Chương 1) Phép tinh tenxử. Chương 2; Phương trình Einstein, - Chương 3: Vũ trụ học tương đổi tính. Khi bắt tay thực hiện dé tài này, em gặp nhiều khó khăn vì phép tính tenxơ còn mới lạ đổi với sinh viên và tài liệu bằng tiếng Anh. Mặc di đã được nhà trường trang bị khá tốt vẻ ngoại ngữ nhưng em cũng gap nhiều khó khan khi đọc tài liệu chuyên ngành bằng tiếng Anh.
Với sự nỗ lực của bản thân em. sự hướng dan nhiệt tình của thấy hướng dẫn cộng với kiến thức đã được học trong chuyên đẻ thuyết tương đối rong, em đã cố gắng hoàn thành tất cả những yêu cấu mà thay hướng dẫn đặt ra. Em xin tỏ lòng biết ơn đến Thấy Lẻ Nam_ giảng viên khoa Vật Lý đã nhiệt tình giúp đữ em hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Quý Thay có khoa Vật Lý trường Dai Học Su Phạm.
Cảm ơn Ba mẹ, anh chi.ban hè những vị ân nhân đã yêu thương. piúp đỡ em có thể hoàn thành tốt luận van của mình. Với tất cá sự cổ pắng của mình em mong bài luận văn này sẻ là một món quả kính Lang Quy Thấy có, Ba me, bạn bè với tấm lòng ghi ơn xâu xa. Ngày 10 tháng 5 nam 2002 Sinh viên thực hiện Nguyễn thị Hằng CHƯƠNG |: PHÉP TÍNH TENXG §1.
QUY TẮC CHỈ SỐ Người ta hay dùng các chữ sau để ký hiệu chỉ số: ¡,j. Trong biểu thức nếu chỉ số chỉ lặp lại có 1 lan thì chỉ số gọi là chỉ số tự do. - free Index `(PP, Se Ta thấy b và e là chỉ số tự do vì nó chỉ lặp lại một lần chỉ số œ được lặp lại hai lan, Điều này có nghĩa ta phải lấy tổng theo chỉ số đó. Ví dụ: VX ES sà/2y xạ nhCụ? qaẾ So qWy vu vớ a =0,1,2,3 ichi số lấy tổng gọi là chỉ số câm - dummy index.
MA TRAN CHUYỂN TOA ĐỘ Xét không gian n chiều. Ta có hai hệ tọa độ cũ và mới được ký hiệu như sau: Hétoadocd : xÌ,xỶ,.x” Hệ tọa độmới : x! Xu." Ta có phương trình liên hệ giữa tọa độ mới và cũ: eae: SS f(t!,x?." )= #“(x) (hy Như đã biết trong phan giải tích định thức Jacobi sẽ hằng không nếu vắc tow đồ mới phụ thuộc tuyến tính với nhau. Nếu các X” độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác zero. trang | Ox' dx? sax" x ox? Ox’ ae eyfe "| ox" ) (2)rm ox' ox? phatox" Định thức của ma trận chuyển tọa độ gọi là Jacobi và ký hiệu là: “| J=|— #0 avàb= l2,.n (3) Ox" | Hoàn toàn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ mới về cũ: a ax" Ki >x”: x “=x{g) J=| #0 (4) ð | Ta nhận thấy khi nhân hai ma trận trên với nhau sẽ cho ma trận đơn vị ax" ax’ § eg ee ‹—— =|phántửÏ'‹ = ồ“.
=6 -{5 a ac | đ #€C am x 6} Ký hiệu Kronecker §3. TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN 1.Để đơn giản ta xét không gian hai chiểu phẳng với tọa độ xÌ,x” và hai Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả vectd A 1. Chiếu vuông góc véctơ A lên hai trục ta được A, = Acos®8, = Ad, A, = Acos®, = AZ, trang 2 Chiểu véctd A song song theo từng trục ta được A',A khi đó: A=A'é, + Ae, Như vậy néu biết Ay, A, và A! A? ta déu xác định được véctớ A A,. Ay gọi là thành phan hiệp biến của véets A A'.A gọi là thành phan phan biến của véctd A Ta viết A=(A', A?) hoặc Ä=(A,.4;) Vẻ thuật ngữ khi ta nói véctơ hiệp biến Á nào đó có nghĩa ta chỉ chú ý tới thành phan hiệp biến của nó.
Tương tự cho véctd phản biến. Nói chung A” # A, Tuy nhiên trong không gian phẳng với hé trục toa để vuông góc nhau thì thành phan hiệp biến và phản biến bằng nhau.-Không gian Euclide với hé tọa độ Descartes, 2.Xét không gian n chiều. Điểm P có các tọa độ là X” Còn Q có toa độ là x” + dx" P Q Trong hệ tọa độ cũ x`,X”,.,x” vectơ trên sẽ có thành phan là dix! div’ ,,.dx” Trong hệ tọa do mới X”,XỶ,.,X” các thành phẩn tương ứng của véctơ trên sé là dx” — Ẹ. ex" Do #“ =f (x! x?" )e ¥“(x) nên để“= ——.dx” (1) Ox Bây giờ ta định nghĩa: Véctd phản biến hay tenxơ phản biến hạng | là tập hợp những dai lương X“ trong hệ toa độ x", xŸ,.,x” tại điểm P mà tuân theo quy luật.
yeu ex" A" =—, x b (2) ax Vị dụ Cho đường cong x” =x"(u) trong không - thời gian bốn chiều.3 dx? Vecus: X" = ,r là véctơ tiếp tuyến với đường cong tại điểm P u p ung ix" dx! dy? de Vécus X có bốn thành phan a = Se tạo nén tenxd phan dụ ` du’ dụ ` du biến hạng | trang 3 Ta viết AM g Se _{dx® pal ax dx! dx? x dx® x =(x®, x. x?, X*)= Xx" dụ du dụ "du Chú ý: khi ta nói véctơ phản biến hang | ta thường ký hiệu X“ mà không cần dấu vecls Ở trén, Từ đây ta tổng quát hóa: Teaxởơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượng X“" wong hệ tou đô - x Mà tuân theo quy luật biến đổi sau khi chuyển hệ tọa độ từ x” —> X°: a h X“= eS —.x" @) _Ôy ax Các đại lượng X “là thành phan của tenxơ hạng 2 trên nhưng tính trong hệ tọa độ - X” Hoàn toàn tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biển hạng | (véctở hiệp biến! 4-‹ x, = (4) ax’ Tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hang hai: 5 ax* ax” Xu = — =X (5) ox" ax? Ta cũng có định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng 3 a Ox" Ôx” Ox! X“*=————— “4 (6) Cx" Ox ORS Ta thường ký hiệu tenxơ hang p phản biến, hạng q hiệp biến ”) q Tenxơ hạng không là vô hướng và ta thường ký hiệu bằng chữ ® 3. Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý ? Xét hai tenxơ X“® và Y““ương hệ tọa độ nào đó (với các nhà vật ly thì đó là hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất: x*»h.= —Y" ax” x" 8x“ Gx? Theo định nghĩa (3) tà có : XO af (Ñ) Biểu thức (8) chính là phương trình (7) được xét trong hệ tọa độ mới (hệ quy chiếu mới) Từ đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ đúng trong hệ tọa độ nào thì cũng đúng trong hệ tọa độ bất kỳ khác. Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tinh hay không quán tính.
Như vậy tenxơ là công cụ toán học rất phù hợp để xây dung thuyết tương đối rộng(thuyết tương đối tổng quát). ĐẠI SỐ TENXƠ 1. Phép cộng được thực hiện với các tenxơ cùng loại với các chỉ số giống nhau: Yu. Phép nhân tenxơ - phép nhân ngoài - outer product Tenxơ loại h nhân với tcnxơ oil h sẽ cho ta tenxơ loại lh ae | % q: +4) YhLeg = Xu Tenxở hạng hai nhân với tenxơ hang 2 cho ta tenxơ hạng 4 .Néu ta có vect A Và vécts A thì nhân tenxơ giữa hai vectơ trên được ký hiệu như sau: A@B=A"B" ˆ Nếu cả hai đều là vectd phản biến 3.
Phép nhân trong - inner preduct. Y/Z„ =X, cho ta tenxơ hang 2 Hoặc ta có: T°®U,„ =V, cho ta tenxơ hạng | Nhận xét: Hai tenxd nhân với nhau, nếu tất cả các chỉ số khác nhau thì ta có phép nhân ngoài còn nếu ta có các cập chỉ số giống nhau thì ta có phép nhân trong 4. Phép rút gọn tenxơ - contraction. Cho tenxd Ry, khi ta cho chỉ số a=c thì Rj.) thì là tenxơ hiệp biến hạng 2.
Vì vậy ta ký hiệu: R ưu = Reg Hoặc ta có: OR. Tenxơ là đối xứng với hai chỉ số trên hoặc dưới nếu ta hoán vị các chỉ số đó cho nhau mà tenxơ không đổi: Xp =Xw Nếu không gian của ta là n chiều thì ta có thể biểu diễn tenxơ trên đưới dạng ma trận n hàng n cột. Do các phần tử của ma trận là tenxơ đối xứng nên ta có n{n + I ) thành phần độc lập. Tenxơ là phản đối xứngnếu X „ = -ÄX„, Từđây ta suy ra Xia =-X„ © ÄX „=0 => Nghĩa là các thành phần nằm trên đường chéo chính bằng zero.
Như vậy tenxơ n(n — 1) phản đối xứng có thành phắn độc lập. * Trong không gian bốn chiều : Tenxs X„ có 4'=l6 thành phẩn. Tenxs X“¿ có 4’ =64 thành phan Tenxs X”¿„ có 4° =256 thành phan trang Š §5. Xét không gian n chiéu.
Ta chọn hệ toa độ chuẩn ÄÌ,XŸ,.#” sao cho độ dai vô cùng bé nối hai điểm lận cận nhau có dạng: ds? = dx" dx" a) Vi du: ta có biểu thức quen thuộc ds* =dx? + dy? +d2 trong tọa độ Descartes trong không gian 3 chiếu, Bây giờ ta Nó" ay) sang hệ toa độ mới xx? ds? = de" dt " sO aE a cr TY” — = ~ Ax ax! 5 Ox" 8" 5 N Nếu tu đặt ———. > = Byy (2) thì ds* = g dx" dx (3) Cx” Cx „,„ gọi là tenxơ metric hiệp biến. g ” tenxơ metric phản biến được xác định từ biểu thức Luk =ð » (4) = Tu lập ma trận gồm các Ø„„. Tìm ma trận nghịch đảo của ( g„„ ).
Ma trận nghịch đảo chính là ma trận ( @“®) 2. Ta có cách định nghĩa thứ hai: dĩ =dx"é, =dv”ẽ, : &,: vectdcdsở ds? = di.dx“dx" Ta viết tích vô hướng của hai vectơ nhờ tenxơ metric: A. Ta định nghĩa không gian Riemann : Không gian với hệ tọa độ (x )es ds* = g ,dx“dx" gọi là không gian Riemann. Ví dụ: bể mat của qui đất là không gian Riemann 2 chiều nằm trong không gian ba chiều thông thường Độ.Ta có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt cầu ds và được tính theo công thức; ds? = r?402 +r? sin? Od? = gạ„y40? + gu;dè? 2 = 7? §ou = 822 = cin? : B8 = =Ũ : By =8 =P sim 9 trang 6 §6.
ĐẠO HAM LIE 1_ Cho đại lượng vô hướng ®_ Rõ ràng vô hướng © không thay đổi khi chuyển hệ toa độ Nếu tại mỗi điểm của không gian Riemann ứng với một giá trị của) thi tá được mội trường vô hướng hay trường tenxơ hạng không. được xác định tại mỗi điểm trong vùng nào đó thuộc không gian Riemann thì kết quả ta có trường tenxơ hạng tương ứng. Cho hai trường vectơ bất kỳ X và Y, giao hoán tử Lie của hai veetd trên tác dụng lên hàm /ˆ được định nghĩa: rx)/ = X(Yƒ)- Y(X/) [x.