chương 1. Theo phương pháp này, chúng ta phải giải bài toán cực trị có điều kiện. Theo Lagrange, để đồng thời thỏa mãn [pvv]=min và các phương trình điều kiện (2.12) cần phải tìm cực trị của hàm Lagrange F như sau: F = [pvv]+1[av] +w1+2[bv]+w2 +. + r rv] +wr = min (2.15) trong đó: j là các hệ số bất định.12) các giá trị trong dấu móc chính là các phương trình điều kiện (2.12) cho nên có giá trị bằng 0.
Như vậy về thực chất giá trị hàm Lagrange F luôn bằng [pvv]: F = [pvv] + 0 + 0 + .+ 0 = [pvv] Để tiện cho việc tính toán, ta ký hiệu: j 2.16) trong đó K j được gọi là các số liên hệ.16), phương trình (2.15) viết dưới dạng ma trận: F = VTPV – 2KT(BV + W) = min (2.17) trong đó ma trận P và K có dạng: p1 K1 p2 K P ; K 2 (2. pn K r 87 Để hàm F đạt giá trị cực tiểu thì thỏa mãn điều kiện: F F 2 0 , và 0 (2.20) 2F 2P 0 V 2 Suy ra: PV = BTK Như vậy: V = P-1BTK (2.13) ta lập được hệ phương trình chuẩn số liên hệ: BP-1BT K + W = 0 (2.22) Như vậy, để giá trị của hàm Lagrange F = [pvv] = min thì các số liên hệ K phải là nghiệm của hệ phương trình chuẩn (2.22) và véc tơ V phải được tính theo (2. Ký hiệu ma trận hệ số phương trình chuẩn là N: N B.23) Ma trận N là ma trận vuông đối xứng qua đường chéo chính, có kích thước bằng số lượng trị đo thừa r. Nếu xác định đủ và đúng các phương trình điều kiện trong lưới, ma trận N sẽ là ma trận không suy biến (det(N) ≠ 0).
Với ký hiệu N, hệ phương trình chuẩn số liên hệ được viết: NK+W=0 (2.24) Giải hệ phương trình chuẩn (2.25) Trong tính toán trước đây, hệ (2.22) được viết ở dạng khai triển: [ qaa ] K 1 [ qab ] K 2 . [ qrr ] K r wr 0 trong đó sử dụng ký hiệu: 1 qi (2.27) pi Trường hợp các trị đo cùng độ chính xác, thì ma trận trọng số P là ma trận đơn vị (P = E), hệ phương trình chuẩn có dạng: [ aa ] K 1 [ ab ] K 2 . [ rr ] K r wr 0 Việc giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ để nhận được véc tơ số liên hệ K sẽ được giới thiệu chi tiết trong tiết 2.3 của chương này.21) là công thức tính các số hiệu V chỉnh theo số liên hệ K, có thể viết ở dạng khai triển: 1 vi ( ai .29) pi Sau khi có được các số hiệu chỉnh cho trị đo, sẽ tính được [pvv] và từ đó tính được sai số trung phương trọng số đơn vị theo công thức: [ pvv ] (2.30) r Dựa vào sai số trung phương trọng số đơn vị và trọng số đảo của hàm các đại lượng đo sau bình sai, sẽ tính được sai số trung phương của các yếu tố trong mạng lưới. Nội dung này sẽ được trình bày kỹ trong tiết 2.
Xác định lượng đo thừa trong lưới trắc địa Như đã trình bày ở trên, khi bình sai lưới trắc địa theo phương pháp bình sai điều kiện phải xác định đủ và xác định đúng các phương trình điều kiện độc lập trong lưới. Nếu xác định thiếu hoặc thừa hoặc không đúng các phương trình điều kiện đều dẫn đến kết quả sai. Như vậy để bình sai điều kiên, cần tính được số trị đo thừa dựa vào số trị đo cần thiết và tổng số trị đo trong mạng lưới. Công thức chung để tính số lượng trị đo thừa (r) trong lưới trắc địa là: r nt (2.31) trong đó: n là tổng số trị đo 89 t là số trị đo cần thiết Trong mỗi dạng lưới khác nhau, cách tính trị đo cần thiết cũng khác nhau.
Sau đây xét cho một số dạng lưới có đủ hoặc thừa số liệu gốc. Không xét cho các dạng lưới thiếu số liệu gốc, dạng lưới này là lưới tự do sẽ được trình bày trong tài liệu khác. Lưới độ cao Số liệu gốc tối thiểu cho một lưới độ cao là độ cao đã biết của một điểm (mốc) trong lưới. Trong lưới độ cao, mỗi điểm cần xác định (mốc mới) có một giá trị độ cao H cần xác định, tức là cần tối thiểu một trị đo, như vậy số trị đo cần thiết được tính: t= p- p* (2.32) Trong đó: p là tổng số điểm trong lưới độ cao.
p* là số điểm đã biết độ cao, chỉ xét cho trường hợp p * 1 Như vậy, nếu ký hiệu n là số đoạn đo thì số trị đo thừa trong lưới độ cao được tính theo công thức: r n t n ( p p* ) (2. Lưới mặt bằng Có nhiều dạng lưới mặt bằng khác nhau như lưới tam giác đo góc, lưới tam giác đo cạnh, lưới tam giác đo góc-cạnh, lưới đường chuyền đa giác vv.Đối với lưới tam giác đo góc, số liệu gốc tối thiểu thường là tọa độ của 2 điểm khởi tính, tuy nhiên cũng có thể là 1 điểm khởi tính nhưng trong lưới phải có chiều dài cạnh đo và giá trị góc phương vị khởi tính (thí dụ thông qua đo góc nối). Đối với lưới mặt bằng, mỗi điểm mới cần xác định một cặp giá trị tọa độ x và y, do đó cần tối thiểu 2 trị đo, như vậy số trị đo cần thiết trong lưới mặt bằng (t) được tính: t= 2(p- p*) (2.34) Trong đó: p là tổng số điểm trong lưới mặt bằng. p* là số điểm đã biết tọa độ (chỉ xét cho trường hợp có đủ hoặc thừa số liệu gốc) Từ đó ta có công thức tính số trị đo thừa r trong lưới mặt bằng: r n t n 2( p p* ) (2.35) 90 trong đó: n là tổng số trị đo của mạng lưới.
Lưới GPS Số liệu gốc tối thiểu cho một lưới GPS là tọa độ X,Y,Z (hoặc B,L,H) đã biết của một điểm trong lưới, gọi là điểm khởi tính. Trong mạng lưới GPS, mỗi điểm mới cần xác định 3 giá trị tọa độ vuông góc không gian X,Y,Z , như vậy cần tối thiểu 3 trị đo. Số trị đo cần thiết trong lưới GPS được tính: t 3( p p* ) (2.36) trong đó : p là tổng số điểm trong lưới p* là số điểm đã biết tọa độ (với p* 1 ) Từ đó, tính được số trị đo thừa trong lưới GPS theo công thức: r n 3( p p* ) (2.37) Cần lưu ý rằng, trong lưới GPS, mỗi véc tơ cạnh được đo đã gồm 3 trị đo là các gia số tọa độ vuông góc không gian X, Y, Z. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU KIỆN Các loại lưới trắc địa khác nhau như lưới độ cao, lưới mặt bằng, lưới GNSS, lưới trọng lực vv.
sẽ có dạng phương trình điều kiện rất khác nhau. Ngay trong một mạng lưới cũng có thể xuất hiện các phương trình điều kiện có dạng toán học khác nhau. Đó cũng chính là nhược điểm của phương pháp bình sai điều kiện, khiến việc lập chương trình máy tính để bình sai lưới theo phương pháp điều kiện phức tạp hơn so với phương pháp bình sai gián tiếp.1 Các dạng phương trình điều kiện trong lưới độ cao Trị đo trong lưới độ cao là chênh cao đo (hay hiệu độ cao) của các đoạn đo, ký hiệu là hi. Trong lưới độ cao có thể lập các phương trình điều kiện như sau: a.
Điều kiện khép vòng Ý nghĩa hình học của điều kiện này là tổng chênh cao sau bình sai của một đường thủy chuẩn khép kín phải bằng 0.1) Trong đó : hi’ là các chênh cao sau bình sai, n là số đoạn đo trong vòng khép. Vì phương trình điều kiện trong lưới độ cao đã là phương trình dạng tuyến tính (không cần phải khai triển tuyến tính) cho nên dễ dàng có được phương trình điều kiện số hiệu chỉnh như sau: 91 n vi w 0 (2.2) i 1 Trong đó số hạng tự do w được tính: n w hi (2.3) i 1 Lưu ý rằng số hạng tự do w trong phương trình điều kiện (2.2) cũng chính là sai số khép độ cao fh : n w hi f h (2. Điều kiện khép tuyến độ cao giữa hai điểm gốc Ý nghĩa hình học của điều kiện này là xuất phát từ điểm gốc đã biết độ cao tính chuyền độ cao thông qua các chênh cao sau bình sai đến một điểm gốc khác phải bằng độ cao đã biết của nó. Nếu ký hiệu H Đ là độ cao của mốc đầu tuyến và H C là độ cao của mốc cuối tuyến, ta có phương trình điều kiện : n H Đ hi' H C (2.5) i 1 Từ đó lập được phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: n vi w 0 (2.6) i 1 Trong đó số hạng tự do được tính: n w hi ( H C H Đ ) i 1 (2.7) Khi lập phương trình điều kiện trong lưới độ cao cần chú ý: - Phải đánh số thứ tự tuyến đo và chọn chiều cho đường tính chuyền.
- Chênh cao nào cùng chiều với chiều tính chuyền thì có hệ số trong phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là (+1), chênh cao nào ngược chiều với chiều tính chuyền thì hệ số trong phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là (-1). Ví dụ 1 : Có mạng lưới độ cao được bố trí như hình (2. Điểm A đã biết độ cao, có 3 điểm cần xác định là P, Q, R, trong lưới có 5 đoạn đo với các chênh cao đo là hi. Hãy lập các phương trình điều kiện số hiệu chỉnh cho lưới độ cao này.
Lưới độ cao có 5 đoạn đo Lời giải : Theo công thức (2.33), tính được số lượng phương trình điều kiện trong lưới : r = n – t = n – ( p – 1) = 5 – 3 = 2 Phương trình điều kiện ràng buộc các trị bình sai: h1’ + h2’ - h3’ = 0 -h2’ + h4’ - h5’ = 0 Từ đó có các phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: v1 + v2 - v3 + w1 = 0 -v2 + v4 - v5 + w2 = 0 Trong đó, các số hạng tự do được tính: w1 = h1 + h2 – h3 w2 = - h2+ h4 - h5 Ví dụ 2: Có mạng lưới độ cao như hình (2.