: [−(ħ²/2m)∇² + V(x)]ψ(x) = Eψ(x). Phương trình này là một phương trình trị riêng, trong đó E là các trị riêng (mức năng lượng cho phép) và ψ(x) là các hàm riêng tương ứng. Việc giải phương trình này cho các thế năng V(x) khác nhau là một nhiệm vụ trung tâm của cơ học lượng tử.

3.2. Diễn giải xác suất của hàm sóng theo Max Born

Ban đầu, Schrödinger cho rằng |ψ|² biểu thị mật độ vật chất của hạt bị "trải rộng" trong không gian. Tuy nhiên, diễn giải này gặp khó khăn, đặc biệt trong các bài toán tán xạ. Max Born đã đề xuất một diễn giải hoàn toàn khác và được chấp nhận rộng rãi: hàm sóng không mô tả bản thân hạt, mà mô tả xác suất tìm thấy hạt. Cụ thể, |ψ(x, t)|²d³x là xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích nhỏ d³x tại vị trí x và thời điểm t. Điều này có nghĩa là cơ học lượng tử về cơ bản là một lý thuyết xác suất. Vị trí, động lượng và các thuộc tính khác của hạt không có giá trị xác định cho đến khi chúng được đo. Trước khi đo, hạt tồn tại trong một trạng thái chồng chập của nhiều khả năng. Diễn giải xác suất này là một trong những khía cạnh phản trực giác nhất nhưng cũng là một trong những nền tảng cốt lõi của lý thuyết.

IV. Nguyên Lý Tổng Quát Của Cơ Học Lượng Tử Không Gian Hilbert

Song song với cơ học sóng của Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born và Pascual Jordan đã phát triển một hình thức toán học khác cho cơ học lượng tử gọi là cơ học ma trận. Thay vì dùng hàm sóng, lý thuyết này biểu diễn các đại lượng vật lý như vị trí và động lượng bằng các ma trận vô hạn chiều. Các mức năng lượng của hệ được tìm thấy bằng cách chéo hóa ma trận Hamilton. Mặc dù trông rất khác biệt, Schrödinger sau đó đã chứng minh rằng hai cách tiếp cận này là hoàn toàn tương đương về mặt toán học. Paul Dirac đã tổng quát hóa cả hai thành một khuôn khổ trừu tượng và mạnh mẽ hơn, sử dụng khái niệm không gian Hilbert. Trong hình thức luận này, trạng thái của một hệ lượng tử được biểu diễn bằng một vector trong một không gian vector phức gọi là không gian Hilbert. Các đại lượng quan sát được (như năng lượng, động lượng) được biểu diễn bằng các toán tử Hermite tác động lên các vector trạng thái này. Kết quả của một phép đo chỉ có thể là một trong các trị riêng của toán tử tương ứng. Cách tiếp cận này không chỉ thống nhất cơ học sóng và cơ học ma trận mà còn cung cấp một nền tảng vững chắc để xử lý các khái niệm phức tạp hơn như spin, một thuộc tính lượng tử nội tại không có tương tự trong vật lý cổ điển. Đây là ngôn ngữ chuẩn của cơ học lượng tử hiện đại.

4.1. Giới thiệu cơ học ma trận của Werner Heisenberg

Cơ học ma trận của Heisenberg từ bỏ hoàn toàn các khái niệm trực quan như quỹ đạo. Thay vào đó, nó tập trung vào các đại lượng có thể quan sát được như tần số và cường độ của các vạch quang phổ, vốn liên quan đến các quá trình chuyển dời giữa các trạng thái. Heisenberg biểu diễn vị trí x và động lượng p bằng các ma trận, và chúng không giao hoán với nhau. Hệ thức giao hoán kinh điển xp - px = iħ là cốt lõi của cơ học ma trận. Hệ thức này dẫn trực tiếp đến nguyên lý bất định Heisenberg, phát biểu rằng không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí và động lượng của một hạt. Cơ học ma trận đã giải thành công bài toán dao động tử điều hòa và, với sự nỗ lực toán học đáng kể của Wolfgang Pauli, cả nguyên tử hydro. Dù khó hình dung hơn cơ học sóng, nó lại có ưu điểm trong việc xử lý các đại lượng không có biểu diễn không gian đơn giản như spin.

4.2. Trạng thái lượng tử và không gian Hilbert theo Paul Dirac

Paul Dirac đã cung cấp một công thức tổng quát cho cơ học lượng tử. Trong đó, mỗi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý tương ứng với một vector trong không gian Hilbert. Các phép đo tương ứng với việc chiếu vector trạng thái này lên các vector cơ sở (các trạng thái riêng). Xác suất của một kết quả đo cụ thể được cho bởi bình phương độ lớn của thành phần tương ứng. Ví dụ, nếu một trạng thái |ψ⟩ được biểu diễn qua các trạng thái riêng năng lượng |Eₙ⟩ là |ψ⟩ = Σcₙ|Eₙ⟩, thì xác suất đo được năng lượng Eₙ là |cₙ|². Hình thức luận này rất mạnh mẽ vì nó trừu tượng hóa khỏi một biểu diễn cụ thể (hàm sóng trong không gian vị trí hay các vector cột trong cơ học ma trận), cho phép các nhà vật lý làm việc với các nguyên tắc cơ bản một cách linh hoạt và hiệu quả hơn. Ký hiệu bra-ket của Dirac cũng đơn giản hóa đáng kể các phép tính trong cơ học lượng tử.

V. Ứng Dụng Đột Phá Của Cơ Học Lượng Tử Trong Thực Tiễn

Các nguyên lý của cơ học lượng tử không chỉ là những khái niệm lý thuyết trừu tượng mà còn là nền tảng cho vô số công nghệ hiện đại. Từ laser, chất bán dẫn trong máy tính và điện thoại thông minh, đến hình ảnh cộng hưởng từ (MRI) trong y học, tất cả đều dựa trên sự hiểu biết về hành vi của vật chất ở cấp độ lượng tử. Một trong những ứng dụng đáng chú ý nhất là lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn, giải thích tại sao một số vật liệu là chất dẫn điện, một số là chất cách điện, và số khác là chất bán dẫn. Khái niệm spin của electron không chỉ quan trọng trong việc giải thích bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học (thông qua nguyên lý loại trừ Pauli) mà còn là cơ sở cho công nghệ spintronics, hứa hẹn tạo ra các thiết bị lưu trữ dữ liệu nhanh hơn và tiết kiệm năng lượng hơn. Gần đây, các hiện tượng kỳ lạ như vướng víu lượng tử và chồng chập đang được khai thác để phát triển các lĩnh vực mới như máy tính lượng tử và mật mã lượng tử. Một máy tính lượng tử có khả năng giải quyết các bài toán mà máy tính cổ điển mạnh nhất cũng phải mất hàng tỷ năm để hoàn thành. Sự phát triển của các công nghệ này cho thấy cơ học lượng tử vẫn tiếp tục là động lực chính cho sự đổi mới khoa học và công nghệ trong thế kỷ 21.

5.1. Spin nguyên lý loại trừ Pauli và bảng tuần hoàn

Spin là một dạng moment động lượng nội tại của hạt, không có tương tự trong thế giới cổ điển. Đối với electron, spin có thể nhận hai giá trị, "up" hoặc "down". Nguyên lý loại trừ Pauli phát biểu rằng không có hai fermion nào (như electron) trong cùng một hệ có thể có cùng một bộ số lượng tử. Nguyên lý này là chìa khóa để hiểu cấu trúc của nguyên tử và sự sắp xếp của các nguyên tố trong bảng tuần hoàn. Các electron điền vào các lớp và phân lớp năng lượng theo cách sao cho năng lượng tổng là thấp nhất, nhưng mỗi trạng thái quỹ đạo chỉ có thể chứa tối đa hai electron với spin ngược chiều nhau. Điều này giải thích tính trơ của các khí hiếm và tính hoạt động hóa học của các nguyên tố khác, đặt nền móng cho toàn bộ ngành hóa học hiện đại.

5.2. Vướng víu lượng tử và tiềm năng của máy tính lượng tử

Vướng víu lượng tử là hiện tượng trong đó hai hay nhiều hạt lượng tử được liên kết với nhau theo một cách đặc biệt, bất kể khoảng cách không gian giữa chúng. Einstein gọi đây là "hành động ma quái ở khoảng cách xa". Nếu hai hạt vướng víu, việc đo một thuộc tính của hạt này (ví dụ, spin) sẽ ngay lập tức xác định giá trị tương ứng của hạt kia. Hiện tượng này thách thức các quan niệm cổ điển về cục bộ và hiện thực. Ngày nay, vướng víu lượng tử là tài nguyên cốt lõi cho máy tính lượng tử. Thay vì các bit cổ điển (0 hoặc 1), máy tính lượng tử sử dụng các qubit, có thể tồn tại trong trạng thái chồng chập của cả 0 và 1. Nhờ vướng víu, các qubit có thể thực hiện các phép tính song song trên một quy mô khổng lồ, mở ra tiềm năng giải quyết các vấn đề phức tạp trong hóa học, dược phẩm, và trí tuệ nhân tạo.

VI. Tương Lai Và Các Diễn Giải Triết Học Của Cơ Học Lượng Tử

Mặc dù cơ học lượng tử đã thành công vang dội trong việc dự đoán kết quả thực nghiệm, những ý nghĩa triết học sâu xa của nó vẫn là chủ đề tranh luận sôi nổi. Diễn giải Copenhagen, được phát triển bởi Bohr và Heisenberg, là diễn giải chính thống trong nhiều thập kỷ. Nó cho rằng các thuộc tính của một hệ lượng tử không tồn tại cho đến khi được đo, và hành động đo lường gây ra "sự sụp đổ của hàm sóng" từ một trạng thái chồng chập thành một trạng thái xác định. Tuy nhiên, nhiều nhà vật lý, bao gồm cả Einstein và Schrödinger, cảm thấy không hài lòng với vai trò đặc biệt của người quan sát và tính ngẫu nhiên nội tại của diễn giải này. Điều này đã dẫn đến sự ra đời của các diễn giải thay thế. Diễn giải nhiều thế giới của Hugh Everett đề xuất rằng không có sự sụp đổ nào cả; thay vào đó, mỗi kết quả đo khả dĩ đều xảy ra trong một vũ trụ riêng biệt, phân nhánh từ vũ trụ của chúng ta. Các lý thuyết biến ẩn, như của David Bohm, lại cho rằng tính ngẫu nhiên chỉ là biểu kiến, và có một tầng hiện thực sâu hơn, tất định mà chúng ta chưa tiếp cận được. Cuộc tranh luận về bản chất của thực tại lượng tử vẫn tiếp diễn, thúc đẩy các nghiên cứu mới về nền tảng của cơ học lượng tử và mối liên hệ của nó với lực hấp dẫn và vũ trụ học.

6.1. Phân tích diễn giải Copenhagen và nghịch lý đo lường

Diễn giải Copenhagen đặt ra một ranh giới mờ nhạt giữa thế giới lượng tử vi mô và thế giới cổ điển vĩ mô của các thiết bị đo. Vấn đề cốt lõi, được gọi là "nghịch lý đo lường", là làm thế nào và tại sao hành động đo lường lại buộc một hệ lượng tử phải từ bỏ trạng thái chồng chập để chọn một kết quả duy nhất. Thí nghiệm tưởng tượng "con mèo của Schrödinger" đã làm nổi bật sự kỳ lạ này, trong đó một con mèo có thể ở trong trạng thái chồng chập giữa sống và chết cho đến khi được quan sát. Các khái niệm hiện đại như sự mất kết hợp lượng tử (decoherence) đã cung cấp một phần lời giải, cho thấy sự tương tác của hệ lượng tử với môi trường xung quanh sẽ nhanh chóng phá hủy trạng thái chồng chập, tạo ra vẻ ngoài của một thế giới cổ điển. Tuy nhiên, câu hỏi về việc xác suất đến từ đâu và vai trò của ý thức vẫn còn bỏ ngỏ.

6.2. Các hướng nghiên cứu tiên tiến Diễn giải nhiều thế giới

Diễn giải nhiều thế giới (Many-Worlds Interpretation - MWI) là một trong những lựa chọn thay thế hàng đầu cho diễn giải Copenhagen. Theo MWI, toàn bộ vũ trụ được mô tả bởi một hàm sóng duy nhất và nó luôn tiến hóa theo phương trình Schrödinger một cách tất định. Không có "sự sụp đổ". Thay vào đó, mỗi khi một phép đo lượng tử được thực hiện, vũ trụ sẽ phân nhánh thành nhiều vũ trụ song song, mỗi vũ trụ tương ứng với một kết quả khả dĩ của phép đo. Trong một vũ trụ, bạn thấy spin up, trong một vũ trụ khác, một bản sao của bạn thấy spin down. Dù nghe có vẻ xa vời, MWI lại hấp dẫn về mặt toán học vì sự đơn giản và loại bỏ được vai trò đặc biệt của phép đo. Diễn giải này đang ngày càng nhận được sự chú ý trong các lĩnh vực vũ trụ học lượng tử và nghiên cứu nền tảng của cơ học lượng tử, cho thấy cuộc tìm kiếm để hiểu thực tại vẫn còn rất nhiều điều thú vị ở phía trước.

Bài Giảng Cơ Học Lượng Tử Nâng Cao - Steven Weinberg, Đại Học Texas

PREFACE

NOTATION

1. CHƯƠNG 1: HISTORICAL INTRODUCTION

1.1. Photons

1.2. Atomic Spectra

1.3. Wave Mechanics

1.4. Matrix Mechanics

1.5. Probabilistic Interpretation

2. CHƯƠNG 2: PARTICLE STATES IN A CENTRAL POTENTIAL

2.1. Schrödinger Equation for a Central Potential

2.2. Spherical Harmonics

2.3. The Hydrogen Atom

2.4. The Two-Body Problem

2.5. The Harmonic Oscillator

3. CHƯƠNG 3: GENERAL PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS

3.1. States

3.2. Continuum States

3.3. Observables

3.4. Symmetries

3.5. Space Translation

3.6. Time Translation

3.7. Interpretations of Quantum Mechanics

4. CHƯƠNG 4: SPIN ET CETERA

4.1. Rotations

4.2. Angular Momentum Multiplets

4.3. Addition of Angular Momenta

4.4. The Wigner–Eckart Theorem

4.5. Bosons and Fermions

4.6. Internal Symmetries

4.7. Inversions

4.8. Algebraic Derivation of the Hydrogen Spectrum

5. CHƯƠNG 5: APPROXIMATIONS FOR ENERGY EIGENVALUES

5.1. First-Order Perturbation Theory

5.2. The Zeeman Effect

5.3. The First-Order Stark Effect

5.4. Second-Order Perturbation Theory

5.5. The Variational Method

5.6. The Born–Oppenheimer Approximation

5.7. The WKB Approximation

5.8. Broken Symmetry

6. CHƯƠNG 6: APPROXIMATIONS FOR TIME-DEPENDENT PROBLEMS

6.1. First-Order Perturbation Theory

6.2. Monochromatic Perturbations

6.3. Ionization by an Electromagnetic Wave

6.4. Fluctuating Perturbations

6.5. Absorption and Stimulated Emission of Radiation

6.6. The Adiabatic Approximation

6.7. The Berry Phase

7. CHƯƠNG 7: POTENTIAL SCATTERING

7.1. In-States

7.2. Scattering Amplitudes

7.3. The Optical Theorem

7.4. The Born Approximation

7.5. Phase Shifts

7.6. Resonances

7.7. Time Delay

7.8. Levinson’s Theorem

7.9. Coulomb Scattering

7.10. The Eikonal Approximation

8. CHƯƠNG 8: GENERAL SCATTERING THEORY

8.1. The S-Matrix

8.2. Rates

8.3. The General Optical Theorem

8.4. The Partial Wave Expansion

8.5. Resonances Revisited

8.6. Old-Fashioned Perturbation Theory

8.7. Time-Dependent Perturbation Theory

8.8. Shallow Bound States

9. CHƯƠNG 9: THE CANONICAL FORMALISM

9.1. The Lagrangian Formalism

9.2. Symmetry Principles and Conservation Laws

9.3. The Hamiltonian Formalism

9.4. Canonical Commutation Relations

9.5. Constrained Hamiltonian Systems

9.6. The Path-Integral Formalism

10. CHƯƠNG 10: CHARGED PARTICLES IN ELECTROMAGNETIC FIELDS

10.1. Canonical Formalism for Charged Particles

10.2. Gauge Invariance

10.3. Landau Energy Levels