chương 1 chúng ta xét các nội dung chính 1. Các khái niệm: chất điểm, hệ qui chiếu, phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo, tọa độ cong. Các đại lượng đặc trưng cho động học: vận tốc, gia tốc. Khảo sát một số chuyển động cơ đặc biệt: chuyển động thẳng, chuyển động tròn biến đổi, chuyển động cong dưới tác dụng của trọng lực.
Các khái niệm cơ bản 1. Chuyển động và hệ qui chiếu Chuyển động là một khái niệm cơ bản của cơ học. Chuyển động của một vật là sự dời chuyển vị trí của vật đối với các vật khác hay các phần của vật đối với nhau trong không gian theo thời gian. Muốn xác định vị trí của vật trong không gian ta phải tìm những khoảng cách từ vật đó đến một vật hoặc hệ vật khác mà ta coi là đứng yên dùng làm mốc để xác định vị trí của vật trong không gian đó, những vật được chọn làm mốc đó gọi là hệ qui chiếu.
Hệ qui chiếu: là một vật hay hệ vật mà ta quy ước là đứng yên, dùng để xác định khoảng cách từ vật khảo sát đến vật hay hệ vật đứng yên đó. Để xác định thời gian vật chuyển động, người ta gắn vào hệ qui chiếu một chiếc đồng hồ. Khi một vật chuyển động thì vị trí của nó so với hệ qui chiếu thay đổi theo thời gian. Khi một người đứng cạnh một cây bên đường thì người đó nói rằng cây đang đứng yên, nhưng một người khác ở trên một chiếc xe ô tô chạy ngang qua cây thì lại nói cây đang chuyển động.
Rõ ràng việc cây đứng yên hay chuyển động phụ thuộc vào người quan sát hay là phụ thuộc vào hệ qui chiếu. Như vậy chuyển động hay đứng yên chỉ mang tính chất tương đối, tùy thuộc vào hệ qui chiếu ta chọn, đối với hệ qui chiếu này nó là chuyển động, nhưng đối với hệ qui chiếu khác nó có thể là đứng yên. Khái niệm chất điểm và hệ chất điểm Một ôtô tải dài 4m chạy từ Đông Triều đến Hạ Long, quãng đường dài 75km. Nếu ta vẽ quãng đường ôtô đi đó bằng một đường cong dài 20cm, thì ta chỉ có thể vẽ ô tô bằng một chấm (1 điểm); Trái Đất có đường kính vào cỡ 12000km, Mặt Trời có đường kính 1400000km, khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là 150 000 000 km.
Nếu biểu diễn quỹ đạo của Trái Đất khi chuyển động quanh Mặt Trời bằng một đường tròn bán kính 15cm, thì Trái Đất và Mặt Trời cũng sẽ chỉ biểu diễn được bằng các điểm. Như vậy ta thấy khi kích thước của vật rất nhỏ có thể bỏ qua so với những kích thước, khoảng cách mà ta khảo sát thì ta có thể coi vật là một chất điểm Khi một vật được coi là chất điểm thì khối lượng của vật coi như tập trung tại chất điểm đó. Các vật ta nói đến trong chương này đều coi là các chất điểm. Hệ chất điểm: là tập hợp các chất điểm.
Vật rắn được coi là một tập hợp vô số các chất điểm mà khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm không thay đổi. Qũy đạo z Quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường cong tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí D của chất điểm trong không gian trong suốt quá trình chuyển động. Quỹ đạo của Trái Đất khi chuyển động quanh Mặt Trời là đường tròn; quỹ đạo của vật chuyển động M ném ngang là nửa nhánh parabol hướng xuống,… Quỹ đạo chuyển động của chất y C điểm là một đường liền nét - Đường liên tục. Cách xác định vị trí của vật trong không gian B 1.
Hệ toạ độ Đề các P - Hệ toạ độ Đề các là một hệ gồm có x Hình 1-1. ba trục định hướng Ox; Oy; Oz vuông góc Vị trí của chất điểm chuyển động với nhau từng đôi một và theo thứ tự đó lập thành một tam diện thuận Oxyz. Trong đó điểm O được gọi là gốc của hệ toạ độ. Nếu có một điểm M trong không gian của hệ trục toạ độ Đề các thì vectơ OM được gọi là vectơ toạ độ hay bán kính vectơ của điểm M.
Hình chiếu vuông góc của OM trên các trục Ox; Oy; Oz là các véc tơ OB ; OC ; OD có các độ dài được xác định trên các trục tương ứng là OB ; OC ; OD. Nếu đặt OM r ; OB = x; OC = y; OD = z.k và độ dài - Hay Môdun - của r là: r x2 y2 z 2 Các giá trị của x; y; z được gọi là các thành phần toạ độ - hay các toạ độ của điểm M 1. Hoành độ cong Giả sử chất điểm chuyển động trên đường cong (C) đã biết trước dạng quỹ đạo. Trên đường cong (C) ta chọn điểm O nào đó làm gốc và chọn một chiều dương hướng theo chiều chuyển động của (C) chất điểm.
Khi đó vị trí M của chất điểm trên đường cong (C) được xác định bởi trị đại số của cung OM, ký hiệu là: M * OM =s O * 1. Phương trình chuyển động của chất điểm Khi chất điểm chuyển động thì các thành phần toạ độ của của chất điểm trên hệ trục toạ độ cùng sẽ thay đổi Hình 1-2 theo thời gian, có nghĩa giá trị của chúng là các hàm của thời gian: x = f(t); y = g(t); z = h(t) (1.1) 12 Điều đó dẫn tới là vectơ toạ độ cũng là một hàm của thời gian r r t (1.2) Nếu xét trong hệ tọa độ cong thì khi chất điểm chuyển động, hoành độ cong s cũng thay đổi theo thời gian: s = s(t) (1.3) Phương trình (1.3) biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần toạ độ của vectơ bán kính hoặc chính vectơ bán kính với thời gian cho phép xác định vị trí của chất điểm ở thời điểm bất kì được gọi là các phương trình chuyển động. Phương trình quỹ đạo của chất điểm chuyển động - Phương trình biểu diễn hình dạng của quỹ đạo chuyển động trong không gian được gọi là phương trình quỹ đạo. Phương trình quỹ đạo thực chất là phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các thành phần toạ độ của chất điểm chuyển động.4) Để tìm phương trình quỹ đạo khi biết phương trình chuyển động là khử biến số thời gian trong các phương trình chuyển động.
Bài toán mẫu Bài toán mẫu 1-1: Một chất điểm chuyển động theo hai phương trình x = 2cos20t; y = 4 sin20t. Tìm phương trình quĩ đạo của chất điểm đó. Bài giải 2 x2 2 y2 Ta có cos (20t ) 2 ; sin (20t ) 2 2 4 x2 y 2 cos2 (20t ) sin 2 (20t ) 1 1 4 6 Quỹ đạo chuyển động của chất điểm là elip Bài toán mẫu 1-2: Một chất điểm chuyển động theo hai phương trình x = 10t; y = 5t2. Tìm phương trình quĩ đạo của chất điểm đó.
Bài giải x2 x2 Ta có: t = x/10 thay vào phương trình y y 5 là phương trình quỹ 10 2 20 đạo của vật. Vận tốc Để đặc trưng cho chuyển động về phương, chiều và độ nhanh chậm, người ta đưa ra đại lượng gọi là vận tốc. Nói cách khác: vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho trạng thái chuyển động của chất điểm.Vận tốc trung bình Giả sử ta xét chuyển động của chất điểm trên M’ * đường cong (C) (hình 1-3). M * Tại t, chất điểm ở M xác định bởi OM = s; O * Hình 1-3 13 tại t = t + ∆t, chất điểm ở M’ xác định bởi: OM’ = s’ = s + ∆s.
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian ∆t = t’ – t là: MM’ = s’ – s = ∆s. Δs Đại lượng v tb cho biết quãng đường trung bình vật đi được trong một đơn Δt vị thời gian gọi là vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian ∆t. - Vận tốc trung bình đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động trong cả khoảng thời gian t hoặc trên cả đoạn đường s. Vận tốc tức thời Vận tốc trung bình chỉ đặc trưng cho độ nhanh chậm trung bình của chuyển động trên quãng đường MM’.
Để đặc trưng cho độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm, ta phải tính tỉ số Δs/Δt trong những khoảng thời gian Δt vô cùng nhỏ Δs Cho ∆t → 0 (tức t’ → t), tỉ số → giới hạn, gọi là vận tốc tức thời. Δt0 Δt ds Theo định nghĩa đạo hàm ta có thể viết: v (1.5) dt Vậy: vận tốc của chất điểm có giá trị bằng đạo hàm hoành độ cong của chất điểm đối với thời gian. Nếu chọn gốc O trùng vị trí ban đầu thì OM = s là quãng đường chất điểm đi được trong thời gian từ 0 → t. Vậy: vận tốc của chất điểm có giá trị bằng đạo hàm quãng đường đi của chất điểm đối với thời gian.
Vận tốc v cho bởi (1.5) là một đại lượng đại số: - Dấu của v xác định chiều chuyển động: + v > 0, chất điểm chuyển động cùng chiều dương của quỹ đạo; + v < 0, chất điểm chuyển động ngược chiều dương của quỹ đạo. - Giá trị tuyệt đối của v xác định độ nhanh chậm của chuyển động tại từng thời điểm. Tóm lại vận tốc đặc trưng cho mức độ nhanh chậm và chiều của chuyển động. Cũng có thể nói vận tốc xác định trạng thái của chất điểm.
Đơn vị đo của vận tốc trong hệ đơn vị SI là: mét/ giây (m/s). Vectơ vận tốc Để đặc trưng đầy đủ cả về phương chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm người ta đưa ra vectơ vận tốc. 14 Vectơ vận tốc v : - Điểm đặt: tại vị trí M đang xét - Phương: phương tiếp tuyến quỹ đạo tại điểm M - Chiều :trùng với chiều của chuyển động (C) ds v - Độ lớn: v = ds dt M * Để có thể viết được biểu thức của vectơ vận tốc, người ta định nghĩa vectơ vi phân cung ds : - Điểm đặt: tại vị trí M đang xét O * Hình 1-4 - Phương: phương tiếp tuyến quỹ đạo tại điểm M - Chiều :trùng với chiều của chuyển động - Độ lớn: ds ds Khi đó ta có: v (1. Véc tơ vận tốc trong hệ toạ độ Đề các Giả sử tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M được xác định bằng bán kính vectơ OM r .