Chương 1 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NÓ TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN. Mở ñầu Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục ñích trả lời câu hỏi Q1: “Trong lịch sử toán học, khái niệm số phức ñược hình thành và phát triển như thế nào? Các mô hình hình học của nó ñược xây dựng ra sao?”. Chúng tôi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự hình thành và phát triển của toán học nói chung cũng như số phức nói riêng. Các tài liệu chúng tôi chọn làm tư liệu trong chương này gồm có: 1.
LÊ THỊ HOÀI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học môn Toán, Báo cáo tổng kết ñề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử toán học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, công ty sách thiết bị trường học thành phố HCM. NGUYỄN CẢNH TOÀN (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nhà xuất bản giáo dục. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà toán học Triết học, Nhà xuất bản ñại học quốc gia thành phố HCM.
NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử toán học, Nhà xuất bản trẻ.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math through the Ages, a gentle history for teachers and others. Remark on the history of Complex Numbers 8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company, London 1909. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano ñưa ra vấn ñề về việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40.
Theo những kiến thức lúc bấy giờ thì không tồn tại hai số ñó nhưng Cardano chỉ ra rằng nếu bỏ qua sự vô lý của các kí hiệu thì hai số có dạng 5 + −15 và 5 − −15 quả thực có tổng là 10 và tích là 40. Nhưng ông chỉ ñưa ra một cách qua loa những dạng này như là một “trò chơi vô nghĩa” của những “kẻ rỗi việc”. Trong một cuốn sách khác, ông nói rằng 9 cũng là 3 hay -3 và −9 cũng là +3 hay -3 nhưng chúng là “số 3 không có gì cả”. Trong một ví dụ ñầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao ñiểm của một ñường tròn và một ñường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai.
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai dẫn ñến căn bậc hai của số âm khi ñường thẳng trong thực tế không cắt ñường tròn. Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận có sự xuất hiện của nghiệm “không thể” hay “nghiệm ảo” thì ñơn giản là câu trả lời cho phương trình không có bất kì nghiệm nào. Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm công thức giải cho phương trình bậc ba. Cho một phương trình dạng x3 + px + q = 0 , công thức nghiệm của Cardano ñược q q2 p3 3 q q 2 p3 viết lại bằng ngôn ngữ hiện ñại là: x = 3 − + + + − − +.
Công 2 4 27 2 4 27 thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng x3 + ax 2 + bx + c = 0 1 có thể ñưa về dạng trên bằng cách ñặt x = z − a2. Khi ñó phương trình trên trở 3 1 1 1 thành z 3 + Bz + C = 0 với B = c − a 2 , C = c − ab + 2a 2 ). Tuy nhiên, một vài 3 3 27 trường hợp gặp phải rắc rối. Giả sử cho phương trình x3 = 15 x + 4 ta viết lại thành x3 − 15 x − 4 = 0 , và áp dụng công thức trên, ta ñược x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121.
8 Dựa vào những ñiều ñã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận ñúng nhất trong trường hợp này là phương trình vô nghiệm. Nhưng rõ ràng x = 4 là nghiệm của phương trình trên. Vậy kết luận trên là sai lầm. Cardano ñã ñưa ra vấn ñề này nhưng hầu như không ai biết ñến nó.
Ông ñã ñề cập hai lần trong những cuốn sách của mình Vào năm 1560, Bombelli ñã ñưa cách thoát khỏi những bối rối ñó. Ông tranh luận rằng, ta có thể khai triển với loại “căn số mới” này. Để nói về căn bậc hai của số âm, ông phát minh ra một ngôn ngữ mới lạ. Thay cho việc nói 2 + −121 là 2 cộng căn trừ 121, thì ông nói rằng 2 cộng của trừ căn của 121.
Do ñó, “cộng của trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì 2 + −121 = 2 + 11 −1 nên ông ñề cập ñến nó như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép toán như sau: “Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ. Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng” Theo ngôn ngữ hiện ñại, có nghĩa: i × i = −1; − i × −i = −1 ; i × −i = 1 Nhưng Bombelli không thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số.
Đúng hơn, ông dường như ñưa ra những qui tắc mà cho phép ông chuyển những công thức phức tạp như 3 2 + −121 − 3 2 + −121 về những biểu thức ñơn giản hơn. Đây là nghiệm của phương trình bậc ba, và bắt ñầu theo hướng này, ông tìm ñược nghiệm của phương trình bậc 3. Những công trình của Bombelli cũng chỉ ra rằng thỉnh thoảng việc tìm căn bậc hai của số âm cũng cần thiết cho việc tìm nghiệm thực của phương trình. Nói cách khác, ông chỉ ra rằng sự xuất hiện của những biểu thức như thế không luôn là những tín hiệu cho những phương trình không thể giải ñược.
Đây là dấu 9 hiệu ñầu tiên nói rằng số phức là công cụ toán học thực sự hữu ích. Nhưng những ñiều ñó ñều vấp phải sự phản ñối của những ñịnh kiến cũ. Nữa thế kỷ sau ñó, cả hai ông Girard và Descartes biết rằng phương trình bậc n sẽ có n nghiệm. Nó cho phép căn bậc hai ñúng (căn bậc hai của số dương) và căn bậc hai sai (căn bậc hai của số âm) và nghiệm phức.
Nó giúp tạo ra những công thức nghiệm tổng quát và ñơn giản hơn. Nhưng những nghiệm phức vẫn thường ñược mô tả như là “”ngụy biện”, “không thể”, “ảo” hay là “vô nghĩa, vô lý”. Vào ñầu thế kỉ 18, Moivre ñưa ra công thức nối tiếng sau (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (Công thức này ngầm ẩn trong các công trình của Moivre, mặc dù nó không ñược phát biểu dưới dạng này). Một năm sau ñó, Leonhard Euler ñã ñưa ra ký hiệu i thay cho − 1 và ñi ñến sự liên kết tất cả với nhau khi ông phát minh ra công thức e ix = cos x + i sin x.
Khi x = π , ta ñược e iπ = −1 hay e iπ + 1 = 0 , công thức này là một công thức quan trọng vì nó liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học. Giữa thế kỷ 18, người ta biết ñến số phức như là một bước cần thiết ñể giải quyết các vấn ñề về số thực. Nó ñóng vai trò quan trọng trong những thuyết về phương trình, và có mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng mũ. Nhưng cũng còn rất nhiều vấn ñề.
Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức giống − 2. Căn của một số thực ñược ñịnh nghĩa: 2 có nghĩa là căn bậc hai dương của 2. Vì số phức không dương, không âm nên không có sự lựa chọn căn bậc hai nào tốt nhất. Do ñó, Euler nói rằng: − 2.
− 2 = 6 nhưng ông không chú ý rằng nếu ông áp dụng công thức thứ 2 vào công thức thứ nhất thì kết quả không ñúng. Mặc dù Euler sử dụng số phức rất nhiều, nhưng ông không giải quyết lại những ñiều mà chúng ta ñã nói ở trên. Trong cuốn Đại số sơ cấp, ông viết: 10 “ Vì mọi số ñều có thể so sánh với 0, nhỏ hơn hay lớn hơn hay bằng 0. Do ñó, ta không thể ñưa căn bậc hai của một số âm vào ñội ngũ “những số có thể”.
Trong cách này, những số ñó ñược gọi là những ñại lượng ảo vì nó tồn tại trong sự tưởng tượng. là những số không thể, số ảo. Và chúng ta thừa nhận những số này không là gì cả, không lớn hơn hay nhỏ hơn bất cứ thứ gì. Điều ñó có nghĩa chúng là ảo hay không tồn tại.
Nhưng dù sao ñi nữa, những số này vẫn ở trong ñầu chúng ta, chúng tồn tại trong sự tưởng tượng của chúng ta và chúng ta vẫn có những ý tưởng về chúng”. Quan ñiểm của hầu hết các nhà toán học thế kỷ 18 là “Số phức là những số tưởng tượng có ích”. Gauss là người thực sự có ý tưởng ñầu tiên về số phức vào năm 1831 và dùng kí hiệu a+bi ñể chỉ số phức, trong ñó a, b là các số thực, i là ñơn vị ảo. Khi a = 0 thì a+bi = bi là số ảo; khi b = 0 thì a+bi = a là một số thực.
Thế kỷ 19, bắt ñầu xuất hiện những nhu cầu về số phức. Argand, một người bán sách ở Paris là người ñầu tiên ñưa ra ñề nghị trong một xuất bản 1806. Nó làm rõ một số giả thuyết về những số tưởng tượng hay những số ảo kỳ quái bằng cách biểu diễn chúng bằng hình học. Các ñiểm với toạ ñộ của chúng có sự tương ñồng, (x, y ) ֏ x + iy.
Giả thuyết của Argand bị bác bỏ cho ñến khi Gauss ñề xuất nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nó có thể là một thành phần toán học có ích.Và Gauss cũng ñề xuất các ñiều kiện cho số phức. Hai năm sau ñó, Hamilton chỉ ra rằng, ta có thể bắt ñầu từ mặt phẳng ñể ñịnh nghĩa những cặp sắp thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự ñồng nhất với số phức. Hamilton nó rằng số “hư cấu” i chỉ là một ñiểm (0, 1). Các nhà toán học luôn tìm kiếm ñề tài cho số phức bởi vì sau ñó, chúng quá hữu ích ñến nỗi mà chúng ta khó tránh tiếp xúc với nó.
Euler và Gauss dã chỉ ra rằng ta có thể sử dụng chúng ñể giải quyết những vấn ñề về ñại số và lý thuyết số.