CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Năng lực tư duy và lập luận toán học 1. Năng lực Năng lực là một khái niệm trừu tượng của tâm lí học, hiện nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và diễn đạt khác nhau.
Theo từ điển Tiếng Việt, năng lực được định nghĩa theo hai hướng, một là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc điều kiện tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó, hai là phẩm chất tâm lí và sinh lí, tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao (Hoàng Phê, 2008). Trong Tuyển tập Tâm lý học (2005), tác giả Phạm Minh Hạc cho rằng: “Năng lực là nói tới quan hệ tác động của một con người cụ thể vào một đối tượng nào đó (kiến thức, đối tượng lao động, quan hệ xã hội,…) để có một sản phẩm nhất định”. Như vậy, tuy có nhiều cách tiếp cận và diễn đạt khác nhau nhưng nhìn chung các quan niệm đều thống nhất năng lực có các đặc điểm chính là: Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập rèn luyện của người học. Năng lực là tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính của cá nhân như ý chí, hứng thú, niềm tin, ….
Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở việc thực hiện thành công hoạt động thực tiễn đó. Nói tóm lại, nhắc tới năng lực là phải gắn với kiến thức, kĩ năng, thái độ và sự hiệu quả. Trong CTGDPT tổng thể 2018 (ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT), yêu cầu cần đạt về năng lực của học sinh bao gồm: 6 Năng lực chung: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Năng lực đặc thù: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất và các năng lực đặc thù khác gắn với môn học.
Năng lực toán học Năng lực toán học là một hình thức năng lực chuyên môn, gắn liền với bộ môn Toán học. Hiện nay cũng có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực Toán học. Theo Morgan Niss [25], năng lực toán học là khả năng của cá nhân thể hiện ở việc sử dụng các khái niệm, tính chất toán học nhằm giải quyết các tình huống liên quan đến toán học. Niss cho rằng, năng lực toán học bao gồm 8 thành phần và có thể chia thành hai nhóm.
Nhóm thứ nhất là cụm các năng lực dùng để hỏi và trả lời về toán học; bao gồm các năng lực: tư duy toán học, lập luận toán học, mô hình hóa, đặt ra vấn đề và giải quyết vấn đề. Nhóm thứ hai là cụm năng lực nói về khả năng xử lí, quản lý ngôn ngữ và các công cụ toán học; bao gồm các năng lực: biểu diễn, sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, giao tiếp bằng ngôn ngữ Toán học, sử dụng các công cụ, phương tiện toán học. Trong Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 (Bộ GD&ĐT, 2018) năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán [2]. Như vậy có thể thấy rằng, mặc dù cách chia và gọi tên các thành tố của năng lực Toán học của Morgan Niss và của Bộ GD&ĐT có đôi chút khác nhau nhưng nhìn chung có sự giao thoa về các thành tố quan trọng.
Từng năng lực có biểu hiện rõ ràng và cụ thể riêng, được nêu rất rõ trong CTGD môn toán năm 2018. Năng lực tư duy và lập luận toán học 1. Tư duy Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán, v. Theo Từ điển Tiếng Việt: “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng” (Hoảng Phê, 1998).M Phridman cho rằng: “Tư duy toán học là tư duy lí thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được mô hình hóa, vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng”.
Tư duy Toán học có tính khái quát và tính logic. Tính khái quát thể hiện ở việc luôn luôn tìm hiểu đặc tính của sự vật, hiện tượng một cách bản chất, cốt lõi từ đó tìm ra những quy luật hết sức tổng quát; tính logic của tư duy Toán học thể hiện ở chỗ dựa trên những quy luật logic. [13] Từ những điều trên ta có thể thấy, tư duy là sản phẩm của não bộ con người, nó là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận và nó chỉ tồn tại trong một mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói. Kết quả của quá trình tư duy thường là một ý nghĩ nào đó.
Các thao tác tư duy cơ bản Các thao tác tư duy cơ bản bao gồm: 1) Phân tích – tổng hợp.Polya: “Phân tích là thao tác tư duy nhằm chia một chỉnh thể thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là thao tác tư duy bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể đó” [14]. Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược 8 nhưng không tách rời nhau của một quá trình thống nhất. Tác giả Nguyễn Thanh Hưng nhận định, “sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân tích.
Đây là hai thao tác cơ bản của một quá trình tư duy”. Khi dạy HS giải một bài toán, GV thường cho học sinh phân tích đề bài trước rồi kết nối với các kiến thức đã biết, xây dựng lên hướng đi rồi cách giải bài toán thông qua hệ thống câu hỏi như: Bài toán cho ta biết những gì, yêu cầu ta làm gì? Những dữ liệu đã biết cho ta liên tưởng đến kiến thức nào? Khai thác các kiến thức đó ra sao? Sau khi phân tích xong, HS có nhiệm vụ tổng hợp và sắp xếp lại các ý đã khai thác ở trên để phát biểu hay viết lên một lời giải hoàn chỉnh. Polya [14]:“Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó”.
Còn theo tác giả Chu Cẩm Thơ [26]: “Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau”. Trong Toán học, chúng ta thường xét sự tương tự trên các khía cạnh như hai bài toán gọi là tương tự nhau nếu đường lối, phương pháp, thuật giải của chúng giống nhau, hai hình gọi là tương tự nếu cách vẽ hay tính chất của hình giống nhau. Trên thực tế, khi dạy học Toán, GV có thể dùng nhiều thao tác này trong dạy học bài tập, đặc biệt đối với HS trung bình-yếu. Việc cho học sinh làm các bài tập có sự tương đồng về cách giải giúp cho học sinh nhớ hơn, thao tác thành thạo hơn, từ đó cũng tự rút ra cho mình các kinh nghiệm sau mỗi lần giải.
Với HS khá-giỏi, thao tác tương tự hóa như một công cụ nhằm xây dựng ý tưởng của bài toán mới dựa trên bài toán cũ. Xét bài toán: Tính hợp lý a) 66 27 34 27 ; b) 3 53 8 4 6 47. Phân tích: 9 a) Với ý a, học sinh dễ dàng nhận ra cần áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để tính hợp lý. Khi đó, ta có lời giải sau: 66 27 34 27 27 66 34 27 100 2700.
b) Ý b khó hơn ý a khi HS chưa nhìn thấy ngay thừa số giống nhau của mỗi tích để áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Tuy nhiên, HS có thể nhận ra rằng đây là một bài tính hợp lý do vậy không thể tính theo thứ tự thực hiện phép tính, xét về cấu trúc thì tổng b cũng là tổng của hai tích, từ đó HS sẽ thấy việc tìm ra thừa số giống nhau của mỗi tích để đưa bài toán b về giống bài toán a là việc làm cần thiết. Quan sát kỹ hơn, HS sẽ phát hiện được 3 8 4 6 24. Như vậy, ta có thể giải quyết như sau: 3 53 8 4 6 47 3 8 53 4 6 47 24 53 24 47 24 53 47 24 100 2400.
3) Khái quát hóa – đặc biệt hóa. Polya cho rằng khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu còn đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chưa trong tập hợp đã cho [14]. Khi ta chuyển nghiên cứu các tính chất của tam giác đều sang nghiên cứu các tính chất của đa giác đều – đó là khái quát hóa, còn khi ta đang nghiên cứu đa giác đều n cạnh, ta chuyển sang nghiên cứu các tam giác đều, tứ giác đều – đó là đặc biệt hóa. Như vậy, khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai thao tác tư duy trái ngược nhau.
Nhờ đặc biệt hóa, HS có thể nhìn thấy các trường hợp cụ thể, việc giải toán cũng trở nên dễ dàng hơn. Tuy nhiên, nhờ khái quát hóa, HS lại có thể nhìn các vấn đề một cách hệ thống hơn, toàn diện hơn. Tư duy hệ thống là kiểu tư duy vô cùng quan trọng đối với con người hiện nay, nó là tiền đề quan trọng để xây dựng nên tư duy sáng tạo. Do vậy, GV cần hết sức chú ý đến thao tác tư duy này.
4) So sánh: là quá trình nhận biết và làm rõ những đặc điểm giống nhau và khác nhau giữa các đối tượng nhận thức [20].