Khóa Luận: Giải Toán Biên cho Hệ Phương Trình Vi Phân Bậc Hai

Khóa luận ngữ văn ứng dụng tính toán giải bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai. Nghiên cứu phương pháp số, ứng dụng thực tiễn.

• Tác giả: Trần Thị Lụa
• Người hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán lý
• Đề tài: Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2019
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• PHẦN MỞ ĐẦU
• 1. Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP4M
• 1.1. Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai GSM
• 1.2. Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán
• 1.3. Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn của bài
• 1.4. Đa thức nội suy Hermile
• 1.5. Sự hình thành bài toán trị riêng đại số
• 1.6. Sơ đồ tính toán của bài toán tán xạ nhiều kênh
• 2. Ứng dụng của chương trình KANTBP4M
• 2.1. Bài toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa một chiều và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòa DCH
• 2.2. Bài toán 2: Nghiệm của bài toán trị riêng cho hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng phần
• 2.3. Bài toán 3: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh cho hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng
• 2.4. Bài toán 4: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh mô tả sự truyền qua rào thế của hệ hai hạt đồng nhất với tương tác dao động
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO
• 1. Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M
• 1.1. Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai đối xứng

Tóm tắt

I. Hướng dẫn toàn diện giải toán biên phương trình vi phân bậc 2

Phương trình vi phân bậc hai là công cụ toán học nền tảng mô tả vô số hiện tượng trong vật lý và kỹ thuật, từ dao động cơ học đến các hệ lượng tử. Tuy nhiên, việc tìm lời giải không chỉ phụ thuộc vào bản thân phương trình mà còn vào các ràng buộc tại biên của miền xác định. Đây chính là cốt lõi của bài toán giá trị biên (Boundary Value Problem - BVP). Khác với bài toán giá trị ban đầu, BVP yêu cầu nghiệm phải thỏa mãn các điều kiện biên cho trước tại các điểm khác nhau. Việc giải quyết các bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả phương pháp giải tích và phương pháp số, đặc biệt khi các hệ số hoặc điều kiện trở nên phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, hệ thống hóa các phương pháp và ứng dụng quan trọng nhất liên quan đến việc giải toán biên phương trình vi phân bậc 2.

1.1. Khái niệm cơ bản về bài toán giá trị biên BVP

Một bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường bậc hai là bài toán tìm một hàm số y(x) thỏa mãn phương trình vi phân trên một khoảng [a, b] và đồng thời thỏa mãn các điều kiện ràng buộc tại hai điểm biên x=a và x=b. Các điều kiện này không được cho tại cùng một điểm như trong bài toán giá trị ban đầu (bài toán Cauchy). Cấu trúc của BVP thường bao gồm một toán tử vi phân tác động lên hàm cần tìm, ví dụ, L(y) = f(x), và các điều kiện có dạng g(y(a), y'(a), y(b), y'(b)) = 0. Sự tồn tại và tính nghiệm duy nhất của BVP là một trong những vấn đề lý thuyết quan trọng, không phải lúc nào cũng được đảm bảo. Theo tài liệu nghiên cứu của Trần Thị Lụa (2019), các BVP này là mô hình toán học cho nhiều quá trình phức tạp trong vật lý lượng tử, chẳng hạn như phương trình Schrödinger.

1.2. Phân biệt BVP và bài toán giá trị ban đầu IVP

Sự khác biệt cốt lõi giữa bài toán giá trị biên (BVP) và bài toán giá trị ban đầu (Initial Value Problem - IVP) nằm ở cách các điều kiện được áp đặt. Trong IVP, tất cả các điều kiện cần thiết để xác định một nghiệm duy nhất (ví dụ, giá trị của hàm và đạo hàm của nó) đều được cung cấp tại một điểm duy nhất, thường là điểm bắt đầu của quá trình (t=0 hoặc x=0). Điều này phù hợp để mô phỏng các hệ thống tiến hóa theo thời gian. Ngược lại, trong BVP, các điều kiện được quy định tại các điểm biên khác nhau của một miền không gian. Ví dụ, nhiệt độ tại hai đầu của một thanh kim loại, hoặc vị trí cố định của hai đầu một sợi dây đàn. Sự phân biệt này dẫn đến các phương pháp giải hoàn toàn khác nhau. IVP thường được giải bằng các phương pháp bước nhảy như Runge-Kutta, trong khi BVP đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp hơn như phương pháp bắn (shooting method) hoặc các phương pháp toàn miền như phương pháp sai phân hữu hạn.

1.3. Các loại điều kiện biên phổ biến Dirichlet Neumann

Các điều kiện biên trong BVP được phân loại dựa trên thông tin mà chúng cung cấp. Ba loại phổ biến nhất là: Điều kiện Dirichlet (loại I), quy định giá trị của hàm tại biên, ví dụ y(a) = α và y(b) = β. Điều này tương ứng với việc cố định vị trí hoặc nhiệt độ tại các điểm biên. Điều kiện Neumann (loại II), quy định giá trị đạo hàm của hàm tại biên, ví dụ y'(a) = α và y'(b) = β. Điều này thường mô tả dòng chảy hoặc thông lượng qua biên, chẳng hạn như dòng nhiệt. Cuối cùng là Điều kiện Robin (loại III), là sự kết hợp tuyến tính của giá trị hàm và đạo hàm của nó tại biên, có dạng ay(b) + by'(b) = γ. Khóa luận của Trần Thị Lụa (2019) nhấn mạnh rằng chương trình KANTBP 4M có khả năng xử lý cả ba loại điều kiện biên này để giải quyết các bài toán vật lý phức tạp.

II. Bí quyết giải toán biên PTVP bậc 2 bằng phương pháp giải tích

Trước khi tìm đến các công cụ số, việc nắm vững lời giải giải tích là điều kiện tiên quyết để hiểu sâu sắc bản chất của bài toán. Phương pháp giải tích cung cấp nghiệm chính xác dưới dạng một biểu thức toán học tường minh, cho phép khảo sát toàn diện các tính chất của nghiệm. Quá trình này thường bao gồm hai bước chính: tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và sau đó sử dụng các điều kiện biên đã cho để xác định các hằng số tùy ý trong nghiệm tổng quát đó. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả đối với các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, cả dạng phương trình thuần nhất và phương trình không thuần nhất. Mặc dù có giới hạn về phạm vi áp dụng, việc thành thạo kỹ thuật giải tích là nền tảng để kiểm chứng độ chính xác của các phương pháp số sau này.

2.1. Tìm nghiệm tổng quát cho phương trình thuần nhất

Đối với một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai thuần nhất có dạng ay'' + by' + cy = 0, bước đầu tiên là giải phương trình đặc trưng ak² + bk + c = 0. Dựa vào nghiệm của phương trình đặc trưng này, nghiệm tổng quát y_h(x) có thể được xác định. Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k₁, k₂, nghiệm tổng quát là y_h(x) = C₁e^(k₁x) + C₂e^(k₂x). Nếu có nghiệm kép k, nghiệm tổng quát là y_h(x) = (C₁ + C₂x)e^(kx). Nếu có hai nghiệm phức liên hợp α ± iβ, nghiệm tổng quát có dạng y_h(x) = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)). Nghiệm tổng quát này chứa hai hằng số tùy ý C₁ và C₂, đại diện cho một họ các nghiệm của phương trình thuần nhất.

2.2. Xác định nghiệm riêng cho phương trình không thuần nhất

Khi vế phải của phương trình khác không, ay'' + by' + cy = g(x), đây là một phương trình không thuần nhất. Nghiệm tổng quát của nó là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (y_h) và một nghiệm riêng bất kỳ (y_p) của phương trình không thuần nhất. Phương pháp hệ số bất định là một kỹ thuật phổ biến để tìm y_p khi g(x) có dạng đa thức, hàm mũ, sin, cos hoặc tổ hợp của chúng. Ta giả định y_p có dạng tương tự như g(x) với các hệ số chưa biết, sau đó thay vào phương trình ban đầu để xác định các hệ số này. Trong trường hợp phức tạp hơn, phương pháp biến thiên hằng số Lagrange được sử dụng. Việc tìm được nghiệm riêng chính xác là bước quan trọng để có được dạng đầy đủ của nghiệm tổng quát trước khi áp đặt các điều kiện biên.

III. Cách giải toán biên phương trình vi phân bằng phương pháp số

Nhiều bài toán giá trị biên trong thực tế có hệ số biến thiên phức tạp hoặc miền hình học không đều, khiến việc tìm lời giải giải tích trở nên bất khả thi. Trong những trường hợp này, phương pháp số là công cụ không thể thiếu. Các phương pháp này không tìm một hàm giải tích chính xác mà thay vào đó là một tập hợp các giá trị gần đúng của nghiệm tại các điểm rời rạc trong miền khảo sát. Ưu điểm lớn nhất của chúng là tính tổng quát và khả năng áp dụng cho một loạt các bài toán phức tạp. Các phương pháp số phổ biến nhất bao gồm phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), và phương pháp bắn. Lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu, tính chất của phương trình và điều kiện biên.

3.1. Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn FEM

Trong tài liệu gốc, chương trình KANTBP 4M được xây dựng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Ý tưởng cốt lõi của FEM là chia miền tính toán liên tục thành một tập hợp các miền con đơn giản hơn, gọi là các "phần tử". Bên trong mỗi phần tử, nghiệm của bài toán được xấp xỉ bằng một hàm đa thức đơn giản (hàm cơ sở). Bằng cách áp dụng nguyên lý biến phân hoặc phương pháp thặng dư có trọng số (Galerkin), phương trình vi phân ban đầu được chuyển đổi thành một hệ phương trình đại số tuyến tính lớn. Nghiệm của hệ phương trình này chính là các giá trị xấp xỉ của hàm tại các điểm nút của lưới phần tử. FEM đặc biệt mạnh mẽ trong việc xử lý các miền có hình dạng phức tạp và các loại điều kiện biên khác nhau, mang lại độ chính xác cao.

3.2. Rời rạc hóa bài toán và đa thức nội suy Hermite

Quá trình chuyển đổi từ phương trình vi phân sang hệ phương trình đại số được gọi là rời rạc hóa. Trong FEM, chất lượng của việc rời rạc hóa phụ thuộc lớn vào việc lựa chọn các hàm cơ sở. Khóa luận của Trần Thị Lụa (2019) chỉ ra rằng KANTBP 4M sử dụng đa thức nội suy Hermite làm hàm cơ sở. Không giống như đa thức Lagrange chỉ nội suy giá trị của hàm, đa thức Hermite còn nội suy cả giá trị của đạo hàm tại các điểm nút. Điều này cho phép xây dựng nghiệm xấp xỉ không chỉ liên tục mà còn có đạo hàm liên tục trên toàn miền. Việc sử dụng đa thức bậc cao như Hermite cho phép đạt được độ chính xác cao ngay cả với một lưới phần tử tương đối thưa, đây là một ưu điểm vượt trội của chương trình được đề cập.

3.3. So sánh FEM với phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) là một kỹ thuật số phổ biến khác. FDM hoạt động bằng cách thay thế các đạo hàm trong phương trình vi phân bằng các xấp xỉ sai phân tại các điểm trên một lưới đều. FDM dễ triển khai hơn FEM, đặc biệt đối với các miền hình chữ nhật. Tuy nhiên, FDM gặp khó khăn lớn khi xử lý các miền có hình dạng phức tạp và khó áp dụng các điều kiện biên Neumann hoặc Robin một cách tự nhiên. Ngược lại, phương pháp phần tử hữu hạn linh hoạt hơn nhiều với hình học và điều kiện biên. FEM có nền tảng toán học chặt chẽ hơn, dựa trên các không gian hàm (Sobolev), và thường cho kết quả chính xác hơn trên các lưới không đều, khiến nó trở thành lựa chọn ưu việt cho nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp.

IV. Khám phá bài toán trị riêng Sturm Liouville trong PTVP bậc 2

Một lớp đặc biệt quan trọng của bài toán giá trị biên là bài toán Sturm-Liouville. Dạng bài toán này không chỉ tìm một nghiệm duy nhất mà tìm một tập hợp các nghiệm đặc biệt (hàm riêng) và các hằng số tương ứng (giá trị riêng) thỏa mãn phương trình vi phân và các điều kiện biên thuần nhất. Lý thuyết Sturm-Liouville cung cấp một khung lý thuyết vững chắc để phân tích các hệ dao động và các hệ lượng tử, nơi các giá trị riêng thường tương ứng với các tần số dao động riêng hoặc các mức năng lượng cho phép. Các hàm riêng tạo thành một cơ sở trực giao, cho phép biểu diễn các nghiệm khác dưới dạng chuỗi, tương tự như chuỗi Fourier.

4.1. Định nghĩa và tính chất của bài toán Sturm Liouville

Một bài toán Sturm-Liouville chính tắc có dạng: d/dx[p(x)y'] + q(x)y + λw(x)y = 0, với các điều kiện biên thuần nhất tại hai đầu khoảng [a, b]. Trong đó, p(x), q(x), w(x) là các hàm cho trước, và λ là tham số giá trị riêng. Một trong những tính chất quan trọng nhất của bài toán này là các giá trị riêng λ đều là số thực và tạo thành một dãy vô hạn tăng dần λ₁ < λ₂ < λ₃ < ... Các hàm riêng yₙ(x) tương ứng với các giá trị riêng phân biệt thì trực giao với nhau theo trọng số w(x). Tính trực giao này có ý nghĩa sâu sắc trong việc phân tích và khai triển các hàm số, là nền tảng của nhiều phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng.

4.2. Tìm kiếm giá trị riêng và hàm riêng tương ứng

Việc giải một bài toán Sturm-Liouville là quá trình tìm các cặp (giá trị riêng λ, hàm riêng y(x)). Đối với các trường hợp đơn giản, có thể tìm được lời giải giải tích. Tuy nhiên, trong phần lớn các bài toán thực tế, cần phải sử dụng phương pháp số. Các phương pháp như phương pháp bắn (shooting method) có thể được điều chỉnh để tìm giá trị riêng bằng cách biến λ thành một biến và tìm các giá trị của λ sao cho nghiệm của bài toán giá trị ban đầu tương ứng thỏa mãn điều kiện biên ở đầu còn lại. Ngoài ra, các phương pháp dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn như trong chương trình KANTBP 4M chuyển bài toán Sturm-Liouville thành một bài toán trị riêng của ma trận, có thể giải hiệu quả bằng các thuật toán đại số tuyến tính.

V. Ứng dụng thực tiễn giải toán biên phương trình vi phân bậc 2

Lý thuyết về giải toán biên phương trình vi phân bậc 2 không chỉ là một chủ đề toán học trừu tượng mà còn có vô số ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Từ việc mô tả sự phân bố nhiệt độ ổn định trong một vật thể, hình dạng của một sợi cáp treo, đến việc xác định các trạng thái năng lượng của một hạt trong cơ học lượng tử, các BVP xuất hiện ở khắp mọi nơi. Khả năng giải quyết chính xác các bài toán này là chìa khóa để thiết kế các hệ thống kỹ thuật hiệu quả và hiểu sâu hơn về các quy luật của tự nhiên. Các chương trình tính toán hiện đại như KANTBP 4M đóng vai trò là công cụ mạnh mẽ giúp các nhà khoa học và kỹ sư khảo sát các mô hình phức tạp mà không thể giải bằng tay.

5.1. Mô hình hóa phương trình Schrödinger cho dao động tử

Một trong những ứng dụng kinh điển được trình bày trong tài liệu gốc là giải phương trình Schrödinger độc lập thời gian, một phương trình vi phân bậc hai, cho dao động tử điều hòa. Đây là một bài toán trị riêng, trong đó các giá trị riêng tương ứng với các mức năng lượng lượng tử hóa Eₙ, và các hàm riêng là các hàm sóng Ψₙ(x) mô tả trạng thái của hạt. Việc giải bài toán này với các điều kiện biên phù hợp (hàm sóng phải tiến tới không ở vô cực) cho phép xác định chính xác các mức năng lượng và hàm sóng của hệ. Kết quả tính toán số học từ chương trình KANTBP 4M cho thấy độ chính xác rất cao so với lời giải giải tích đã biết, khẳng định năng lực của phương pháp phần tử hữu hạn trong lĩnh vực vật lý lượng tử.

5.2. Phân tích bài toán tán xạ nhiều kênh trong vật lý

Một ứng dụng phức tạp hơn được đề cập là bài toán tán xạ nhiều kênh. Bài toán này mô tả hiện tượng một hạt hoặc sóng tới tương tác với một vùng thế năng và sau đó bị tán xạ ra các kênh (trạng thái) khác nhau. Về mặt toán học, đây là một hệ các phương trình vi phân bậc hai liên kết với nhau, cần được giải với các điều kiện biên tiệm cận mô tả sóng tới, sóng phản xạ và sóng truyền qua. Giải bài toán này cho phép tính toán các ma trận tán xạ (S-matrix), chứa đựng toàn bộ thông tin về quá trình tương tác. Nghiên cứu của Trần Thị Lụa (2019) đã áp dụng thành công KANTBP 4M để giải bài toán này, cho thấy nghiệm số thu được có độ chính xác lên đến 10⁻¹² so với nghiệm giải tích, một kết quả ấn tượng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M Chương này gồm các nội dung như giới thiệu chương trình KANTBP 4M, bài toán trị riêng và bài toán tan xạ, phương pháp phan tử hữu hạn, đa thức nội suy Hermite. Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M Vân dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát các bài toán trị riêng và bài toán tán xạ cho phương trình hoặc hệ phương trình vi phan. Mục lục 1 Cosé lý thuyết của chương trình KANTBP4M.1 Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiém ham bac hai GSM ¿¿ ví c co eR co bo can n0 SD wr 1.2 Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán .3 Sư hình thành phương pháp phan tử hữu han của bài 18.4 Da thức nội suy Hermile.- 10 1 Sư hình thành bài toán trị riêng đại số. aow 14 | So đồ tính toán của bài toán tán xa nhiều kénh 18 two Ứng dung của chương trình KANTBP4M_.

3 1 Bài toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa một chiều và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòa DCH picid cac co (0 bá ko anata 22 Bài toán 2: Nghiệm của bài toán trị riêng cho hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng phan 31 2.3 Bài toán 3: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh cho hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng ¡0 aca Geen .4 Bài toán 4: Nghiệm của bài toán tan xạ nhiều kẽnh mõ tả sự truyền qua rào thế của hệ hai hạt đồng nhất với tương tác dao động. Két luận Tài liệu tham khảo. Cơ sở ly thuyết của chương trình KANTBP 4M 1. Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai đối xứng Chương trình KANTBP 4M [7] là chương trình dùng để giải những bài toán bién và bài toán trị riêng có chứa hệ gồm N phương trình vi phân thường bậc hai đối với hàm số chưa biết (hàm riêng) ®(z) = (®;(z}.®x(z))7 của biến số độc lập z € 2 [2TM", zw2x] bằng phương pháp phan tử hữu han (D- ED#®(=z()- ta5ta H4 i tđ_ v( s ) 1 2 f a l ) Q ( 2 ) ++ Ffa)eaas * Fa(2 ) dz 7 EI) ®(: )=0 (11) Với fe(z) > 0 và ƒfa(z) > 0 là những hàm liên tục hoặc liên tục từng phan mang giá trị dương, I là ma trân đơn vị, V(z) là ma trận đối xứng, Vij(z) = Vji(z) và Q(z) là ma trận phản xứng, Q;;{z) = —Qji(z) của thé hiện dung có kích thước N x N.

Các phan tử của các ma trận nay là những hệ số liên tục hoặc liên tục từng phần mang giá trị thực hoặc phức thuộc không gian Sobolev 73= !(Q), với điều kiện tồn tại các nghiệm bat thường thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất: Dirichlet (loại I) hoặc Neumann (loại II) hoặc loại III tại các điểm biên trong khoảng z € [£”®,zgu“| với giá trị được cho sẵn của các phan tử thuộc ma trận thực hoặc phức R(2z') có kích thước N x N.t=min và (hoặc) max(1.4) ama Nghiệm ®(z) € H3*!(Q) của các bài toán biên (1.4) được rút gọn theo phép tính toán số học các điểm đừng của phiém hàm bậc hai đối xứng bằng cách sử dung phương pháp phan tử hữu hạn. max = #(6,E,zh",z“*) = | &*(z)(D — EI) ®(z)dz min = H(®.6) Với G(z) = ®(z) — Q(z) là ma trân đỗi xứng có kích thước N x N, dẫu * là hoán vị 7 hoặc liên hợp Hermite *, tức là chuyển vị với liên hợp phức phụ thuộc vào loại bài toán can giải. Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán Xét 2 dạng bài toán biên cơ bản: Bài toán tán xạ nhiều kênh Trên trục z € (=%, +00) với giá trị năng lượng không đổi E = RE, nghiệm cần tim ở dang ma trận ®(z) = {®Í)(z)}Ÿ;, BO(z) = (OM'(2),.) (chi số dưới v lấy giá trị + hoặc + và có nghĩa là hướng ban đầu của sóng tới là từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái hình 1.1) của bài toán biên (1.1) dành cho hệ N phương trình vi phân thường bac hai trong khoảng z € Íz"" „min z „mã=] được tính bằng code của chương trình [13,14]. Các nghiệm ở dang ma tran này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất loại III (1.4) tại các điểm biên trong khoảng z € [z”!®, z4] với tiệm cin có dạng "sóng tdi + sóng truyền qua" trong các kênh mở i= 1,., Nis ® (z—› +0) ®, (z—› 4x0) X'z)R,|X')T, XO (2) XO(R, z<0 z>0 z<0 z>0 inh 1.1: So đồ biểu dién nghiệm của bài toán tán xa uới tiệm cân có dang "sóng tdi + sóng phan xa va sóng truyền qua" trong các kênh mỏ.7) Trong đó TT, va R, là ma tran chữ nhật và ma trận vuông chưa biết của biên độ truyền qua và phan xa tương ứng, dé thành lập ma tran tán xạ 8 có kích thước N, x Ny, No = NE + NH: sa(R> T+) gigistg at (1._ là ma trận đổi xứng va đơn nhất trong trường hợp hàm thể năng có giá trị thực.

Déi với bài toán tán xạ nhiễu kênh trên bán trục z € [z" +) hoặc z € (-%,z"**] nghiệm ở dang ma trận cẩn tìm ®(z) của bài toán biên đành cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) được tính trong khoảng z € [2TM",zTM®), Các nghiệm của ma trân này phải thỏa mãn diéu kiên biên thuần nhất loại III (1.4) tại điểm biên zTM* hoặc zTM" của khoảng đang xét, với tiệm cận của loại "sóng tới + sóng truyền qua" trong các kênh ®_(z > +oo) = XỈ)Ì{z)+ XM (RL, z € [2TM*, +00) (1. z € (-00,2TM"] va thỏa man diéu kiện biên thuần nhất (1.1) tai điểm biên z"° hoặc z4 để thành lập ma trận tán xa S = Ry hoặc S = R. là ma trận đối xứng và đơn nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trì thực. Trong nghiệm của bài toán tán xa nhiều kênh các kênh đóng cũng được xét.

Trong trường hợp này điều kiện tiệm cận (1. + X O (z ) R ÿ, 2>2 " a x) X<(z)}T, + xứ) (z TC, z< min mun rman tron g đó x ) (2) = X ử )z) ,z > ma x, X E2) = x ,(z) ,2 < 2mm, max min xzz)= XỈ mun (z),z < 2TM" trong phương trình (1.10) và XỈ“)(z) = maxX XỈÌ(z),z > 2, X(z)= XŒz),z > 20, XỈ)(z)= XỔ), z < zm% trong phương trình (1. Giả sử các số hạng chính của các nghiệm tiêm cận xz) của bài toán biên tại z < z** và (hoặc) z > z"** có dang như sau: trong các kênh mở Wˆ. < # thì nghiệm dao động: tata exp(£1p,,2) 5 Xã (2) > Ss I.|z|)di,; = fa(z) coe Dị = fol!) Vie -B j=l,.14) Bài toán trị riêng Chương trình KANTBP 4M tính toán một bộ M trị riêng năng lượng BE: RE, < REQ <.

< #WEay và bộ hàm riêng tương ứng ®{z) = {®"(z)_¡, ®"4z) = (Ol (z),., OL (z))? thuộc không gian ?#‡ déi với hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1. Các hàm riêng này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất: loại I và (hoặc) loại IT hay loại II ((1.4)) tại các điểm biên thuộc khoảng z € [zmm, zmax|, Trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực, nghiệm phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và trực giao: ex < SA > =| min Sfa(z(BO(z))t BO (2) dz = Ômm! (1.15) va phiém ham bac hai déi xứng (1.5) tương ứng được sử dung, trong đó dau * là liên hợp Hermite Ï can thiết cho tính rời rac của bài toán khi dùng phương pháp phản tử hữu hạn. Trong trường hợp, hàm thế năng có giá trị phức, nghiệm phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và trực giao: max = <OTM Pl" > = fal(2 z ))BO( M(z) B dz = ôm (116) zmm và phiém ham bậc hai đối xứng (1.5) tương ứng được sử dụng. trong đó * là chuyển vị T cần cho tính rời rac của bài toán khi ding phương pháp phan tử hữu han.

Để giải bài toán giới hạn trên trục hoặc nửa truc số, bài toán ban dau được xắp xi bằng bài toán biên (1.4) trên khoảng giới han z € [2TM", 2TM°*] với các điểu kiện biên loại III (1.4) với ma trận R(z*) đã cho phụ thuộc vào trị riêng # chưa biết và một bộ trị riêng, hàm riêng xấp xi được tính toán. Nếu ma trận ®(zf) phụ thuộc vào trị riêng chưa biết khi đó R(z', E) được xác định bằng khai triển tiệm cận đã biết của nghiệm can tìm. Trong trường hợp đó, để tính trị riêng và hàm riêng xap xi trong chương trình thì sơ đồ lặp của Newton được triển khai để tính toán. Sự xấp xỉ thích hợp ban đầu được chon từ nghiệm đã tính trước đó với điều kiện biên phụ thuộc vào E.

Su hình thành phương pháp phan tử hữu han của bài toán đại số Các sơ dé tính toán có độ chính xác cao để giải bài toán biên (1.4) có thể được suy ra từ phiém hàm biến phân (1.6) dựa trên phương pháp phan tử hữu hạn. Ý tưởng chung của phương pháp này là trong không gian một chiều khoảng l2, Ai được chia thành nhiều phan nhỏ mà mỗi phan được xem như là các phan tử. Kích thước của các phan tử này có thé được xác định thông qua các tính chat vật lý của hệ lượng tử đang khảo sắt, và đáng điệu cũng như tính chất trơn của nghiệm hàm can tìm cùng với đạo hàm. Khoảng A = [zmin, max] chứa một bộ phần tử A; = [zƑ, = z1.

tức là A = UR_,A;. Vì vay, chúng ta thu được một mang lưới: Q/2œ) lam | "= em "= ae a "= aes 4È hy j = 1, ane 1, „max — min „| hạ = oh (1.,n là các điểm mắt và các bước hy = max — 21" là độ dai của các phần tử Â,. Chương trình còn có khả năng xác định một mạng lưới giả đồng nhất, mà hy = hạ =. = hại, Anti = Ange =.

= Antena, Ratrnstl = Anitn242 = wee = đal+n2+n3. tức là khoảng A = [ze 202) dau tiên được chia nhỏ thành nmesh khoảng phụ (trong trường hợp tổng quát độ dai không bằng nhau), mỗi khoảng phụ đó lại được chia thành ngrid{r0) = n,9 khoảng con có cùng độ dai. Da thức nội suy Hermite Trong mỗi phan tử A; chúng ta định nghĩa mạng lưới con cách déu h;(zÌ[_mi Q; a, Q224Z).min max) = z**] — {Zq~y ƒ~ — Z7 p = ~min hZ0~— „. — ~mMAX\ yA Aid 4 f = 1,.;Ð — Ì,Zp = Zj } với điểm nút 2p S 2j-1)p+r được xác định bởi công thức: Z(j—t)p+z = ((P — ra +rz?"")jp, r=0,.