Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác Bài 1 trang 82 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau a) AB = 125cm, CD = 625cm; b) EF = 45cm, E'F' = 13,5dm; c) MN = 555cm, M'N' = 999cm; d) PQ = 10101cm, P'Q' = 303,03m. Lời giải: AB 125 1 a) Ta có: = =. CD 625 5 b) Đổi: E'F'=13,5 dm = 135cm EF 45 1 Ta có: = = E 'F' 135 3 MN 555 5 c) Ta có: = = M ' N ' 999 9 d) Đổi: P'Q' : 303,03m = 30303 cm PQ 10101 1 Ta có: = =. P'Q' 30303 3 Bài 2 trang 82 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD; đoạn thẳng A'B' gấp 7 lần đoạn thẳng CD.
a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A'B'. b) Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm và đoạn M'N' = 707cm, hỏi hai đoạn thẳng AB, A'B' có tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và M'N' hay không? Lời giải: a) Chọn đoạn thẳng CD làm đơn vị. Suy ra đoạn thẳng AB = 5 (đơn vị), đoạn thẳng A'B' = 7 (đơn vị). A 'B' 7 MN 505 5 b) Ta có = = M ' N ' 707 7 AB MN Vì = nên AB và A'B' tỉ lệ với MN và M'N'.
A 'B' M ' N ' Bài 3 trang 82 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tính độ dài x củạ đoạn thẳng trong hình, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo cm. Lời giải: a) Trong tam giác ABC, ta có: MN // BC AM AN Suy ra: = MB NC 17 x 17 = x = 9. b) Trong tam giác PQR, ta có: EF // QR EP PE Suy ra: = PQ PR 16 20 = x 20 + 15 16 20 = x 35 35 x = 16. = 28(cm) 20 Bài 4 trang 83 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD.
Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: MA NB a) = ; AD BC MA NB b) = ; MD NC MD NC c) =. DA CB Lời giải: a) Gọi E là giao điểm của AD và BC Trong tam giác EMN, ta có: AB // MN (gt) EA EB Suy ra: = (định lí Ta- let) MA NB EA MA Suy ra: = (1) EB NB Trong tam giác EDC, ta có: AB // CD (gt) EA EB Suy ra: = (định lí Ta- let) AD BC EA AD Suy ra: = (2) EB BC MA AD MA NB Từ (1) và (2) suy ra : = = NB BC AD BC MA NB b) Ta có : = AD BC Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: MA NB MA NB = = AD − MA BC − NB MD NC MA NB c) Ta có: = (câu b) MD NC MD NC =. MA NB Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: MD NC MD NC MD NC = = =.
MA NB MA + MD NB + NC DA BC Bài 5 trang 83 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Từ điểm D trên cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự tại F và E. AE AF Chứng minh rằng: + = 1. AB AC Lời giải: Trong tam giác ABC ta có: DE // AC (gt) AE CD Suy ra: = ( định lí Ta- let) (1).
AB CB Lại có: DF // AB (gt) AF BD Suy ra: = ( định lí Ta- let) (2). AC BC Cộng từng vế (1) và (2) ta có: AE AF CD BD CD + BD BC + = + = = = 1 ( điều phải chứng minh). AB AC CB BC BC BC Bài tập bổ sung Bài 1.1 trang 83 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hai đoạn thẳng AB = 35cm, CD = 105cm tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' = 75cm và C'D'. Đoạn thẳng C'D' có độ dài (theo đơn vị cm) là : A.
Lời giải: Ta có: Hai đoạn thẳng AB = 35cm, CD = 105cm tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' = 75cm và C'D' nên: AB A 'B' 35 75 = = CD C'D' 105 C'D' 105 C'D' = 75.2 trang 83 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao là AD (D ∈ BC). Từ D, kẻ DE vuông góc với AB (E ∈ AB) và DF vuông góc với AC (F ∈ AC). AE AF Hỏi rằng, khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng + có thay đổi hay AB AC không? Vì sao? Lời giải: Vì DE và CA cùng vuông góc với AB, do đó DE // AC. AE CD Theo định lí Ta-lét, ta có: = (1) AB CB Tương tự, ta có: DF // AB, do đó: AF BD = (2) AC BC Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), ta có: AE AF CD BD CD+BD BC + = + = = =1 AB AC CB BC BC BC AE AF Tổng + không thay đổi vì luôn có giá trị bằng 1.
AB AC Vậy : Khi độ dài cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông ABC thay đổi thì AE AF tổng + luôn luôn không thay đổi. Tổng đó luôn có giá trị bằng 1. AB AC Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét Bài 6 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB.
Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M và N. Tính theo a độ dài các đoạn thẳng DM và EN. Lời giải: 1 Ta có: AD = DE = EB = AB (giả thiết) (1) 3 2 Suy ra: AE = AD + DE = AB (2) 3 Trong ΔABC, ta có: DM // BC (gt) AD DM Nên = (Hệ quả định lí Ta-lét) AB BC AD DM Suy ra : = (3) AB a DM 1 Từ (1) và (3) suy ra: = a 3 a Suy ra: DM =. 3 Trong ΔABC, ta có: EN // BC (gt) AE EN Suy ra: = ( hệ quả định lí Ta- let).
AB BC AE EN Suy ra: = (4) AB a EN 2 2a Từ (2) và (4) suy ra: = hay EN =. a 3 3 Bài 7 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình vẽ bên Cho biết MN // BC, AB = 25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN = 10cm Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng MN, AC. Lời giải: Ta có: MN // BC (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét suy ra: AN AM MN Suy ra: = = (Hệ quả định lí Ta-lét) AB AC BC 10 16 x = = 25 y 45 10 25 x = 45. Bài 8 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình vẽ cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm.
Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC, BC. Lời giải: Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt) AM AN Suy ra: = (định lí Ta- let) AB AC AB.12 Suy ra: AC = = = 18(cm) AM 16 Vậy NC = AC – AN = 18 – 12 = 6(cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMN, ta có: MN2 = AM2 + AN2 = 162 + 122 = 400 MN = 20cm Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt) AM MN Suy ra: = (Hệ quả định lí Ta – lét). AB BC MN. AM 16 Vậy x = NC = 6 cm, y = BC = 30 cm.
Bài 9 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: OA. Lời giải: Ta có: AB // CD (gt), áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét ta có: OA OB Suy ra = (hệ quả định lí ta-lét) OC OD Vậy OA. Bài 10 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD).
Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC, và BC theo thứ tự các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng MN = PQ. Lời giải: Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt) DN MN Suy ra: = hệ quả định lí ta-lét) (1) DB AB Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt) CQ PQ Suy ra: = Hệ quả định lí Ta-lét) (2) CB AB Lại có: NQ // AB (gt) và AB // CD (gt) Suy ra: NQ // CD. Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên) DN CQ Suy ra: = (Định lí Ta-lét) (3) DB CB MN PQ Từ (1), (2) và (3) suy ra = hay MN = PQ (điều phải chứng minh).
AB AB Bài 11 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AE p Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho = .Qua E kẻ đường thẳng song song với ED q p.AB các đáy và cắt BC tại F. Chứng minh rằng: EF =. p +q Lời giải: Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I.
Trong ΔADC, ta có: EI // CD AE EI Suy ra: = AD CD AE Suy ra: EI =. CD (1) AD AE p Lại có : = (giả thiết) ED q AE AE p Suy ra: = = (2) AD AE + ED q + p p Từ (1) và (2) suy ra: EI =. p +q Trong ΔABC, ta có: FI // AB BF AI Suy ra: = (định lí ta-lét) (3) FC IC Trong ΔADC, ta có : EI // CD AE AI Suy ra: = (định lí ta-lét) (4) ED IC BF AE p Từ (3) và (4) suy ra = = FC ED q Trong ΔABC, ta có: IF // AB IF CF Suy ra: = (định lí ta-lét) AB CB CF Suy ra: IF = .AB ( 5) CB BF p Ta có: = ( chứng minh trên) CF q CF q CF q CF q Suy ra: = = = ( 6) BF p CF + BF p + q BC p + q q Từ (5) và (6) suy ra: IF = AB p +q p q p.CD +qAB Vậy: EF = EI + IF =. Bài 12 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC.