Chương Ill : CHUYỂN ĐỘNG PHANG CUA MOT VAT L Chuyển động phẳng của một vật 13 II. Chuyển động lăn của khối trụ trên mặt phẳng. Con lắc Maxwell 17 Chương IV : CÁCH TÍNH MOMENT QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT THỂ. ĐỊNH LÍ HUYGENS- STEINER I.
Moment quántính của khối trụ đồng nhất đối với trục đối xứng Il. Moment quán tính của vật ran tròn xoay I. Tính moment quán tính của vật đối với trục bất kỳ đi qua khối tâm. Định ly Huygens - Steiner 29 Chương V : TENSƠ QUAN TÍNH I.
Tensơ quán tính 31 Il, Tensơ quán tính chính và trục quấn tính chính. 34 III, Elipsoid quán tinh 39 IV. Tinh moment quán tính của một vat rấn - lập toán tử quán tính 43 MOMENT QUAN TẾNN TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN cvnn. NGUYÊN TRẤN TRAC CHUONGI: DINH LUAT DONG LUC HOC CHO MOT VAT QUAY QUANH MỘT TRUC CỐ ĐỊNH.
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA VAT QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH Xét một vật chuyển động xung quanh một trục cố định. Quỹ đạo của tất cả các điểm của vật là những đường tròn mà tâm của chúng nằm trên một đường thẳng trùng với trục quay. Những phần tử khác nhau thì có vận tốc và gia tốc khác nhau, phan tử nào xa trục quay nhất thì vận tốc của nó lớn nhất. Ngược lại tất cả những hạt này lại có cùng vận tốc góc.
Vận tốc góc xác định đẩy đủ đặc tính chuyển động của toàn bộ vật rấn trong chuyển động quay của nó quanh trục Vận tốc góc nói chung là một hàm biến thiên theo thời gian. Ở bất kỳ một thời điểm, vận tốc góc thì giống nhau cho các phần tử của vật rắn, và có gia tốc cóc là : a— (I1) Gia tốc thẳng của những phần tử khác nhau trong chuyển động quay của vật rấn có thể khác nhau. Vectơ gia tốc thẳng của bất kỳ phần tử nào đều nằm trong mặt phẳng quỹ đạo của phần tử đó. Chúng ta hãy dm mối liên hệ giữa gia tốc góc và thành phẩn gia tốc thẳng của hạt tiếp tuyến với quỹ đạo.1 biểu diễn mặt phẳng quỹ đạo của hạt có vận tốc v = or, r là khoảng cách từ hạt đến trục quay.
#YTN, DƯƠNG MONE LINN TRANGf MOMENT QUAN Tit TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN @YWD , Ts. NGUYÊN TRẤN TRAC Độ lớn của gia tốc tiếp tuyến được xác định bởi sự thay đổi vận tốc v của hạt trên quỹ đạo và được đo bởi công thức: dv da A “Tế tiến (12) II. ĐỊNH LUAT ĐỘNG LỰC HỌC CUA VAT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH. Bây giờ ta tìm sự liên hệ giữa vận tốc góc và tổng hợp moment của lực tác dụng lên vật quay quanh trục cố định.
Để tìm ra mối liên hệ giữa vận tốc góc và tổng hợp moment của lực tắc động chúng ta bắt đầu nghiên cứu chuyển động của một hạt bất kỳ nằm trên vật. Gọi m, là khối lượng của hạt đó và có khoảng cách từ hạt đến trục là r, Trong trường hợp tổng quát hạt bị tác động bởi nội lực và ngoại lực. Trước tiên hạt chịu tác động bởi vật khác, rỗi sau đó các hạt nằm trên hệ vật tương tác lẫn nhau. Chiếu những lực đó lên đường thẳng AB ( hinh1.2 ) vuông góc với r¡ nằm trong mặt phẳng chứa hạt thứ ¡ và vuông góc với trục quay.2 Chúng ta có thể viết tổng hình chiếu của nó là (⁄),*(⁄2), Trong đó © (/) là nội lực © (//) là ngoại lực Và vì vậy © 5ˆ(/), là tổng các thành phan gây ra chuyển động quay của nội lực §YTN.
DƯƠNG MONO Lint TRANG 2 MOMENT QUAN TÍNM TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN ©YWD , 1s. NGUYÊN TRẤN TRAC e >,),tổng các thành phẩn gây ra chuyển đông quay của ngoại lực Trong đó hình chiếu của các lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hổ mang dấu dương và ngược lại. Vậy với hạt thứ ¡, áp dụng định luật hai động lực học ta có : mAs = mr SẼ =(/),*(//), (13) Kế tiếp chúng ta đi tim moment của những lực tác động lên hat đối với trục quay bằng cách chúng ta nhân ( 1.3 ) với r, và chúng ta được ?“ my, =r(/),+r(), (L4) với tất cả các hạt của vật ta xế: 10.5 mr? = Delf),+EAU, as Vì mỗi nội lực sẽ có một nội lực khác bằng với nó về độ lớn nhưng ngược hướng và cánh tay đòn của cả hai lực bằng nhau.)=0 Tổng ®”z(/,) =M là tổng hợp moment quay của tất cả các ngoại lực tác dụng vào vật. Đại lượng I=5_mự` (L6) được gọi là moment quán tính của một vật đối với trục quay.
Ta viết lại phương trình (1.5) đưới dạng: da 4 =I— (L7) Phương trình 1.7 phát biểu là: tổng hợp moment của các lực làm vật quay quanh trục cố định thì bằng với moment quán tính của vật đối với trục đó nhân với gia tốc góc của vật. Đó là định luật động lực học cơ bản cho chuyển động quay của vật rấn quanh trục cố định (định luật thứ hai của Newton cho sự quay). Nó tương tự định luật động lực học thứ hai của các chuyển động chất điểm, chỉ khác ở chổ lực được thay thế bằng moment ngoại lực đối với trục, gia tốc thẳng được thay bằng gia tốc góc và khối lượng được thay bằng moment quán tính đối với trục quay.6 ta thấy moment quán tính của vật rắn đối với một trục là đại lượng vật lý được tính bằng tổng các tích khối lượng của các hạt cấu tạo nên vật với bình phương khoảng cách từ hạt tới trục. Moment quán tính đối với một trục không chỉ lệ thuộc vào khối lượng của vật mà còn lệ thuộc vào sự phân bố khối lượng đối với trục.
Nếu khoảng cách của các hạt tới trục tăng thì moment quán tính cũng tăng. SVTH, DOING MONO LINA TRANG 3 MOMENT QUAN TINH TRONG CHUYEN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAN OvHD. NGUYỄN TRAN TRAC Thứ nguyên của moment quán tinh là KgmỶ trong hệ SI va gcmỶ trong hệ cgs. Để tìm ra moment quán tính của vật chúng ta phải chia vật thành những phan đủ nhỏ, xác định khoảng cách từ mỗi phan tới trục, nhân khối lượng của mỗi phần tử với bình phương khoảng cách và cộng tất cả kết quả chúng lại.
Thí dụ 1: Xét vat được trình bay như hình ( 1.3 Vật gồm tám quả cầu giống nhau đặt ở đỉnh của một hình lập phương cạnh là a. Ta tính moment quán tính của vật đối với trục đi qua tâm của các quả cầu 2 và 6, Giả sử đường kính của quả cầu rất nhỏ so với cạnh a. Ký hiệu m là khối lượng của một quả cầu. Chúng ta dé dang nhận thấy rằng tổng các moment quán tính của bốn quả cau 1, 3, 5,7 là 4ma’, tổng moment quán tính của hai qua cẩu 4 và 8 là 4ma* trong khi moment quán tính của mỗi quả cẩu 2, 6 thì bằng không.
Moment quán tính của toàn bộ vật: 1 = 4ma’ + 4ma’ = 8ma? eee ee eee ee MOMENT QUAN TÍNH TRONG CHUYEN ĐỘNG QUAT CUA MỘT WAT RÁN @YWD , Ts. NGƯYÊN TRẤN TRAC Thí đụ 2 : Xét hệ cơ học gồm một ròng roc nhỏ quay quanh một trục đầm 4,22 mang. Thanh A gắn chặt với ròng roc, trên thanh có mang hai vật có khối lượng m, và m; gắn chặt ở những vị trí mà mà khoảng cách từ đó đến trục bằng nhau. Một vật có khối lượng m được treo vào đầu dưới của một sợi dây cuốn trên ròng roc (hình 1.4 Moment quán tính có thể bị thay đổi khi thay đổi khoảng cách từ mạ và mạ tới trục.
Chúng ta hãy nói cặn kẽ hơn chuyển động của hệ và tìm ra quy luật chuyển động. Khi toàn bộ sợi dây không còn quấn vào ròng rọc, thanh A tiếp tục quay do quán tính và vật m bất đầu chuyển động đi lên. Khi chuyển đông quay của thanh dừng lại, vật m lại chuyển động đi xuống và chuyển động lập lại như trên, ta nói hệ đang dao động. Rõ ràng rằng các gia tốc của chuyển động quay của ròng rọc cùng với thanh mang hai vật nặng m, và m; và gia tốc trong chuyển động thẳng của vật m là hang số, giữ nguyên giá trị khí m chuyển động lên hoặc xuống.
Bây giờ ta xét những phương trình động lực học của thanh chuyển động quay (với các khối lượng mị và m;) và vật m. weiaal| G87 [Relo SVTH, DƯƠNG MỘNG LINH TRANG 5 MOMENT QUAN TINH TRON© CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA MỘT VAT RAN VD, Ts. NGUYÊN TRÁN TRAC Trọng đó © f và ƒ/'(với f=") là các độ lớn của các lực mà dây tác dụng lên ròng rọc và lên vật m ¢ 11& moment quần tính của thanh (với các vật mị và mạ) ¢ R là bán kính của ròng roc © a là gia tốc thẳng của vật m. Gia tốc góc của ròng rọc và gia tốc thẳng của vật m liên hệ nhau bởi hệ thức a= Ra Giải hệ phương trình (1.8) chúng ta tìm ra được gia tốc góc của ròng rọc và gia tốc thẳng a của vật m.9) ta thấy gia tốc a có thể rất nhỏ so với g với điểu kiện | >> mR (những định luật mà ta vừa thiết lập không áp dụng cho khoảng thời gian ngắn khi vật m gần điểm thấp nhất và dây thôi không tháo ra mà bắt đầu quấn lại vào ròng rọc.
Trọng khoảng thời gian này vật m có một độ dời ngang và moment của các lực làm quay ròng roc thì không bằng với ƒ.R) XYTN, DƯƠNG MÔNG Linn TRANG6 MOMENT QUAN TiWH TRONG CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA MỘT VAT RAW ovwo , Ts. NGUYÊN TRẤN TRAC CHUONG II: MOMENT ĐỘNG LƯỢNG, ĐỘNG NANG CUA MOT VAT QUAY Trong việc phân tích chuyển đông quay của một vật chúng ta đưa vào moment của lực tác động (tương ứng với lực tác dụng trong chuyển động tịnh tiến) và moment quán tính của vật (tương ứng với khối lượng trong chuyển động tịnh tiến ). Một câu hỏi được đặt ra là: trong chuyển động quay này, đại lượng nao tương ứng với động lượng trong chuyển động tinh tiến của hạt ? Ở phẩn này ta sẽ thấy đại lượng tương ứng này được gọi là moment động lượng. MOMENT ĐỘNG LUGNG Moment động lượng của hạt có khối lượng m, được xác định bằng tích của khoảng cách r, từ hạt đó tới trục quay với động lượng của hạt.
Giá trị bằng số của moment động lượng của hat thì bằng với mux/, trong đó v, là vận tốc của hat. Bởi vậy moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục được định nghĩa là tổng các moment động lượng của các hạt và được cho bởi công thức.1) biểu thức của moment động lượng có thể được viết lại dưới dạng N= >mrœ = œ3 my; =lœ (H.