Khóa luận: Tách Khối Tâm cho Nguyên Tử Tương Tác Từ Trường Đều

Luận văn tốt nghiệp vật lý nghiên cứu tốt nghiệp vật lý tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều the center of, điều tra thực trạng, phân tích số liệu, đề

• Tác giả: Nguyễn Anh Tuấn
• Người hướng dẫn: Gs. Lê Văn Hoàng
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Vật lý
• Đề tài: Tách Khối Tâm Cho Bài Toán Nguyên Tử Tương Tác Với Từ Trường Đều
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
• 1. CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG
• 1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường
• 1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường
• 2. CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG
• 2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động
• 2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường
• 2.3. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli trung hòa trong từ trường
• 3. CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG
• 4. CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• 4.1. HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• PHỤ LỤC
• 4.2. Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hạt mang điện
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• DANH MỤC CÁC HÌNH

Tóm tắt

I. Hướng dẫn tách khối tâm nguyên tử trong từ trường đều A Z

Việc nghiên cứu chuyển động của các hệ vi mô như nguyên tử trong cơ học lượng tử đòi hỏi giải phương trình sóng Schrödinger. Tuy nhiên, đối với hệ nhiều hạt như nguyên tử hydro hay heli, phương trình này trở nên phức tạp do số bậc tự do lớn. Ví dụ, nguyên tử hydro có hạt nhân và electron, tương ứng với sáu bậc tự do trong không gian Descartes. Điều này gây ra thách thức lớn trong việc tìm nghiệm chính xác cho hàm sóng và năng lượng. Một giải pháp hiệu quả là thực hiện phép tách khối tâm nguyên tử trong từ trường đều. Kỹ thuật này phân tách chuyển động phức tạp của toàn hệ thành hai phần đơn giản hơn: chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối giữa các hạt thành phần. Khi chưa có từ trường, việc tách khối tâm khá đơn giản, đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số một cách trực tiếp. Chuyển động của khối tâm lúc này tương đương một hạt tự do với khối lượng tổng cộng của hệ. Chuyển động tương đối mô tả tương tác nội tại, ví dụ như lực Coulomb giữa electron và hạt nhân. Tuy nhiên, khi một nguyên tử trung hòa được đặt trong từ trường đều, sự xuất hiện của thế vector làm biến đổi toán tử xung lượng của các hạt mang điện. Điều này tạo ra các số hạng mới trong Hamiltonian, liên kết chuyển động của khối tâm với chuyển động tương đối. Do đó, quy trình tách khối tâm nguyên tử trở nên phức tạp hơn đáng kể, đòi hỏi các phép biến đổi toán học nâng cao để tái lập trạng thái phân ly biến số. Việc hiểu rõ phương pháp này là nền tảng để phân tích các hiện tượng quan trọng như hiệu ứng Zeeman và tách vạch quang phổ.

1.1. Hiểu đúng về chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối

Trong một hệ nhiều hạt, chuyển động tổng thể có thể được mô tả qua hai hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu phòng thí nghiệm mô tả vị trí tuyệt đối của từng hạt. Hệ quy chiếu khối tâm đơn giản hóa bài toán bằng cách định nghĩa một điểm duy nhất, gọi là khối tâm, đại diện cho chuyển động tịnh tiến của toàn bộ hệ. Khối tâm được xác định bởi vector R. Các chuyển động còn lại là chuyển động tương đối của các hạt xung quanh khối tâm đó, được mô tả bởi các vector tương đối như r. Việc chuyển đổi từ tọa độ Descartes (r_p, r_e) sang tọa độ khối tâm (R, r) giúp giảm số bậc tự do và làm cho Hamiltonian của hệ dễ quản lý hơn. Mục tiêu cuối cùng là biểu diễn Hamiltonian dưới dạng tổng của hai thành phần độc lập: H = H_cm(R) + H_rel(r), giúp hàm sóng có thể được viết dưới dạng tích Ψ(R,r) = ψ_cm(R) * φ_rel(r).

1.2. Vai trò của từ trường đều trong cơ học lượng tử của nguyên tử

Một từ trường đều là một vùng không gian nơi vector cảm ứng từ B có độ lớn và hướng không đổi tại mọi điểm. Trong cơ học lượng tử, từ trường không tác dụng trực tiếp lên hạt thông qua một thế năng vô hướng. Thay vào đó, nó ảnh hưởng đến hệ thông qua thế vector A, với B = ∇ x A. Sự hiện diện của thế vector A làm thay đổi toán tử xung lượng của một hạt mang điện q từ p thành p - qA. Sự thay đổi này là gốc rễ của mọi hiện tượng từ tính ở cấp độ nguyên tử. Nó làm phát sinh các số hạng tương tác mới trong Hamiltonian, dẫn đến sự thay đổi các mức năng lượng nguyên tử. Hiện tượng này chính là cơ sở của hiệu ứng Zeeman, nơi các vạch quang phổ bị tách ra thành nhiều vạch con khi có từ trường, cung cấp thông tin quý giá về cấu trúc bên trong của nguyên tử.

II. Phân tích thách thức khi tách khối tâm nguyên tử trong từ trường

Thách thức chính khi thực hiện tách khối tâm nguyên tử trong từ trường đều nằm ở sự thay đổi của toán tử động năng trong Hamiltonian. Đối với một hạt mang điện q, động năng không còn là p²/2m mà trở thành (p - qA)²/2m. Khi khai triển, biểu thức này tạo ra các số hạng chéo như A⋅p, liên kết trực tiếp thế vector với xung lượng của hạt. Trong một hệ nhiều hạt, thế vector A tại vị trí của mỗi hạt (A_i) phụ thuộc vào tọa độ của hạt đó (r_i). Khi chuyển sang hệ quy chiếu khối tâm, cả tọa độ khối tâm R và tọa độ tương đối r đều xuất hiện trong biểu thức của A_i. Điều này dẫn đến các số hạng trong Hamiltonian liên kết R và r, ví dụ như (B x R)⋅p_r hoặc (B x r)⋅P_cm. Các số hạng ghép cặp này phá vỡ tính độc lập giữa chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối, khiến cho việc phân ly biến số trực tiếp không còn khả thi. Tài liệu gốc chỉ ra rằng, để giải quyết vấn đề này, cần phải xây dựng một đại lượng bảo toàn mới, được gọi là xung lượng suy rộng, và sử dụng các phép biến đổi toán học phức tạp hơn. Hơn nữa, tương tác spin-quỹ đạo và moment từ của nguyên tử do spin electron cũng góp phần làm tăng độ phức tạp của bài toán, đặc biệt là trong hiệu ứng Zeeman dị thường. Việc vượt qua những thách thức này là chìa khóa để mô tả chính xác hành vi của nguyên tử trong từ trường.

2.1. Sự biến đổi của toán tử xung lượng và thế vector

Theo cơ học Hamilton, xung lượng suy rộng của một hạt mang điện q chuyển động trong từ trường được định nghĩa là P = mv + qA, trong đó mv là xung lượng cơ học thông thường. Trong cơ học lượng tử, toán tử xung lượng p = -iħ∇ vẫn giữ nguyên dạng, nhưng Hamiltonian của hệ lại được xây dựng từ xung lượng cơ học mv = p - qA. Điều này có nghĩa là toán tử động năng trở thành (p - qA)²/2m. Sự thay đổi này là cốt lõi. Thế vector A, ví dụ trong định chuẩn đối xứng A = ½(B x r), phụ thuộc tuyến tính vào tọa độ. Do đó, khi biểu diễn tọa độ hạt nhân và electron qua tọa độ khối tâm và tương đối, thế vector sẽ chứa cả hai loại tọa độ này. Đây là nguyên nhân trực tiếp tạo ra sự ghép cặp giữa hai loại chuyển động trong Hamiltonian.

2.2. Điều kiện bảo toàn và vai trò của điện tích tổng cộng

Một khái niệm quan trọng được giới thiệu là toán tử động lượng suy rộng của toàn hệ, P_g = Σ(p_i + q_iA_i). Người ta chứng minh được rằng toán tử này giao hoán với Hamiltonian của hệ, [P_g, H] = 0, nghĩa là nó là một đại lượng bảo toàn. Tuy nhiên, các thành phần của chính P_g (P_gx, P_gy, P_gz) chỉ giao hoán với nhau khi và chỉ khi tổng điện tích của hệ bằng không (Σq_i = 0). Đây là một điều kiện cực kỳ quan trọng. Đối với các nguyên tử trung hòa như hydro và heli, điều kiện này được thỏa mãn, cho phép tìm một bộ trạng thái riêng chung cho H và các thành phần của P_g. Điều này giúp đơn giản hóa đáng kể bài toán. Ngược lại, đối với các ion hoặc exciton không trung hòa, tổng điện tích khác không, các thành phần của P_g không giao hoán, và việc tách khối tâm trở nên nan giải hơn nhiều.

III. Bí quyết tách khối tâm nguyên tử qua toán tử Hamiltonian

Giải pháp để tách khối tâm nguyên tử trong từ trường đều cho một hệ trung hòa điện là sử dụng một phép biến đổi unita (unitary transformation). Phương pháp này không thay đổi vật lý của hệ nhưng thay đổi biểu diễn toán học của nó để làm cho Hamiltonian trở nên đơn giản hơn. Đầu tiên, ta xác định toán tử động lượng suy rộng P_g, một hằng số của chuyển động. Vì [P_g, H] = 0, chúng có một hệ hàm riêng chung. Ta tìm hàm riêng của P_g, có dạng một sóng phẳng được điều chỉnh bởi một pha phụ thuộc vào từ trường. Hàm sóng tổng quát của hệ có thể được viết dưới dạng Ψ = U * φ, trong đó U là một toán tử biến đổi phụ thuộc vào cả tọa độ khối tâm R và tọa độ tương đối r. Toán tử U được xây dựng một cách khéo léo để khử các số hạng liên kết trong Hamiltonian gốc. Sau khi áp dụng phép biến đổi, Hamiltonian mới H' = U⁻¹HU sẽ có dạng phân ly. Cụ thể, các số hạng ghép cặp như (B x R)⋅p_r sẽ bị triệt tiêu hoặc chuyển thành các số hạng chỉ phụ thuộc vào r hoặc hằng số. Kết quả cuối cùng là một Hamiltonian có thể viết dưới dạng H' = H_cm' + H_rel'. Thành phần H_cm' mô tả chuyển động của khối tâm như một hạt tự do, trong khi H_rel' mô tả chuyển động tương đối phức tạp hơn, chứa đựng toàn bộ thông tin về hiệu ứng Zeeman và cấu trúc mức năng lượng nguyên tử.

3.1. Xây dựng toán tử động lượng suy rộng để bảo toàn chuyển động

Toán tử động lượng suy rộng, còn gọi là giả xung lượng (pseudomomentum), được định nghĩa là P_g = Σp_i + Σ(q_i/2)(B x r_i) trong định chuẩn đối xứng. Đối với một hệ trung hòa (Σq_i = 0), các thành phần của P_g giao hoán với nhau. Điều này cho phép ta coi trị riêng ħK của nó như một vector hằng số tốt. Vector K này đóng vai trò như một số lượng tử mới, đặc trưng cho trạng thái chuyển động của khối tâm trong từ trường. Việc giải phương trình trị riêng P_gΨ = ħKΨ chính là bước đầu tiên để xây dựng toán tử biến đổi U, làm tiền đề cho việc phân tách Hamiltonian.

3.2. Áp dụng phép biến đổi chuẩn để phân ly biến số trong Hamiltonian

Phép biến đổi được sử dụng trong tài liệu gốc là một dạng của biến đổi Power-Zienau-Wolley. Toán tử U có dạng U = exp[i * f(R, r, B)], trong đó f là một hàm được chọn lựa cẩn thận để loại bỏ các số hạng tương tác không mong muốn. Cụ thể, hàm sóng mới φ = U⁻¹Ψ sẽ là nghiệm của phương trình Schrödinger với Hamiltonian đã biến đổi H' = U⁻¹HU. Phép biến đổi này tác động lên các toán tử xung lượng, ví dụ U⁻¹p_R U = p_R + Δp_R, trong đó Δp_R được thiết kế để triệt tiêu các thành phần gây ghép cặp trong Hamiltonian. Kết quả là H' không còn chứa các số hạng phụ thuộc đồng thời vào cả R và r, hoàn thành mục tiêu tách khối tâm.

IV. Phương pháp tách khối tâm nguyên tử Hydro trong từ trường đều

Nguyên tử hydro là mô hình lý tưởng để minh họa quy trình tách khối tâm nguyên tử trong từ trường đều. Hệ gồm một proton (điện tích +e, khối lượng m_p) và một electron (điện tích -e, khối lượng m_e). Do tổng điện tích bằng không, phương pháp biến đổi unita có thể áp dụng một cách hoàn hảo. Hamiltonian ban đầu chứa các toán tử (p_p - eA_p)² và (p_e + eA_e)². Bước đầu tiên là chuyển đổi sang tọa độ khối tâm R và tương đối r. Sau đó, ta xây dựng toán tử động lượng suy rộng P_g và tìm hàm riêng của nó, dẫn đến toán tử biến đổi U. Khi áp dụng biến đổi H' = U⁻¹HU, Hamiltonian mới được phân tách thành hai phần. Phần khối tâm H'_cm = (ħK)² / 2M (với M = m_p + m_e) mô tả chuyển động của một hạt tự do với năng lượng tịnh tiến xác định bởi số lượng tử K. Phần quan trọng hơn là Hamiltonian tương đối H'_rel. Nó chứa toán tử động năng của hạt có khối lượng rút gọn, thế Coulomb, và các số hạng mới phụ thuộc vào từ trường B. Các số hạng này bao gồm số hạng Zeeman tuyến tính (tỷ lệ với B) gây ra bởi moment từ của nguyên tử, và số hạng diamagnetic bậc hai (tỷ lệ với B²). Chính H'_rel quyết định sự tách vạch quang phổ và các mức năng lượng nguyên tử quan sát được trong thực nghiệm.

4.1. Thiết lập Hamiltonian cho nguyên tử Hydro trong từ trường

Hamiltonian ban đầu cho nguyên tử hydro trong từ trường có dạng: H = [1/(2m_p)](p_p - eA_p)² + [1/(2m_e)](p_e + eA_e)² - e²/(4πε₀|r_e - r_p|). Trong đó, A_p = ½(B x r_p) và A_e = ½(B x r_e). Sau khi chuyển sang tọa độ khối tâm (R, r), các thế vector này trở thành các biểu thức phức tạp hơn chứa cả R và r, ví dụ A_p = ½(B x (R - (m_e/M)r)). Chính sự phụ thuộc này đã tạo ra các số hạng liên kết cần được loại bỏ bằng phép biến đổi U.

4.2. Dạng phân ly của hàm sóng và các mức năng lượng nguyên tử

Sau khi tách, Hamiltonian tương đối của nguyên tử hydro có dạng: H'_rel = p_r²/2m + V(r) + (e/2m_e)L·B - (e/2m_p)L·B + (e²/8m)(B x r)². Trong đó m là khối lượng rút gọn và L là moment xung lượng quỹ đạo. Các số hạng L·B chính là nguồn gốc của hiệu ứng Zeeman. Việc giải phương trình Schrödinger cho H'_rel cho phép tính toán chính xác sự dịch chuyển và tách mức năng lượng nguyên tử khi có mặt từ trường. Hàm sóng tổng cộng của hệ sẽ có dạng Ψ(R,r) = exp(iK·R) * φ_n(r), thể hiện rõ sự độc lập giữa chuyển động tịnh tiến của khối tâm và cấu trúc nội tại của nguyên tử.

V. Top ứng dụng của tách khối tâm nguyên tử trong vật lý hiện đại

Việc tách khối tâm nguyên tử trong từ trường đều không chỉ là một bài toán lý thuyết thuần túy. Nó là nền tảng cơ bản cho việc hiểu và ứng dụng nhiều công nghệ tiên tiến. Ứng dụng rõ ràng nhất là trong quang phổ học. Bằng cách giải quyết Hamiltonian tương đối, các nhà khoa học có thể dự đoán chính xác sự tách vạch quang phổ do hiệu ứng Zeeman. Phân tích các vạch phổ này cho phép xác định cường độ từ trường trong các môi trường xa xôi như bề mặt các ngôi sao hoặc trong các thí nghiệm plasma. Hơn nữa, nguyên lý tương tác giữa moment từ của nguyên tử và từ trường là cốt lõi của thí nghiệm Stern-Gerlach. Mặc dù thí nghiệm này sử dụng một từ trường không đều để tạo ra gradient từ trường và gây ra lực phân tách, nhưng bản chất của tương tác vẫn bắt nguồn từ Hamiltonian đã được đơn giản hóa. Trong công nghệ hiện đại, hiểu biết này là cơ sở cho các thiết bị như phổ kế khối lượng, sử dụng từ trường để phân tách các ion dựa trên tỷ lệ khối lượng/điện tích. Nó cũng là chìa khóa trong việc phát triển các bẫy nguyên tử (bẫy từ-quang) để làm lạnh và giam giữ các chùm nguyên tử cho các nghiên cứu chính xác cao, chẳng hạn như đồng hồ nguyên tử và tính toán lượng tử.

5.1. Giải thích hiệu ứng Zeeman và sự tách vạch quang phổ

Hiệu ứng Zeeman là hiện tượng một vạch quang phổ bị tách thành nhiều thành phần khi nguồn sáng được đặt trong từ trường. Việc tách thành công Hamiltonian tương đối cho thấy các mức năng lượng của nguyên tử, vốn bị suy biến theo số lượng tử từ m_l, sẽ bị tách ra với độ chênh lệch năng lượng tỷ lệ thuận với cường độ từ trường B. Điều này giải thích tại sao thay vì một vạch duy nhất (ứng với một bước chuyển năng lượng), ta lại quan sát được nhiều vạch gần nhau. Phân tích sự tách này cung cấp thông tin chi tiết về cấu trúc electron và moment từ của nguyên tử.

5.2. Nguyên lý thí nghiệm Stern Gerlach và lượng tử hóa spin

Thí nghiệm Stern-Gerlach đã bắn một chùm nguyên tử bạc (trung hòa) qua một từ trường không đều. Lực tác dụng lên một lưỡng cực từ trong một từ trường không đều là F = ∇(μ·B). Do sự không đều của từ trường, các nguyên tử bị lệch khỏi đường đi ban đầu. Thí nghiệm đã quan sát thấy chùm tia bị tách thành hai vệt riêng biệt, chứng tỏ rằng thành phần của moment từ theo hướng từ trường bị lượng tử hóa. Kết quả này là bằng chứng thực nghiệm đầu tiên cho sự tồn tại của spin electron, một thuộc tính lượng tử nội tại không thể giải thích bằng cơ học cổ điển. Mặc dù cần gradient từ trường để tạo lực, bản chất tương tác μ·B vẫn được mô tả trong Hamiltonian.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: KHOI TAM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TU TRUNG HOA KHI CHUA DAT TRONG TU TRUONG 1. Tach khối tâm cho bài toán nguyên tir hydro khi chưa đặt trong tir trường Nguyên tử hydro trung hòa bao gồm hạt nhân là một proton và một electron chuyên động xung quanh hạt nhân. Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường thi lực tac dụng giữa proton va electron chính là lực Coulomb. Gọi Tp = (Xạ, Vạ,Za) Và Me = (Xes y¿, Ze) lần lượt là vector tọa độ của hạt nhân và electron, mạ và mg lần lượt là khối lượng của hạt nhân va electron.

Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ toa độ Descartes. Hamiltonian của nguyên tử hydro được viết như sau 1 1 1 e? H(r,,r,) = 2m), pr’ + 2M.1) trong đó pp, Ø lan lượt là toán tử xung lượng của hạt nhân va electron, có dang Pr = —ihV,,, (1.3) V là toán tử Nabla, được định nghĩa như sau 9 w=t+j 2+kỀ =e lay tông: 14) ú. a + , 2 a a Ae cw ~ + Ũ se Dé dua bai toan về hệ toa độ khôi tâm, ta sé su dụng hai vector moi như sau †—Te Tụ, (1.6) m,+m, ˆ trong đó r là vector mô tả chuyén động tương đối của electron so với hat nhân; R là vector tọa độ khối tâm của nguyên tir hydro. Ta sẽ biến đôi sang hệ quy chiếu khôi tâm qua các công thức liên hệ như sau X E= xe —*Xụ y =e ~ Vn, Z#Zc—7ùụ (1.7) MyXp + se ma +m, y= m nỲn +m ove (18) Mp + Trụ MpZpy + MeZe Mp + Me 1 e? V(r) (r) =- 4negy |r] —, (1.

Ä aif £m Cac biêu thức đạo ham riêng phan cũng sé được bien đôi sang hệ quy chiêu khôi tâm. cụ thẻ là đôi với hạt nhân, ta có 0 3 0x 3 9X 3 mạ @ —=—-—†+¬=c.-=---† OX, OxOX, OX Oxy, Ox My, +m, OX 3 3 dy 3 OY 3 mạ a — = + = = - = H+ Oy, Oydy, AY Oy, dy mạ +m, dY ' (1.10) 3 3 dz 3 AZ 3 Mp, ở —=——-†+az-=-—† OZ, 9202, AZ OZ, 3z mạ +m, az đôi với electron, ta có 10 3. OXOx, Ox mp, +m, dX 3 393y 0 0Y 9 m — 9 dy, Øyôy, OYAy.11) 3 00z a0dz 9 mạc 8 az. 9292, OZ 02, oz" Ma +m, OZ = +— Bây giờ, ta sẽ lần lượt đưa các toán tử động lượng của hat nhân và electron vẻ hệ quy chiếu khối tâm.

Viết toán từ xung lượng của hạt nhân dưới dang tường minh ta thu được 3 9 9 ) Pr = _IR( ST tig + kế Thay (1.10) vào biéu thức trên, ta thu được = i= -B+(— "Jp.12) Mp Mp + Me trong do p = —ihVW, là toán tử xung lượng đặc trưng cho chuyên động tương đỗi giữa electron và hạt nhân ứng với toa độ (x,y,z); Pp, = —ihVp là toán tử xung lượng đặc trưng cho chuyên động khối tâm của hệ ứng với tọa độ (X,Y,Z). Thực hiện tương tự các bước biến đôi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũng thu được ñ: = B+ (TT m,)Êc (1.13) — Me = Bây giờ, ta sé lần lượt thay các biểu thức toán tử động lượng và thé năng trên vào Hamiltonian ban dau của nguyên tử hydro. Dé đơn giản, ta sẽ xét toán tử động năng của hệ trước Il 1 1 _¿ ¬ +( nụ )ø.| Im, Pm + oy, Pe = 2m), P m,+m,/"*} ` 2m, P mạ +m,/° °J° Thực hiện các phép biến đôi toán học, ta thu được 1 1 pat = 5 (A) pe + s( 1 \p2 1.14 Im, Ph Tm, Pe ~ 2\ mam, PT? Mp, + mẹ Pe. lun, Đến đây, ta đặt như sau MypMe nm =—————, BE Mp, + Me (LS) M =n, + mm„, (1.16) với M là khối lượng của khôi tâm, m là khối lượng rút gọn của chuyên động tương đôi giữa hạt nhân va electron.

Khi đó, ta có Hamiltonian của nguyên tử hydro trong hệ quy chiếu khối tâm như sau —h? —h? 1 e? H —— VR + 2 D2 v2 — Tacs; — ri 2M 2m eM 1.1 Như vậy từ (1.17), ta thay chuyên động của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường có thé tách ra làm hai chuyên động: một là chuyên động của một hạt có khối lượng rút gọn m, hai là chuyên động của khối tâm có khỗi lượng M [1]. Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau A= A, + Are trong đó ta có —h? H.2M vê —h? 1 e? Hye = =— 2m VỆ — Tel" 4neéy |rÌ Lúc nay hàm sóng sẽ có dạng phân ly biến số như sau 12 W(R,r,rạ) = (R)$Œ, ro).18) Thay vào phương trình Schrodinger HY = EY, ta có hai phương trình sau —h2 2w VRU(R) = EcU(R), (1.19) —h? 1 e? —Vˆ — — —E Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến số đã phân ly hoàn toản. Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) so với khối lượng của electron nên m ~ m,, tuy nhiên trong các tính toán chính xác hon, ta can tính thêm hiệu ứng khói lượng hạt nhân. Phương trình (1.19) mô tả chuyên động tự do của hạt có khối lượng M.

Vì có sự tách biển giữa hai chuyên động này, khi khảo sát nguyên tử hydro, ta có thé xem như nó đứng yên và chi dé lại thành phan chuyên động tương đỗi giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1]. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường Nguyên tử heli bao gồm hạt nhân là hai proton mang điện tích dương và hai electron mang điện tích âm chuyên động xung quanh hạt nhân. Lực tác dụng giữa proton và electron và giữa các electron với nhau chính là lực điện (lực Coulomb). Gọi Tp = (XY ne Zn) và Tự, = (Xe Ye,sZe,)T«, = (Xe,Ye„„Ze„) lần lượt là vector tọa độ của hạt nhân và electron thứ nhất, thứ hai; zn„ và zn„ lần lượt là khối lượng của hạt nhân và electron.

13 Hamiltonian của nguyên tử heli được việt như sau _ il 1 om 1 om —2 Pr + Be, ’ + 2m, Be , +P, (1. Hàm thé năng là ham thé nang tương tac Coulomb giữa từng electron với hạt nhân và giữa các electron với nhau được viết như sau ye 1 ( 2e? 2e? F e? i29) 4neeo |r«, ~ r| Ire, ~ ral Ire, ~ re,| c Ph: Pe, Pe, lần lượt là toán tử xung lượng của hạt nhân và từng electron. Dé đưa bài toán về hệ tọa độ khối tâm, ta sẽ sử dụng các vector mới như sau 1 r= 5 (re, + Tạ,) — rụ, (1.23) R= mụ,Pụ hi h +Ð?n,Te., ef ey + m„†, one (1.25) My + 2m, l4 Trong bài toán hydro, do chỉ có một hạt nhân và một electron nên khi chuyên về hệ khối tâm, ta chi xét hai vector (một thành phân chuyên động tương đối giữa electron với hạt nhân và một thành phan chuyên động của khối tâm). Đối với bai toán heli, do cũng có một hạt nhân nhưng có đến hai electron nên việc chuyên về hệ khối tâm sẽ phức tạp hơn, nghĩa la ta phải xét đến ba vector bao gồm r = (x,y,Z) là vector mô tả chuyên động tương đối của hai electron so với hạt nhân, To = (Xo, Yo.

Zo) là vector mô tả chuyên động tương đối của hai electron so với nhau, R = (X,Y,Z) là vector mô tả chuyên động của khối tâm. ta cũng sẽ tiền hành biến đôi từ hệ tọa độ Descartes sang hệ tọa độ khối tâm tương tự như bai toán hydro. Cụ thé ta có ô _ ô aro Ô ôr 0 OR _ LAN lui m — ở l2 Ore, Ôrạôr, ôrôr, ôRôr, Arg 2ôr ty +2m,2R uhz0) 0 0 Org 0 Or 3 OR 3 124 Me 8 =— T= Ss TS HH ====.27) Ôf„„ Orgdr,, 0rôr, OROr,, Arg 29r mụ + 2m, dR 3 0 Org 9 Or 93 OAR 0 Mp 8 = —— + —— +—— =-— + (1.28) ar, Orgdr, Ordr, ORA@r, Or mp, +2m, OR Từ kết quả trên. ta sẽ biến đồi toán tử động lượng từ hệ toa độ Descartes qua hệ toa độ khôi tâm như sau 5 =—8+ Mạ 7 — 5 Đụ = TP mạ + 2m, Pe (1.30 a 1 m =ith = = ———— 7 Pe, = Í or.

Po+7P TT om, Pe (1.31) trong đó p = —íhV, là toán từ xung lượng đặc trưng cho chuyên động tương d6i giữa hai electron với nhau trong tọa độ (x,y,z), 15 Po = —ihV,, là toán từ xung lượng đặc trưng cho chuyên động tương đổi giữa hai electron với hạt nhân trong tọa độ (xø,Yø,z2), p. = —ihVp là toán tử xung lượng đặc trưng cho chuyên động khối tâm của hệ ứng với tọa độ (X, Y,Z).21), ta có py? =——-(-p+_TM ` ~ 2m, _p.) 1 Mp, Mp; + 2m, 2 2m, Pe, = 2m, (-ø +2B+———fr mụ, + 2m, 1 2 Me ) 2m, Pez = 2m,(65 +5 +2 mạan + 2m, Pc) - Khai trién các biéu thức trên va thu gon, ta thu được Hamiltonian cua heli như sau a 2(m,, + 2m,) Be + mụ 0.32 Ange, Bee] ie +rị Iral Ƒ Đến đây, ta đặt như sau 2m? m= 2m.34) Khi do, thay (1.30), Hamiltonian cua bai toán nguyên tử heli trung hoa trong trường xuyên tâm co dạng như sau page 2M 'RT Me uy ey 2m I AMEE, ze 2C, |-2+r| l#+r| lral Ì, (14s 22) 16 Khác với bài toán hydro, do nguyên tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyên động của một khối tâm có khối lượng M, một hạt có khối lượng rút gọn ? đặc trưng cho chuyên động tương đổi của electron với hạt nhân, Hamiltonian còn xuất hiện một toán tử đặc trưng cho chuyển động tương đối của 2 clectron với nhau. Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau i= fi. + Are trong đó ta có -Ö —h? = ——ŸY¿, He 2M —h? —h? 1 2c? 2c? e? fi, = Vệ, t+>— Vi + ` +— |}.

Me 2m 4TtEEo |-# nm r| Fe 1 r| Iro| Tương tự như nguyên tử hydro, sau khi thé vào phương trình Schrodinger, ta cũng thu được hai phương trình như sau | —hˆ 2w VRW(R) = EcU(R), (1. 17 TU S $Œ,rạ) (437) rr *" — my 2m te Ante [4| F ee ] le l = Everb(1,1o)- Do m, > m, nên có thé xem m = m,. Tuy nhiên trong một số tinh toán khác, đặc biệt là trong bai toán exciton trong bán dẫn hai chiều, ta vẫn phải xét đến hiệu ứng khối lượng lỗ trồng do lúc này khối lượng của lỗ trống xap xi bằng khối lượng của electron. 17 CHƯƠNG 2: TÁCH KHOI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 2.

Ánh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động Đề mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường B.