Chương 1 SỐ TỰ NHIÊN (1) Sự hình thành khái niệm số tự nhiên Khái niệm về số tự nhiên (number) (còn gọi là số đếm) đã ra đời từ rất lâu, trước khi ngôn ngữ nói và viết ra đời. Người ta cũng chẳng rõ từ khi nào các con số cùng với tên gọi và ký hiệu của chúng được đưa vào sử dụng. Khi ta viết các số bằng ký hiệu nào đó như |, 1, I, , ta gọi đấy là các chữ số (numeral). Ý niệm về chữ số thậm chí ra đời trước cả khi con người biết viết từ số đếm như thế nào, bởi vì việc khắc lên các cành cây dễ dàng hơn nhiều lần việc xây dựng vốn từ ngữ về những con số.
Nếu ta thu gom các chữ số lại với nhau và xếp đặt chúng theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn |, ||, |||, |||| hoặc I, II, III, IIII, ta sẽ có một bộ các chữ số hay một hệ thống số (numeration system). Những hệ thống số thuở sơ khai được dựng nên bởi các vết khắc. Trong các hệ thống ấy, 1, 2 và 3 được biểu diễn bởi , và. Khoảng 3400 năm trước Công Nguyên, người Ai Cập đã xây dựng cho mình một hệ thống với các con số lên đến một triệu và còn hơn thế nữa.
Cách họ ký hiệu những con số đầu tiên thể hiện ảnh hưởng sâu sắc của các vết đục khắc ban đầu đó (xem Hình 1.1 Các chữ số đầu tiên của Ai Cập Gộp và Cơ số Khi nhu cầu đếm của con người từ chỗ đếm số ít đối tượng trở thành việc đếm với số lượng lớn, họ đã mở rộng phép đếm bằng cách gom các đối tượng thành từng nhóm. Một trong những cách đếm cổ xưa nhất là cách gộp những đối tượng cần đếm thành nhóm năm phần tử (ứng với năm ngón tay). Đó là bởi vì việc đếm các ngón tay trên một bàn tay luôn là một điều dễ làm, và bàn tay chúng ta luôn có năm ngón. Khi đếm số lượng của các đối tượng nào đó, người xưa dùng ngón trỏ của tay phải để chỉ vào một đối tượng và bàn tay trái để đếm.
Một khi cả năm ngón tay đều đã dùng hết, người ta vẫn có thể tiếp tục dùng tay trái để đếm tiếp. Ngày nay, ở một số vùng của Nam Mỹ và châu Phi, người ta vẫn dùng cách “đếm bàn tay” này: 1, 2, 3, 4, bàn tay, bàn tay và 1, bàn tay và 2, bàn tay và 3, … Ví dụ 1. Hãy dùng hệ thống “đếm bàn tay” để tìm tên gọi của những con số sau đây, biết rằng chúng được biểu diễn bởi các bộ gồm những dấu chấm tròn. (i) hai bàn tay và 2.
Trong quá trình gộp kể trên, ta gọi số lượng của các phần tử trong một nhóm là cơ số (base). Cơ số ở Ví dụ 1 là cơ số năm. Bằng cách dùng các chữ số 1, 2, 3 và 4 cho bốn con số đầu tiên và bàn tay làm tên gọi của cơ số, ta có thể gọi tên cho số lượng của các đối tượng kể từ 1 cho đến 24. Trải qua thời gian, khi người xưa đã quen với cách đếm dùng các ngón tay trên một bàn tay, họ bắt đầu chấp nhận cách đếm dùng những ngón tay trên cả hai bàn tay và việc gộp các đối tượng thành từng nhóm mười phần tử.
Hầu hết những hệ thống số hiện đại đều dùng cách gộp này. Trong tiếng Việt, cách ta gọi các con số cũng phản ánh lên điều ấy. Mười một đồng nghĩa với thêm một vào (mười), mười hai có thể hiểu là thêm hai vào mười. Các số từ 13 đến 19 cũng có cùng cách hiểu như vậy.
Hai mươi thực ra chính là hai mười (mười rồi mười lần nữa), còn một trăm có nghĩa là mười lần mười (mười rồi mười lần nữa, …, rồi lại mười: Tất cả 10 lần). Các hệ thống số cổ đại Hệ thống số Ai Cập. Người Ai Cập cổ đại sử dụng các ký hiệu hình vẽ cho các số mà chúng ta thường gọi là chữ tượng hình (hieroglyphics). Hệ thống số này là hệ thống cơ số mười, trong đó mỗi ký hiệu tương ứng với một lũy thừa của mười.
3 1000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1 (Người) Xương (cái) Nòng nọc Ngón tay Hoa sen Cuộn dây kinh ngạc gót chân Gậy Hình 1.2 Chữ số Ai Cập Ví dụ 2. Viết các số sau bằng cách dùng chữ số Ai Cập. Hệ thống số Ai Cập cổ là điển hình cho hệ thống số cộng (additive numeration system). Trong hệ thống số cộng, nếu ta chọn 𝑏 > 1 là cơ số và ký hiệu 1, 𝑏, 𝑏2 , 𝑏3 , … cho các lũy thừa của cơ số thì ta viết một số bất kỳ bằng cách lặp đi lặp lại số lũy thừa cần thiết phải có của cơ số ấy.
Chú ý rằng các con số có thể được viết theo kiểu tùy ý. Với hệ thống số Ai Cập, 𝑏 = 10 và các lũy thừa của cơ số lần lượt là 1, 10, 102, 103, v.v… Người Ai Cập thường viết lũy thừa của cơ số tăng dần theo thứ tự từ trái sang phải còn ở Ví dụ 2 ta lại viết chúng theo kiểu giảm dần từ trái sang phải. Hệ thống số La Mã. Ta thường bắt gặp những chữ số La Mã trên đồng hồ, các tòa nhà, mộ bia và ở những trang đầu của các quyển sách.
Cũng giống như Ai Cập, người La Mã dùng cơ số mười. Tuy nhiên, họ lại sử dụng hệ thống số cộng cách tân: Ngoài những ký hiệu cho các lũy thừa của cơ số, họ còn có 4 các ký hiệu riêng cho 5, 50 và 500. Sau đây là bảy ký hiệu phổ biến nhất. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Hệ thống số La Mã Các nhà khảo cổ đã chỉ ra rằng C là cách viết tắt của centum1, nghĩa là một trăm, và M là viết tắt của milli1, nghĩa là một ngàn (hay là một nghìn).
Dù vậy, nguồn gốc của các ký hiệu còn lại cho đến nay vẫn còn là một ẩn số. Người La Mã viết các chữ số theo thứ tự giảm dần từ trái sang phải. Khi một chữ số La Mã được đặt ở bên trái của chữ số đại diện cho một số lớn nào đó, ta nhận được phép trừ, chẳng hạn như IX là 9, XL là 40, XC là 90, CD là 400 và CM là 900. La Mã là khởi nguồn cho ý tưởng về phép trừ nhưng họ lại chẳng mấy khi dùng đến nó2.
(Trên thực tế, phép trừ chỉ được dùng phổ biến cách đây hơn 200 năm.) Để viết số 1996, họ sẽ ký hiệu như sau: MCMXCVI. Khác với Ai Cập, người La Mã hầu như không có nhu cầu dùng những số lớn, vì vậy họ không có cách viết nào tổng quát cho số lớn. Trên tượng đài tưởng niệm chiến thắng của La Mã với Carthage3 vào năm 260 trước Công Nguyên (TCN), họ đã 1 Tiếng Latin. 2 Tài liệu tiếng Anh: [3, Smith], trang 60.
3 Carthage là một thành phố cổ ở Bắc Phi của người Phoenica, được xây dựng vào những năm 800 TCN và bị người La Mã tàn phá năm 146 TCN. 5 khắc 23 lần ký hiệu (tức là 100 000) để thể hiện cho con số hai triệu ba trăm ngàn. Hệ thống số Babylon. Người Babylon sử dụng cơ số 60.
Cách họ viết các số từ 1 đến 59 tương tự như ở hệ thống số cộng: Lặp lại số lần tương ứng cần thiết cho (là 1) và (là 10). 23 6 40 59 Để viết những số từ 60 trở về sau, người ta dùng kết hợp hai ký hiệu cơ bản nêu trên cùng với ý tưởng về “trị số theo vị trí” (place value). Trị số theo vị trí chính là các lũy thừa của cơ số: 1, 60, 602, 603, … Ta xác định giá trị của các ký hiệu cơ bản dựa trên vị trí của chúng hay thứ tự chúng xuất hiện. Cụ thể, nếu ta xem 135 = 2(60) + 15(1) và 79 410 = 22(602 ) + 3(60) + 30(1) thì người Babylon sẽ viết hai số 135 và 79410 như sau 135 79 410 2(60) 15(1) 22(602 ) 3(60) 30(1) Nói chung, vị trí đầu tiên tính từ phải sang trái đặc trưng cho các số từ 1–59, vị trí thứ hai tương ứng với bội số của 60, vị trí thứ ba biểu diễn cho bội số của 602, v.
Hãy viết các số sau bằng cách dùng hệ thống số Babylon. Từ lời gợi ý giải của Ví dụ 3-iii, chúng ta nhận ra điểm thiếu hụt của hệ thống số Babylon. Rõ ràng 10 821 = 3(602 ) + 0(60) + 21(1) nhưng người Babylon lại không có ký hiệu nào đặc trưng cho số 0 cả, nghĩa là phần tương ứng với bội số của 60 đã mất tích! Nếu chỉ nhìn thoáng qua đáp án , thật dễ để người ta nhầm tưởng đó là số 201. Vì thế, nhằm tránh tình huống này, người xưa dùng một khoảng trống rộng hơn bình thường để đánh dấu cho việc lũy thừa nào đó của cơ số đã “lặng lẽ xin vắng”.
Hệ thống số Maya. Người Maya đã sáng tạo nên hệ thống số riêng biệt sử dụng cơ số 20 và kèm theo đó là sự xuất hiện của ký hiệu tương ứng với chữ số 0 hiện đại. Ta có thể xem những ký hiệu họ dùng để viết các số từ 0 đến 19 qua Hình 1.3 Chữ số Maya 7 Khi xem Hình 1.3, bạn có nhận thấy cách người xưa dùng nhóm năm khi viết 20 con số đầu tiên ấy chăng? Tương tự với Babylon, người Maya viết các số lớn hơn 19 bằng cách kết hợp những ký hiệu biểu diễn từ 0 đến 19 với trị số theo vị trí. Họ viết mỗi số theo chiều thẳng đứng, tính từ dưới lên trên như ở Ví dụ 4.
Cách viết ba số 326, 2776 và 65 526 như sau 9(18 × 202 ) 7(18 × 20) 2(18 × 20) 16(20) 12(20) 0(20) 6(1) 16(1) 6(1) 326 2776 65 526 Chữ số nằm ở dưới cùng đại diện cho hàng đơn vị. Chữ số ở hàng thứ hai tương ứng với bội số của 20. Một đặc điểm thú vị của hệ thống số Maya là người xưa dùng hệ thống này chủ yếu để tính toán ngày tháng. Mỗi năm Maya gồm 365 ngày được chia thành 18 tháng và mỗi tháng có 20 ngày; 5 ngày còn lại là ngày lễ.
Chính vì vậy, chữ số nằm ở hàng thứ ba tương ứng với bội số của 18 × 20 thay cho 202. Ở những hàng tiếp theo, trị số theo vị trí tương ứng sẽ lần lượt là 18 × 202 , 18 × 203 , v. Hãy viết các số sau đây bằng chữ số Maya.