CHƯƠNG I 5 KHAO SÁT NGUONG TRAT TỰ DIA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN CHƯƠNG II HÀM PHÂN BỐ XUYÊN TÂM VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG NHIỆT ĐỘNG LỤC H. Hàm phân bế xuyên tâm Việc biết và hiểu rõ tương tác giữa một ion và các ion kế cận, nghĩa là cắn phải biết được hàm phân bố xuyên tim, là rất cần thiết trong công việc nghiên cứu các bài toán, các vấn để trong vật lý lưu chất hay vật lý nguyên tử, plasma. Do vậy, việc thiết lập hàm phân bố xuyên tâm (radial distribution function) và biết các tính chất cơ bin của hàm này là rất cần thiết. Đầu tiên, ta cẩn nhắc lại hai điều kiện về sự ổn định của chất lỏng [1]: ® Năng lượng thé năng toàn phan của hệ phải có giới hạn dưới: 5 ®(R-R,)>-AN , Az0 (H1) isi< /$X ® Thế năng tương tác đẩy phải giảm nhanh ở khoảng cách lớn: olf M - ù mi u với |Ñ~R|>R (112) với B20,C >0, R >0.
Và olf - R) là thế năng tương tác giữa hai hat i, j của chất lỏng đang xét. Trong plasma, thế năng toàn phẩn của hệ hạt chính là tổng thế năng tương tác Coulomb giữa các ion, electron của hệ. Và ta có biểu thức thế năng này như sau { l]: 2 alk R|| 2a aenS ies I „ =(Zey (L3) Hệ số % xuất hiện trong (HI.3) nhằm tránh tính hai lan thé năng tương tac của mỗi cặp ion. CHUONG I 6 KHAO SÁT NGƯỠNG TRAT TY DJA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN Nếu gọi w(r,) là thế nang tương tác giữa hai ion i và j trong số N ion của plasma, thế năng toàn phần của hệ cũng có thể được hiểu là : “) Ham phân bố xuyên tâm được thiết lập như sau [4]: Xét hệ plasma chứa N" ion trong thể tích Q.
Ta biết rằng xác suất đểion 1 ở trong dr, tại vị trí " : ion 2 ở trong dr, tại ø ,.ion N ở trong dr, tại vị trí 7, không phụ thuộc vào vận tốc của mỗi hạt nên được tính như sau: O° “dd Ân, (11.5) với Q là tích phân cấu hình được định nghĩa bởi : O= Íe'“'dr. a Như vậy, xác suất để một ion “i” ở trong dr tai z là: #°(ï.4Z=g| fedwi di di Prat) =f fed] L6) a Đồng thời, nếu ta gọi Ø°(r.dr, là xác suất để tại z mỗi yếu tố dr đều có chứa một ion (/ =|.) ta dé dang nhận được: oh)* LẻSANGi p” ysl fe Yi lind ¬ (I.7b) CHƯƠNG II 7 KHẢO SÁT NGUONG TRAT TU DJA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN Ta cũng nhận thấy rằng °(Ì& là xác suất để một trong sổ những ion của hệ ở trong dr và vì mọi điểm " trong thể tích Q là tương đương (tức là #"{n] độc lập đối với “ ) nên: + [or =p" == ø, là mật độ trung bình của-các ion. (L8) tị a Nhận xét rằng AT TA là xác suất để tai rf mỗi yếu tố dr đều có chứa một ion (/=1,2) và do p"'chi phụ thuộc vào khoảng cách +, giữa hai ion nên: Ø""{ï. fo (at eae,= foe = NN}1) đ19)⁄ a 0 ; Ngoài ra, sự phân bố các ion trong plasma là hoàn toàn ngẫu nhiên, do đó xác xuất để ion i” ở trong dr, i=1,2,3,.n là: — dr, dr, dr, ae Wik > Ph wal Từ (III.7b), ta suy ra Peee, _ „KMI P=" (Nay? N'(N-n) ; (11.11b) Ta giả sử rằng xác suất để một ion nào đó ở wong dr độc lập với xác suất để một ion khác ở trong dr, , ta nhận được hệ thức như sau : CHƯƠNG II 8 KHẢO SÁT NGƯỠNG TRẬT TU DIA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN oc ars = [ (7) a8 Jo (7) a] Tuy nhiên, trong plasma luôn luôn có mối tương quan giữa các xác suất này nên ta viết lại 2"(ï.) được gọi là hàm « phân bốxuyên tâm ».
Hàm này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai ion. la), ta có : PF) = 088 (nor (1.13) So sánh với (H.7b), ta có : i SN sản 1.14 Cuối cùng, ta nhận được biểu thức của ham phân bố xuyên tâm như sau : —, N(N-I - = Với N đủ lớn, ta sẽ có: a Khi khoảng cách |, -7,| là rất lớn, hàm phân bố sẽ có giá trị là n=. Ở giới hạn nhiệt động lực, nghĩa là 3—>œ, —>ø thì hàm phân bố sẽ tiến đến giá trị 1. Do thé năng toàn phẩn Uy có dang (11.4), do vậy ta có thể đặt thành thừa số @ ”*”?trong tích phân trong biểu thức (II.
Déng thời, với giả thuyết rằng có thể bỏ qua sự phụ thuộc các số hạng w„ vàw,,. thì: 7 g(n;)%e CHƯƠNG II 9 KHAO SAT NGƯỠNG TRẬT TY DJA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN gÍn ri |d?, Bing cách chuẩn hoá xác suất rm) = ta có được: anon ae (111.17) Sự hiểu biết các giá trị của hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát thống kê của plasma, vì một phan là hàm này (cùng với Irung bình của phan dư của năng lượng tự do) là đại lượng được tính toán trực tiếp bởi phương pháp Monte-Carlo, mà ta sẽ để cập trong phần tiếp theo sau. Ngoài ra, trong vật lý lưu chất, g(r) có thể đo trực tiếp từ những tán xạ neutron, Hơn nữa các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân tính trén ham g(r) này .2 Các đại lượng nhiệt động lực. Như ta đã nói hệ plasma một thành phẩn được xem như là một hệ chính tắc được xác định bởi số phân tử N, nhiệt độ T, và thể tích Q.
Và như vậy các đại lượng nhiệt động lực được mô tả từ năng lượng tự do(näng lượng Helmholt): Fa-kTiInZ ; (H.18) với Z là hàm tổng thống kê: : Z=T J e l dp , - 4 p , dR a 4 AR p ,.19) với K là tống động năng của hệ. Đồng thời ta cũng thấy rằng Z có thể được phân tích dưới dạng : 2=Z2°0,.20) với Z° là hàm tổng thống kê của khí lý tưởng : a. he N! "dp dp,, ap, EP iP y = NiTMT tM (2xmkT) `“ (11. và Q, oF Jer dR aR;,.dR, (11,22) CHƯƠNG II 10 KHẢO SÁT NGƯỠNG TRẬT TỰ DIA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN Hàm tổng thống kê của khí lý tưởng ở đây có thể nhân được bằng cách bỏ qua tất cá các tương tác Coulomb trong plasma, nghĩa là chỉ có tương tác do chuyển động nhiệt.
Từ tính chất công tính của năng lượng tự do, ta có thể viết Q ở giới hạn nhiệt động học (Q, N rất lớn) dưới dạng : Oya 0 (11.23) Và phân tích năng lượng tự do dưới dang tổng : F. £/' lần lượt là năng lượng tự do của khí lý tưởng va phan dư năng lượng là kết quả của tương tác coulomb. 5Š % % 7 ƯƠNG Fe ri Ea Nhận BF. eQ| 2am «Q( 2mm ì V «e2 — ——Í ————i-li—|l—=—=j.
với wa > :mật độ ion trung bình, BFS” N =1. (126) Nếu phần dư năng lượng tự do đối với ion được đo bằng đơn vị “kTTM. Ta nhận thấy rằng /(F)= ( br” N. chi phụ thuộc vào một tham số duy nhất T do đó sẽ làm đơn giản các phép tinh những đại lượng nhiệt động lực.
Một vài vi dụ về các đại lượng quan trọng như áp suất P, năng lượng toàn phẩn U, nhiệt dung đẳng tích Cv: etd —m=R|lssrp/0)| KHẨU OF lid O(F 2, d y J a7" | eel oo = '— C, = (> | “Có. r a /( | „NI cv: eae ee (11.29) CHƯƠNG II H KHẢO SÁT NGƯỠNG TRẬT TỰ DIA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN Với 7 “. U, > Ca = lẫn lượt tương ứng là các dai lượng của khí lý tưởng. Vì các phép mô phỏng trên máy tính sẽ trực tiếp cho ta đại lượng| 1}: U -U df “————~~=Ï ——, 1.30 "U” “WET ar NÊN, là phần dư của năng lượng đối với mỗi ion tính theo đơn vị nang lượng kT, nên ta có thể tính được : #(F)=/Z)+ [th (11.31) trong đó F, thường được chon bằng don vị, là giá trị phân biệt giữa plasma liên kết mạnh và liên kết yếu.
Biểu thức liên hệ giữa u và hàm phân bố xuyên tâm [1 ] : wast [z[e(v)~I]Mxrw (11.32) R với 7# a „ bán kính rút gọn.Phương pháp Monte-Carlo và HyperNettedChain áp dụng nghiên cửu plasma một thành phần Trong việc nghiên cứu vật lý hiện nay việc mô phỏng đóng một vai trò hết sức quan trọng vì từ đó ta có thể nghiên cứu và kiểm chứng được các kết quả lý thuyết. Phương phấp mô phỏng được phát triển chỉ mới gắn đây, do nó được gắn lién với sự phát triển của các máy tính lớn có tốc độ xử lý mạnh. Các thử nghiệm đầu tiên được thực hiện thành công bởi Uhlam và Teller tại Los Alamos vào những năm bốn mươi. Tại đây các giá trị của hàm phân bố xuyên tâm của một lưu chất gồm những khối cẩu cứng hai chiểu đã được tính trên máy tính đầu tiên trên thế giới.
Ở đây, trong khuôn khổ luận văn này ta chỉ giới thiệu một cách sơ lược về hai phương pháp Monte-Carlo và HyperNettedChain được áp dụng nghiên cứu plasma một thành phan. CHUONG II 12 KHAO SAT NGUONG TRAT TỰ DJA PHƯƠNG TRONG PLASMA MỘT THANNH PHAN 11.1M6 phông Monte-Carlo Chi bất đầu từ sau năm 1965, phương pháp mô phỏng Monte-Carlo mới được phát triển sử dụng để nghiên cứu những tính chất nhiệt động lực của Plasma một thành phần. Các phép tính này sẽ cho ta kết quả hàm phân bố xuyên tâm và phần dư của nội năng của hệ Plasma. Mô phỏng Monte-Carlo dựa trên ý tưởng các tập hợp thống kê [4]: Xét một hệ vĩ mô ở trong trạng thái cân bằng mà ta muốn tính các tính chất, ta tạo ra một số rất lớn những hệ tương tự.
Sau khí tính toán giá trị của các đại lượng mà ta muốn có, ta sẽ lấy giá trị trung bình trên tập hợp. Như vậy, sau khi xác định một cấu hình ban đầu của hệ, ta sẽ phải làm phát sinh một đãy những « cấu hình chọn lựa » một cách ngẫu nhiên, tức là ta phải có một phần mềm cho ta các số ngẫu nhiên trên máy tính. Và ta phải có các vị trí của các hạt sao cho năng lượng của mỗi cấu hình được phân bố ngẫu nhiên. Nếu gọi M là số cấu hình toàn phan, giá trị trung bình của một đại lượng X xác định cho mỗi cấu hình được tính như sau: Xa (x)=+ “ (11.33) ot Tuy nhiên trong thực tế, việc áp dụng hệ thức trên một cách đơn thuần sẽ gặp những khó khăn là mỗi cấu hình ngẫu nhiên như vậy sẽ có năng lượng rất lớn.
nghĩa là có thừa số Boltzmann rất nhỏ.