CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán 1. Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán trên thế giới Mô hình hóa toán học và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn là một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học. Nói tổng quát hơn đó chính là mối quan hệ giữa toán học và đời sống thực tế (thế giới bên ngoài toán học).
Tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968, mô hình hóa trong giáo dục toán chính thức được đề cập tới. Nhưng dấu ấn quan trọng của việc giới thiệu mô hình hóa vào nhà trường là nghiên cứu của Pollak vào năm 1979, ông cho rằng giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán vào cuộc sống thực tế hằng ngày. Mô hình dạy và học trong nhà trường đã trở thành chủ đề được toàn cầu quan tâm. Hai năm một lần, Hội nghị quốc tế về giảng dạy mô hình toán học và các ứng dụng của nó (ICTMA) nhằm mục đích thúc đẩy ứng dụng mô hình toán học trong trường học.
Mô hình hóa giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết ở mực độ cao, hoạt động này giúp gắn kết không gian lớp học với cuộc sống thực tế bên ngoài. Từ đó giúp học sinh hiểu sâu sắc ý nghĩa của toán trong cuộc sống và nắm chắc kiến thức toán học trong nhà trường. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn được biệt được các nước thuộc Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (Organisation for Economic Cooperation and Development - OECD) quan tâm thông qua chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International Student Assessment - PISA). Như vậy, trên thế giới đã có nhiều nghiên cứu về khả năng mô hình hóa toán học ở cấp độ vĩ mô, đủ làm cơ sở lý luận cho các nghiên cứu cụ thể về lý thuyết này trong giáo dục toán ở Việt Nam.
Lịch sử nghiên cứu và triển khai mô hình hóa trong dạy học toán ở Việt Nam Ở nước Việt Nam ta, nhiều công trình về mô hình hoá trọng dạy học nói chung và trong môn toán nói riêng nhận được sự quan tâm rất lớn và có nhiều nghiên cứu tiêu biểu: 5 Tác giả Trần Dũng, Nguyễn Thị Tân An (2009) chỉ ra rằng “Toán học là con đường tư duy có hệ thống, sản sinh ra những giải pháp cho những vấn đề bằng cách mô hình hóa các tình huống trong cuộc sống.” Việc sử dụng mô hình toán góp phần giải quyết những khó khăn trong dạy học toán. [2] Tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) cho rằng phương pháp mô hình toán nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, nâng cao tính độc lập, tự tin của học sinh thông qua trao đổi nhóm, hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề. [11] Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) với bài báo Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán cho rằng mô hình toán học sẽ là cầu nối giữa những suy luận trên lớp và suy luận trong các tình huống thực tế. Bài viết trình bày rõ sự cần thiết của việc áp dụng mô hình hóa trong giáo dục toán nói chung và giáo dục toán phổ thông nói riêng.
[1] Nhìn chung, các công trình tập trung làm rõ vấn đề lý luận và thực tiễn của mô hình hóa toán học và vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học và môn toán phổ thông. Tuy nhiên chưa có công trình cụ thể vào nghiên cứu dạy học chủ đề diện tích và thể tích lớp 12 theo phương pháp mô hình hóa toán học. Mô hình hóa toán học 1. Khái niệm mô hình hóa toán học Hiện nay, các nhà khoa học đã đưa ra nhiều định nghĩa mô tả về mô hình hóa toán học như: Theo Niss (2004), “năng lực toán học có nghĩa là khả năng hiểu toán, phán đoán, làm và sử dụng toán học trong một loạt các bối cảnh và tình huống trong và ngoài môn Toán, trong đó, kiến thức toán học đóng một vai trò quan trọng…” [21].
Kết quả nghiên cứu của Tanner và Jones (1995) cho thấy “không phải lúc nào kiến thức hiện tại của học sinh cũng có thể giúp các em thực hiện thành công các hoạt động mô hình hóa toán học. Khi đó, họ phải lựa chọn những kiến thức cần thiết và theo dõi quá trình làm mẫu mà mình đang thực hiện. Và thông qua mô hình toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng các sự kiện, phương pháp và công cụ toán học phù hợp để giải quyết các vấn đề trong thế 6 giới thực. Khả năng xử lý dữ liệu thực và sử dụng các công cụ toán học để phân tích dữ liệu phải là một phần của việc học toán ở mọi cấp độ.
Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học của một hệ thống phi toán học với các câu hỏi cụ thể được đặt ra về hệ thống này. Mô hình toán học là quá trình xây dựng mô hình toán học cho một bài toán phi toán học, giải bài toán bằng ngôn ngữ toán học của mô hình đó, sau đó kiểm tra và đánh giá kết quả trong môi trường thực tế. , cải thiện mô hình nếu cách giải quyết không được chấp nhận. [2] Theo tác giả Nguyễn Danh Nam: “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dụng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm các trả lời cho tình huống.
Quá trình này được gọi là mô hình hóa toán học” [10]. Một số cấu trúc toán học cơ bản có thể mô hình hóa thông qua các đồ thị, bảng biểu, công thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Mô hình toán học cho phép học sinh liên hệ toán học ở trường với đời sống thực tế, thể hiện khả năng áp dụng các ý tưởng toán học đồng thời cung cấp một bức tranh toán học phong phú hơn. Đặc điểm chung trong định nghĩa của các nhà nghiên cứu về mô hình toán học là việc chuyển các tình huống phi toán học thành mô hình toán học và thông qua các công cụ, phương pháp giải toán để giải mô hình toán học.
Từ đó, học sinh sẽ tìm ra lời giải cho các tình huống ngoài toán học. Quá trình này sẽ được lặp lại nếu học sinh cảm thấy mô hình hoặc giải pháp toán học chưa phù hợp hoặc tối ưu. Tham khảo công trình nghiên cứu đã có, so sánh với thực tế dạy học nội dung kiến thức Hình học ở trường phổ thông, trong luận văn này, tác giả diễn giải như sau: Mô hình hóa trong dạy học Hình học Trung học phổ thông là quá trình giúp học sinh tìm hiều các tình huống thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học (hình vẽ, kí hiệu, sơ đồ, công thức,…). Có thể nói mô hình hóa hình học đi từ tình huống thực tiễn chuyển thành bài toán hình học thuần tuý và giải bằng các công cụ toán học sau đó sẽ quay lại trả lời cho câu hỏi của tình huống thực tiễn.
Quá trình mô hình hóa toán học Tham khảo các nghiên cứu đi trước, quá trình mô hình hóa toán học có thể xem xét theo những sơ đồ sau: 1. Sơ đồ của Pollak (1979) Sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học năm 1979 của Pollak là một trong những sơ đồ đầu tiên thể hiện một cách đơn giản mối quan hệ qua lại giữa toán học và thực tiễn theo cả hai hướng. Sơ đồ này thể hiện từ một tình huống trong thực tế, người thực hiện mô hình hóa sẽ “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học rồi sử dụng các công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình đó và sử dụng đáp án để đối chiếu sang với tình huống thực tế ban đầu. Chiều mũi tên trong sơ đồ biểu diễn một vòng lặp, nghĩa là cho phép sự chuyển đổi qua lại nhiều lần giữa thế giới thực tế và thế giới toán học.
Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak (1979) 2. Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991) Từ những ý tưởng ban đầu của Pollak về mô hình hóa, các nghiên cứu sau này chủ yếu nhằm chi tiết hơn các giai đoạn của quá trình mô hình hóa. Quá trình mô hình hóa được Swetz & Hartzler mô tả gồm có bốn giai đoạn quan trọng sau đây: [26] 8 Sơ đồ 1. Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Swetz & Hartzler - Giai đoạn 1.
Xây dựng mô hình: Đây là giai đoạn vô cùng quan trọng, trong giai đoạn này ta cần quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn đó, lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho bằng cách dùng ngôn ngữ toán học. Vì vậy, ở giai đoạn này, trí tưởng tượng và trực giác của học sinh là cần thiết. Sử dụng trí tưởng tượng và trực giác, học sinh xây dựng mô hình dựa trên đặc điểm của đồ vật. Mô hình này có thể là mô hình vật lý hoặc tham chiếu đến các mô hình hiện có.
Nói cách khác, giai đoạn xây dựng mô hình là bước tìm kiếm mô hình đại diện cho đối tượng. Trên cơ sở đó xây dựng mô hình toán học tương ứng. Nghiên cứu mô hình: Nghiên cứu ở giai đoạn mô hình, ở giai đoạn này, mô hình được phát hiện ở giai đoạn trước trở thành đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau. Điều này nhằm xem xét liệu mẫu có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và chuyển sang bước tiếp theo.
Giai đoạn xử lý kết quả: Trong giai đoạn này ta cần vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để gải quyết mô hình toán học, sau đó đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận để trả lời cho tình huống thực tiễn. Trình bày kết quả và hiệu chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên cơ sở mô hình toán học được chuyển về đối tượng nghiên cứu ban đầu để so sánh, trên cơ sở đó mô hình được điều chỉnh theo đối tượng. 9 Nhìn vào sơ đồ của quá trình mô hình hóa mà Swetz & Hartzler đề xuất ta đều nhận thấy sự tương tự với quy trình do Pollak đã đưa ra. Tuy nhiên, so với quy trình mô hình hóa mà Pollak đã đề xuất, quy trình của Swetz & Hartzler (1991) đã chi tiết hơn, các tác giả đã mô tả trong mỗi giai đoạn thì người thực hiện mô hình hóa cần phải làm những công việc gì.