CHƯƠNG 1. CÁU TRÚC HE BILAYER GRAPHENE DOUBLE LAYER 1. Cấu trúc tinh thé của Bilayer Graphene Bilayer Graphene (BLG) là cau trúc đa lớp graphene, bao gồm 2 lớp graphene đơn xếp chồng lên nhau theo 2 dang: xếp chồng AA (AA — staking) và xép chồng AB (AB — staking). Hai lớp nay giữ lay nhau bởi lực Van der Waals.
e Sy xếp chồng AA (AA - staking): đối với sự xếp chồng này thì lớp thứ hai được đặt hoàn toàn chính xác lên lớp thứ nhất. Nghĩa là, các nguyên tử carbon trong một lớp (nguyên tử carbon loại A, loại B) được xếp thăng hàng hoan toàn với các “ban sao” của chúng ở lớp còn lại (nguyên từ carbon loại A ở lớp trên được xếp thăng hàng với nguyên tử carbon loại A cùng vị trí ở lớp dưới, nguyên tử carbon loại B ở lớp trên được xếp thăng hàng với nguyên tử carbon loại B cùng vị trí ở lớp dưới). e Sự xếp chéng AB (AB - staking): đối với sự xếp chồng nay thì vị trí của nguyên tử carbon BI ở lớp thứ nhất sẽ được xép thăng hàng với vị trí của nguyên tử carbon A2 ở lớp thứ hai, hay còn được gọi là các vị trí nhị trùng (dimer sites). Giới han của khóa luận nay chỉ xét trong trường hợp sự xếp chồng AB.
Cấu trúc tinh thé của AB — staking.1 thé hiện cau trúc của tinh thé AB - staked trong BLG [51]. Vector a, và vector 4; là các vector mạng. (b) cách nhìn từ phía bên hông tinh thé với các tham số tương tác giữa các nguyên tử gần nhất y,, các chỉ số 1,2 thé hiện chỉ số lớp dưới và trên tương ứng. Kí hiệu A, B thê hiện các nguyên tử carbon không tương đương trong cau trúc graphene.
Cấu trúc vùng năng lượng của Bilayer Graphene Trong bài toán nay, ta chỉ xét các nguyên tử lân cận gan nhất, và ở đây ta sử dụng ham Bloch trong mô hình liên kết chặt có dang: N = 1 ¬ =~ (=1 trong đó, ó, là hàm sóng cho orbital 2p; tại vị trí nguyên tử thứ j, thực hiện chạy tông trên N ô đơn vị, trong đó chỉ số i = 1. vector Ria kí hiệu cho vi trí cua orbital thứj trong 6 don vị thứ i.1, ta thấy trong cau trúc Bilayer Graphene, mỗi 6 nguyên tô xét 4 nguyên tử với AI, BI (lớp trên) và A2, B2 (lớp đưới) nên mô hình liên kết mạnh cho orbital p„ thể hiện 4 vùng gần năng lượng không, thay vì là 2 như trong MLG. Ở đây, sẽ sử dụng các ki hiệu của mô hình Sloncezewski - Weiss - McClure (SWM model) cho các tham số tương tác sau: yọ : hằng số tương tác nội lớp lân cận gan nhất giữa Al vả BÌ, y¡ : hằng số tương tác nội lớp lân cận gần nhất giữa A2 và B2, y; : hằng số tương tác liên lớp lân cận gần nhất giữa Al và B2, ¥4 : hằng số tương tác liên lớp lân cận gần nhất giữa Al và A2, hay B1 và B2. Cụ thê các tham số được định nghĩa bởi các biểu thức sau: Yo = —(6a,|?t|6»,) = —(®4„||®s,), (1.5) Có thé thay rằng từ hình 1.1 về cầu trúc BLG: ¢ Xung quanh nguyên tử Al là 3 nguyên tử BI, 11 « Xung quanh nguyên tử AI là 3 nguyên tử A2, e Xung quanh nguyên tử Al là 3 nguyên tứ B2, « Xung quanh nguyên tử À2 là | nguyên tử BI.
¢ Xung quanh nguyên tử A2 là 3 nguyên tử B2, e Xung quanh nguyên tử BI là 3 nguyên từ B2, Ta bắt đầu tính các thành phần ma trận chuyên: N N 1 ik =2 8 + nm a. Hasa = NỒ, », ean hay (F — Rar s)|H bar (F — Ra, ))e 8840 i=l jel a, 1 (1. Ta xét bài toán đang được giá sử các đóng góp chính chỉ xét tai các 6 mang giống nhau. Tương tự như vậy cho các Hamiltonian Hgz„, H4242, Hg;pg; tương ứng với các giá trị Eg.
4z, €g2- Thoa mãn biêu thức: £a; + £gạ + E42 + £g; = 0, với các môi liên hệ sau: 1 Ear = 5 (-U + dap), (1.10) Trong đó: U: thé hiện sự bat đối xứng wit 2 lớp. A’: thé hiện sự bất đối xứng giữa các vị trí dimer và không dimer. Sag: thé hiện sự bất đối xứng giữa các vị tri A.B trên mỗi lớp, được cho bởi: 1 U= 2l(£a + £91) — (£a; + £p¿)], (1.13) Ta tính cho các trường hợp con lại, kết hợp biểu thức (1.10), sẽ thu được kết quả sau: Hay a2 = vaf (Kk), Hayp¿ = —yaƒ"(R), Heir = —y3f*(k), Hp\aa = V1. Kết hợp các thành phan của ma trận chuyên, cuối cùng ta thu được ma tran sau: Ea —yof (k) vaf (k) -¥3f° (k) Yor *(k) €p1 1ì vaf(k) Hy = (1.14) ¥af *(k) Al E42 —Yof (k) —y2ƒ(k) 4ƒ*(k) —yof*(k) Ep2 Ta nhận xét được: BLG thuần, chi chứa các tham số: Yo, ¥4, Y2, Y⁄4„ 4".
Các tham số U và Sap là kết qua từ những tac động bên ngoài. Ta tiếp tục xắp xỉ bài toán trong gần đúng liên kết chặt, nghĩa là chỉ xét các liên kết lân cận gần nhất giữa Al và BI, A2 và B2, tại các vị tri dimer A2 và BI. Ta chỉ giữ lại y¿ và y¿. Bước tiếp theo, ta giả sử BLG là thuần, bỏ qua các yếu 16 bên ngoài: £¿¡ = Eg; = E42 = £p; = 0.
Sau đó, ta viết lại được ma trận chuyển có dang: 0 -yaƒ(R) 0 0 H, —yaf*(R) 0 "1 0 ° = 0 Nn 0 —yof (k) , : 1. Sy = (Pao? — Rars)| er (7 — Rx,)), ta có thé bỏ qua s, vì nó đóng góp nhỏ. 13 Do đó, ma trận xen phủ được viết lại như sau: 1 s¿/(K 0 0 _[se/(Œ) 1 0 0 3%»“Í 4 0 1 s/(#J (1.16) 0 0 sof*(kK) 1 Trong thực nghiệm. tat cả các tham số So, $1, 53, Sạ,.
xuất hiện trong ma trận tích phân xen phủ được loại bó (vì năng lượng nhỏ |E| < y¡) và S, trở thành ma trận đơn vị: 1000 _f[o 100 %=Ío 9 1 of (1.17) 0001 Ma trận tích phân chuyên H (1.15) và ma trận tích phân xen phủ S (1.17) thì cấu trúc vùng năng lượng BLG có thé xác định được bằng cách giải phương trình thé ky det(H—E,S)=0 với các giá trị tham số sạ = 0.39eV, tay = Eg, = E42 = Eg2 = 0.2 mô tả cau trúc vùng năng lượng thấp cho BLG tại các điểm Dirac K+, K- tại mỗi vùng dẫn và vùng hoá trị bị tách ra đúng bằng khoảng cho hằng số tương tác giữa hai lớp tại các điểm dimer. Ngay tại điểm Dirac, vùng dẫn và vùng hoá trị vẫn chạm nhau giống với trường hợp MLG. Và cũng đã khảo sát được nhiều hiện tượng vật lý tại điểm nang lượng không này. Ta bắt đầu mô tả các vùng năng lượng thấp trong BLG, tiền hành giải phương trình thé kỷ dé xác định các trị riêng năng lượng E, 14 Hình 1.
Cấu trúc vùng năng lượng thấp của BLG với các tương tác lân cận gân nhất. Ta có phương trình thé kỷ: det(H — E;S) = 0 o f ) ki“ ° ` 1000 đet| | TY h „| gÍ0 10 Yoo 0 li 0 —yaf(k) 0 0 1 0 .18) Các năng lượng E tương ứng thu được như sau: ep 28 14+ +a : y=tl (1.19) - y avelf(k)| Khắp vùng Brillouin, 4y2|f (KI 3> yf, ta Có: ¡„ /ŒẺ ave ry * mà. -“*? 2 ye vỉ mo! Các trị riêng năng lượng được viết lại: 15 2 | k ay 2 EO = + vị 2aj|ƑŒ)|_ ya =+(w»|I(ĐỈ + ne 2 Vs h ), 2 2 (1.20) Ta so với nang lượng trong MLG: E(k) = troll.21) Thi so với năng lượng trong BLG được cộng thêm một lượng =, tương ứng vạch tach tại vùng năng lượng không đối với vùng dẫn va vùng hoá trị. ta xét 2 trường hợp cho a= I, ø = =1.
Xét trong không gian mang đảo lục giác, với các điểm K tại vùng năng lượng không. Toa độ các điểm Dirac này được cho bởi Ky = (=, 0); f (Ks)= 0. Gan với các điểm K,, với vector xung lượng ÿ = hk — hK,p. Ta có thé thay đổi hệ số y> | ƒ(R)Ï = v.p với v = — Chon giá trị a = —l, khi đó năng lượng 7 P 3 trong BLG có dang: ~(-1) 1ì 4v?p? EY = 42 -1], (1.
ly gan với năng lượng không, ma cũng tại nang lượng này các dai năng lượng chạm nhau. Cấu trúc hệ Bilayer Graphene Double Layer 1. Giới thiệu hệ Chúng tôi xem xét một hệ Bilayer Graphene Double Layer là một hệ ghép 2 lớp bao gồm một lớp BLG và một lớp BLG khác. Hai lớp này cách nhau một khoảng d mà giữa hai lớp là một lớp đệm cách điện.
Hệ với cấu tạo như vậy được đặt trong điện môi không đồng nhất với các hăng số điện môi lần lượt là €,, £;, £3 có dạng như hình 1.3: 16 4+ — BLG + BLG Hình 1. Một cầu trúc BLG lớp đôi được dat trong ba môi trường điện môi với các hàng số điện môi lan lượt là £, = Eay = 1,£; Đà Es. Tương tác Coulomb điện tử - điện tử Trong mục nay, dé xác định được chính xác dạng của tương tac Coulomb — Coulomb trong hệ lớp đôi, ta đi giải bài toán tĩnh điện [9,10,66] trong môi trường điện môi được phân lớp dọc theo phương z, với ba lớp điện môi được xác định như sau: £¡ khíz > d e(2) = ‡£; khí 0 < z < d, (1.23) é3 khi z < 0 Từ định luật Gauss trong hệ SI, ta có: T - ~ Q ~ VD = prrdo > —V[z()VVŒ)] = =, Ol).24) 0 Giả sử điện tích điểm được đặt nim trong mặt phẳng z = 0. Biến đôi Fourier 2D thé V (7) và ham Delta Dirac ô(?) trong mặt phăng x,y ta có: vay = [-## v(,zeldtxs+ve,) (1.24), ta được: -z(e@ 2z à ) + q° £( 2) aV(q.27) Trong phuong trinh (1.27), SỐ hạng dau tiên thé hiện sự không liên tục tai mặt phân cách giữa hai điện môi.
Ta lay tích phân theo z với cận là [—n; ?)Ì. và lay giới hạn n > 0, ta lại có phương trình như sau: —e()V'(q,n) + e(—n)V'(q,~n) = ^.30) W;(q,2 = 0) = W;(q,z = 0)’ Nghiệm của phương trình (1.27) với các điều kiện biên (1.30), cùng với điều kiện biên ở vô cùng ( lim V(q,z) = 0) là: z-+œ V;(q,z) = Ae”, khi z < 0 V(q,z) = $ W;(q,z) = Be* + Ce~*“Z, khi 0 < z < d, (1.31) Vi(q,z=d)=De%, khiz > d Thay (1.30), ta được hệ phương trình sau: £3qA — £;qB + &2qC + 0 =< 0 0 + esqe14B — e;qe%%€ + eqe~44D = 0, (1.