CHƯƠNG IV ĐA CỘNG TUYẾN Các biến giải thích được xác định trong một mô hình kinh tế lượng thường xuất phát từ lý thuyết hoặc những hiểu biết của chúng ta cũng như từ kinh nghiệm quá khứ. Dữ liệu về các biến này đặc biệt xuất phát từ những thực nghiệm không kiểm soát và thường tương quan với nhau. Ví dụ, dân số và tổng sản phẩm quốc nội là hai chuỗi dữ liệu tương quan chặt lẫn nhau. Trong chương trước, chúng ta phát biểu là hệ số hồi qui đối với một biến cụ thể là số đo tác động riêng phần của biến này, nghĩa là tác động của nó khi tất cả các biến khác trong mô hình được giữ ở những mức cố định và chỉ có giá trị của biến này thay đổi.
Tuy nhiên, khi hai biến giải thích cùng tương quan chặt; chúng ta không thể chỉ đơn giản giữ một biến không đổi và thay đổi biến còn lại vì khi biến sau thay đổi thì biến đầu thay đổi. Cũng vậy, thay đổi mô hình bằng cách loại bỏ hoặc thêm vào một biến có thể làm thay đổi kết quả một cách nghiêm trọng, khiến cho việc diễn dịch các ước lượng sẽ khó khăn hơn. Đây chính là vấn đề đa cộng tuyến, vấn đề xuất hiện khi các biến giải thích có các quan hệ gần như tuyến tính. Bản chất của đa cộng tuyến Trường hợp lý tưởng là các biến không có tương quan với nhau; mỗi một biến Xj chứa một thông tin riêng về Y, thông tin không chứa trong bất kỳ biến Xj khác.
Trong thực tế, khi điều này xảy ra ta không gặp hiện tượng đa cộng tuyến. Ở trường hợp ngược lại, ta gặp hiện tượng đa cộng tuyến. Giả sử ta phải ước lượng hàm hồi qui Y gồm k biến giải thích X1,X2,. + βkXki + ui Đa cộng tuyến xảy ra khi một biến giải thích được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các biến giải thích còn lại đối với mọi điểm của tập số liệu.
Hay có thể nói, nếu tồn tại các λi không đồng nhất bằng 0 làm cho: 2 λ2x2i + λ3x3i +.+ λkxki +νi = 0; Trong đó νi là nhiễu; E(νi)=0; Var(νi)=σ νi ≥0 Trường hợp này chúng ta có thể nói là có đa cộng tuyến Nói chung hồi qui đa biến là có đa cộng tuyến, vấn đề là ở mức nào. Trường hợp Var(νi)= 0, => νi = 0 do E(νi)=0, khi đó ta có λ2x2i + λ3x3i +.+ λkxki = 0, trường hợp này được gọi là đa cộng tuyến hoàn hảo. Nhưng thực tế Var(νi)= 0 rất khó xảy ra, chỉ có khi số liệu quá ít hoặc đưa vào xi sai. Khi Var(νi)> 0, ta có đa cộng tuyến không hoàn hảo, Var(νi) lớn thì đa cộng tuyến thấp.
Ví dụ: Giả sử chúng ta ước lượng hàm tiêu dùng. Y = tiêu dùng, X2 = thu nhập và X3 = của cải. 52 Y = β1 + β2X2 + β3X3 + u; X3 = 5X2 Y = β1 + β2X2 + β35X2 + u Y = β1 + (β2 + 5β3)X2 + u Chúng ta có thể ước lượng (β2 + 5β3) nhưng không ước lượng riêng từng hệ số hồi qui. Hay có thể nói không thể có nghiệm duy nhất cho từng hệ số hồi qui (xem lại cách tính các hệ số hồi qui).
Như vậy các hệ số hồi qui sẽ không xác định được. Nguồn gốc của đa cộng tuyến ¾ Do phương pháp thu thập dữ liệu: • Các giá trị của các biến độc lập phụ thuộc lẫn nhau trong mẫu, nhưng không phụ thuộc lẫn nhau trong tổng thể. • Ví dụ: người có thu nhập cao hơn khuynh hướng sẽ có nhiều của cải hơn. Điều này có thể đúng với mẫu mà không đúng với tổng thể.
Trong tổng thể sẽ có các quan sát về các cá nhân có thu nhập cao nhưng không có nhiều của cải và ngược lại. ¾ Các biến độc lập vĩ mô được quan sát theo dữ liệu chuỗi thời gian Ví dụ: Nhập khẩu quốc gia phụ thuộc vào GDP và CPI (các chỉ số này được thu thập từ dự liệu chuỗi thời gian). Ước lượng khi có đa cộng tuyến hoàn hảo Khi có đa cộng tuyến hoàn hảo thì các hệ số hồi qui là không xác định còn các sai số tiêu chuẩn là vô hạn. Chúng ta dễ dàng thấy được từ ví dụ trong phần 4.
Ta cũng có thể sử dụng công thức tính βˆ2 & βˆ3 như đã trình bày ở phần hồi qui đa biến, ta cũng thấy rằng βˆ & βˆ là không xác định do tử số và mẫu số = 0 2 3 4. Ước lượng khi có đa cộng tuyến không hoàn hảo Trường hợp chúng ta giả thiết giữa x2 và x3 có đa cộng tuyến không hoàn hảo theo nghĩa: x2i = αx3i + νi Trong đó α ≠ 0, νi là nhiễu ngẫu nhiên Trong trường hợp này, theo phương pháp bình phương bé nhất ta có thể thu được βˆ2 & βˆ3 nhưng việc giải thích nó sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Hậu quả của đa cộng tuyến Khi có hiện tượng đa cộng tuyến trong mô hình, chúng ta có thể sẽ gặp phải những hậu quả sau: − Sai số chuẩn của các hệ số hồi qui lớn, làm cho khoảng tin cậy lớn và thống kê t ít ý nghĩa và khi đó các ước lượng không thật chính xác. Chúng ta dễ đi đến không có cơ sở bác bỏ giả thiết “không” nhưng trong thực tế không đúng như vậy.
Hay có thể nói nó sẽ làm cho chúng ta không xác định đúng tác động của mỗi biến độc lập đến biến phụ thuộc, thậm chí các hệ số hồi qui bị ước lượng sai dấu. − Các mẫu ngẫu nhiên khác nhau ít nhưng có thể cho kết quả ước lượng khác nhau nhiều, do Var ( βˆ j ) quá lớn. Phát hiện đa cộng tuyến Tính đa cộng tuyến thường xuất hiện dưới một số đặc điểm như sau: Giá trị R2 cao với các giá trị của trị thống kê t thấp: Mọi hệ số hồi qui đều không có ý nghĩa (nghĩa là có giá trị t thấp) nhưng trị thống kê F của kiểm định lại rất có ý nghĩa. Những giá trị cao cho các hệ số tương quan: Các tương quan từng mỗi cặp giữa các biến giải thích có thể cao, Xin lưu ý rằng một hệ số tương quan cao giữa biến phụ thuộc và một biến độc lập không phải là một dấu hiệu của tính đa cộng tuyến.
Thực ra một tương quan như vậy rất được mong muốn. Các hệ số hồi qui nhạy với các đặc trưng: Mặc dù một sự tương quan cao giữa các cặp biến độc lập là một điều kiện đủ cho tính đa cộng tuyến, điều kiện đảo lại không cần thiết phải đúng. Nói cách khác, tính đa cộng tuyến có thể hiện diện mặc dù sự tương quan giữa hai biến giải thích thể hiện không cao. Điều này là do ba hay nhiều hơn các biến có thể gần tuyến tính.
Trong trường hợp như vậy, bằng chứng thật sự của tính đa cộng tuyến là sự quan sát cho thấy rằng các hệ số hồi qui bị thay đổi đáng kể khi các biến được thêm vào hoặc bỏ ra. Dưới đây là một số cách thông dụng để phát hiện đa cộng tuyến: 4. Xét hệ số tương quan và tương quan riêng: Xây dựng ma trận hệ số tương quan cặp và quan sát để nhận diện độ mạnh của các tương quan từng cặp biến số độc lập Giả sử Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + β4X4i +ui Nếu như tương quan R(X2,X3); R(X2,X4); R(X3,X4) đủ lớn thì có đa cộng tuyến. Hoặc nếu như tương quan R(Y,X2) lớn mà sau khi kiểm định tác động của X2 đến y không bác bỏ được giả thiết H0 thì có thể nói là có đa cộng tuyến.
Phát hiện qua hồi qui phụ: Hồi qui một biến giải thích nào đó mà phụ thuộc tuyến tính vào một biến giải thích khác (có hệ số chặn) gọi là hồi qui phụ. Nếu hồi qui Xj = α1+ Σ αiXi (i ≠ j) kiểm định F: F = [R2/(k-1)] /[(1-R2)/(n-k)]. k số biến độc lập trong hồi qui phụ Nếu F > F* thì chúng ta có thể kết luận rằng R2 khác không có ý nghĩa thống kê và điều này có nghĩa là có đa cộng tuyến. Thừa số tăng phương sai (Variance inflation factor-VIF) Với mỗi Xj, làm hồi qui phụ: Xj = α1+ Σ αiXi (i ≠ j) Tính: VIF = 1/(1-Rj2) Ta thấy rằng khi Rj2 tăng làm VIF tăng và làm tăng mức độ đa cộng tuyến Người ta quan niệm rằng khi Khi VIF ≥ 10 thì có đa cộng tuyến.
Độ đo Theil: Ý tưởng của phương pháp này là khi không có đa cộng tuyến thì đóng góp của các cá thể là đóng góp chung còn khi có đa cộng tuyến thì đóng góp của cá thể nhỏ hơn nhiều đóng góp chung. Thực hiện như sau: Ước lượng k-1 hồi qui, bỏ Xj ra khỏi mô hình. Khi đó hàm hồi qui là: Yi = β1+ Σ βiXi + εi (i ≠ j); Sau khi hồi qui người ta tìm được R2(-j), đó là độ phù hợp của hàm hồi qui (không có Xj), sau đó tính R2 - R2(-j) là phần đóng góp của Xj cho Y Tính m = R2 – Σ(R2 - R2(-j)) Người ta quan niệm m/R2 > 0.5 thì có đa cộng tuyến. Các giải pháp khắc phục 4.
Bỏ qua đa cộng tuyến: Nếu chúng ta ít quan tâm đến việc đánh giá tác động của các biến độc lập đến biến phụ thuộc mà chú trọng chủ yếu vào việc dự báo, thì tính đa cộng tuyến có thể không phải là một vấn đề nghiêm trọng. Khi đó ta có thể bỏ qua nó mà không phải chịu một hậu quả xấu nào đáng kể. Hay có thể nói nếu chỉ phục vụ dự báo thì có thể bỏ qua đa cộng tuyến. Loại bỏ biến: Tính đa cộng tuyến là do những mối quan hệ chặt chẽ giữa các biến giải thích, cách chắc chắn nhất để loại bỏ hoặc giảm bớt các tác động của tính đa cộng tuyến là bỏ một hoặc nhiều biến ra khỏi mô hình.
Việc loại bỏ các biến có trị thống kê t thấp nói chung sẽ làm cải thiện mức ý nghĩa của các biến còn lại. Điều quan trọng xảy ra trong tình huống này là các biến còn lại có khả năng nắm giữ những tác động của các biến bị loại bỏ có liên quan chặt chẽ với chúng. Tái thiết lập mô hình: Trong nhiều tình huống, tái xác định mô hình có thể làm giảm tính đa cộng tuyến. Bổ sung dữ liệu hoặc tìm dữ liệu mới: Vì đa cộng tuyến đặc trưng cho mẫu, nên có thể lấy mẫu khác liên quan đến cùng các biến trong mẫu ban đầu mà đa cộng tuyến có thể không còn nghiêm trọng nữa.